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Fonctions $\ln (u)$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l’expression de la dérivée de la fonction $f$ définie, pour tout $x\in \left]-\frac{1}{2};+\infty \right[$, par $f(x)=\ln (2x+1)$. Justifier.

1. $\frac{2x}{2x+1}$


2. $\frac{2}{2x+1}$


3. $\frac{x^2+1}{2x}$

Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction $g$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $g(x)=\ln \left(x^2+4x+5\right)$

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(\frac{1}{3}{x}^2-x+1\right)$.
Étudier les variations de $f$.

98

EN INFORMATIQUE

[Communiquer.] ◉◉◉
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(1+{\mathrm{e}}^x\right)$.

Remarque

Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.

99

[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)=\ln \left(x^2-5x+7\right)$.


2. À l’aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction $f$ , pour $x$ allant de $-2$ à $5$ avec un pas de $0,5$.


3. À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

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100

[Chercher.]
On considère la fonction $g$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $g(x)=\ln \left(x^4-x^2+1\right)$.

1. Étudier les variations de $g$ sur son ensemble de définition.


2. En déduire le nombre de solutions de l’équation $g(x)=-0,2$.


3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à $10^{-2}$ près.

101

[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction $f$ définie, pour tout $x>-1$, par $f(x)=\ln (x+1)+x^2+x+1$.

Aide

On pourra commencer par montrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x^2+3x+2}{x+1}$.

102

[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $x\in ]1;+\infty [$, par $\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ est strictement croissante sur $]1;+\infty [$

103

[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.

1. $f_1:x\mapsto \frac{2}{3x}$


2. $f_2:x\mapsto \frac{2}{3(4x+1)}$


3. $f_3:x\mapsto \frac{7x-7}{x^2+3x+2}$

Aide

Démontrer que $\frac{x-1}{x^2+3x+2}=\frac{3}{x+2}-\frac{2}{x+1}$.

104

ALGO

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier naturel.
On considère la fonction $g_n$ définie par :
$g_n(x)=\ln \left(x^{2n+1}+x\right)$
On note ${\text{I}}_n$ l’ensemble de définition de $g_n$.

1. Montrer que ${\mathrm{I}}_n=]0;+\infty [$


2. Montrer que $g_n$ est strictement croissante sur ${\text{I}}_n$.


3. a. Montrer que $g_n$ s’annule une et une seule fois sur ${\text{I}}_n$. On note ${\alpha }_n$ le réel tel que $g_n\left({\alpha }_n\right)=0$.


b. À l’aide d’un algorithme de dichotomie, donner, pour $n=2$, une valeur approchée de ${\alpha }_2$ à $10^{-2}$ près.
Préciser les valeurs approchées de ${\alpha }_2$ au cours de chaque étape de l’algorithme.


4. Conjecturer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de ${\alpha }_n$.

105

[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l’aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture.
On note $\mathrm{argth}$ la fonction définie sur un intervalle $\text{I}$ par $\mathrm{argth}(x)=\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ et $C$ sa représentation graphique.

1. Quel est l’ensemble de définition $\text{I}$ de la fonction $\mathrm{argth}$ ?


2. Démontrer que la dérivée de la fonction $\mathrm{argth}$ sur son ensemble de définition est définie par ${\mathrm{argth}}^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}$.


3. Étudier les variations de la fonction $\mathrm{argth}$ ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.


4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de $\mathrm{argth}$ au point d’abscisse $0$. On note $\text{T}$ cette tangente.


5. Étudier la position relative de $\text{T}$ et $C$.

106

[Calculer.]
Pour tout $x\in ]1;+\infty [$, on définit la fonction $\mathrm{ch}$ par $\mathrm{ch}(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$. Montrer que, pour tout $x\in ]1;+\infty [$, $\mathrm{ch}(\ln (x+\sqrt{x^2-1}))=x$.

Remarque

La fonction notée $\mathrm{argch}$ définie, pour tout $x>1$, par $\mathrm{argch}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$ est une fonction de référence étudiée après le bac.

107

[Chercher.] ◉◉◉
On considère la fonction $f$ définie sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ par :
$f(x)=\ln \left(x^2\right)$.
Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à $f$ ? Justifier.

