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Synthèse
P.258-261

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117
DEVOIR MAISON
[Raisonner, Communiquer.]
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels xx et yy strictement positifs, ln(xy)=ln(x)+ln(y)\ln (x y)=\ln (x)+\ln (y).

1. Montrer que, pour tout αR\alpha \in \R, la fonction  f:xαln(x)\nobreakspace{f: x \mapsto \alpha \ln (x)} possède la même propriété, c’est‑à‑dire que, pour tous réels xx et yy strictement positifs :
f(xy)=f(x)+f(y)f(x y)=f(x)+f(y).


2. L’objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c’est‑à‑dire :
« Si ff est dérivable sur un intervalle I\text{I} et vérifie, pour tous réels strictement positifs xx et yy, l’identité f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y), alors il existe αR\alpha \in \R tel que, pour tout x]0 ; +[x \in] 0~;~+\infty[, f(x)=αln(x)f(x)=\alpha \ln (x). »
Pour cela, on considère une fonction ff dérivable sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[ vérifiant, pour tous xx et yy réels strictement positifs, la propriété f(xy)=f(x)+f(y)f(xy) = f(x) + f(y).
a. Déterminer f(1)f(1).


b. On considère la fonction gg définie, pour tout y]0 ; +[y \in] 0~;~+\infty[, par g(y)= f(xy)f(y)g(y)=~f(xy)-f(y)xx un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que gg est une fonction constante.


c. En déduire, à l’aide de gg^\prime, qu’il existe un nombre réel α\alpha tel que, pour tout x > 0x~\gt~0, f(x)=αxf^{\prime}(x)=\dfrac{\alpha}{x}.


<qmath id="2d" width="90%"> d. Déduire des questions précédentes que, pour tout x > 0x~\gt~0, f(x)=αln(x)+kf(x)=\alpha \ln (x)+k et justifier que k=0k=0.
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118
[Raisonner, Chercher.]
[DÉMO]

1. Montrer que, pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[ :
ln(1+x)x0\ln (1+x)-x \leqslant 0.


2. Montrer que, pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[ :
ln(1+x)x+x220\ln (1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2} \geqslant 0.


3. Montrer que, pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[ :
xx22ln(1+x)xx-\dfrac{x^{2}}{2} \leqslant \ln (1+x) \leqslant x.


4. En déduire limx0x>0ln(1+x)x\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \dfrac{\ln (1+x)}{x}.
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119
[Calculer, Modéliser.]
On considère la fonction ff définie, pour tout x > 0,x~\gt~0, par :
f(x)=ln(x)xf(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}.
1. Étudier les variations de ff sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[.


2. Étudier les limites de ff en 00 et en ++\infty.


3. En déduire que pour tout nombre entier n > 2n~\gt~2 on a :
nn+1>(n+1)nn^{n+1}>(n+1)^{n}
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120
PYTHON
[Chercher, Modéliser.]
À l’aide d’un programme réalisé avec Python, résoudre dans N\N l’inéquation suivante : 2nn22^{n} \geqslant n^{2}


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121
[Calculer, Communiquer.]
Soient ff la fonction définie, pour tout x]0;+[x \in] 0 ;+\infty[, par f(x)=(x+3)ln(x)f(x) = (-x + 3) \ln(x) et gg la fonction définie sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ par g(x)=3x1ln(x)g(x)=\dfrac{3}{x}-1-\ln (x).

Partie A
1. Déterminer la dérivée gg^\prime de gg sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.


2. En déduire le sens de variations de gg sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.


3. Calculer g(1)g(1) et g(2)g(2) et en déduire qu’il existe un unique α]0 ; +[\alpha \in ]0~;~+\infty[ tel que g(α)= 0g( \alpha ) =~0.
On donnera une valeur approchée de α\alpha à 10210^{-2} près.


Partie B
1. Déterminer la dérivée ff^\prime de ff sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.


2. Déduire de la partie A les variations de ff sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.


3. En utilisant une méthode similaire, étudier les variations de la fonction hh définie sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[ par : h(x)=(2x3)ln(x)h(x)=(2 x-3) \ln (x).
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122
[Calculer, Communiquer.]
On appelle « logarithme de base 10 », et on note log\log, la fonction définie, pour tout x  ]0x~\in~] 0, +[+\infty[, par :
log(x)=ln(x)ln(10)\log (x)=\dfrac{\ln (x)}{\ln (10)}.

1. Calculer log(1)\log (1), log(10)\log (10) et log(10n)\log (10^n) pour tout nNn \in \N.


2. Établir les variations de la fonction log\log.



