Mathématiques Terminale Spécialité

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Cours 2

Propriétés algébriques du logarithme

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A
Relation fonctionnelle

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Propriété
Pour tous réels a et b strictement positifs, on a \ln (a \times b)=\ln (a)+\ln (b).
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Rappel

La relation fonctionnelle de la fonction \text{exp} est : pour tous réels a et b, \mathrm{e}^{a+b}=\mathrm{e}^{a} \times \mathrm{e}^{b}.
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Démonstration
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs. On a, d'une part, \mathrm{e}^{\ln (a \times b)}=a \times b d'après la définition du logarithme de a \times b. D'autre part, \mathrm{e}^{\ln (a)+\ln (b)}=\mathrm{e}^{\ln (a)} \times \mathrm{e}^{\ln (b)}=a \times b d'après la définition du logarithme de a et b et les propriétés de l'exponentielle.
Or, la fonction exponentielle est strictement croissante sur \mathbb{R} et puisque \exp (\ln (a \times b))\,=~\exp (\ln (a)+\ln (b)) alors \ln (a \times b)=\ln (a)+\ln (b).
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Remarque

Cette démonstration est traitée dans l' p. 239.
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Exemples
\ln (42)\,=~\ln (6 \times 7)=~\ln (6)+\ln (7)
\ln (80)=~\ln (2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5)=~\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=~4 \ln (2)+\ln (5)
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Application et méthode - 3
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Énoncé
Montrer que \ln (45)=2 \ln (3)+\ln (5).
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Méthode

On décompose 45 et 9 sous forme d'un produit d'entiers positifs pour appliquer à deux reprises la relation fonctionnelle.
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Solution
\ln (45)=~\ln (9 \times 5)=~\ln (9)+\ln (5)=\ln (3 \times 3)+\ln (5)=~2 \ln (3)+\ln (5)

Pour s'entraîner
Exercices et p. 250
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B
Conséquences de la relation fonctionnelle

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Propriétés
Pour tous réels a et b strictement positifs et pour tout entier naturel n.

1. \ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln (a)

2. \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)

3. \ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a)

4. \ln \left(a^{-n}\right)=-n \ln (a)

5. \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln (a)
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Remarque

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout n \in \mathbb{Z}, \ln \left(a^{n}\right)=~n \ln (a).
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Démonstration
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs et soit n un entier naturel.
1. \ln \left(\frac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a} \times a\right)=\ln (1)=0 donc \ln \left(\frac{1}{a}\right)=~-\ln (a).
2. \ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a \times \frac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\frac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)
3. Soit a \in] 0 ;+\infty[.
Pour tout n \in \mathbb{N}, on note \text{P}_n la proposition \ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a). On souhaite démontrer que \text{P}_n est vraie pour tout n \in \mathbb{N}, en raisonnant par récurrence.
Pour n=0 : \ln \left(a^{0}\right)=\ln (1)=0=0 \times \ln (a) dont \text{P}_{0} est vraie.
On considère un entier naturel k quelconque tel que \text{P}_k est vraie, autrement dit tel que \ln \left(a^{k}\right)=k \ln (a). On souhaite démontrer que \text{P}_{k+1} est vraie, autrement dit que \ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^{k} \times a\right)=\ln \left(a^{k}\right)+\ln (a). Par hypothèse de récurrence, on a alors \ln \left(a^{k+1}\right)=k \ln (a)+\ln (a) donc \ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1) \ln (a).
Ainsi, \text{P}_0 est vraie et, pour tout entier naturel k, si \text{P}_k est vraie, alors \text{P}_{k+1} est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout n \in \mathbb{N}, \text{P}_nest vraie donc \ln \left(a^{n}\right)=n \ln (a) pour tout n \in \mathbb{N}.
4. \ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\frac{1}{a^{n}}\right)=~-\ln \left(a^{n}\right)=-n \ln (a)
5. \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \times 2 \times \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2} \ln \left((\sqrt{a})^{2}\right)=\frac{1}{2} \ln (a)
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Exemples
\ln (0,5)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln (2)
\ln \left(\frac{5}{2}\right)=\ln (5)-\ln (2)
Pour tout x~\gt~0, \ln \left(x^{4}\right)=~4 \ln (x)

\ln (343)=\ln \left(7^{3}\right)=3 \ln (7)
\ln (\sqrt{3})=\frac{1}{2} \ln (3)
Pour tout x~\gt~0, \ln (2 \sqrt{x})=~\frac{1}{2} \ln (x)+\ln (2).
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Résoudre dans \mathbb{R} puis dans \mathbb{N} l'inéquation 2^n~\gt~70 d'inconnue n.
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Méthode

  • On transforme l'inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur ] 0 ;+\infty[).
  • On utilise une propriété de la fonction \ln pour avoir accès à l'inconnue en dehors de l'exposant.
  • On résout l'inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif, c'est à dire si l'on divise par le logarithme d'un nombre appartenant à l'intervalle ]0~;~1[.

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Solution
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ] 0 ;+\infty[, donc 2^{n}>70 \Leftrightarrow \ln \left(2^{n}\right)>\ln (70) \Leftrightarrow n \ln (2)>\ln (70) soit n>\frac{\ln 70}{\ln (2)} car \ln (2)>0. Dans \mathbb{R}, l'ensemble des solutions est \left] \frac{\ln (70)}{\ln (2)} ;+ \infty \right[ alors que dans \mathbb{N}, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car \nobreakspace{\frac{\ln (70)}{\ln (2)}\approx6,13}.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 251

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