Synthèse

DEVOIR MAISON

[Raisonner, Communiquer.]
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln (x y)=\ln (x)+\ln (y)$.

1. Montrer que, pour tout $\alpha \in \R$, la fonction $\nobreakspace{f: x \mapsto \alpha \ln (x)}$ possède la même propriété, c’est‑à‑dire que, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :
$f(x y)=f(x)+f(y)$.

2. L’objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c’est‑à‑dire :
« Si $f$ est dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et vérifie, pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, l’identité $f(xy) = f(x) + f(y)$, alors il existe $\alpha \in \R$ tel que, pour tout $x \in] 0~;~+\infty[$, $f(x)=\alpha \ln (x)$. »
Pour cela, on considère une fonction $f$ dérivable sur $] 0 ~;~+\infty[$ vérifiant, pour tous $x$ et $y$ réels strictement positifs, la propriété $f(xy) = f(x) + f(y)$.
a. Déterminer $f(1)$.


b. On considère la fonction $g$ définie, pour tout $y \in] 0~;~+\infty[$, par $g(y)=~f(xy)-f(y)$ où $x$ un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que $g$ est une fonction constante.


c. En déduire, à l’aide de $g^\prime$, qu’il existe un nombre réel $\alpha$ tel que, pour tout $x~\gt~0$, $f^{\prime}(x)=\dfrac{\alpha}{x}$.


<qmath id="2d" width="90%"> d. Déduire des questions précédentes que, pour tout $x~\gt~0$, $f(x)=\alpha \ln (x)+k$ et justifier que $k=0$.

[Raisonner, Chercher.]

[DÉMO]

1. Montrer que, pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$ :
$\ln (1+x)-x \leqslant 0$.

2. Montrer que, pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$ :
$\ln (1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2} \geqslant 0$.

3. Montrer que, pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$ :
$x-\dfrac{x^{2}}{2} \leqslant \ln (1+x) \leqslant x$.

4. En déduire $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \dfrac{\ln (1+x)}{x}$.

[Calculer, Modéliser.]
On considère la fonction $f$ définie, pour tout $x~\gt~0,$ par :
$f(x)=\dfrac{\ln (x)}{x}$. 1. Étudier les variations de $f$ sur $] 0 ~;~+\infty[$.


2. Étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.


3. En déduire que pour tout nombre entier $n~\gt~2$ on a :
$n^{n+1}>(n+1)^{n}$

PYTHON

[Chercher, Modéliser.]
À l’aide d’un programme réalisé avec Python, résoudre dans $\N$ l’inéquation suivante : $2^{n} \geqslant n^{2}$

[Calculer, Communiquer.]
Soient $f$ la fonction définie, pour tout $x \in] 0 ;+\infty[$, par $f(x) = (-x + 3) \ln(x)$ et $g$ la fonction définie sur $] 0~;~+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{3}{x}-1-\ln (x)$.

Partie A
1. Déterminer la dérivée $g^\prime$ de $g$ sur $] 0~;~+\infty[$.


2. En déduire le sens de variations de $g$ sur $] 0~;~+\infty[$.


3. Calculer $g(1)$ et $g(2)$ et en déduire qu’il existe un unique $\alpha \in ]0~;~+\infty[$ tel que $g( \alpha ) =~0$.
On donnera une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.


Partie B
1. Déterminer la dérivée $f^\prime$ de $f$ sur $] 0~;~+\infty[$.


2. Déduire de la partie A les variations de $f$ sur $] 0~;~+\infty[$.


3. En utilisant une méthode similaire, étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $] 0~;~+\infty[$ par : $h(x)=(2 x-3) \ln (x)$.

[Calculer, Communiquer.]
On appelle « logarithme de base 10 », et on note $\log$, la fonction définie, pour tout $x~\in~] 0$, $+\infty[$, par :
$\log (x)=\dfrac{\ln (x)}{\ln (10)}$.
1. Calculer $\log (1)$, $\log (10)$ et $\log (10^n)$ pour tout $n \in \N$.


2. Établir les variations de la fonction $\log$.

Remarque

On pourra utiliser ces résultats pour les exercices

123

et

124

ci‑après.