Remarque
On pourra utiliser ces résultats pour les exercices
123
et
124
ci‑après.
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123
[Calculer, Modéliser.]
Le niveau de bruit d’une source sonore se mesure en décibels (dB). La formule qui donne le niveau de bruit en fonction de l’intensité I\text{I} (en W·m–2) de la source est N=10log(II0)\mathrm{N}=10 \log \left(\dfrac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}_{0}}\right), où I0\text{I}_0 est l’intensité d’un bruit inaudible (I0=1012\text{I}_0=10^{-12} W·m–2).

1. Quelle est l’intensité sonore (en W·m–2) d’un avion qui décolle avec un niveau de bruit de 120120 dB ?


2. De combien de décibels le niveau de bruit augmente‑t‑il lorsque l’intensité de la source double ?


3. Par combien faut‑il multiplier l’intensité d’une source sonore pour que son niveau de bruit augmente de 1010 dB ?


Logarithme népérien - Exercice 123 - Instruments à cordes
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124
EN CHIMIE
[Modéliser, Communiquer.]
Pour mesurer l’acidité d’une solution, le chimiste se sert du logarithme de base 10 : le potentiel hydrogène d’un liquide (ou pH) mesure l’acidité d’un liquide. Le pH est défini par la relation pH=log(C)\mathrm{pH}=-\log (\mathrm{C})C\text{C} est la concentration en ions hydrogène du liquide en mol·L–1.

1. Quel est le pH d’une solution concentrée à 10510^{-5} mol·L–1 ?


2. On dit qu’un liquide a un pH neutre lorsque son pH est compris entre 6,56,5 et 7,57,5. Donner un encadrement de la concentration en ions hydrogène pour un liquide de pH neutre.


3. Si le pH baisse de 1,0791,079, par combien la concentration en ions hydrogène a été multipliée ?


Logarithme népérien - Synthèse
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125
[Calculer, Modéliser.]
À la mort d’un être vivant, la proportion de carbone 14 que contient son corps commence à décroître. La durée en année tt écoulée depuis la mort de l’organisme peut être exprimée en fonction de la proportion C\text{C} de carbone 14 dans l’organisme au temps tt par la formule suivante : t=11,21×104ln(1012C)t=\dfrac{1}{1,21 \times 10^{-4}} \ln \left(\dfrac{10^{-12}}{\mathrm{C}}\right).

1. Depuis combien de temps un animal, dont la proportion en carbone 14 est C=2×1013\text{C} = 2 \times 10^{-13}, est‑il mort ?


2. Exprimer C\text{C} en fonction de tt.


3. Quelle proportion du carbone 14 initiale reste‑t‑il dans le corps d’un être vivant mort depuis 10 000 ans ?


4. Si la quantité de carbone 14 dans un échantillon E1\text{E}_1 est le double de la quantité de carbone 14 dans un échantillon E2\text{E}_2, déterminer le temps écoulé entre la mort des deux êtres vivants à l’origine de ces deux échantillons.


Logarithme népérien - Exercice 125 - Squelette tyrannosaure
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126
EN NSI
[Calculer, Modéliser.]
Les ordinateurs représentent les nombres en notation binaire, c’est‑à‑dire uniquement avec des 00 et des 11. Afin de savoir combien de chiffres binaires sont nécessaires à l’écriture d’un nombre entier strictement positif donné, on utilise la formule suivante : B=ln(D)ln(2)+1\mathrm{B}=\dfrac{\ln (\mathrm{D})}{\ln (2)}+1, ou D\text{D} est le nombre que l’on cherche à exprimer en binaire. On appelle partie entière de B\text{B} le nombre entier E(B)\text{E(B)} tel que E(B)B<E(B)+1\mathrm{E}(\mathrm{B}) \leqslant \mathrm{B}\lt\mathrm{E}(\mathrm{B})+1 On admet que E(B)\text{E(B)} est le nombre de chiffres nécessaires pour écrire D\text{D} en binaire.

1. Calculer B\text{B} pour D = 2\text{D = 2}, D = 4\text{D = 4}, D = 16\text{D = 16} et D = 18\text{D = 18}.


2. Combien de chiffres faut‑il pour exprimer le nombre 1212 en binaire ?


3. De combien de caractères l’écriture binaire de 212212 sera‑t‑elle composée ?


4. Quels sont les nombres entiers positifs s’écrivant avec exactement trois chiffres binaires ?


Logarithme népérien - Exercice 126 - Circuit imprimé
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127
[Calculer, Raisonner.]
Soit kk un entier strictement positif.

