Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Propriétés algébriques du logarithme
P.253-254

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


2
Propriétés algébriques du logarithme





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

73
FLASH

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de ln(3)\ln(3).

1. ln(e3)\ln (\mathrm{e} \sqrt{3})


2. ln(e33)\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{3^{3}}\right)


3. ln(33e)\ln \left(3^{3} \mathrm{e}\right)


4. ln(3e3)\ln \left(3 \mathrm{e}^{3}\right)
Voir les réponses

74
FLASH

Simplifier l’expression suivante :
A=ln(49)+ln(21)ln(37)\mathrm{A}=\ln (49)+\ln (21)-\ln (3 \sqrt{7}).
Voir les réponses

75
FLASH

Écrire le plus simplement possible l’expression suivante :

B=ln(ee+1)+ln(e+1e+2)ln(e2e+2)\mathrm{B}=\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}+1}\right)+\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}+1}{\mathrm{e}+2}\right)-\ln \left(\dfrac{\mathrm{e}^{2}}{\mathrm{e}+2}\right).

Voir les réponses

76
[Calculer.] ◉◉
Montrer que ln(56)ln(7)ln(4)=ln(2)\ln (56)-\ln (7)-\ln (4)=\ln (2).
Voir les réponses

77
[Chercher.]
1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de ln(2)\ln(2) et de ln(7)\ln(7) au dixième près.


2. Soit aa un entier naturel strictement positif.
En utilisant la question précédente, déterminer un encadrement des nombres suivants :
ln(2a)\ln \left(2^{a}\right), ln(14a)\ln (14 a), ln(72a)\ln \left(\dfrac{7}{2 a}\right) et ln(149)\ln \left(\dfrac{1}{49}\right).
Voir les réponses

78
[Calculer.]
Montrer que ln(216)= 32ln(6)\ln (\sqrt{216})=~\dfrac{3}{2} \ln (6)
Voir les réponses

79
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout x]1 ; +[ :x \in] 1~;~+\infty[~:
ln(x21)ln(x2+2x+1)= ln(x1x+1)\ln \left(x^{2}-1\right)-\ln \left(x^{2}+2 x+1\right)=~\ln \left(\dfrac{x-1}{x+1}\right).
Voir les réponses

80
VRAI / FAUX
[Raisonner.] ◉◉
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, en donner une preuve et si elle est fausse, donner un contre‑exemple.

1. Pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, ln(x2+x)= ln(x)+ln(x+1)\ln \left(x^{2}+x\right)=~\ln (x)+\ln (x+1).


2. Pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, ln(x2+x)= 2ln(x)+ln(x)\ln \left(x^{2}+x\right)=~2 \ln (x)+\ln (\sqrt{x}).


3. Pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, ln(x2+x3)= 2ln(x)+ln(x+1)\ln \left(x^{2}+x^{3}\right)=~2 \ln (x)+\ln (x+1).


4. Pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[ et pour tout kZk \in \mathbb{Z}, ln(xk+xk+1)= kln(x)+(k+1)ln(x+1)\ln \left(x^{k}+x^{k+1}\right)=~k \ln (x)+(k+1) \ln (x+1)
Voir les réponses

81
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, trouver quatre nombres entiers naturels aa, bb, mm, et nn, où aa et bb sont les plus petits possibles, tels que ln(x)=nln(a)+mln(b)\ln (x)=n \ln (a)+m \ln (b).

1. x=18x=18


2. x=108x=108


3. x=441x=441
Voir les réponses

82
[Raisonner.]
Pour tout entier naturel non nul nn, démontrer que :
k=1nln(2k)=ln(2)×k=1nk\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln \left(2^{k}\right)=\ln (2) \times \sum_{k=1}^{n} k

Voir les réponses

83
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, par f(x)=ln(x)x+1f(x)=\ln (x)-x+1.


2. a. En déduire que pour tout x]0 ; +[ :x \in] 0~;~+\infty[~:
ln(x)x1\ln (x) \leqslant x-1.


b. Démontrer alors que pour tout x]0 ; +[ :x \in] 0~;~+\infty[~:
12ln(x)x1\dfrac{1}{2} \ln (x) \leqslant \sqrt{x}-1.


c. Justifier enfin que pour tout x]1 ; +[ :x \in] 1~;~+\infty[~:
 0<ln(x)x2(x1)x\nobreakspace{0 \lt \dfrac{\ln (x)}{x} \leqslant \dfrac{2(\sqrt{x}-1)}{x}}.


