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Propriétés algébriques du logarithme

La relation fonctionnelle de la fonction $\text{exp}$ est : pour tous réels $a$ et $b$, ${\mathrm{e}}^{a+b}={\mathrm{e}}^a\times {\mathrm{e}}^b$.

DÉMONSTRATION

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs. On a, d’une part, ${\mathrm{e}}^{\ln (a\times b)}=a\times b$ d'après la définition du logarithme de $a\times b$. D'autre part, ${\mathrm{e}}^{\ln (a)+\ln (b)}={\mathrm{e}}^{\ln (a)}\times {\mathrm{e}}^{\ln (b)}=a\times b$ d'après la définition du logarithme de $a$ et $b$ et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et puisque $\exp (\ln (a\times b))=\exp (\ln (a)+\ln (b))$ alors $\ln (a\times b)=\ln (a)+\ln (b)$.

Cette démonstration est traitée dans l’activité

C

p. 239.

Exemples

$\ln (42)=\ln (6\times 7)=\ln (6)+\ln (7)$
$\ln (80)=\ln (2\times 2\times 2\times 2\times 5)=\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=4\ln (2)+\ln (5)$

Montrer que $\ln (45)=2\ln (3)+\ln (5)$.

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$.

DÉMONSTRATION

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et soit $n$ un entier naturel.
1. $\ln \left(\frac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\times a\right)=\ln (1)=0$ donc $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln (a)$.
2. $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a\times \frac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\frac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$
3. Soit $a\in ]0;+\infty [$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note ${\text{P}}_n$ la proposition $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$. On souhaite démontrer que ${\text{P}}_n$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$, en raisonnant par récurrence.
Pour $n=0$ : $\ln \left(a^0\right)=\ln (1)=0=0\times \ln (a)$ dont ${\text{P}}_0$ est vraie.
On considère un entier naturel $k$ quelconque tel que ${\text{P}}_k$ est vraie, autrement dit tel que $\ln \left(a^k\right)=k\ln (a)$. On souhaite démontrer que ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1)\ln (a)$.
$\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^k\times a\right)=\ln \left(a^k\right)+\ln (a)$. Par hypothèse de récurrence, on a alors $\ln \left(a^{k+1}\right)=k\ln (a)+\ln (a)$ donc $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1)\ln (a)$.
Ainsi, ${\text{P}}_0$ est vraie et, pour tout entier naturel $k$, si ${\text{P}}_k$ est vraie, alors ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{P}}_n$est vraie donc $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. $\ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\frac{1}{a^n}\right)=-\ln \left(a^n\right)=-n\ln (a)$
5. $\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\times 2\times \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln \left((\sqrt{a}{)}^2\right)=\frac{1}{2}\ln (a)$

Exemples

$\ln (0,5)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)$
$\ln \left(\frac{5}{2}\right)=\ln (5)-\ln (2)$
Pour tout $x>0$, $\ln \left(x^4\right)=4\ln (x)$

$\ln (343)=\ln \left(7^3\right)=3\ln (7)$
$\ln (\sqrt{3})=\frac{1}{2}\ln (3)$
Pour tout $x>0$, $\ln (2\sqrt{x})=\frac{1}{2}\ln (x)+\ln (2)$.

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathbb{N}$ l’inéquation $2^n>70$ d’inconnue $n$.