108

[Chercher.]
Soit $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. On considère la fonction $f_n$ définie par :
$f_n(x)=\ln \left({\mathrm{e}}^{nx}-x\right)$.
1. Montrer que $f_n$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}$.


2. Montrer que $f_n$ admet un minimum en $x_n=-\frac{\ln (n)}{n}$.
Préciser alors l’ordonnée du point ${\text{A}}_n$ d’abscisse $x_n$ sur la représentation graphique de $f_n$.


3. Conjecturer la position asymptotique de $\text{A}(n)$ à l’aide du programme python suivant :

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    

109

[Chercher.]
1. Montrer que la fonction $f$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $f(x)={\mathrm{e}}^x-\mathrm{e}\times x$ est croissante sur $[1;+\infty [$.
La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci‑dessous.

2. Montrer que $1$ est la seule solution de l’équation $f(x)=0$ sur $[1;+\infty [$.


3. Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=10$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=\ln \left(u_n\right)+1$ est décroissante.


4. Montrer que, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n⩾1$.


5. On admet que $(u_n)$ converge et que sa limite vérifie $\ln (x)-x+1=0$ Résoudre cette équation dans $\mathbb{R}$.

Aide

Démontrer que cette équation est équivalente à $e\times x=e^x$ et faire le lien avec $f$.

110

[Chercher.] ◉◉◉
On considère une fonction $f$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, bet $c$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $f(x)=\ln \left(a{x}^2+bx+c\right)$.
La représentation graphique de $f$ est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

111

[Chercher.]
On considère une fonction $g$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $g(x)=\ln \left(a{x}^2+bx+c\right)$.
La représentation graphique de $g$ est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

112

[Chercher.]
On considère une fonction $k$ pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $k(x)=\ln \left(a{x}^2+bx+c\right)$ et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de $a$ ? Justifier.


2. Que peut‑on dire du discriminant de $a{x}^2+bx+c$ ?


3. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$.

113

[Chercher.]
On considère une fonction $\ell$ pour laquelle il existe trois nombres réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in ]-3;-2[$, $\ell (x)=\ln \left(a{x}^2+bx+c\right)$ et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de $a$ ?


2. Que peut on dire du discriminant de $a{x}^2+bx+c$ ?


3. Quelles sont les racines de $a{x}^2+bx+c$ ?


4. Déterminer la dérivée de $\ell$ en fonction de $a$, $b$ et $c$.


5. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de $a$, $b$ et $c$ .

114

[Chercher.] ◉◉◉
On considère deux fonctions $f$ et $g$ pour lesquelles il existe deux nombres réels $a>0$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \left]\frac{-b}{a};+\infty \right[$, $f(x)=x^2+1.$ et $g(x)=\ln (ax+b)$.
On suppose que la courbe de $f$ et la courbe de $g$ ont la même tangente au point d’abscisse $1$ dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.

115

[Modéliser.]
On note $\text{B}(x)$ le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de $x$ centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout $x\in [1;3]$, $\mathrm{B}(x)=-10x^2+10x+20x\ln (x)$, où $\text{B}(x)$ est exprimé en centaine d’euros.

1. On note ${\text{B}}^{\prime }$, la fonction dérivée de la fonction $\text{B}$.
Montrer que, pour tout $x\in [1;3]$, ${\mathrm{B}}^{\prime }(x)=-20x+20\ln (x)+30$.


2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée ${\text{B}}^{\prime }$ sur l’intervalle $[1;3]$.

a. Montrer que l’équation ${\text{B}}^{\prime }(x)=0$ admet une unique solution a dans l’intervalle $[1;3]$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$.


b. En déduire le signe de ${\text{B}}^{\prime }(x)$ sur l’intervalle $[1;3]$ puis dresser le tableau de variations de la fonction $\text{B}$ sur ce même intervalle.


3. L’artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l’identique s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins $850$ euros. Est‑ce envisageable ?

116

[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction $f$ définie par $f(x)=x\ln (x)+(1-x)\ln (1-x)$. Justifier.