Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x∈I, u(x)>0. Alors la fonction x↦ln(u(x)) est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction (ln(u))′, définie sur I, par (ln(u))′(x)=u(x)u′(x).
Pour tout x∈R, x2+1>0. Ainsi, la fonction f définie sur R par f(x)=ln(x2+1) a pour dérivée la fonction f′ définie, pour tout x∈R, par f′(x)=x2+12x.
Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle I. On suppose que u est strictement positive sur I.
Alors la fonction x↦ln(u(x)) a le même sens de variation que u sur I.
DÉMO
1er cas : u est croissante et strictement positive sur I. Soient a∈I et b∈I tels que a<b. u étant croissante sur I, on a 0<u(a)⩽u(b). Or, la fonction logarithme est croissante sur ]0;+∞[ donc ln(u(a))⩽ln(u(b)). Donc la fonction x↦ln(u(x)) est croissante sur I.
2e cas : u est décroissante et strictement positive sur I. Soient a∈I et b∈I tels que a<b. u étant décroissante sur I, on a u(a)⩾u(b)>0. Or, la fonction logarithme est croissante sur ]0;+∞[ donc ln(u(a))>ln(u(b)). Donc la fonction x↦ln(u(x)) est décroissante sur I.
Remarque
Lorsque u est dérivable sur I, on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de [ln(u)]′ est le même que le signe de u′ donc ln(u) et u ont les mêmes variations.
Application et méthode - 5
Énoncé
Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle I=]0;+∞[ par f(x)=ln(e−x+2).
Solution
Pour tout x>0, e−x est strictement positif. f est donc bien définie et dérivable sur I. Pour tout x∈I, f′(x)=e−x+2−e−x.
Or, pour tout x∈I, e−x+2>0. Donc f′(x) est du signe de −e−x qui est strictement négatif. Donc f est strictement décroissante sur I.
Pour étudier les variations d’une fonction f de la forme ln(u) :
on commence par vérifier que la fonction u est strictement positive sur I ;
on détermine la dérivée f′ et on étudie son signe pour trouver les variations de f.
Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de u sur I.
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