Partie A
On définit la fonction fkf_k pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[ par :
fk(x)=ln(x)xkf_{k}(x)=\dfrac{\ln (x)}{x^{k}}.

1. Montrer que, pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[, ln(x)x\ln (x) \leqslant x.


2. Montrer que fk(1)=0f_k(1)=0.


3. Étudier les variations de fkf_k.
On montrera notamment que :

a. fkf_k admet un maximum dont on précisera les coordonnées en fonction de kk ;


a. dans un repère, la courbe représentative de fkf_k admet deux asymptotes dont on précisera les équations.


Partie B
On définit la fonction gkg_k pour tout x ]0 ; +[x~\in] 0~;~+\infty[ par gk(x)=xkln(x)g_{k}(x)=x^{k} \ln (x).

1. Montrer que gk(1)=0g_{k}(1)=0.


2. Étudier les variations de gkg_k sur ]0 ; +[] 0 ~;~+\infty[. On montrera notamment que :
a. gkg_k admet un minimum dont on précisera les coordonnées en fonction de kk ;


b. limx0gk(x)=0\lim \limits_{x \rightarrow 0} g_{k}(x)=0 et que limx+gk(x)=+\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g_{k}(x)=+\infty.
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128
[Chercher, Représenter.]
Quel est le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormé  (O;i,j)\nobreakspace{(O \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j})} qui est le plus proche de l’origine du repère ?



Indication
On pourra démontrer que si M(x ; y)\text{M(x~;~y)} est sur la courbe représentative de la fonction ln\ln, alors OM=x2+(ln(x))2\mathrm{OM}=\sqrt{x^{2}+(\ln (x))^{2}}.


Logarithme népérien - Exercice 128 - Courbe

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129
[Modéliser, Raisonner.]
Logarithme népérien - Exercice 129 - Fleur de nénuphar
Sur un étang se trouve un nénuphar. La surface de ce nénuphar double tous les jours. Le nénuphar occupe toute la surface de l’étang au bout d’exactement 20 jours. Au bout de combien de temps le nénuphar a‑t‑il recouvert 75 % de l’étang ?

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130
[Chercher, Raisonner.]
Soit un entier n1n \geqslant 1. On note lnn\ln_n la fonction définie par ln1(x)=ln(x)\ln _{1}(x)=\ln (x) et, pour tout entier n1,lnn+1(x)= lnn(ln(x))n \geqslant 1, \ln _{n+1}(x)=~\ln _{n}(\ln (x)).

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction lnn\ln_n.
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131
[Chercher, Communiquer.]
Au lycée de Jason, le professeur de mathématiques a dit que l’on ne pouvait pas inverser le rôle d’un nombre et de son exposant dans un calcul. Par exemple, 232^3 et 323^2 ne sont pas égaux. Jason, se demande pourtant si, dans certains cas particuliers, il y a égalité entre aba^b et bab^a.
Aider Jason à répondre à cette question.



Aide
On pourra étudier la fonction x  ln(x)xx~\mapsto~\dfrac{\ln (x)}{x}.

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132
[Calculer, Représenter.]
Dans un repère orthonormé  (O;i,j)\nobreakspace{(O \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j})}, on note Mθ\text{M}_\theta les points tels que OMθ=ln(θ)\mathrm{OM}_{\theta}=\ln (\theta)θ\theta est l'angle orienté (i;OMθ)(\overrightarrow{i} \: ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{\theta}}).

1. Placer Mθ\text{M}_\theta pour θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}, θ=π\theta=\pi, θ=3π2\theta=\dfrac{3 \pi}{2} et θ=2π\theta=2 \pi.


2. Pour toutes les valeurs de θ\theta de la forme kπ2\dfrac{k \pi}{2}kk prend toutes les valeurs entières de 4-4 à 44, placer les points Mθ\text{M}_\theta et les relier.
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133
DÉFI
[Chercher, Modéliser.]
Les nombres premiers sont répartis de manière a priori irrégulière. Cependant, il est possible de démontrer que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre réel xx est approximativement xln(x)\dfrac{x}{\ln (x)} quand xx est grand.

À l’aide d’un programme Python, évaluer la pertinence de cette affirmation.

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Logarithme népérien - Histoire des maths - La vallée Poussin

Histoire des maths

La machine Enigma est l’œuvre d’Arthur Scherbius, mort en 1929 avant de savoir quel usage l’armée allemande ferait de son invention.

Gauss et Legendre, à la fin du XVIIIe siècle, avaient déjà conjecturé empiriquement ce résultat. Il faut attendre Hadamard et La vallée Poussin pour une démonstration du « théorème des nombres premiers » en 1896. Ils montrent plus précisément que limx+π(x)×ln(x)x=1\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \pi(x) \times \dfrac{\ln (x)}{x}=1π(x)\pi(x) représente le nombre de nombres premiers inférieurs à xx.

