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3. Fonction ln(u)
P.255-257

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Entraînement


3
Fonctions ln(u)\ln(u)





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

95
FLASH

Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l’expression de la dérivée de la fonction ff définie, pour tout x]12;+[x \in \left]-\dfrac{1}{2} ;+\infty \right[, par f(x)=ln(2x+1)f(x)=\ln (2 x+1). Justifier.

1. 2x2x+1\dfrac{2 x}{2 x+1}


2. 22x+1\dfrac{2}{2 x+1}


3. x2+12x\dfrac{x^{2}+1}{2 x}
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96
FLASH

Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction gg définie, pour tout xRx \in \R, par g(x)= ln(x2+4x+5)g(x)=~\ln \left(x^{2}+4 x+5\right)
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97
FLASH

Soit ff la fonction définie, pour tout xRx \in \R, par f(x)=ln(13x2x+1)f(x)=\ln \left(\dfrac{1}{3} x^{2}-x+1\right).
Étudier les variations de ff.
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98
EN INFORMATIQUE
[Communiquer.] ◉◉
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout xRx \in \R, par f(x)=ln(1+ex)f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right).



Remarque
Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.


Fonctions ln(u)
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99
[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout xRx \in \mathbb{R}, par f(x)=ln(x25x+7)f(x)=\ln \left(x^{2}-5 x+7\right).


2. À l’aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction ff , pour xx allant de 2-2 à 55 avec un pas de 0,50,5.


3. À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de ff dans un repère orthonormé.
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100
[Chercher.]
On considère la fonction gg définie, pour tout xRx \in \R, par g(x)=ln(x4x2+1)g(x)=\ln \left(x^{4}-x^{2}+1\right).

1. Étudier les variations de gg sur son ensemble de définition.


2. En déduire le nombre de solutions de l’équation g(x)=0,2g(x) = -0,2.


3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à 10210^{-2} près.
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101
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction ff définie, pour tout x>1x>-1, par f(x)=ln(x+1)+x2+x+1f(x)=\ln (x+1)+x^{2}+x+1.


Aide
On pourra commencer par montrer que, pour tout réel xx, f(x)=2x2+3x+2x+1f^{\prime}(x)=\dfrac{2 x^{2}+3 x+2}{x+1}.
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102
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que la fonction ff définie, pour tout x]1 ; +[x \in] 1 ~;~+\infty[, par ln(x+x21)\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}) est strictement croissante sur ]1 ; +[ ] 1~;~+\infty[
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103
[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.

1.  f1:x23x\nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \dfrac{2}{3 x}}


2.  f2:x23(4x+1)\nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \dfrac{2}{3(4 x+1)}}


3.  f3:x7x7x2+3x+2\nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \dfrac{7 x-7}{x^{2}+3 x+2}}



Aide
Démontrer que x1x2+3x+2= 3x+22x+1\dfrac{x-1}{x^{2}+3 x+2}=~\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{2}{x+1}.
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104
ALGO
[Raisonner.]
Soit nn un entier naturel.
On considère la fonction gng_n définie par :
gn(x)=ln(x2n+1+x)g_{n}(x)=\ln \left(x^{2 n+1}+x\right)

On note In\text{I}_n l’ensemble de définition de gng_n.

1. Montrer que In= ]0 ; +[\left.\mathrm{I}_{n}=~\right] 0~;~+\infty[


2. Montrer que gng_n est strictement croissante sur In\text{I}_n.


3. a. Montrer que gng_n s’annule une et une seule fois sur In\text{I}_n. On note αn\alpha_n le réel tel que gn(αn)=0g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0.


b. À l’aide d’un algorithme de dichotomie, donner, pour n=2n = 2, une valeur approchée de α2\alpha_2 à 10210^{-2} près.
Préciser les valeurs approchées de α2\alpha_2 au cours de chaque étape de l’algorithme.


4. Conjecturer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de αn\alpha_n.




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105
[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l’aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture.
On note argth\operatorname{argth} la fonction définie sur un intervalle I\text{I} par argth(x)=12ln(1+x1x)\operatorname{argth}(x)=\dfrac{1}{2} \ln \left(\dfrac{1+x}{1-x}\right) et CC sa représentation graphique.

1. Quel est l’ensemble de définition I\text{I} de la fonction argth\operatorname{argth} ?


2. Démontrer que la dérivée de la fonction argth\operatorname{argth} sur son ensemble de définition est définie par argth(x)= 11x2\operatorname{argth}^{\prime}(x)=~\dfrac{1}{1-x^{2}}.


3. Étudier les variations de la fonction argth\operatorname{argth} ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.


4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de argth\operatorname{argth} au point d’abscisse 00. On note T\text{T} cette tangente.


5. Étudier la position relative de T\text{T} et CC.
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106
[Calculer.]
Pour tout x]1 ; +[x \in] 1~;~+\infty[, on définit la fonction ch\operatorname{ch} par ch(x)=ex+ex2\operatorname{ch}(x)=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}. Montrer que, pour tout  x]1 ; +[\nobreakspace{x \in] 1~;~+\infty[}, ch(ln(x+x21))=x\operatorname{ch}(\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}))=x.



Remarque
La fonction notée argch\operatorname{argch} définie, pour tout x>1x > 1, par argch(x)=ln(x+x21)\operatorname{argch}(x)=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}) est une fonction de référence étudiée après le bac.

