Auto-évaluation

Le nombre $\ln (125)$ est égal à :
a. $5\ln (3)$
b. $3\ln (5)$
c. $25\ln (5)$
d. $5\ln (25)$

Le plus grand intervalle de définition de la fonction $f$ : $x\mapsto \ln \left(x^2+x+1\right)$ est :
a. $]0;+\infty [$
b. $]-\infty ;0]$
c. $[0;1]$
d. $\mathbb{R}$

Pour tout réel $x$, $\ln \left(x^2\right)=2\ln (x)$.
a. Vrai
b. Faux

La dérivée de $f:x\to \ln \left(2x^2+3\right)$ est :
a. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{2x^2+3}{4x}$

b. $f^{\prime }:x\mapsto \ln (4x)$

c. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{4x}{2x^2+3}$

d. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{2x}{2x^2+3}$

L'inéquation $\ln \left(\frac{2}{3}\right)x-1>3$ équivaut à :
a. $x>\frac{4}{\ln \left(\frac{2}{3}\right)}$

b. $x⩾\frac{4}{\ln \left(\frac{2}{3}\right)}$

c. $x<\frac{4}{\ln (2)-\ln (3)}$

d. $x>4-\ln \left(\frac{2}{3}\right)$

La fonction $x\mapsto \ln \left(x^2\right)$ est croissante sur $]0;+\infty [$.
a. Vrai

b. Faux

Déterminer les affirmations vraies.

×

a. $\ln (0)=1$

×

b. $\ln (\mathrm{e})=1$

×

c. $\ln (1)=0$

×

d. $\ln (1)=1$

Déterminer les expressions égales à 5.

×

a. $\ln \left(5^5\right)$

×

b. $\exp \left(\frac{\ln \left(5^5\right)}{5}\right)$

×

c. $\ln \left({\mathrm{e}}^5\right)$

×

d. $\ln \left(5{\mathrm{e}}^5\right)-\ln (5)$

L'expression $\ln (\sqrt{2})+\frac{1}{2}\ln (7)$ est égale à :

×

a. $\ln (\sqrt{14})$

×

b. $\frac{1}{2}\ln (14)$

×

c. $\frac{1}{2}\ln (9)$

×

d. $\ln (7)$

La dérivée de $f:x\mapsto \ln \left(2x+{\mathrm{e}}^{-x}\right)$ sur l'intervalle $]0;+\infty [$ est :

×

a. $f^{\prime }:x_{\mapsto }\frac{2-e^{-x}}{2x+e^{-x}}$

×

b. $f^{\prime }:x\mapsto \ln \left(2-{\mathrm{e}}^{-x}\right)$

×

c. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{2+{\mathrm{e}}^{-x}}{2x+{\mathrm{e}}^{-x}}$

×

d. $f^{\prime }:x\mapsto \frac{2{\mathrm{e}}^x-1}{2x{\mathrm{e}}^x+1}$

21

On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathcal{D}}_f$ par $f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x+1}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.


2. Calculer $f(\text{e}-1)$.


3. Montrer que $f(3)=\ln (\sqrt{2})$


4. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.


5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur ${\mathcal{D}}_f$.

H

Pour $x>0$ et $y>0$, on a $\ln \left(x^{2}y\right)=$...

×

a. $2\ln (x)+\ln (y)$

b. $2\left(\ln (x)+\ln \left(\sqrt{y}\right)\right)$

×

c. $2\left(\ln (x)+\ln \left(\sqrt{y}\right)\right)$

d. $2\left(\ln (x)+\frac{1}{2}\ln \left(\sqrt{y}\right)\right)$

G

Parmi les fonctions $f$ suivantes laquelle correspond à cette représentation graphique ?

a. $f(x)=\ln \left(x^2+4x+5\right)$
b. $f(x)=\ln \left(x^2+4x-5\right)$
c. $f(x)=\ln \left(x^2-1\right)$
d. $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$

F

La fonction $f:x\mapsto \ln \left(x^2+1\right)$ admet un minimum en $x=0$.

a. Vrai
b. Faux

E

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est croissante sur son ensemble de définition ?

a. $f(x)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{2x}\right)$
b. $f(x)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^{-2x}\right)$
c. $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$
d. $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2}\right)$

C

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x+\ln \left(3x\right)}{2x}=$...

a. $5$
b. $+\infty$
c. $\frac{5}{2}$
d. $0$

B

$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^3\ln \left(5x^5\right)=$...

a. $0$
b. $-\infty$
c. $\ln (5)$
d. $3\ln (5)$

A

La fonction $f:x\mapsto \ln \left(x^2+7x+20\right)$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$.

a. Vrai
b. Faux

D

L’ensemble de définition de la fonction $f:x\mapsto \ln \left(\ln (x)\right)$ est :

a. $]\text{e};+\infty [$
b. $[\text{e};+\infty [$
c. $]1;+\infty [$
d. $]{\text{e}}^2;+\infty [$