Propriétés algébriques du logarithme

\ln (42)\,=~\ln (6 \times 7)=~\ln (6)+\ln (7)
\ln (80)=~\ln (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5)=~\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=~4 \ln (2)+\ln (5)

\ln (45)=~\ln (9 \times 5)=~\ln (9)+\ln (5)=\ln (3 \times 3)+\ln (5)=~2 \ln (3)+\ln (5)

Exercices

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et

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p. 250

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout n \in \mathbb{Z}, \ln \left(a^{n}\right)=~n \ln (a).

Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et soit n un entier naturel.
1. \ln \left(\frac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a} \times a\right)=\ln (1)=0 donc \ln \left(\frac{1}{a}\right)=~-\ln (a).
2. \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a \times \frac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\frac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)
3. Soit a \in] 0 ;+\infty[.
Pour tout n \in \mathbb{N}, on note \text{P}_n la proposition \ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a). On souhaite démontrer que \text{P}_n est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, en raisonnant par récurrence.
Pour n=0 : \ln \left(a^{0}\right)=\ln (1)=0=0 \times \ln (a) dont \text{P}_{0} est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que \text{P}_k est vraie, autrement dit tel que \ln \left(a^{k}\right)=k \ln (a). On souhaite démontrer que \text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que \ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^{k} \times a\right)=\ln \left(a^{k}\right)+\ln (a). Par hypothèse de récurrence, on a alors \ln \left(a^{k+1}\right)=k \ln (a)+\ln (a) donc \ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
Ainsi, \text{P}_0 est vraie et, pour tout entier naturel k, si \text{P}_k est vraie, alors \text{P}_{k+1} est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{P}_nest vraie donc \ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a) pour tout n \in \mathbb{N}.
4. \ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\frac{1}{a^{n}}\right)=~-\ln \left(a^{n}\right)=-n \ln (a)
5. \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \times 2 \times \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln \left((\sqrt{a})^{2}\right)=\frac{1}{2} \ln (a)

Résoudre dans \mathbb{R} puis dans \mathbb{N} l'inéquation 2^n~\gt~70 d'inconnue n.

• On transforme l'inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur ] 0 ;+\infty[).
• On utilise une propriété de la fonction \ln pour avoir accès à l'inconnue en dehors de l'exposant.
• On résout l'inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif, c'est à dire si l'on divise par le logarithme d'un nombre appartenant à l'intervalle ]0~;~1[.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ;+\infty[, donc 2^{n}>70 \Leftrightarrow \ln \left(2^{n}\right)>\ln (70) \Leftrightarrow n \ln (2)>\ln (70) soit n>\frac{\ln 70}{\ln (2)} car \ln (2)>0. Dans \mathbb{R}, l'ensemble des solutions est \left] \frac{\ln (70)}{\ln (2)} ;+ \infty \right[ alors que dans \mathbb{N}, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car \nobreakspace{\frac{\ln (70)}{\ln (2)}\approx6,13}.

Exercices

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et

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p. 251