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Propriétés algébriques du logarithme

La relation fonctionnelle de la fonction $\text{exp}$ est : pour tous réels $a$ et $b$, $\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}$.

DÉMONSTRATION

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. On a, d’une part, $\mathrm{e}^{\ln (a \times b)}=a \times b$ d'après la définition du logarithme de $a \times b$. D'autre part, $\mathrm{e}^{\ln (a)+\ln (b)}=\mathrm{e}^{\ln (a)} \times \mathrm{e}^{\ln (b)}=a \times b$ d'après la définition du logarithme de $a$ et $b$ et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et puisque $\exp (\ln (a \times b))\,=~\exp (\ln (a)+\ln (b))$ alors $\ln (a \times b)=\ln (a)+\ln (b)$.

Cette démonstration est traitée dans l’activité

C

p. 239.

Exemples

$\ln (42)\,=~\ln (6 \times 7)=~\ln (6)+\ln (7)$
$\ln (80)=~\ln (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5)=~\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=~4 \ln (2)+\ln (5)$

Montrer que $\ln (45)=2 \ln (3)+\ln (5)$.

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $\ln \left(a^{n}\right)=~n \ln (a)$.

DÉMONSTRATION

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et soit $n$ un entier naturel.
1. $\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\dfrac{1}{a} \times a\right)=\ln (1)=0$ donc $\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=~-\ln (a)$.
2. $\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln \left(a \times \dfrac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$
3. Soit $a \in] 0 ;+\infty[$.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on note $\text{P}_n$ la proposition $\ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a)$. On souhaite démontrer que $\text{P}_n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$, en raisonnant par récurrence.
Pour $n=0$ : $\ln \left(a^{0}\right)=\ln (1)=0=0 \times \ln (a)$ dont $\text{P}_{0}$ est vraie.
On considère un entier naturel $k$ quelconque tel que $\text{P}_k$ est vraie, autrement dit tel que $\ln \left(a^{k}\right)=k \ln (a)$. On souhaite démontrer que $\text{P}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a)$.
$\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^{k} \times a\right)=\ln \left(a^{k}\right)+\ln (a)$. Par hypothèse de récurrence, on a alors $\ln \left(a^{k+1}\right)=k \ln (a)+\ln (a)$ donc $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a)$.
Ainsi, $\text{P}_0$ est vraie et, pour tout entier naturel $k$, si $\text{P}_k$ est vraie, alors $\text{P}_{k+1}$ est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\text{P}_n$est vraie donc $\ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
4. $\ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\dfrac{1}{a^{n}}\right)=~-\ln \left(a^{n}\right)=-n \ln (a)$
5. $\ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \ln \left((\sqrt{a})^{2}\right)=\dfrac{1}{2} \ln (a)$

Exemples

$\ln (0,5)=\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln (2)$
$\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)=\ln (5)-\ln (2)$
Pour tout $x~\gt~0$, $\ln \left(x^{4}\right)=~4 \ln (x)$

$\ln (343)=\ln \left(7^{3}\right)=3 \ln (7)$
$\ln (\sqrt{3})=\dfrac{1}{2} \ln (3)$
Pour tout $x~\gt~0$, $\ln (2 \sqrt{x})=~\dfrac{1}{2} \ln (x)+\ln (2)$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathbb{N}$ l’inéquation $2^n~\gt~70$ d’inconnue $n$.