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3. Fonctions de la forme ln(u)
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COURS 3


3
Fonctions de la forme





Propriété

Soit une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , . Alors la fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction , définie sur , par .

Rappel

On pourra retenir que si , .

DÉMO

Voir activité
D
p. 239
.

Exemples

Pour tout , . Ainsi, la fonction définie sur par a pour dérivée la fonction définie, pour tout , par .

Propriété

Soit une fonction définie sur un intervalle . On suppose que u est strictement positive sur .
Alors la fonction a le même sens de variation que sur .

DÉMO

  • 1er cas : est croissante et strictement positive sur . Soient et tels que . étant croissante sur , on a . Or, la fonction logarithme est croissante sur donc . Donc la fonction est croissante sur .
  • 2e cas : est décroissante et strictement positive sur . Soient et tels que . étant décroissante sur , on a . Or, la fonction logarithme est croissante sur donc . Donc la fonction est décroissante sur .

Remarque

Lorsque est dérivable sur , on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de est le même que le signe de donc et ont les mêmes variations.

Application et méthode - 5

Énoncé

Étudier les variations de la fonction définie sur l’intervalle par .

Solution

Pour tout , est strictement positif. est donc bien définie et dérivable sur . Pour tout , .
Or, pour tout , . Donc est du signe de qui est strictement négatif. Donc est strictement décroissante sur .

Pour s'entraîner : exercices 50 et 51 p. 251.

Méthode

Pour étudier les variations d’une fonction de la forme  :
  • on commence par vérifier que la fonction est strictement positive sur  ;
  • on détermine la dérivée et on étudie son signe pour trouver les variations de .

Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de sur .

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