[Calculer, Modéliser.]
Le niveau de bruit d’une source sonore se mesure en décibels (dB). La formule qui donne le niveau de bruit en fonction de l’intensité $\text{I}$ (en W·m^–2) de la source est $\mathrm{N}=10 \log \left(\dfrac{\mathrm{I}}{\mathrm{I}_{0}}\right)$, où $\text{I}_0$ est l’intensité d’un bruit inaudible ($\text{I}_0=10^{-12}$ W·m^–2).

1. Quelle est l’intensité sonore (en W·m^–2) d’un avion qui décolle avec un niveau de bruit de $120$ dB ?


2. De combien de décibels le niveau de bruit augmente‑t‑il lorsque l’intensité de la source double ?


3. Par combien faut‑il multiplier l’intensité d’une source sonore pour que son niveau de bruit augmente de $10$ dB ?

EN CHIMIE

[Modéliser, Communiquer.]
Pour mesurer l’acidité d’une solution, le chimiste se sert du logarithme de base 10 : le potentiel hydrogène d’un liquide (ou pH) mesure l’acidité d’un liquide. Le pH est défini par la relation $\mathrm{pH}=-\log (\mathrm{C})$ où $\text{C}$ est la concentration en ions hydrogène du liquide en mol·L^–1.

1. Quel est le pH d’une solution concentrée à $10^{-5}$ mol·L^–1 ?


2. On dit qu’un liquide a un pH neutre lorsque son pH est compris entre $6,5$ et $7,5$. Donner un encadrement de la concentration en ions hydrogène pour un liquide de pH neutre.


3. Si le pH baisse de $1,079$, par combien la concentration en ions hydrogène a été multipliée ?

[Calculer, Modéliser.]
À la mort d’un être vivant, la proportion de carbone 14 que contient son corps commence à décroître. La durée en année $t$ écoulée depuis la mort de l’organisme peut être exprimée en fonction de la proportion $\text{C}$ de carbone 14 dans l’organisme au temps $t$ par la formule suivante : $t=\dfrac{1}{1,21 \times 10^{-4}} \ln \left(\dfrac{10^{-12}}{\mathrm{C}}\right)$.

1. Depuis combien de temps un animal, dont la proportion en carbone 14 est $\text{C} = 2 \times 10^{-13}$, est‑il mort ?


2. Exprimer $\text{C}$ en fonction de $t$.


3. Quelle proportion du carbone 14 initiale reste‑t‑il dans le corps d’un être vivant mort depuis 10 000 ans ?


4. Si la quantité de carbone 14 dans un échantillon $\text{E}_1$ est le double de la quantité de carbone 14 dans un échantillon $\text{E}_2$, déterminer le temps écoulé entre la mort des deux êtres vivants à l’origine de ces deux échantillons.

EN NSI

[Calculer, Modéliser.]
Les ordinateurs représentent les nombres en notation binaire, c’est‑à‑dire uniquement avec des $0$ et des $1$. Afin de savoir combien de chiffres binaires sont nécessaires à l’écriture d’un nombre entier strictement positif donné, on utilise la formule suivante : $\mathrm{B}=\dfrac{\ln (\mathrm{D})}{\ln (2)}+1$, ou $\text{D}$ est le nombre que l’on cherche à exprimer en binaire. On appelle partie entière de $\text{B}$ le nombre entier $\text{E(B)}$ tel que $\mathrm{E}(\mathrm{B}) \leqslant \mathrm{B}\lt\mathrm{E}(\mathrm{B})+1$ On admet que $\text{E(B)}$ est le nombre de chiffres nécessaires pour écrire $\text{D}$ en binaire.

1. Calculer $\text{B}$ pour $\text{D = 2}$, $\text{D = 4}$, $\text{D = 16}$ et $\text{D = 18}$.


2. Combien de chiffres faut‑il pour exprimer le nombre $12$ en binaire ?


3. De combien de caractères l’écriture binaire de $212$ sera‑t‑elle composée ?


4. Quels sont les nombres entiers positifs s’écrivant avec exactement trois chiffres binaires ?

[Calculer, Raisonner.]
Soit $k$ un entier strictement positif.

Partie A
On définit la fonction $f_k$ pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$ par :
$f_{k}(x)=\dfrac{\ln (x)}{x^{k}}$.
1. Montrer que, pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$, $\ln (x) \leqslant x$.

