1

Pour tout réel \boldsymbol{a \gt 0}, le logarithme népérien de \boldsymbol{a}, noté \boldsymbol{\ln(a)}, est l'unique solution réelle de l'équation \bold{e}\boldsymbol{^x = a}. Cela permet de :

✔ créer la fonction réciproque à la fonction exponentielle : la fonction logarithme népérien ;
✔ avoir une écriture de la solution à l'équation \text{e}^x = a et s'en servir dans la résolution de problème.

2

Pour tous réels a et b strictement positifs, \boldsymbol{\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)}, \boldsymbol{\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)}, \boldsymbol{\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln (a)}. Cela permet de :

✔ simplifier des calculs avec des logarithmes, en particulier avec des racines carrées ou des fractions ;
✔ résoudre des équations dans laquelle l'inconnue est en exposant.

3

La fonction dérivée de la fonction \boldsymbol{\ln} est la fonction inverse. De plus, si une fonction \boldsymbol{u} est strictement positive et dérivable sur un intervalle \text{I}, alors \boldsymbol{\ln (u)} est dérivable sur \bold{I} et \boldsymbol{[\ln (\boldsymbol{u})]^{\prime}}\boldsymbol{=\frac{\boldsymbol{u}^{\prime}}u}. Cela permet d' :

✔ étudier les fonctions de la forme \ln(u) ;
✔ étudier le signe des expressions de la forme \ln(u).

4

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \boldsymbol{] 0~;~+\infty[}. Cela permet de :

✔ résoudre des inéquations dans lesquelles l'inconnue est en exposant ;
✔ étudier le signe d'une expression dans laquelle il y a un logarithme ;
✔ étudier des variations de fonctions en utilisant les fonctions de référence.

5

La fonction logarithme népérien tend vers \boldsymbol{-\infty} en \boldsymbol{0} et vers \boldsymbol{+\infty} en \boldsymbol{+\infty}. Cela permet de :

✔ résoudre et interpréter des problèmes concrets liés aux limites ;
✔ étudier les limites de fonctions composées avec \ln.