Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Entraînement 3

Fonctions

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Différenciation
Parcours 1 : exercices ; ; ; ; ; ; ; et
Parcours 2 : exercices ; ; ; ; et
Parcours 3 : exercices ; ; ; ; et
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95
Flash

Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l'expression de la dérivée de la fonction définie, pour tout , par . Justifier.

1.

2.

3.
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96
Flash

Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction définie, pour tout , par
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97
Flash

Soit la fonction définie, pour tout , par . Étudier les variations de .
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98
En informatique
[Communiquer.]

Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout , par .
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99
[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .

2. À l'aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction , pour allant de à avec un pas de .

3. À l'aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé.

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100
[Chercher.]
On considère la fonction définie, pour tout , par .

1. Étudier les variations de sur son ensemble de définition.

2. En déduire le nombre de solutions de l'équation .

3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à près.
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101
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .
On pourra commencer par montrer que, pour tout réel ,
Aide
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102
[Raisonner.]

Montrer que la fonction définie, pour tout , par est strictement croissante sur
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103
[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.

1.

2.

3.
Démontrer que
Aide
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104
Algo
[Raisonner.]
Soit un entier naturel. On considère la fonction définie par :

On note l'ensemble de définition de .

1. Montrer que

2. Montrer que est strictement croissante sur .

3. a. Montrer que s'annule une et une seule fois sur . On note le réel tel que .

b. À l'aide d'un algorithme de dichotomie, donner, pour , une valeur approchée de à près.
Préciser les valeurs approchées de au cours de chaque étape de l'algorithme.

4. Conjecturer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de .


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105
[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l'aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture. On note la fonction définie sur un intervalle par et sa représentation graphique.

1. Quel est l'ensemble de définition de la fonction  ?

2. Démontrer que la dérivée de la fonction sur son ensemble de définition est définie par .

3. Étudier les variations de la fonction ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de au point d'abscisse . On note cette tangente.

5. Étudier la position relative de et .
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106
[Calculer.]
Pour tout , on définit la fonction par . Montrer que, pour tout , .

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107
[Chercher.]

On considère la fonction définie sur par :
.

Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à  ? Justifier.

Logarithme népérien - exercice 107
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108
[Chercher.]
Soit . On considère la fonction définie par :
.

1. Montrer que est définie pour tout .

2. Montrer que admet un minimum en .
Préciser alors l'ordonnée du point d'abscisse sur la représentation graphique de .

3. Conjecturer la position asymptotique de à l'aide du programme python suivant.

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    
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109
[Chercher.]
1. Montrer que la fonction définie, pour tout , par est croissante sur . La représentation graphique de la fonction est donnée ci‑dessous.

Logarithme népérien - Exercice 109
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2. Montrer que est la seule solution de l'équation sur .

3. Montrer que la suite définie par et, pour tout , est décroissante.

4. Montrer que, pour tout , .

5. On admet que converge et que sa limite vérifie Résoudre cette équation dans .
Démontrer que cette équation est équivalente à et faire le lien avec .
Aide
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110
[Chercher.]

On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , bet tels que, pour tout , . La représentation graphique de est donnée ci‑après.

Logarithme népérien - Exercice 110
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Déterminer les valeurs de , et .
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111
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , et tels que, pour tout , . La représentation graphique de est donnée ci‑après.

Logarithmee népérien - Exercice 111
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Déterminer les valeurs de , et .

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112
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout , et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

Fonctions ln(u)
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1. Quel est le signe de  ? Justifier.

2. Que peut‑on dire du discriminant de  ?

3. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de , et .
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113
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , et tels que, pour tout , et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de  ?

2. Que peut on dire du discriminant de  ?

3. Quelles sont les racines de  ?

4. Déterminer la dérivée de en fonction de , et .

5. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de , et  .

Fonctions ln(u)
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114
[Chercher.]

On considère deux fonctions et pour lesquelles il existe deux nombres réels et tels que, pour tout , et . On suppose que la courbe de et la courbe de ont la même tangente au point d'abscisse dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de et .
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115
[Modéliser.]
On note le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout , , où est exprimé en centaine d'euros.

1. On note , la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout , .

2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée sur l'intervalle .

Logarithme népérien - Exercice 115
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a. Montrer que l'équation admet une unique solution a dans l'intervalle . Donner une valeur approchée de à .

b. En déduire le signe de sur l'intervalle puis dresser le tableau de variations de la fonction sur ce même intervalle.

3. L'artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l'identique s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins  euros. Est‑ce envisageable ?
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116
[Chercher.] Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction définie par . Justifier.

Logarithme népérien - Exercice 116
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