Fonctions de la forme $\ln (\mathbf{u})$

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activité D

p. 239.

Pour tout $x\in \mathbb{R}$, $x^2+1>0$. Ainsi, la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln \left(x^2+1\right)$ a pour dérivée la fonction $f^{\prime }$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $\text{I}$. On suppose que u est strictement positive sur $\text{I}$.
Alors la fonction $x\mapsto \ln (u(x))$ a le même sens de variation que $u$ sur $\text{I}$.

Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\mathrm{I}=]0;+\infty [$ par $f(x)=\ln \left({\text{e}}^{-x}+2\right)$.

Pour étudier les variations d'une fonction $f$ de la forme $\ln (u)$ :

• on commence par vérifier que la fonction $u$ est strictement positive sur $\text{I}$ ;
• on détermine la dérivée $f^{\prime }$ et on étudie son signe pour trouver les variations de $f$.

Remarque : on peut, à la place, déterminer les variations de $u$ sur $\text{I}$.

Pour tout $x>0$, ${\text{e}}^{-x}$ est strictement positif. $f$ est donc bien définie et dérivable sur $\text{I}$. Pour tout $x\in \text{I}$, $f^{\prime }(x)=\frac{-{\text{e}}^{-x}}{{\text{e}}^{-x}+2}$.
Or, pour tout $x\in \text{I}$, ${\text{e}}^{-x}+2>0$. Donc $f^{\prime }(x)$ est du signe de $-{\text{e}}^{-x}$ qui est strictement négatif. Donc $f$ est strictement décroissante sur $\text{I}$.

Exercices

50

et

51

p. 251.