Mathématiques Terminale Spécialité
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Chapitre 8
Cours 3
Fonctions de la forme \bm{\ln(u)}
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Propriété
Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} telle que, pour tout x \in \mathrm{I}, u(x)>0. Alors la fonction x \mapsto \ln (u(x)) est dérivable sur \text{I} et sa dérivée est la fonction (\ln (u))^{\prime}, définie sur \text{I}, par (\ln (u))^{\prime}(x)=~\frac{u^{\prime}(x)}{u(x)}.
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On pourra retenir que si \nobreakspace{u \gt 0}, [\ln (u)]^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}.
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Démonstration
Voir p. 239.
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Exemple
Pour tout x \in \mathbb{R}, \nobreakspace{x^2 + 1 \gt 0}. Ainsi, la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right) a pour dérivée la fonction f^\prime définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f^{\prime}(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}.
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Propriété
Soit u une fonction définie sur un intervalle \text{I}. On suppose que u est strictement positive sur \text{I}.
Alors la fonction x \mapsto \ln (u(x)) a le même sens de variation que u sur \text{I}.
Alors la fonction x \mapsto \ln (u(x)) a le même sens de variation que u sur \text{I}.
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Démonstration
- 1er cas : u est croissante et strictement positive sur \text{I}. Soient a \in \text{I} et b \in \text{I} tels que a~\lt~b. u étant croissante sur \text{I}, on a 0~\lt~u(a) \leqslant u(b). Or, la fonction logarithme est croissante sur ] 0 ~;~+\infty[ donc \ln (u(a)) \leqslant \ln (u(b)). Donc la fonction x \mapsto \ln (u(x)) est croissante sur \text{I}.
- 2e cas : u est décroissante et strictement positive sur \text{I}. Soient a \in \text{I} et b \in \text{I} tels que a~\lt~b. u étant décroissante sur \text{I}, on a u(a) \geqslant u(b)>0. Or, la fonction logarithme est croissante sur ] 0 ~;~+\infty[ donc \ln (u(a)) \gt \ln (u(b)). Donc la fonction \nobreakspace{x \mapsto \ln (u(x))} est décroissante sur \text{I}.
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Lorsque u\text{} est dérivable sur \text{I}, on peut également utiliser la propriété précédente en constatant que le signe de [\ln (u)]^{\prime} est le même que le signe de u^\prime donc \ln (u) et u ont les mêmes variations.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
Étudier les variations de la fonction f définie sur l'intervalle \mathrm{I}=] 0 ;+\infty[ par f(x)=\ln \left(\text{e}^{-x}+2\right).
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Pour étudier les variations d'une fonction f de la forme \ln(u) :
Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de u sur \text{I}.
- on commence par vérifier que la fonction u est strictement positive sur \text{I} ;
- on détermine la dérivée f^\prime et on étudie son signe pour trouver les variations de f.
Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de u sur \text{I}.
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Solution
Pour tout \nobreakspace{x \gt 0}, \text{e}^{-x} est strictement positif. f est donc bien définie et dérivable sur \text{I}. Pour tout x \in \text{I}, f^{\prime}(x)=\frac{-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{-x}+2}.
Or, pour tout x \in \text{I}, \nobreakspace{\text{e}^{-x}+2\gt 0}. Donc f^{\prime}(x) est du signe de -\text{e}^{-x} qui est strictement négatif. Donc f est strictement décroissante sur \text{I}.
Or, pour tout x \in \text{I}, \nobreakspace{\text{e}^{-x}+2\gt 0}. Donc f^{\prime}(x) est du signe de -\text{e}^{-x} qui est strictement négatif. Donc f est strictement décroissante sur \text{I}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 251.
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