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3. Fonction ln(u)
P.255-257

Entraînement


3
Fonctions





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 59 ; 66 ; 69 ; 76 ; 81 ; 84 ; 90 ; 98 et 107
◉◉ Parcours 2 : exercices 60 ; 65 ; 80 ; 89 ; 92 et 110
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 72 ; 79 ; 88 ; 102 et 114

95
FLASH

Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l’expression de la dérivée de la fonction définie, pour tout , par . Justifier.

1.


2.


3.

96
FLASH

Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction définie, pour tout , par

97
FLASH

Soit la fonction définie, pour tout , par .
Étudier les variations de .

98
EN INFORMATIQUE
[Communiquer.] ◉◉
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout , par .



Remarque
Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.


Fonctions ln(u)

99
[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .


2. À l’aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction , pour allant de à avec un pas de .


3. À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de dans un repère orthonormé.
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100
[Chercher.]
On considère la fonction définie, pour tout , par .

1. Étudier les variations de sur son ensemble de définition.


2. En déduire le nombre de solutions de l’équation .


3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à près.

101
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction définie, pour tout , par .


Aide
On pourra commencer par montrer que, pour tout réel , .

102
[Raisonner.] ◉◉◉
Montrer que la fonction définie, pour tout , par est strictement croissante sur

103
[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.

1.


2.


3.



Aide
Démontrer que .

104
ALGO
[Raisonner.]
Soit un entier naturel.
On considère la fonction définie par :

On note l’ensemble de définition de .

1. Montrer que


2. Montrer que est strictement croissante sur .


3. a. Montrer que s’annule une et une seule fois sur . On note le réel tel que .


b. À l’aide d’un algorithme de dichotomie, donner, pour , une valeur approchée de à près.
Préciser les valeurs approchées de au cours de chaque étape de l’algorithme.


4. Conjecturer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de .





105
[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l’aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture.
On note la fonction définie sur un intervalle par et sa représentation graphique.

1. Quel est l’ensemble de définition de la fonction  ?


2. Démontrer que la dérivée de la fonction sur son ensemble de définition est définie par .


3. Étudier les variations de la fonction ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.


4. Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de au point d’abscisse . On note cette tangente.


5. Étudier la position relative de et .

106
[Calculer.]
Pour tout , on définit la fonction par . Montrer que, pour tout , .



Remarque
La fonction notée définie, pour tout , par est une fonction de référence étudiée après le bac.


107
[Chercher.] ◉◉
On considère la fonction définie sur par :
.

Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à  ? Justifier.


Logarithme népérien - exercice 107


108
[Chercher.]
Soit . On considère la fonction définie par :
.

1. Montrer que est définie pour tout .


2. Montrer que admet un minimum en .
Préciser alors l’ordonnée du point d’abscisse sur la représentation graphique de .


3. Conjecturer la position asymptotique de à l’aide du programme python suivant :

from numpy import log as ln
    
for n in range(1, 10000, 500):
  print(-ln(n)/n)
    

109
[Chercher.]
1. Montrer que la fonction définie, pour tout , par est croissante sur .
La représentation graphique de la fonction est donnée ci‑dessous.


Logarithme népérien - Exercice 109

2. Montrer que est la seule solution de l’équation sur .


3. Montrer que la suite définie par et, pour tout , est décroissante.


4. Montrer que, pour tout , .


5. On admet que converge et que sa limite vérifie Résoudre cette équation dans .



Aide
Démontrer que cette équation est équivalente à et faire le lien avec .


110
[Chercher.] ◉◉
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , bet tels que, pour tout , .
La représentation graphique de est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de , et .


Logarithme népérien - Exercice 110

111
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , et tels que, pour tout , .
La représentation graphique de est donnée ci‑après.

Déterminer les valeurs de , et .

Logarithmee népérien - Exercice 111


112
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout , et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
Fonctions ln(u)

1. Quel est le signe de  ? Justifier.


2. Que peut‑on dire du discriminant de  ?


3. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de , et .

113
[Chercher.]
On considère une fonction pour laquelle il existe trois nombres réels , et tels que, pour tout , et dont le tableau de variations est donné ci‑après.

1. Quel est le signe de  ?


2. Que peut on dire du discriminant de  ?


3. Quelles sont les racines de  ?


4. Déterminer la dérivée de en fonction de , et .


5. À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de , et  .


Fonctions ln(u)

114
[Chercher.] ◉◉◉
On considère deux fonctions et pour lesquelles il existe deux nombres réels et tels que, pour tout , et .
On suppose que la courbe de et la courbe de ont la même tangente au point d’abscisse dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de et .

115
[Modéliser.]
On note le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout , , où est exprimé en centaine d’euros.

1. On note , la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que, pour tout , .


2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée sur l’intervalle .
Logarithme népérien - Exercice 115

a. Montrer que l’équation admet une unique solution a dans l’intervalle . Donner une valeur approchée de à .


b. En déduire le signe de sur l’intervalle puis dresser le tableau de variations de la fonction sur ce même intervalle.


3. L’artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l’identique s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins  euros. Est‑ce envisageable ?

116
[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction définie par . Justifier.


Logarithme népérien - Exercice 116
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