Propriétés algébriques du logarithme

$\ln (42)=\ln (6\times 7)=\ln (6)+\ln (7)$
$\ln (80)=\ln (2\times 2\times 2\times 2\times 5)=\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (2)+\ln (5)=4\ln (2)+\ln (5)$

$\ln (45)=\ln (9\times 5)=\ln (9)+\ln (5)=\ln (3\times 3)+\ln (5)=2\ln (3)+\ln (5)$

Exercices

38

et

39

p. 250

Les propriétés 3. et 4. se résument ainsi : pour tout $n\in \mathbb{Z}$, $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et soit $n$ un entier naturel.
1. $\ln \left(\frac{1}{a}\right)+\ln (a)=\ln \left(\frac{1}{a}\times a\right)=\ln (1)=0$ donc $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln (a)$.
2. $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln \left(a\times \frac{1}{b}\right)=\ln (a)+\ln \left(\frac{1}{b}\right)=\ln (a)-\ln (b)$
3. Soit $a\in ]0;+\infty [$.
Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on note ${\text{P}}_n$ la proposition $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$. On souhaite démontrer que ${\text{P}}_n$ est vraie pour tout $n\in \mathbb{N}$, en raisonnant par récurrence.
Pour $n=0$ : $\ln \left(a^0\right)=\ln (1)=0=0\times \ln (a)$ dont ${\text{P}}_0$ est vraie.
On considère un entier naturel $k$ quelconque tel que ${\text{P}}_k$ est vraie, autrement dit tel que $\ln \left(a^k\right)=k\ln (a)$. On souhaite démontrer que ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie, autrement dit que $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1)\ln (a)$.
$\ln \left(a^{k+1}\right)=\ln \left(a^k\times a\right)=\ln \left(a^k\right)+\ln (a)$. Par hypothèse de récurrence, on a alors $\ln \left(a^{k+1}\right)=k\ln (a)+\ln (a)$ donc $\ln \left(a^{k+1}\right)=(k+1)\ln (a)$.
Ainsi, ${\text{P}}_0$ est vraie et, pour tout entier naturel $k$, si ${\text{P}}_k$ est vraie, alors ${\text{P}}_{k+1}$ est vraie aussi. Par le principe de récurrence, on en déduit que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\text{P}}_n$est vraie donc $\ln \left(a^n\right)=n\ln (a)$ pour tout $n\in \mathbb{N}$.
4. $\ln \left(a^{-n}\right)=\ln \left(\frac{1}{a^n}\right)=-\ln \left(a^n\right)=-n\ln (a)$
5. $\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\times 2\times \ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln \left((\sqrt{a}{)}^2\right)=\frac{1}{2}\ln (a)$

Résoudre dans $\mathbb{R}$ puis dans $\mathbb{N}$ l'inéquation $2^n>70$ d'inconnue $n$.

• On transforme l'inéquation en composant avec le logarithme népérien dans chacun des deux membres (en se rappelant que la fonction logarithme est strictement croissante sur $]0;+\infty [)$.
• On utilise une propriété de la fonction $\ln$ pour avoir accès à l'inconnue en dehors de l'exposant.
• On résout l'inéquation obtenue en veillant à changer le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif, c'est à dire si l'on divise par le logarithme d'un nombre appartenant à l'intervalle $]0;1[$.

La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur $]0;+\infty [$, donc $2^n>70\iff \ln \left(2^n\right)>\ln (70)\iff n\ln (2)>\ln (70)$ soit $n>\frac{\ln 70}{\ln (2)}$ car $\ln (2)>0$. Dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des solutions est $\left]\frac{\ln (70)}{\ln (2)};+\infty \right[$ alors que dans $\mathbb{N}$, l'ensemble des solutions est l'ensemble des entiers naturels supérieurs ou égux à 7 car $\frac{\ln (70)}{\ln (2)}\approx 6,13$.

Exercices

47

et

48

p. 251