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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 8
Synthèse
Exercices de synthèse
117
Devoir maison
[Raisonner, Communiquer.]
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels x et y strictement positifs, ln(xy)=ln(x)+ln(y).
1. Montrer que, pour tout α∈R, la fonction f:x↦αln(x) possède la même propriété, c'est‑à‑dire que, pour tous réels x et y strictement positifs :
f(xy)=f(x)+f(y).
2.
L'objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c'est‑à‑dire :
« Si f est dérivable sur un intervalle I et vérifie, pour tous réels strictement positifs x et y, l'identité f(xy)=f(x)+f(y), alors il existe α∈R tel que, pour tout x∈]0;+∞[, f(x)=αln(x). »
Pour cela, on considère une fonction f dérivable sur ]0;+∞[ vérifiant, pour tous x et y réels strictement positifs, la propriété f(xy)=f(x)+f(y).
a. Déterminer f(1).
b. On considère la fonction g définie, pour tout y∈]0;+∞[, par g(y)=f(xy)−f(y) où x un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que g est une fonction constante.
c. En déduire, à l'aide de g′, qu'il existe un nombre réel α tel que, pour tout x>0, f′(x)=xα.
d. Déduire des questions précédentes que, pour tout
x>0, f(x)=αln(x)+k et justifier que k=0.
118
Démo
[Raisonner, Chercher.]
1. Montrer que, pour tout x∈]0;+∞[ :
ln(1+x)−x⩽0.
2. Montrer que, pour tout x∈]0;+∞[ :
ln(1+x)−x+2x2⩾0.
3. Montrer que, pour tout x∈]0;+∞[ :
x−2x2⩽ln(1+x)⩽x.
4. En déduire x→0x>0limxln(1+x).
119
[Calculer, Modéliser.]
On considère la fonction f définie, pour tout x>0, par :
f(x)=xln(x).
1. Étudier les variations de f sur ]0;+∞[.
2. Étudier les limites de f en 0 et en +∞.
3. En déduire que pour tout nombre entier n>2 on a :
nn+1>(n+1)n
120
Python
[Chercher, Modéliser.]
À l'aide d'un programme réalisé avec Python, résoudre dans N l'inéquation suivante : 2n⩾n2
121
[Calculer, Communiquer.]
Soient f la fonction définie, pour tout x∈]0;+∞[, par f(x)=(−x+3)ln(x) et g la fonction définie sur ]0;+∞[ par g(x)=x3−1−ln(x).
Partie A
1. Déterminer la dérivée g′ de g sur ]0;+∞[.
2. En déduire le sens de variations de g sur ]0;+∞[.
3. Calculer g(1) et g(2) et en déduire qu'il existe un unique α∈]0;+∞[ tel que g(α)=0.
On donnera une valeur approchée de α à 10−2 près.
Partie B
1. Déterminer la dérivée f′ de f sur ]0;+∞[.
2. Déduire de la partie A les variations de f sur ]0;+∞[.
3. En utilisant une méthode similaire, étudier les variations de la fonction h définie sur ]0;+∞[ par : h(x)=(2x−3)ln(x).
122
[Calculer, Communiquer.]
On appelle « logarithme de base 10 », et on note log, la fonction définie, pour tout x∈