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Propriétés algébriques du logarithme

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de $\ln(3)$.

1. $\ln (\mathrm{e} \sqrt{3})$


2. $\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{3^{3}}\right)$


3. $\ln \left(3^{3} \mathrm{e}\right)$


4. $\ln \left(3 \mathrm{e}^{3}\right)$

Simplifier l’expression suivante :
$\mathrm{A}=\ln (49)+\ln (21)-\ln (3 \sqrt{7})$.

Écrire le plus simplement possible l’expression suivante :

$\mathrm{B}=\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}+1}\right)+\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}+1}{\mathrm{e}+2}\right)-\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}+2}\right)$.

76

[Calculer.] ◉◉◉
Montrer que $\ln (56)-\ln (7)-\ln (4)=\ln (2)$.

77

[Chercher.]
1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de $\ln(2)$ et de $\ln(7)$ au dixième près.


2. Soit $a$ un entier naturel strictement positif.
En utilisant la question précédente, déterminer un encadrement des nombres suivants :
$\ln \left(2^{a}\right)$, $\ln (14 a)$, $\ln \left(\dfrac{7}{2 a}\right)$ et $\ln \left(\dfrac{1}{49}\right)$.

78

[Calculer.]
Montrer que $\ln (\sqrt{216})=~\dfrac{3}{2} \ln (6)$

79

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout $x \in] 1~;~+\infty[~:$
$\ln \left(x^{2}-1\right)-\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)=~\ln \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)$.

80

VRAI / FAUX

[Raisonner.] ◉◉◉
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, en donner une preuve et si elle est fausse, donner un contre‑exemple.

1. Pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, $\ln \left(x^{2}+x\right)=~\ln (x)+\ln (x+1)$.


2. Pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, $\ln \left(x^{2}+x\right)=~2 \ln (x)+\ln (\sqrt{x})$.


3. Pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, $\ln \left(x^{2}+x^{3}\right)=~2 \ln (x)+\ln (x+1)$.


4. Pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$ et pour tout $k \in \mathbb{Z}$, $\ln \left(x^{k}+x^{k+1}\right)=~k \ln (x)+(k+1) \ln (x+1)$

81

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, trouver quatre nombres entiers naturels $a$, $b$, $m$, et $n$, où $a$ et $b$ sont les plus petits possibles, tels que $\ln (x)=n \ln (a)+m \ln (b)$.

1. $x=18$


2. $x=108$


3. $x=441$

82

[Raisonner.]
Pour tout entier naturel non nul $n$, démontrer que :
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln \left(2^{k}\right)=\ln (2) \times \sum_{k=1}^{n} k$

83

[Raisonner.]

[DÉMO]

1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, par $f(x)=\ln (x)-x+1$.


2. a. En déduire que pour tout $x \in] 0~;~+\infty[~:$
$\ln (x) \leqslant x-1$.

b. Démontrer alors que pour tout $x \in] 0~;~+\infty[~:$
$\dfrac{1}{2} \ln (x) \leqslant \sqrt{x}-1$.

c. Justifier enfin que pour tout $x \in] 1~;~+\infty[~:$
$\nobreakspace{0 \lt \dfrac{\ln (x)}{x} \leqslant \dfrac{2(\sqrt{x}-1)}{x}}$.

3. En déduire que $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=~0$.

84

[Représenter.] ◉◉◉
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement supérieurs à $1$. On considère un rectangle dont les côtés mesurent $\ln(a)$ et $\ln(b)$.

1. Exprimer l’aire du rectangle en fonction de $a$ et $b$.


2. Montrer que le périmètre du rectangle est $\ln \left((a b)^{2}\right)$.

85

[Chercher.]
Soit $x$ un nombre réel strictement positif.
On considère un cube dont l’arête a pour longueur $x$.
On note $\text{V}$ le volume de ce cube et $\text{P}$ le périmètre d’une des faces de ce cube.
Montrer que $\ln (\mathrm{P})=2 \ln (2)+\dfrac{1}{3} \ln (\mathrm{V})$.

86

[Raisonner.]
1. On considère quatre nombres supérieurs ou égaux à $1$, $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$ tels que $\nobreakspace{a_1\,a_2\,a_3\,a_4 = \mathrm{e}}$.
Montrer que le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité sur l’ensemble$\nobreakspace{\{1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4\}}$.

87

[Calculer.]
Soient $x$ et $y$ deux nombres strictement positifs.
Déterminer toutes les valeurs de $x$ et $y$ telles que :

$\left\{\begin{aligned} \ln (x \sqrt{y}) =9 \\ 2 \ln (x)+\ln \left(y^{3}\right) =0 \end{aligned}\right.$

88

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que pour tout $x \in \R$ :
$\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})=-\ln (\sqrt{1+x^{2}}-x)$.

89

[Chercher.] ◉◉◉
1. Démontrer que, pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\sqrt{a b} \leqslant \dfrac{a+b}{2}$.

Aide

On pourra considérer l’expression $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$.

2. Établir que, pour tous nombres réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln \left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}(\ln (a)+\ln (b))$.


3. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente en considérant les points de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien d’abscisses $a$ et $b$.

90

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\N$ les équations et inéquations suivantes.

1. $2^{n}=2048$


2. $5^{n}>1000$


3. $\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}\lt 10^{-3}$


4. $\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}>10^{3}$

91

[Chercher.]
1. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \gt 0$ et de premier terme $u_0 \gt 0$.
Démontrer que la suite $(v_n)$ définie, pour tout $n \in \N$, par $v_n=\ln(u_n)$ est une suite arithmétique dont on précisera la raison en fonction de $q$.


2. Pour quelles valeurs de $q$ la suite $(v_n)$ est‑elle croissante ?

92

[Modéliser.] ◉◉◉
La population mondiale était de 7 milliards d’individus en 2011. En considérant que la population augmente naturellement de 1,09 % chaque année, calculer en quelle année la population mondiale dépassera les 9 milliards d’individus.

93

[Modéliser.]
Martin place 150 euros sur un compte en banque.
Chaque année, le versement des intérêts augmente le capital de Martin de 5 %. Calculer au bout de combien d’années Martin aura plus de 200 euros sur son compte.

94

[Raisonner.]
1. Étudier, en fonction de $x$, le signe de l’expression :
$f(x)=~x^{2}-2 x$.


2. Résoudre l’inéquation suivante sur $\nobreakspace{] 0 \,;+\infty[}$ :
$(\ln (x))^{2} \geqslant \ln \left(x^{2}\right)$