Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Cours 3

Fonctions de la forme

Propriété
Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , . Alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction , définie sur , par .

Remarque

On pourra retenir que si , .
Démonstration
Voir p. 239.
Exemple
Pour tout , . Ainsi, la fonction définie sur par a pour dérivée la fonction définie, pour tout , par .
Propriété
Soit une fonction définie sur un intervalle . On suppose que u est strictement positive sur .
Alors la fonction a le même sens de variation que sur .
Démonstration
  • 1er cas : est croissante et strictement positive sur . Soient et tels que . étant croissante sur , on a . Or, la fonction logarithme est croissante sur donc . Donc la fonction est croissante sur .
  • 2e cas : est décroissante et strictement positive sur . Soient et tels que . étant décroissante sur , on a . Or, la fonction logarithme est croissante sur donc . Donc la fonction est décroissante sur .

Remarque

Lorsque est dérivable sur , on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de est le même que le signe de donc et ont les mêmes variations.
Application et méthode - 5
Énoncé
Étudier les variations de la fonction définie sur l'intervalle par .

Méthode

Pour étudier les variations d'une fonction de la forme  :
  • on commence par vérifier que la fonction est strictement positive sur  ;
  • on détermine la dérivée et on étudie son signe pour trouver les variations de .

Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de sur .
Solution
Pour tout , est strictement positif. est donc bien définie et dérivable sur . Pour tout , .
Or, pour tout , . Donc est du signe de qui est strictement négatif. Donc est strictement décroissante sur .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 251.

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