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107
[Chercher.] ◉◉
On considère la fonction ff définie sur R\R^* par :
f(x)=ln(x2)f(x)=\ln \left(x^{2}\right).

Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à ff ? Justifier.


Logarithme népérien - exercice 107

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108
[Chercher.]
Soit nNn \in \mathbb{N}^{*}. On considère la fonction fnf_n définie par :
fn(x)=ln(enxx)f_{n}(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{n x}-x\right).

1. Montrer que fnf_n est définie pour tout xRx \in \mathbb{R}.


2. Montrer que fnf_n admet un minimum en xn=ln(n)nx_{n}=-\dfrac{\ln (n)}{n}.
Préciser alors l’ordonnée du point An\text{A}_n d’abscisse xnx_n sur la représentation graphique de fnf_n.


3. Conjecturer la position asymptotique de A(n)\text{A}(n) à l’aide du programme python suivant :

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    
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109
[Chercher.]
1. Montrer que la fonction ff définie, pour tout xR x \in \R, par f(x)=exe×xf(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e} \times x est croissante sur [1 ; +[ [1 ~;~+\infty[.
La représentation graphique de la fonction ff est donnée ci‑dessous.


Logarithme népérien - Exercice 109

2. Montrer que 11 est la seule solution de l’équation f(x)=0f(x) = 0 sur [1 ; +[[1 ~;~+\infty[.


3. Montrer que la suite (un)(u_n) définie par u0=10u_0=10 et, pour tout nNn \in \mathbb{N}, un+1= ln(un)+1u_{n+1}=~\ln \left(u_{n}\right)+1 est décroissante.


4. Montrer que, pour tout nNn \in \N, un1u_{n} \geqslant 1.


5. On admet que (un)(u_n) converge et que sa limite vérifie ln(x)x+1= 0\ln (x)-x+1=~0 Résoudre cette équation dans R\R.



Aide
Démontrer que cette équation est équivalente à e×x=exe \times x=e^{x} et faire le lien avec ff .

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110
[Chercher.] ◉◉
On considère une fonction ff pour laquelle il existe trois nombres réels aa, b et cc tels que, pour tout x  Rx~\in~\R, f(x)=ln(ax2+bx+c)f(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right).
La représentation graphique de ff est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de aa, bb et cc.


Logarithme népérien - Exercice 110
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111
[Chercher.]
On considère une fonction gg pour laquelle il existe trois nombres réels aa, bb et cc tels que, pour tout xRx \in \R, g(x)=ln(ax2+bx+c)g(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right).
La représentation graphique de gg est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de aa, bb et cc.

Logarithmee népérien - Exercice 111

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112
[Chercher.]
On considère une fonction kk pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x  Rx~\in~\R, k(x)=ln(ax2+bx+c)k(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
Fonctions ln(u)

1. Quel est le signe de aa ? Justifier.


2. Que peut‑on dire du discriminant de ax2+bx+ca x^{2}+b x+c ?


3. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de aa, bb et cc.
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113
[Chercher.]
On considère une fonction \ell pour laquelle il existe trois nombres réels aa, bb et cc tels que, pour tout x]3;2[x \in]-3 ;-2[, (x)=ln(ax2+bx+c)\ell(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de aa ?


2. Que peut on dire du discriminant de ax2+bx+cax^2 + bx + c ?


3. Quelles sont les racines de ax2+bx+cax^2 + bx + c ?


4. Déterminer la dérivée de \ell en fonction de aa, bb et cc.


5. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de aa, bb et cc .


Fonctions ln(u)
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114
[Chercher.] ◉◉◉
On considère deux fonctions ff et gg pour lesquelles il existe deux nombres réels a>0a \gt 0 et bb tels que, pour tout x]ba;+[x \in \left] \dfrac{-b}{a} \: ; +\infty \right[, f(x)= x2+1.f(x)=~x^{2}+1. et g(x)= ln(ax+b)g(x)=~\ln (a x+b).
On suppose que la courbe de ff et la courbe de gg ont la même tangente au point d’abscisse 11 dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de aa et bb.
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115
[Modéliser.]
On note B(x)\text{B}(x) le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de xx centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout x[1 ; 3]x \in[1~;~3], B(x)= 10x2+10x+20xln(x)\mathrm{B}(x)=~-10 x^{2}+10 x+20 x \ln (x), où B(x)\text{B}(x) est exprimé en centaine d’euros.

1. On note B\text{B}^\prime, la fonction dérivée de la fonction B\text{B}.
Montrer que, pour tout x[1 ; 3]x \in[1~;~3], B(x)= 20x+20ln(x)+30\mathrm{B}^{\prime}(x)=~-20 x+20 \ln (x)+30.


2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée B\text{B}^\prime sur l’intervalle [1 ; 3][1~;~3].
Logarithme népérien - Exercice 115

a. Montrer que l’équation B(x)=0\text{B}^\prime (x) = 0 admet une unique solution a dans l’intervalle [1 ; 3][1~;~3]. Donner une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2}.


b. En déduire le signe de B(x)\text{B}^\prime (x) sur l’intervalle [1 ; 3][1~;~3] puis dresser le tableau de variations de la fonction B\text{B} sur ce même intervalle.


3. L’artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l’identique s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850850 euros. Est‑ce envisageable ?
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116
[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction ff définie par f(x)=xln(x)+(1x)ln(1x)f(x)=x \ln (x)+(1-x) \ln (1-x). Justifier.


Logarithme népérien - Exercice 116
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