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Fonctions $\ln(u)$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l’expression de la dérivée de la fonction $f$ définie, pour tout $x \in \left]-\dfrac{1}{2} ;+\infty \right[$, par $f(x)=\ln (2 x+1)$. Justifier.

1. $\dfrac{2 x}{2 x+1}$


2. $\dfrac{2}{2 x+1}$


3. $\dfrac{x^{2}+1}{2 x}$

Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction $g$ définie, pour tout $x \in \R$, par $g(x)=~\ln \left(x^{2}+4 x+5\right)$

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x \in \R$, par $f(x)=\ln \left(\dfrac{1}{3} x^{2}-x+1\right)$.
Étudier les variations de $f$.

98

EN INFORMATIQUE

[Communiquer.] ◉◉◉
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout $x \in \R$, par $f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right)$.

Remarque

Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.

99

[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(x^{2}-5 x+7\right)$.


2. À l’aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction $f$ , pour $x$ allant de $-2$ à $5$ avec un pas de $0,5$.


3. À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

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100

[Chercher.]
On considère la fonction $g$ définie, pour tout $x \in \R$, par $g(x)=\ln \left(x^{4}-x^{2}+1\right)$.

1. Étudier les variations de $g$ sur son ensemble de définition.


2. En déduire le nombre de solutions de l’équation $g(x) = -0,2$.


3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à $10^{-2}$ près.

101

[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x>-1$, par $f(x)=\ln (x+1)+x^{2}+x+1$.

Aide

On pourra commencer par montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x^{2}+3 x+2}{x+1}$.

102

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $x \in] 1 ~;~+\infty[$, par $\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$ est strictement croissante sur $] 1~;~+\infty[$

103

[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.

1. $\nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \dfrac{2}{3 x}}$


2. $\nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \dfrac{2}{3(4 x+1)}}$


3. $\nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \dfrac{7 x-7}{x^{2}+3 x+2}}$

Aide

Démontrer que $\dfrac{x-1}{x^{2}+3 x+2}=~\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{2}{x+1}$.

104

ALGO

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel.
On considère la fonction $g_n$ définie par :
$g_{n}(x)=\ln \left(x^{2 n+1}+x\right)$
On note $\text{I}_n$ l’ensemble de définition de $g_n$.

1. Montrer que $\left.\mathrm{I}_{n}=~\right] 0~;~+\infty[$


2. Montrer que $g_n$ est strictement croissante sur $\text{I}_n$.


3. a. Montrer que $g_n$ s’annule une et une seule fois sur $\text{I}_n$. On note $\alpha_n$ le réel tel que $g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0$.


b. À l’aide d’un algorithme de dichotomie, donner, pour $n = 2$, une valeur approchée de $\alpha_2$ à $10^{-2}$ près.
Préciser les valeurs approchées de $\alpha_2$ au cours de chaque étape de l’algorithme.


4. Conjecturer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de $\alpha_n$.

105

[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l’aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture.
On note $\operatorname{argth}$ la fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ par $\operatorname{argth}(x)=\dfrac{1}{2} \ln \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right)$ et $C$ sa représentation graphique.

1. Quel est l’ensemble de définition $\text{I}$ de la fonction $\operatorname{argth}$ ?


2. Démontrer que la dérivée de la fonction $\operatorname{argth}$ sur son ensemble de définition est définie par $\operatorname{argth}^{\prime}(x)=~\dfrac{1}{1-x^{2}}$.


3. Étudier les variations de la fonction $\operatorname{argth}$ ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.


4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de $\operatorname{argth}$ au point d’abscisse $0$. On note $\text{T}$ cette tangente.


5. Étudier la position relative de $\text{T}$ et $C$.

106

[Calculer.]
Pour tout $x \in] 1~;~+\infty[$, on définit la fonction $\operatorname{ch}$ par $\operatorname{ch}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$. Montrer que, pour tout $\nobreakspace{x \in] 1~;~+\infty[}$, $\operatorname{ch}(\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}))=x$.

