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2. Propriétés algébriques du logarithme
P.243-244

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COURS 2


2
Propriétés algébriques du logarithme




A
Relation fonctionnelle


Propriété

Pour tous réels et strictement positifs, on a .

Remarque

La relation fonctionnelle de la fonction est : pour tous réels et , .

DÉMONSTRATION

Soient et deux nombres réels strictement positifs. On a, d’une part, d'après la définition du logarithme de . D'autre part, d'après la définition du logarithme de et et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur et puisque alors .

Remarque

Cette démonstration est traitée dans l’activité
C
p. 239
.

Exemples


Application et méthode - 3

Énoncé

Montrer que .

Solution



Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 250

Méthode

On décompose et sous forme d’un produit d’entiers positifs pour appliquer à deux reprises la relation fonctionnelle.

B
Conséquences de la relation fonctionnelle


Propriétés

Pour tous réels et strictement positifs et pour tout entier naturel .

1.

2.

3.

4.

5.

Remarque

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout , .

DÉMONSTRATION

Soient et deux nombres réels strictement positifs et soit un entier naturel.
1. donc .
2.
3. Soit .
Pour tout , on note la proposition . On souhaite démontrer que est vraie pour tout , en raisonnant par récurrence.
Pour  : dont est vraie.
On considère un entier naturel quelconque tel que est vraie, autrement dit tel que . On souhaite démontrer que est vraie, autrement dit que .
. Par hypothèse de récurrence, on a alors donc .
Ainsi, est vraie et, pour tout entier naturel , si est vraie, alors est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout , est vraie donc pour tout .
4.
5.

Exemples



Pour tout ,



Pour tout , .

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans puis dans l’inéquation d’inconnue .

Solution

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur , donc soit car .
Dans , l'ensemble des solutions est alors que dans , l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car .

Pour s'entraîner : exercice 47 et 48 p. 251

Méthode

  • On transforme l’inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur .
  • On utilise une propriété de la fonction pour avoir accès à l’inconnue en dehors de l’exposant.
  • On résout l’inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l’inégalité si l’on divise par un nombre négatif, c’est à dire si l’on divise par le logarithme d’un nombre appartenant à l’intervalle .


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