Chapitre 8
Entraînement 3
Fonctions \ln(u)
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95
Flash
Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l'expression de la dérivée de la fonction f définie, pour tout x \in \left]-\frac{1}{2} ;+\infty \right[, par f(x)=\ln (2 x+1). Justifier. 1. \frac{2 x}{2 x+1}
2. \frac{2}{2 x+1}
3. \frac{x^{2}+1}{2 x}
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96
Flash
Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction g définie, pour tout x \in \R, par g(x)=~\ln \left(x^{2}+4 x+5\right)
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97
Flash
Soit f la fonction définie, pour tout x \in \R, par f(x)=\ln \left(\frac{1}{3} x^{2}-x+1\right). Étudier les variations de f.
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98
En informatique
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x \in \R, par f(x)=\ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right).
Remarque
Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.
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99
[Représenter.]
1. Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par f(x)=\ln \left(x^{2}-5 x+7\right).
2. À l'aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction f , pour x allant de -2 à 5 avec un pas de 0,5.
3. À l'aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
GeoGebra
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100
[Chercher.]
On considère la fonction g définie, pour tout x \in \R, par g(x)=\ln \left(x^{4}-x^{2}+1\right). 1. Étudier les variations de g sur son ensemble de définition.
2. En déduire le nombre de solutions de l'équation g(x) = -0,2.
3. Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à 10^{-2} près.
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101
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x>-1, par f(x)=\ln (x+1)+x^{2}+x+1.
Aide
On pourra commencer par montrer que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2}+3 x+2}{x+1}.
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102
[Raisonner.]
Montrer que la fonction f définie, pour tout x \in] 1 ~;~+\infty[, par \ln (x+\sqrt{x^{2}-1}) est strictement croissante sur ] 1~;~+\infty[
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103
[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée. 1. \nobreakspace{f_{1}: x \mapsto \frac{2}{3 x}}
2. \nobreakspace{f_{2}: x \mapsto \frac{2}{3(4 x+1)}}
3. \nobreakspace{f_{3}: x \mapsto \frac{7 x-7}{x^{2}+3 x+2}}
Aide
Démontrer que \frac{x-1}{x^{2}+3 x+2}=~\frac{3}{x+2}-\frac{2}{x+1}.
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104
Algo
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel. On considère la fonction g_n définie par :
g_{n}(x)=\ln \left(x^{2 n+1}+x\right)
On note \text{I}_n l'ensemble de définition de g_n.
1.
Montrer que \left.\mathrm{I}_{n}=~\right] 0~;~+\infty[
2. Montrer que g_n est strictement croissante sur \text{I}_n.
3. a. Montrer que g_n s'annule une et une seule fois sur \text{I}_n. On note \alpha_n le réel tel que g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0.
b. À l'aide d'un algorithme de dichotomie, donner, pour n = 2, une valeur approchée de \alpha_2 à 10^{-2} près.
Préciser les valeurs approchées de \alpha_2 au cours de chaque étape de l'algorithme.
4. Conjecturer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de \alpha_n.
2. Montrer que g_n est strictement croissante sur \text{I}_n.
3. a. Montrer que g_n s'annule une et une seule fois sur \text{I}_n. On note \alpha_n le réel tel que g_{n}\left(\alpha_{n}\right)=0.
b. À l'aide d'un algorithme de dichotomie, donner, pour n = 2, une valeur approchée de \alpha_2 à 10^{-2} près.
Préciser les valeurs approchées de \alpha_2 au cours de chaque étape de l'algorithme.
4. Conjecturer, à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de \alpha_n.
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105
[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l'aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture. On note \operatorname{argth} la fonction définie sur un intervalle \text{I} par \operatorname{argth}(x)=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) et C sa représentation graphique.
1.
Quel est l'ensemble de définition \text{I} de la fonction \operatorname{argth} ?
2. Démontrer que la dérivée de la fonction \operatorname{argth} sur son ensemble de définition est définie par \operatorname{argth}^{\prime}(x)=~\frac{1}{1-x^{2}}.
3. Étudier les variations de la fonction \operatorname{argth} ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
2. Démontrer que la dérivée de la fonction \operatorname{argth} sur son ensemble de définition est définie par \operatorname{argth}^{\prime}(x)=~\frac{1}{1-x^{2}}.
3. Étudier les variations de la fonction \operatorname{argth} ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
4.
Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de \operatorname{argth} au point d'abscisse 0. On note \text{T} cette tangente.
5. Étudier la position relative de \text{T} et C.
5. Étudier la position relative de \text{T} et C.
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106
[Calculer.]
Pour tout x \in] 1~;~+\infty[, on définit la fonction \operatorname{ch} par \operatorname{ch}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}. Montrer que, pour tout \nobreakspace{x \in] 1~;~+\infty[}, \operatorname{ch}(\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}))=x.
