Trouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond à l’expression de la dérivée de la fonction f définie, pour tout x∈]−21;+∞[, par f(x)=ln(2x+1). Justifier.
1. 2x+12x
2. 2x+12
3. 2xx2+1
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96
FLASH
Sans calculer sa dérivée, dresser le tableau de variations de la fonction g définie, pour tout x∈R, par g(x)=ln(x2+4x+5)
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97
FLASH
Soit f la fonction définie, pour tout x∈R, par f(x)=ln(31x2−x+1).
Étudier les variations de f.
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98
EN INFORMATIQUE
[Communiquer.]
◉◉◉
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout
x∈R, par f(x)=ln(1+ex).
Remarque
Cette fonction est très utile en intelligence artificielle.
Elle porte le nom de fonction SoftPlus.
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99
[Représenter.]
1.
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x∈R, par f(x)=ln(x2−5x+7).
2.
À l’aide de la calculatrice, reproduire un tableau de valeurs de la fonction f , pour x allant de −2 à 5 avec un pas de 0,5.
3.
À l’aide de ce tableau, tracer la représentation graphique de f dans un repère orthonormé.
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100
[Chercher.]
On considère la fonction g définie, pour tout x∈R, par g(x)=ln(x4−x2+1).
1.
Étudier les variations de g sur son ensemble de définition.
2.
En déduire le nombre de solutions de l’équation g(x)=−0,2.
3.
Donner une valeur approchée de chacune de ces solutions à 10−2 près.
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101
[Communiquer.]
Étudier les variations de la fonction f définie, pour tout x>−1, par f(x)=ln(x+1)+x2+x+1.
Aide
On pourra commencer par montrer que, pour tout réel x, f′(x)=x+12x2+3x+2.
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102
[Raisonner.]
◉◉◉
Montrer que la fonction f définie, pour tout x∈]1;+∞[, par ln(x+x2−1) est strictement croissante sur ]1;+∞[
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103
[Raisonner.]
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la fonction dont elle est la dérivée.
1. f1:x↦3x2
2. f2:x↦3(4x+1)2
3. f3:x↦x2+3x+27x−7
Aide
Démontrer que x2+3x+2x−1=x+23−x+12.
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104
ALGO
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel.
On considère la fonction gn définie par :
gn(x)=ln(x2n+1+x)
On note In l’ensemble de définition de gn.
1.
Montrer que In=]0;+∞[
2.
Montrer que gn est strictement croissante sur In.
3. a.
Montrer que gn s’annule une et une seule fois sur In. On note αn le réel tel que gn(αn)=0.
b.
À l’aide d’un algorithme de dichotomie, donner, pour n=2, une valeur approchée de α2 à 10−2 près.
Préciser les valeurs approchées de α2 au cours de chaque étape de l’algorithme.
4.
Conjecturer, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, le comportement asymptotique de αn.
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105
[Raisonner.]
Pour chacune des questions 1., 3., 4. et 5. de cet exercice, conjecturer la réponse à l’aide de la calculatrice, puis démontrer la conjecture.
On note argth la fonction définie sur un intervalle I par
argth(x)=21ln(1−x1+x) et C sa représentation graphique.
1.
Quel est l’ensemble de définition I de la fonction argth ?
2.
Démontrer que la dérivée de la fonction argth sur son ensemble de définition est définie par argth′(x)=1−x21.
3.
Étudier les variations de la fonction argth ainsi que ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
4.
Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de argth au point d’abscisse 0. On note T cette tangente.
5.
Étudier la position relative de T et C.
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106
[Calculer.]
Pour tout x∈]1;+∞[, on définit la fonction ch par ch(x)=2ex+e−x. Montrer que, pour tout x∈]1;+∞[, ch(ln(x+x2−1))=x.
Remarque
La fonction notée argch définie, pour tout x>1, par argch(x)=ln(x+x2−1) est une fonction de référence étudiée après le bac.
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107
[Chercher.]
◉◉◉
On considère la fonction f définie sur R∗ par :
f(x)=ln(x2).
Parmi les trois représentations graphiques ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à f ? Justifier.
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108
[Chercher.]
