Fonctions $\ln (u)$

98

En informatique

[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^x\right)$.

99

[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(x^2-5x+7\right)$.

2. À l'aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction $f$ , pour $x$ allant de $-2$ à $5$ avec un pas de $0,5$.

3. À l'aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

104

Algo

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel. On considère la fonction $g_n$ définie par :

On note ${\text{I}}_n$ l'ensemble de définition de $g_n$.

1. Montrer que ${\mathrm{I}}_n=]0;+\infty [$

2. Montrer que $g_n$ est strictement croissante sur ${\text{I}}_n$.

3. a. Montrer que $g_n$ s'annule une et une seule fois sur ${\text{I}}_n$. On note ${\alpha }_n$ le réel tel que $g_n\left({\alpha }_n\right)=0$.

b. À l'aide d'un algorithme de dichotomie, donner, pour $n=2$, une valeur approchée de ${\alpha }_2$ à $10^{-2}$ près.
Préciser les valeurs approchées de ${\alpha }_2$ au cours de chaque étape de l'algorithme.

4. Conjecturer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de ${\alpha }_n$.

105

[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l'aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture. On note $\mathrm{argth}$ la fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ par $\mathrm{argth}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ et $C$ sa représentation graphique.

1. Quel est l'ensemble de définition $\text{I}$ de la fonction $\mathrm{argth}$ ?

2. Démontrer que la dérivée de la fonction $\mathrm{argth}$ sur son ensemble de définition est définie par ${\mathrm{argth}}^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}$.

3. Étudier les variations de la fonction $\mathrm{argth}$ ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de $\mathrm{argth}$ au point d'abscisse $0$. On note $\text{T}$ cette tangente.

5. Étudier la position relative de $\text{T}$ et $C$.

108

[Chercher.]
Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On considère la fonction $f_n$ définie par : 1. Montrer que $f_n$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$.

2. Montrer que $f_n$ admet un minimum en $x_n=-\frac{\ln (n)}{n}$.
Préciser alors l'ordonnée du point ${\text{A}}_n$ d'abscisse $x_n$ sur la représentation graphique de $f_n$.

3. Conjecturer la position asymptotique de $\text{A}(n)$ à l'aide du programme python suivant.

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    

113

[Chercher.]
On considère une fonction $\ell$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in ]-3;-2[$, $\ell (x)=\ln \left(a{x}^2+bx+c\right)$ et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de $a$ ?

2. Que peut on dire du discriminant de $a{x}^2+bx+c$ ?

3. Quelles sont les racines de $a{x}^2+bx+c$ ?

4. Déterminer la dérivée de $\ell$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.

5. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ .

115

[Modéliser.]
On note $\text{B}(x)$ le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout $x\in [1;3]$, $\mathrm{B}(x)=-10x^2+10x+20x\ln (x)$, où $\text{B}(x)$ est exprimé en centaine d'euros.

1. On note ${\text{B}}^{\prime }$, la fonction dérivée de la fonction $\text{B}$.
Montrer que, pour tout $x\in [1;3]$, ${\mathrm{B}}^{\prime }(x)=-20x+20\ln (x)+30$.

2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée ${\text{B}}^{\prime }$ sur l'intervalle $[1;3]$.


a. Montrer que l'équation ${\text{B}}^{\prime }(x)=0$ admet une unique solution a dans l'intervalle $[1;3]$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.

b. En déduire le signe de ${\text{B}}^{\prime }(x)$ sur l'intervalle $[1;3]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $\text{B}$ sur ce même intervalle.

3. L'artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l'identique s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins $850$ euros. Est‑ce envisageable ?