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2. Propriétés algébriques du logarithme
P.253-254

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Entraînement


2
Propriétés algébriques du logarithme





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

73
FLASH

Exprimer chacun des nombres suivants en fonction de .

1.


2.


3.


4.
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74
FLASH

Simplifier l’expression suivante :
.
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75
FLASH

Écrire le plus simplement possible l’expression suivante :

.

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76
[Calculer.] ◉◉
Montrer que .
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77
[Chercher.]
1. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement de et de au dixième près.


2. Soit un entier naturel strictement positif.
En utilisant la question précédente, déterminer un encadrement des nombres suivants :
, , et .
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78
[Calculer.]
Montrer que
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79
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que, pour tout
.
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80
VRAI / FAUX
[Raisonner.] ◉◉
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Si elle est vraie, en donner une preuve et si elle est fausse, donner un contre‑exemple.

1. Pour tout , .


2. Pour tout , .


3. Pour tout , .


4. Pour tout et pour tout ,
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81
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, trouver quatre nombres entiers naturels , , , et , où et sont les plus petits possibles, tels que .

1.


2.


3.
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82
[Raisonner.]
Pour tout entier naturel non nul , démontrer que :

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83
[Raisonner.]
[DÉMO]

1. Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .


2. a. En déduire que pour tout
.


b. Démontrer alors que pour tout
.


c. Justifier enfin que pour tout
.


3. En déduire que .
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84
[Représenter.] ◉◉
Soient et deux nombres réels strictement supérieurs à . On considère un rectangle dont les côtés mesurent et .

1. Exprimer l’aire du rectangle en fonction de et .


2. Montrer que le périmètre du rectangle est .


Logarithme népérien - exercice 84
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85
[Chercher.]
Soit un nombre réel strictement positif.
On considère un cube dont l’arête a pour longueur .
On note le volume de ce cube et le périmètre d’une des faces de ce cube.
Montrer que .
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86
[Raisonner.]
1. On considère quatre nombres supérieurs ou égaux à , , , et tels que .
Montrer que le tableau ci-dessous représente une loi de probabilité sur l’ensemble.


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87
[Calculer.]
Soient et deux nombres strictement positifs.
Déterminer toutes les valeurs de et telles que :


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88
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que pour tout  :
.
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89
[Chercher.] ◉◉
1. Démontrer que, pour tous nombres réels et strictement positifs, .



Aide
On pourra considérer l’expression .

2. Établir que, pour tous nombres réels et strictement positifs, .


3. Interpréter géométriquement le résultat de la question précédente en considérant les points de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien d’abscisses et .

Logarithme népérien - exercice 89 - question 3

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90
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans les équations et inéquations suivantes.

1.


2.


3.


4.
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91
[Chercher.]
1. Soit une suite géométrique de raison et de premier terme .
Démontrer que la suite définie, pour tout , par est une suite arithmétique dont on précisera la raison en fonction de .


2. Pour quelles valeurs de la suite est‑elle croissante ?
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92
[Modéliser.] ◉◉
La population mondiale était de 7 milliards d’individus en 2011. En considérant que la population augmente naturellement de 1,09 % chaque année, calculer en quelle année la population mondiale dépassera les 9 milliards d’individus.
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93
[Modéliser.]
Martin place 150 euros sur un compte en banque.
Chaque année, le versement des intérêts augmente le capital de Martin de 5 %. Calculer au bout de combien d’années Martin aura plus de 200 euros sur son compte.
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94
[Raisonner.]
1. Étudier, en fonction de , le signe de l’expression :
.



2. Résoudre l’inéquation suivante sur  :

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