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107
[Chercher.]
On considère la fonction f définie sur \R^* par :
f(x)=\ln \left(x^{2}\right).
Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à f ? Justifier.
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108
[Chercher.]
Soit n \in \mathbb{N}^{*}. On considère la fonction f_n définie par :
f_{n}(x)=\ln \left(\mathrm{e}^{n x}-x\right).
1.
Montrer que f_n est définie pour tout x \in \mathbb{R}.2. Montrer que f_n admet un minimum en x_{n}=-\frac{\ln (n)}{n}.
Préciser alors l'ordonnée du point \text{A}_n d'abscisse x_n sur la représentation graphique de f_n.
3. Conjecturer la position asymptotique de \text{A}(n) à l'aide du programme python suivant.
from numpy import log as ln
for n in range(1, 10000, 500):
print(-ln(n)/n)
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109
[Chercher.]
1. Montrer que la fonction f définie, pour tout x \in \R, par f(x)=\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e} \times x est croissante sur [1 ~;~+\infty[. La représentation graphique de la fonction f est donnée ci‑dessous.
2. Montrer que 1 est la seule solution de l'équation f(x) = 0 sur [1 ~;~+\infty[.
3. Montrer que la suite (u_n) définie par u_0=10 et, pour tout n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=~\ln \left(u_{n}\right)+1 est décroissante.
4. Montrer que, pour tout n \in \N, u_{n} \geqslant 1.
5. On admet que (u_n) converge et que sa limite vérifie \ln (x)-x+1=~0 Résoudre cette équation dans \R.
Aide
Démontrer que cette équation est équivalente à e \times x=e^{x} et faire le lien avec f .
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110
[Chercher.]
On considère une fonction f pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x~\in~\R, f(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right). La représentation graphique de f est donnée ci‑après.
Déterminer les valeurs de a, b et c.
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111
[Chercher.]
On considère une fonction g pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x \in \R, g(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right). La représentation graphique de g est donnée ci‑après.
Déterminer les valeurs de a, b et c.
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112
[Chercher.]
On considère une fonction k pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x~\in~\R, k(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
2. Que peut‑on dire du discriminant de a x^{2}+b x+c ?
3. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c.
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113
[Chercher.]
On considère une fonction \ell pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x \in]-3 ;-2[, \ell(x)=\ln \left(a x^{2}+b x+c\right) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
1.
Quel est le signe de a ?
2. Que peut on dire du discriminant de ax^2 + bx + c ?
3. Quelles sont les racines de ax^2 + bx + c ?
2. Que peut on dire du discriminant de ax^2 + bx + c ?
3. Quelles sont les racines de ax^2 + bx + c ?
4.
Déterminer la dérivée de \ell en fonction de a, b et c.
5. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c .
5. À l'aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c .
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114
[Chercher.]
On considère deux fonctions f et g pour lesquelles il existe deux nombres réels a \gt 0 et b tels que, pour tout x \in \left] \frac{-b}{a} \: ; +\infty \right[, f(x)=~x^{2}+1. et g(x)=~\ln (a x+b). On suppose que la courbe de f et la courbe de g ont la même tangente au point d'abscisse 1 dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de a et b.
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115
[Modéliser.]
On note \text{B}(x) le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de x centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout x \in[1~;~3], \mathrm{B}(x)=~-10 x^{2}+10 x+20 x \ln (x), où \text{B}(x) est exprimé en centaine d'euros.
1.
On note \text{B}^\prime, la fonction dérivée de la fonction \text{B}.
Montrer que, pour tout x \in[1~;~3], \mathrm{B}^{\prime}(x)=~-20 x+20 \ln (x)+30.
2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée \text{B}^\prime sur l'intervalle [1~;~3].
a. Montrer que l'équation \text{B}^\prime (x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle [1~;~3]. Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2}.
Montrer que, pour tout x \in[1~;~3], \mathrm{B}^{\prime}(x)=~-20 x+20 \ln (x)+30.
2. On donne le tableau de variations de la fonction dérivée \text{B}^\prime sur l'intervalle [1~;~3].
a. Montrer que l'équation \text{B}^\prime (x) = 0 admet une unique solution a dans l'intervalle [1~;~3]. Donner une valeur approchée de \alpha à 10^{-2}.
b.
En déduire le signe de \text{B}^\prime (x) sur l'intervalle [1~;~3] puis dresser le tableau de variations de la fonction \text{B} sur ce même intervalle.
3. L'artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l'identique s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est‑ce envisageable ?
3. L'artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l'identique s'il peut atteindre un bénéfice d'au moins 850 euros. Est‑ce envisageable ?
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116
[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction f définie par f(x)=x \ln (x)+(1-x) \ln (1-x). Justifier.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
