Fonctions \ln(u)

98

En informatique

[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x \in \R, par f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right).

99

[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f(x)=\ln \left(x^{2}-5 x+7\right).

2. À l'aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction f , pour x allant de -2 à 5 avec un pas de 0,5.

3. À l'aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.

104

Algo

[Raisonner.]
Soit n un entier naturel. On considère la fonction g_n définie par :

On note \text{I}_n l'ensemble de définition de g_n.

1. Montrer que \left.\mathrm{I}_{n}=~\right] 0~;~+\infty[

2. Montrer que g_n est strictement croissante sur \text{I}_n.

3. a. Montrer que g_n s'annule une et une seule fois sur \text{I}_n. On note \alpha_n le réel tel que g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0.

b. À l'aide d'un algorithme de dichotomie, donner, pour n = 2, une valeur approchée de \alpha_2 à 10^{-2} près.
Préciser les valeurs approchées de \alpha_2 au cours de chaque étape de l'algorithme.

4. Conjecturer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de \alpha_n.

105

[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l'aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture. On note \operatorname{argth} la fonction définie sur un intervalle \text{I} par \operatorname{argth}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) et C sa représentation graphique.

1. Quel est l'ensemble de définition \text{I} de la fonction \operatorname{argth} ?

2. Démontrer que la dérivée de la fonction \operatorname{argth} sur son ensemble de définition est définie par \operatorname{argth}^{\prime}(x)=~\frac{1}{1-x^{2}}.

3. Étudier les variations de la fonction \operatorname{argth} ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de \operatorname{argth} au point d'abscisse 0. On note \text{T} cette tangente.

5. Étudier la position relative de \text{T} et C.

108

[Chercher.]
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On considère la fonction f_n définie par : 1. Montrer que f_n est définie pour tout x \in \mathbb{R}.

2. Montrer que f_n admet un minimum en x_{n}=-\frac{\ln (n)}{n}.
Préciser alors l'ordonnée du point \text{A}_n d'abscisse x_n sur la représentation graphique de f_n.

3. Conjecturer la position asymptotique de \text{A}(n) à l'aide du programme python suivant.

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    

113

[Chercher.]
On considère une fonction \ell pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x \in]-3 ;-2[, \ell(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de a ?

2. Que peut on dire du discriminant de ax^2 + bx + c ?

3. Quelles sont les racines de ax^2 + bx + c ?

4. Déterminer la dérivée de \ell en fonction de a, b et c.

5. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c .

115

[Modéliser.]
On note \text{B}(x) le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de x centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout x \in[1~;~3], \mathrm{B}(x)=~-10 x^{2}+10 x+20 x \ln (x), où \text{B}(x) est exprimé en centaine d'euros.

1. On note \text{B}^\prime, la fonction dérivée de la fonction \text{B}.
Montrer que, pour tout x \in[1~;~3], \mathrm{B}^{\prime}(x)=~-20 x+20 \ln (x)+30.

2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée \text{B}^\prime sur l'intervalle [1~;~3].


a. Montrer que l'équation \text{B}^\prime (x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle [1~;~3]. Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2}.

b. En déduire le signe de \text{B}^\prime (x) sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variations de la fonction \text{B} sur ce même intervalle.

3. L'artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l'identique s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est‑ce envisageable ?