134
APPROFONDISSEMENT

On cherche à déterminer limn+(1+xn)n\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}.

1. Soit xx un réel non nul fixé. On admet qu’il existe alors toujours un entier nn suffisamment grand tel que 1+xn>01+\dfrac{x}{n}\gt0.
a. Démontrer que, pour nn suffisamment grand :
(1+xn)n=exp(x×ln(1+xn)xn)\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=exp \left(x \times \dfrac{\ln \left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}\right).


b. Montrer que limh0ln(1+h)h=1\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+h)}{h}=1.


2. Étudier le cas x = 0x~=~0.


Aide
On pourra utiliser la dérivabilité de la fonction ln\text{ln} en 11.
3. Proposer un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de e4\text{e}^4 à l’aide de ce résultat.
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135
APPROFONDISSEMENT

Soit α\alpha un nombre réel strictement positif. On appelle fonction puissance de base α\alpha la fonction f définie, pour tout  x]0 ;+[\nobreakspace{x \in] 0\ ;+\infty[}, par f(x)= eαln(x)f(x)=~\mathrm{e}^{\alpha \ln (x)}.
Pour tout  x]0 ;+[\nobreakspace{x \in] 0\ ;+\infty[}, on pose alors f(x)=xαf(x) = x^\alpha.

1. Calculer f(1)f(1) et f(e)f(\text{e}).


2. Montrer que ff est strictement croissante sur ]0 ; +[] 0~;~+\infty[.


3. Montrer que, pour tous réels xx et yy strictement positifs, f(x×y)= f(x)×f(y)f(x \times y)=~f(x) \times f(y).


4. Si α\alpha est un entier naturel strictement positif, quel type de fonction retrouve‑t‑on ?


5. Montrer que cette définition de ff permet d’écrire que, pour tout x > 0x~\gt~0, x12= xx^{\normalsize\tfrac{1}{2}}=~\sqrt{x}.
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136
APPROFONDISSEMENT

Soit ff la fonction définie, pour tout x>0x > 0, par f(x)=exln(x)f(x)=\text e^{x \ln (x)}.

1. Justifier, à l’aide de l’exercice 135, la notation f(x)=xxf(x)=x^{x}.


2. Calculer f(1)f(1) et f(e)f(\text e).


3. Justifier que, pour tout x>0,f(x)>0x>0, f(x)>0.


4. Calculer limx+f(x)\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x) et limx0f(x)\lim\limits_{\substack{x \to 0}}f(x).


5. Démontrer que, pour tout x>0x > 0, f(x)=(1+ln(x))×f(x)f^{\prime}(x)=(1+\ln (x)) \times f(x) En déduire le sens de variation de ff.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ,  ,  à  ,  ,  et  p. 432

Le Grand Oral

Présenter votre projet d'orientation

Exemple de sujet : Les tables de logarithmes de Neper et Briggs et leurs utilisations historiques.

Méthode

La dernière partie du Grand Oral consiste en un entretien de 5 minutes avec le jury sur votre projet d’orientation.

Le jury attend de vous que vous puissiez présenter votre démarche et vos projets d’orientation, et expliquer le lien entre le sujet que vous avez choisi et ce projet.

Quelques conseils :
  • Votre projet d’orientation relève d’une démarche particulière. Partagez les étapes importantes de votre réflexion avec le jury : comment votre projet a‑t‑il mûri ? Grâce à quelles expériences (stages par exemple), à quelles rencontres (avec des enseignants, des professionnels, des personnes de votre entourage), à quelles lectures ? Comment avez-vous orienté vos études, notamment par le choix de vos spécialités, en vue de ce projet ?
  • Si vous n’avez pas d’idée précise de ce que vous voulez faire comme métier ou du domaine dans lequel vous souhaitez travailler plus tard. Faites part au jury de votre cheminement. Le jury appréciera que vous lui expliquiez vos hésitations.

Exemples de lien avec son projet d’orientation

La fonction logarithme a de nombreuses applications : en voici quelques-unes.

En chimie, le logarithme est utilisé pour calculer le pH d’une solution.

L’échelle de Richter utilisée par les sismologues est une échelle logarithmique.

Le niveau du bruit, exprimé en décibel, utilise également une échelle logarithmique.

En informatique, des algorithmes (de recherche dichotomique par exemple) ont une complexité logarithmique.

Les exercices , , et donnent également des exemples d’utilisations concrètes du logarithme.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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