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2. Propriétés algébriques du logarithme
P.243-244

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COURS 2


2
Propriétés algébriques du logarithme




A
Relation fonctionnelle


Propriété

Pour tous réels aa et bb strictement positifs, on a ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln (a \times b)=\ln (a)+\ln (b).

Remarque

La relation fonctionnelle de la fonction exp\text{exp} est : pour tous réels aa et bb, ea+b=ea×eb\mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}.

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs. On a, d’une part, eln(a×b)=a×b\mathrm{e}^{\ln (a \times b)}=a \times b d'après la définition du logarithme de a×ba \times b. D'autre part, eln(a)+ln(b)=eln(a)×eln(b)=a×b\mathrm{e}^{\ln (a)+\ln (b)}=\mathrm{e}^{\ln (a)} \times \mathrm{e}^{\ln (b)}=a \times b d'après la définition du logarithme de aa et bb et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur R\mathbb{R} et puisque exp(ln(a×b))= exp(ln(a)+ln(b))\exp (\ln (a \times b))\,=~\exp (\ln (a)+\ln (b)) alors ln(a×b)=ln(a)+ln(b)\ln (a \times b)=\ln (a)+\ln (b).

Remarque

Cette démonstration est traitée dans l’activité
C
p. 239
.

Exemples

ln(42)= ln(6×7)= ln(6)+ln(7)\ln (42)\,=~\ln (6 \times 7)=~\ln (6)+\ln (7)
ln(80)= ln(2×2×2×2×5)= ln(2)+ln(2)+ln(2)+ln(2)+ln(5)= 4ln(2)+ln(5)\ln (80)=~\ln (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5)=~\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=~4 \ln (2)+\ln (5)

Application et méthode - 3

Énoncé

Montrer que ln(45)=2ln(3)+ln(5)\ln (45)=2 \ln (3)+\ln (5).

Solution

ln(45)= ln(9×5)= ln(9)+ln(5)=ln(3×3)+ln(5)= 2ln(3)+ln(5)\ln (45)=~\ln (9 \times 5)=~\ln (9)+\ln (5)=\ln (3 \times 3)+\ln (5)=~2 \ln (3)+\ln (5)

Pour s'entraîner : exercices 38 et 39 p. 250

Méthode

On décompose 4545 et 99 sous forme d’un produit d’entiers positifs pour appliquer à deux reprises la relation fonctionnelle.

B
Conséquences de la relation fonctionnelle


Propriétés

Pour tous réels aa et bb strictement positifs et pour tout entier naturel nn.

1. ln(1a)=ln(a)\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln (a)

2. ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)

3. ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a)

4. ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{-n}\right)=-n \ln (a)

5. ln(a)12ln(a)\ln (\sqrt{a})-\dfrac{1}{2} \ln (a)

Remarque

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout nZn \in \mathbb{Z}, ln(an)= nln(a)\ln \left(a^{n}\right)=~n \ln (a).

DÉMONSTRATION

Soient aa et bb deux nombres réels strictement positifs et soit nn un entier naturel.
1. ln(1a)+ln(a)=ln(1a×a)=ln(1)=0\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\dfrac{1}{a} \times a\right)=\ln (1)=0 donc ln(1a)= ln(a)\ln \left(\dfrac{1}{a}\right)=~-\ln (a).
2. ln(ab)=ln(a×1b)=ln(a)+ln(1b)=ln(a)ln(b)\ln \left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln \left(a \times \dfrac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\dfrac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)
3. Soit a]0;+[a \in] 0 ;+\infty[.
Pour tout nNn \in \mathbb{N}, on note Pn\text{P}_n la proposition ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a). On souhaite démontrer que Pn\text{P}_n est vraie pour tout nNn \in \mathbb{N}, en raisonnant par récurrence.
Pour n=0n=0 : ln(a0)=ln(1)=0=0×ln(a)\ln \left(a^{0}\right)=\ln (1)=0=0 \times \ln (a) dont P0\text{P}_{0} est vraie.
On considère un entier naturel kk quelconque tel que Pk\text{P}_k est vraie, autrement dit tel que ln(ak)=kln(a)\ln \left(a^{k}\right)=k \ln (a). On souhaite démontrer que Pk+1\text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que ln(ak+1)=(k+1)ln(a)\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
ln(ak+1)=ln(ak×a)=ln(ak)+ln(a)\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^{k} \times a\right)=\ln \left(a^{k}\right)+\ln (a). Par hypothèse de récurrence, on a alors ln(ak+1)=kln(a)+ln(a)\ln \left(a^{k+1}\right)=k \ln (a)+\ln (a) donc ln(ak+1)=(k+1)ln(a)\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
Ainsi, P0\text{P}_0 est vraie et, pour tout entier naturel kk, si Pk\text{P}_k est vraie, alors Pk+1\text{P}_{k+1} est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout nNn \in \mathbb{N}, Pn\text{P}_nest vraie donc ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a) pour tout nNn \in \mathbb{N}.
4. ln(an)=ln(1an)= ln(an)=nln(a)\ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\dfrac{1}{a^{n}}\right)=~-\ln \left(a^{n}\right)=-n \ln (a)
5. ln(a)=12×2×ln(a)=12ln((a)2)=12ln(a)\ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \times 2 \times \ln (\sqrt{a})=\dfrac{1}{2} \ln \left((\sqrt{a})^{2}\right)=\dfrac{1}{2} \ln (a)

Exemples

ln(0,5)=ln(12)=ln(2)\ln (0,5)=\ln \left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln (2)
ln(52)=ln(5)ln(2)\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)=\ln (5)-\ln (2)
Pour tout x > 0x~\gt~0, ln(x4)= 4ln(x)\ln \left(x^{4}\right)=~4 \ln (x)

ln(343)=ln(73)=3ln(7)\ln (343)=\ln \left(7^{3}\right)=3 \ln (7)
ln(3)=12ln(3)\ln (\sqrt{3})=\dfrac{1}{2} \ln (3)
Pour tout x > 0x~\gt~0, ln(2x)= 12ln(x)+ln(2)\ln (2 \sqrt{x})=~\dfrac{1}{2} \ln (x)+\ln (2).

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre dans R\mathbb{R} puis dans N\mathbb{N} l’inéquation 2n > 702^n~\gt~70 d’inconnue nn.

Solution

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0;+[] 0 ;+\infty[, donc 2n>70ln(2n)>ln(70)nln(2)>ln(70)2^{n}>70 \Leftrightarrow \ln \left(2^{n}\right)>\ln (70) \Leftrightarrow n \ln (2)>\ln (70) soit n>ln70ln(2)n>\dfrac{\ln 70}{\ln (2)} car ln(2)>0\ln (2)>0.
Dans R\mathbb{R}, l'ensemble des solutions est ]ln(70)ln(2);+[\left] \dfrac{\ln (70)}{\ln (2)} ;+ \infty \right[ alors que dans N\mathbb{N}, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car  ln(70)ln(2)6,13\nobreakspace{\dfrac{\ln (70)}{\ln (2)}\approx6,13}.

Pour s'entraîner : exercice 47 et 48 p. 251

Méthode

  • On transforme l’inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur ]0;+[)] 0 ;+\infty[).
  • On utilise une propriété de la fonction ln\ln pour avoir accès à l’inconnue en dehors de l’exposant.
  • On résout l’inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l’inégalité si l’on divise par un nombre négatif, c’est à dire si l’on divise par le logarithme d’un nombre appartenant à l’intervalle ]0 ; 1[]0~;~1[.


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