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3. Fonctions de la forme ln(u)

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COURS 3

3
Fonctions de la forme $ln (u)$

Propriété

Soit

u

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x \in I

u (x) > 0

. Alors la fonction

x \mapsto ln (u (x))

est dérivable sur

I

et sa dérivée est la fonction

(ln (u))^{'}

, définie sur

I

, par

(ln (u))^{'} (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

Rappel

On pourra retenir que si

u > 0

[ln (u)]^{'} = \frac{u ^{'}}{u}

DÉMO

Voir activité

p. 239.

Exemples

Pour tout

x \in R

x^{2} + 1 > 0

. Ainsi, la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = ln (x^{2} + 1)

a pour dérivée la fonction

f^{'}

définie, pour tout

x \in R

, par

f^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}

Propriété

Soit

u

une fonction définie sur un intervalle

I

. On suppose que u est strictement positive sur

I

.
Alors la fonction

x \mapsto ln (u (x))

a le même sens de variation que

u

sur

I

DÉMO

1^er cas : $u$ est croissante et strictement positive sur $I$ . Soient $a \in I$ et $b \in I$ tels que $a < b$ . $u$ étant croissante sur $I$ , on a $0 < u (a) ⩽ u (b)$ . Or, la fonction logarithme est croissante sur $] 0; + \infty [$ donc $ln (u (a)) ⩽ ln (u (b))$ . Donc la fonction $x \mapsto ln (u (x))$ est croissante sur $I$ .
2^e cas : $u$ est décroissante et strictement positive sur $I$ . Soient $a \in I$ et $b \in I$ tels que $a < b$ . $u$ étant décroissante sur $I$ , on a $u (a) ⩾ u (b) > 0$ . Or, la fonction logarithme est croissante sur $] 0; + \infty [$ donc $ln (u (a)) > ln (u (b))$ . Donc la fonction $x \mapsto ln (u (x))$ est décroissante sur $I$ .

Remarque

Lorsque

u

est dérivable sur

I

, on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de

[ln (u)]^{'}

est le même que le signe de

u^{'}

donc

ln (u)

u

ont les mêmes variations.

Application et méthode - 5

Énoncé

Étudier les variations de la fonction

f

définie sur l’intervalle

I =] 0; + \infty [

par

f (x) = ln (e^{- x} + 2)

Solution

Pour tout

x > 0

e^{- x}

est strictement positif.

f

est donc bien définie et dérivable sur

I

. Pour tout

x \in I

f^{'} (x) = \frac{- e ^{- x}}{e ^{- x} + 2}

.
Or, pour tout

x \in I

e^{- x} + 2 > 0

. Donc

f^{'} (x)

est du signe de

- e^{- x}

qui est strictement négatif. Donc

f

est strictement décroissante sur

I

Pour s'entraîner : exercices 50 et 51 p. 251.

Méthode

Pour étudier les variations d’une fonction

f

de la forme

ln (u)

on commence par vérifier que la fonction $u$ est strictement positive sur $I$ ;
on détermine la dérivée $f^{'}$ et on étudie son signe pour trouver les variations de $f$ .

Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de

u

sur

I

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3Fonctions de la forme ln(u)

Rappel

DÉMO

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Remarque

Application et méthode - 5

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Méthode

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Fonctions de la forme $ln (u)$