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3. Fonctions de la forme ln(u)
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COURS 3


3
Fonctions de la forme ln(u)\ln(u)





Propriété

Soit uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, u(x)>0u(x)>0. Alors la fonction xln(u(x))x \mapsto \ln (u(x)) est dérivable sur I\text{I} et sa dérivée est la fonction (ln(u))(\ln (u))^{\prime}, définie sur I\text{I}, par (ln(u))(x)= u(x)u(x)(\ln (u))^{\prime}(x)=~\dfrac{u^{\prime}(x)}{u(x)}.

Rappel

On pourra retenir que si  u>0\nobreakspace{u \gt 0}, [ln(u)]=uu[\ln (u)]^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}{u}.

DÉMO

Voir activité
D
p. 239
.

Exemples

Pour tout xRx \in \mathbb{R},  x2+1>0\nobreakspace{x^2 + 1 \gt 0}. Ainsi, la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=ln(x2+1)f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) a pour dérivée la fonction ff^\prime définie, pour tout xRx \in \mathbb{R}, par f(x)=2xx2+1f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x}{x^{2}+1}.

Propriété

Soit uu une fonction définie sur un intervalle I\text{I}. On suppose que u est strictement positive sur I\text{I}.
Alors la fonction xln(u(x))x \mapsto \ln (u(x)) a le même sens de variation que uu sur I\text{I}.

DÉMO

  • 1er cas : uu est croissante et strictement positive sur I\text{I}. Soient aIa \in \text{I} et bIb \in \text{I} tels que a < ba~\lt~b. uu étant croissante sur I\text{I}, on a 0 < u(a)u(b)0~\lt~u(a) \leqslant u(b). Or, la fonction logarithme est croissante sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[ donc ln(u(a))ln(u(b))\ln (u(a)) \leqslant \ln (u(b)). Donc la fonction xln(u(x))x \mapsto \ln (u(x)) est croissante sur I\text{I}.
  • 2e cas : uu est décroissante et strictement positive sur I\text{I}. Soient aIa \in \text{I} et bIb \in \text{I} tels que a < ba~\lt~b. uu étant décroissante sur I\text{I}, on a u(a)u(b)>0u(a) \geqslant u(b)>0. Or, la fonction logarithme est croissante sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[ donc ln(u(a))>ln(u(b))\ln (u(a)) \gt \ln (u(b)). Donc la fonction  xln(u(x))\nobreakspace{x \mapsto \ln (u(x))} est décroissante sur I\text{I}.

Remarque

Lorsque uu\text{} est dérivable sur I\text{I}, on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de [ln(u)][\ln (u)]^{\prime} est le même que le signe de uu^\prime donc ln(u)\ln (u) et uu ont les mêmes variations.

Application et méthode - 5

Énoncé

Étudier les variations de la fonction ff définie sur l’intervalle I=]0;+[\mathrm{I}=] 0 ;+\infty[ par f(x)=ln(ex+2)f(x)=\ln \left(\text{e}^{-x}+2\right).

Solution

Pour tout  x>0\nobreakspace{x \gt 0}, ex\text{e}^{-x} est strictement positif. ff est donc bien définie et dérivable sur I\text{I}. Pour tout xIx \in \text{I}, f(x)=exex+2f^{\prime}(x)=\dfrac{-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x}+2}.
Or, pour tout xIx \in \text{I},  ex+2>0\nobreakspace{\text{e}^{-x}+2\gt 0}. Donc f(x)f^{\prime}(x) est du signe de ex-\text{e}^{-x} qui est strictement négatif. Donc ff est strictement décroissante sur I\text{I}.

Pour s'entraîner : exercices 50 et 51 p. 251.

Méthode

Pour étudier les variations d’une fonction ff de la forme ln(u)\ln(u) :
  • on commence par vérifier que la fonction uu est strictement positive sur I\text{I} ;
  • on détermine la dérivée ff^\prime et on étudie son signe pour trouver les variations de ff.

Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de uu sur I\text{I}.

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