Pour tous réels a et b strictement positifs, on a ln(a×b)=ln(a)+ln(b).
Remarque
La relation fonctionnelle de la fonction exp est : pour tous réels a et b, ea+b=ea×eb.
DÉMONSTRATION
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. On a, d’une part, eln(a×b)=a×b d'après la définition du logarithme de a×b. D'autre part, eln(a)+ln(b)=eln(a)×eln(b)=a×b d'après la définition du logarithme de a et b et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et puisque exp(ln(a×b))=exp(ln(a)+ln(b)) alors ln(a×b)=ln(a)+ln(b).
On décompose 45 et 9 sous forme d’un produit d’entiers positifs pour appliquer à deux reprises la relation fonctionnelle.
B
Conséquences de la relation fonctionnelle
Propriétés
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier naturel n.
1. ln(a1)=−ln(a)
2. ln(ba)=ln(a)−ln(b)
3. ln(an)=nln(a)
4. ln(a−n)=−nln(a)
5. ln(a)−21ln(a)
Remarque
Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout n∈Z, ln(an)=nln(a).
DÉMONSTRATION
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et soit n un entier naturel. 1. ln(a1)+ln(a)=ln(a1×a)=ln(1)=0 donc ln(a1)=−ln(a).
2. ln(ba)=ln(a×b1)=ln(a)+ln(b1)=ln(a)−ln(b) 3. Soit a∈]0;+∞[.
Pour tout n∈N, on note Pn la proposition ln(an)=nln(a). On souhaite démontrer que Pn est vraie pour tout n∈N, en raisonnant par récurrence.
Pour n=0 : ln(a0)=ln(1)=0=0×ln(a) dont P0 est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que Pk est vraie, autrement dit tel que ln(ak)=kln(a). On souhaite démontrer que Pk+1 est vraie, autrement dit que ln(ak+1)=(k+1)ln(a). ln(ak+1)=ln(ak×a)=ln(ak)+ln(a). Par hypothèse de récurrence, on a alors ln(ak+1)=kln(a)+ln(a) donc ln(ak+1)=(k+1)ln(a).
Ainsi, P0 est vraie et, pour tout entier naturel k, si Pk est vraie, alors Pk+1 est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n∈N, Pnest vraie donc ln(an)=nln(a) pour tout n∈N. 4. ln(a−n)=ln(an1)=−ln(an)=−nln(a) 5. ln(a)=21×2×ln(a)=21ln((a)2)=21ln(a)
Exemples
ln(0,5)=ln(21)=−ln(2) ln(25)=ln(5)−ln(2)
Pour tout x>0, ln(x4)=4ln(x)
ln(343)=ln(73)=3ln(7) ln(3)=21ln(3)
Pour tout x>0, ln(2x)=21ln(x)+ln(2).
Application et méthode - 4
Énoncé
Résoudre dans R puis dans N l’inéquation 2n>70 d’inconnue n.
Solution
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+∞[, donc 2n>70⇔ln(2n)>ln(70)⇔nln(2)>ln(70) soit n>ln(2)ln70 car ln(2)>0.
Dans R, l'ensemble des solutions est ]ln(2)ln(70);+∞[ alors que dans N, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car ln(2)ln(70)≈6,13.
On transforme l’inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+∞[).
On utilise une propriété de la fonction ln pour avoir accès à l’inconnue en dehors de l’exposant.
On résout l’inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l’inégalité si l’on divise par un nombre négatif, c’est à dire si l’on divise par le logarithme d’un nombre appartenant à l’intervalle ]0;1[.
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