3. En déduire que limx+ln(x)x= 0\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \dfrac{\ln (x)}{x}=~0.
Voir les réponses

84
[Représenter.] ◉◉
Soient aa et bb deux nombres réels strictement supérieurs à 11. On considère un rectangle dont les côtés mesurent ln(a)\ln(a) et ln(b)\ln(b).

1. Exprimer l’aire du rectangle en fonction de aa et bb.


2. Montrer que le périmètre du rectangle est ln((ab)2)\ln \left((a b)^{2}\right).


Logarithme népérien - exercice 84
Voir les réponses

85
[Chercher.]
Soit xx un nombre réel strictement positif.
On considère un cube dont l’arête a pour longueur xx.
On note V\text{V} le volume de ce cube et P\text{P} le périmètre d’une des faces de ce cube.
Montrer que ln(P)=2ln(2)+13ln(V)\ln (\mathrm{P})=2 \ln (2)+\dfrac{1}{3} \ln (\mathrm{V}).
Voir les réponses

86
[Raisonner.]
1. On considère quatre nombres supérieurs ou égaux à 11, a1a_1, a2a_2, a3a_3 et a4a_4 tels que  a1a2a3a4=e\nobreakspace{a_1\,a_2\,a_3\,a_4 = \mathrm{e}}.
Montrer que le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité sur l’ensemble {1;2;3;4}\nobreakspace{\{1 \: ; 2 \: ; 3 \: ; 4\}}.

x1\boldsymbol{x_1} 11 22 33 44
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{i}}\right) ln(a1)\ln \left(a_{1}\right) ln(a2)\ln(a_2) ln(a3)\ln(a_3) ln(a4)\ln(a_4)

Voir les réponses

87
[Calculer.]
Soient xx et yy deux nombres strictement positifs.
Déterminer toutes les valeurs de xx et yy telles que :

{ln(xy)=92ln(x)+ln(y3)=0\left\{\begin{aligned} \ln (x \sqrt{y}) =9 \\ 2 \ln (x)+\ln \left(y^{3}\right) =0 \end{aligned}\right.

Voir les réponses

88
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que pour tout xRx \in \R :
ln(x+1+x2)=ln(1+x2x)\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})=-\ln (\sqrt{1+x^{2}}-x).
Voir les réponses

89
[Chercher.] ◉◉
1. Démontrer que, pour tous nombres réels aa et bb strictement positifs, aba+b2\sqrt{a b} \leqslant \dfrac{a+b}{2}.



Aide
On pourra considérer l’expression (ab)2(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}.

2. Établir que, pour tous nombres réels aa et bb strictement positifs, ln(a+b2)12(ln(a)+ln(b))\ln \left(\dfrac{a+b}{2}\right) \geqslant \dfrac{1}{2}(\ln (a)+\ln (b)).


3. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente en considérant les points de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien d’abscisses aa et bb.

Logarithme népérien - exercice 89 - question 3

Voir les réponses

90
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans N\N les équations et inéquations suivantes.

1. 2n=20482^{n}=2048


2. 5n>10005^{n}>1000


3. (25)n<103\left(\dfrac{2}{5}\right)^{n}\lt 10^{-3}


4. (43)n>103\left(\dfrac{4}{3}\right)^{n}>10^{3}
Voir les réponses

91
[Chercher.]
1. Soit (un)(u_n) une suite géométrique de raison q>0q \gt 0 et de premier terme u0>0u_0 \gt 0.
Démontrer que la suite (vn)(v_n) définie, pour tout nNn \in \N, par vn=ln(un)v_n=\ln(u_n) est une suite arithmétique dont on précisera la raison en fonction de qq.


2. Pour quelles valeurs de qq la suite (vn)(v_n) est‑elle croissante ?
Voir les réponses

92
[Modéliser.] ◉◉
La population mondiale était de 7 milliards d’individus en 2011. En considérant que la population augmente naturellement de 1,09 % chaque année, calculer en quelle année la population mondiale dépassera les 9 milliards d’individus.
Voir les réponses

93
[Modéliser.]
Martin place 150 euros sur un compte en banque.
Chaque année, le versement des intérêts augmente le capital de Martin de 5 %. Calculer au bout de combien d’années Martin aura plus de 200 euros sur son compte.
Voir les réponses

94
[Raisonner.]
1. Étudier, en fonction de xx, le signe de l’expression :
f(x)= x22xf(x)=~x^{2}-2 x.



2. Résoudre l’inéquation suivante sur  ]0;+[\nobreakspace{] 0 \,;+\infty[} :
(ln(x))2ln(x2)(\ln (x))^{2} \geqslant \ln \left(x^{2}\right)

Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.