Remarque

La fonction notée $\operatorname{argch}$ définie, pour tout $x > 1$, par $\operatorname{argch}(x)=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$ est une fonction de référence étudiée après le bac.

107

[Chercher.] ◉◉◉
On considère la fonction $f$ définie sur $\R^*$ par :
$f(x)=\ln \left(x^{2}\right)$.
Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à $f$ ? Justifier.

108

[Chercher.]
Soit $n \in \mathbb{N}^{*}$. On considère la fonction $f_n$ définie par :
$f_{n}(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{n x}-x\right)$.
1. Montrer que $f_n$ est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$.


2. Montrer que $f_n$ admet un minimum en $x_{n}=-\dfrac{\ln (n)}{n}$.
Préciser alors l’ordonnée du point $\text{A}_n$ d’abscisse $x_n$ sur la représentation graphique de $f_n$.


3. Conjecturer la position asymptotique de $\text{A}(n)$ à l’aide du programme python suivant :

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    

109

[Chercher.]
1. Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $x \in \R$, par $f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e} \times x$ est croissante sur $[1 ~;~+\infty[$.
La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci‑dessous.

2. Montrer que $1$ est la seule solution de l’équation $f(x) = 0$ sur $[1 ~;~+\infty[$.


3. Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=~\ln \left(u_{n}\right)+1$ est décroissante.


4. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $u_{n} \geqslant 1$.


5. On admet que $(u_n)$ converge et que sa limite vérifie $\ln (x)-x+1=~0$ Résoudre cette équation dans $\R$.

Aide

Démontrer que cette équation est équivalente à $e \times x=e^{x}$ et faire le lien avec $f$.

110

[Chercher.] ◉◉◉
On considère une fonction $f$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, b$$et $c$ tels que, pour tout $x~\in~\R$, $f(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right)$.
La représentation graphique de $f$ est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

111

[Chercher.]
On considère une fonction $g$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in \R$, $g(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right)$.
La représentation graphique de $g$ est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

112

[Chercher.]
On considère une fonction $k$ pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout $x~\in~\R$, $k(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right)$ et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de $a$ ? Justifier.


2. Que peut‑on dire du discriminant de $a x^{2}+b x+c$ ?


3. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

113

[Chercher.]
On considère une fonction $\ell$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in]-3 ;-2[$, $\ell(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right)$ et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de $a$ ?


2. Que peut on dire du discriminant de $ax^2 + bx + c$ ?


3. Quelles sont les racines de $ax^2 + bx + c$ ?


4. Déterminer la dérivée de $\ell$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.


5. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ .

114

[Chercher.] ◉◉◉
On considère deux fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles il existe deux nombres réels $a \gt 0$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \left] \dfrac{-b}{a} \: ; +\infty \right[$, $f(x)=~x^{2}+1.$ et $g(x)=~\ln (a x+b)$.
On suppose que la courbe de $f$ et la courbe de $g$ ont la même tangente au point d’abscisse $1$ dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.

115

[Modéliser.]
On note $\text{B}(x)$ le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout $x \in[1~;~3]$, $\mathrm{B}(x)=~-10 x^{2}+10 x+20 x \ln (x)$, où $\text{B}(x)$ est exprimé en centaine d’euros.

1. On note $\text{B}^\prime$, la fonction dérivée de la fonction $\text{B}$.
Montrer que, pour tout $x \in[1~;~3]$, $\mathrm{B}^{\prime}(x)=~-20 x+20 \ln (x)+30$.


2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée $\text{B}^\prime$ sur l’intervalle $[1~;~3]$.

a. Montrer que l’équation $\text{B}^\prime (x) = 0$ admet une unique solution a dans l’intervalle $[1~;~3]$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.


b. En déduire le signe de $\text{B}^\prime (x)$ sur l’intervalle $[1~;~3]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $\text{B}$ sur ce même intervalle.


3. L’artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l’identique s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins $850$ euros. Est‑ce envisageable ?

116

[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=x \ln (x)+(1-x) \ln (1-x)$. Justifier.