Soit n∈N∗. On considère la fonction fn définie par :
fn(x)=ln(enx−x).
1.
Montrer que fn est définie pour tout x∈R.
2.
Montrer que fn admet un minimum en xn=−nln(n).
Préciser alors l’ordonnée du point An d’abscisse xn sur la représentation graphique de fn.
3.
Conjecturer la position asymptotique de A(n) à l’aide du programme python suivant :
from numpy import log as ln
for n in range(1, 10000, 500):
print(-ln(n)/n)
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109
[Chercher.]
1.
Montrer que la fonction f définie, pour tout x∈R, par f(x)=ex−e×x est croissante sur [1;+∞[.
La représentation graphique de la fonction f est donnée ci‑dessous.
2.
Montrer que 1 est la seule solution de l’équation f(x)=0 sur [1;+∞[.
3.
Montrer que la suite (un) définie par u0=10 et, pour tout n∈N, un+1=ln(un)+1 est décroissante.
4.
Montrer que, pour tout n∈N, un⩾1.
5.
On admet que (un) converge et que sa limite vérifie ln(x)−x+1=0 Résoudre cette équation dans R.
Aide
Démontrer que cette équation est équivalente à e×x=ex et faire le lien avec f.
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110
[Chercher.]
◉◉◉
On considère une fonction f pour laquelle il existe trois nombres réels a, bet c tels que, pour tout x∈R, f(x)=ln(ax2+bx+c).
La représentation graphique de f est donnée ci‑après.
Déterminer les valeurs de a, b et c.
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111
[Chercher.]
On considère une fonction g pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x∈R, g(x)=ln(ax2+bx+c).
La représentation graphique de g est donnée ci‑après.
Déterminer les valeurs de a, b et c.
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112
[Chercher.]
On considère une fonction k pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x∈R, k(x)=ln(ax2+bx+c) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
1.
Quel est le signe de a ? Justifier.
2.
Que peut‑on dire du discriminant de ax2+bx+c ?
3.
À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c.
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113
[Chercher.]
On considère une fonction ℓ pour laquelle il existe trois nombres réels a, b et c tels que, pour tout x∈]−3;−2[, ℓ(x)=ln(ax2+bx+c) et dont le tableau de variations est donné ci‑après.
1.
Quel est le signe de a ?
2.
Que peut on dire du discriminant de ax2+bx+c ?
3.
Quelles sont les racines de ax2+bx+c ?
4.
Déterminer la dérivée de ℓ en fonction de a, b et c.
5.
À l’aide du tableau de variations, déterminer les valeurs de a, b et c .
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114
[Chercher.]
◉◉◉
On considère deux fonctions f et g pour lesquelles il existe deux nombres réels a>0 et b tels que, pour tout x∈]a−b;+∞[, f(x)=x2+1. et g(x)=ln(ax+b).
On suppose que la courbe de f et la courbe de g ont la même tangente au point d’abscisse 1 dans un repère orthonormé. Déterminer alors les valeurs de a et b.
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115
[Modéliser.]
On note B(x) le bénéfice réalisé par un artisan glacier pour la vente de x centaines de litres de sorbets fabriqués. On sait que, pour tout x∈[1;3], B(x)=−10x2+10x+20xln(x), où B(x) est exprimé en centaine d’euros.
1.
On note B′, la fonction dérivée de la fonction B.
Montrer que, pour tout x∈[1;3], B′(x)=−20x+20ln(x)+30.
2.
On donne le tableau de variations de la fonction dérivée B′ sur l’intervalle [1;3].
a.
Montrer que l’équation B′(x)=0 admet une unique solution a dans l’intervalle [1;3]. Donner une valeur approchée de α à 10−2.
b.
En déduire le signe de B′(x) sur l’intervalle [1;3] puis dresser le tableau de variations de la fonction B sur ce même intervalle.
3.
L’artisan glacier a décidé de maintenir sa production à l’identique s’il peut atteindre un bénéfice d’au moins 850 euros. Est‑ce envisageable ?
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116
[Chercher.]
Parmi les courbes suivantes, trouver la représentation graphique de la fonction f définie par f(x)=xln(x)+(1−x)ln(1−x). Justifier.
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