Auto-évaluation

Le nombre $\ln(125)$ est égal à :
a. $5 \ln (3)$
b. $3 \ln (5)$
c. $25 \ln (5)$
d. $5 \ln (25)$

Le plus grand intervalle de définition de la fonction $f$ : $x \mapsto \ln \left(x^{2}+x+1\right)$ est :
a. $] 0 ;+\infty[$
b. $]-\infty ; 0]$
c. $[0 ; 1]$
d. $\mathbb{R}$

Pour tout réel $x$, $\ln \left(x^{2}\right)=2 \ln (x)$.
a. Vrai
b. Faux

La dérivée de $f: x \rightarrow \ln \left(2 x^{2}+3\right)$ est :
a. $f^{\prime}~:~x \mapsto \dfrac{2 x^{2}+3}{4 x}$

b. $f^{\prime}~:~x \mapsto \ln (4 x)$

c. $f^{\prime}~:~x \mapsto \dfrac{4 x}{2 x^{2}+3}$

d. $f^{\prime}~:~x \mapsto \dfrac{2 x}{2 x^{2}+3}$

L'inéquation $\ln \left(\dfrac{2}{3}\right) x-1>3$ équivaut à :
a. $\nobreakspace{x \gt \dfrac{4}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}}$

b. $\nobreakspace{x \geqslant \dfrac{4}{\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}}$

c. $\nobreakspace{x\lt\dfrac{4}{\ln (2)-\ln (3)}}$

d. $\nobreakspace{x \gt 4-\ln \left(\dfrac{2}{3}\right)}$

La fonction $x \mapsto \ln \left(x^{2}\right)$ est croissante sur $] 0~;~+\infty[$.
a. Vrai

b. Faux

Déterminer les affirmations vraies.

×

a. $\ln (0)=1$

×

b. $\ln (\mathrm{e})=1$

×

c. $\ln (1)=0$

×

d. $\ln (1)=1$

Déterminer les expressions égales à 5.

×

a. $\ln \left(5^{5}\right)$

×

b. $\exp \left(\dfrac{\ln \left(5^{5}\right)}{5}\right)$

×

c. $\ln \left(\mathrm{e}^{5}\right)$

×

d. $\ln \left(5 \mathrm{e}^{5}\right)-\ln (5)$

L'expression $\ln (\sqrt{2})+\dfrac{1}{2} \ln (7)$ est égale à :

×

a. $\ln (\sqrt{14})$

×

b. $\dfrac{1}{2} \ln (14)$

×

c. $\dfrac{1}{2} \ln (9)$

×

d. $\ln (7)$

La dérivée de $f: x \mapsto \ln \left(2 x+\mathrm{e}^{-x}\right)$ sur l'intervalle $] 0~;~+\infty[$ est :

×

a. $\nobreakspace{f^{\prime}: x_{\mapsto} \dfrac{2-e^{-x}}{2 x+e^{-x}}}$

×

b. $\nobreakspace{f^{\prime}: x \mapsto \ln \left(2-\mathrm{e}^{-x}\right)}$

×

c. $\nobreakspace{f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{2+\mathrm{e}^{-x}}{2 x+\mathrm{e}^{-x}}}$

×

d. $\nobreakspace{f^{\prime}: x \mapsto \dfrac{2 \mathrm{e}^{x}-1}{2 x \mathrm{e}^{x}+1}}$

21

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathcal{D}_{f}$ par $f(x)=~\dfrac{\ln (x+1)}{x+1}$.

1. Déterminer l’ensemble de définition de $f$.


2. Calculer $f(\text{e} - 1)$.


3. Montrer que $f(3)=\ln (\sqrt{2})$


4. Étudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.


5. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$.

H

Pour $x > 0$ et $y > 0$, on a $\ln \left(x^2y \right)=\;$...

×

a. $2\ln(x)+\ln(y)$

b. $2 \left(\ln(x)+ \ln \left(\sqrt{y} \right) \right)$

×

c. $2 \left(\ln(x)+ \ln \left(\sqrt{y} \right) \right)$

d. $2 \left(\ln(x)+ \dfrac{1}{2}\ln \left(\sqrt{y} \right) \right)$

G

Parmi les fonctions $f$ suivantes laquelle correspond à cette représentation graphique ?

a. $f(x)=\ln \left(x^2+4x+5 \right)$
b. $f(x)=\ln \left(x^2+4x-5 \right)$
c. $f(x)=\ln \left(x^2-1 \right)$
d. $f(x)=\ln \left(x^2+1 \right)$

F

La fonction $f \colon x \mapsto \ln \left(x^2+1 \right)$ admet un minimum en $x=0$.

a. Vrai
b. Faux

E

Parmi les fonctions suivantes, laquelle est croissante sur son ensemble de définition ?

a. $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{2x} \right)$
b. $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{-2x} \right)$
c. $f(x)=\ln \left(x^2+1 \right)$
d. $f(x)=\ln \left(\sqrt{x^2} \right)$

C

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{5x+\ln \left(3x \right)}{2x}=\;$...

a. $5$
b. $+ \infty$
c. $\dfrac{5}{2}$
d. $0$

B

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} x^3\ln \left(5x^5 \right)=\;$...

a. $0$
b. $- \infty$
c. $\ln(5)$
d. $3\ln(5)$

A

La fonction $f \colon x \mapsto \ln \left(x^2+7x+20 \right)$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$.

a. Vrai
b. Faux

D

L’ensemble de définition de la fonction $f \colon x \mapsto \ln \left(\ln(x) \right)$ est :

a. $]\text{e} \: ;+\infty[$
b. $[\text{e} \: ;+\infty[$
c. $]1 \: ;+\infty[$
d. $]\text{e}^2 \: ;+\infty[$