2. Montrer que $f_k(1)=0$.


3. Étudier les variations de $f_k$.
On montrera notamment que :

a. $f_k$ admet un maximum dont on précisera les coordonnées en fonction de $k$ ;


a. dans un repère, la courbe représentative de $f_k$ admet deux asymptotes dont on précisera les équations.


Partie B
On définit la fonction $g_k$ pour tout $x~\in] 0~;~+\infty[$ par $g_{k}(x)=x^{k} \ln (x)$.

1. Montrer que $g_{k}(1)=0$.

2. Étudier les variations de $g_k$ sur $] 0 ~;~+\infty[$. On montrera notamment que :
a. $g_k$ admet un minimum dont on précisera les coordonnées en fonction de $k$ ;


b. $\lim \limits_{x \rightarrow 0} g_{k}(x)=0$ et que $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} g_{k}(x)=+\infty$.

[Chercher, Représenter.]
Quel est le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormé $\nobreakspace{(O \: ; \overrightarrow{i} \: , \overrightarrow{j})}$ qui est le plus proche de l’origine du repère ?

Indication

On pourra démontrer que si $\text{M(x~;~y)}$ est sur la courbe représentative de la fonction $\ln$, alors $\mathrm{OM}=\sqrt{x^{2}+(\ln (x))^{2}}$.

[Modéliser, Raisonner.]

Sur un étang se trouve un nénuphar. La surface de ce nénuphar double tous les jours. Le nénuphar occupe toute la surface de l’étang au bout d’exactement 20 jours. Au bout de combien de temps le nénuphar a‑t‑il recouvert 75 % de l’étang ?

[Chercher, Raisonner.]
Soit un entier $n \geqslant 1$. On note $\ln_n$ la fonction définie par $\ln _{1}(x)=\ln (x)$ et, pour tout entier $n \geqslant 1, \ln _{n+1}(x)=~\ln _{n}(\ln (x))$.

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction $\ln_n$.

[Chercher, Communiquer.]
Au lycée de Jason, le professeur de mathématiques a dit que l’on ne pouvait pas inverser le rôle d’un nombre et de son exposant dans un calcul. Par exemple, $2^3$ et $3^2$ ne sont pas égaux. Jason, se demande pourtant si, dans certains cas particuliers, il y a égalité entre $a^b$ et $b^a$.
Aider Jason à répondre à cette question.

Aide

On pourra étudier la fonction $x~\mapsto~\dfrac{\ln (x)}{x}$.

[Calculer, Représenter.]
Dans un repère orthonormé $\nobreakspace{(O \: ; \overrightarrow{i} \:, \overrightarrow{j})}$, on note $\text{M}_\theta$ les points tels que $\mathrm{OM}_{\theta}=\ln (\theta)$ où $\theta$ est l'angle orienté $(\overrightarrow{i} \: ; \overrightarrow{\mathrm{OM}_{\theta}})$.

1. Placer $\text{M}_\theta$ pour $\theta=\dfrac{\pi}{2}$, $\theta=\pi$, $\theta=\dfrac{3 \pi}{2}$ et $\theta=2 \pi$.


2. Pour toutes les valeurs de $\theta$ de la forme $\dfrac{k \pi}{2}$ où $k$ prend toutes les valeurs entières de $-4$ à $4$, placer les points $\text{M}_\theta$ et les relier.

DÉFI

[Chercher, Modéliser.]
Les nombres premiers sont répartis de manière a priori irrégulière. Cependant, il est possible de démontrer que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre réel $x$ est approximativement $\dfrac{x}{\ln (x)}$ quand $x$ est grand.

À l’aide d’un programme Python, évaluer la pertinence de cette affirmation.

APPROFONDISSEMENT

On cherche à déterminer $\lim \limits_{n \rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}$.

1. Soit $x$ un réel non nul fixé. On admet qu’il existe alors toujours un entier $n$ suffisamment grand tel que $1+\dfrac{x}{n}\gt0$.
a. Démontrer que, pour $n$ suffisamment grand :
$\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^{n}=exp \left(x \times \dfrac{\ln \left(1+\dfrac{x}{n}\right)}{\dfrac{x}{n}}\right)$.

b. Montrer que $\lim \limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+h)}{h}=1$.


2. Étudier le cas $x~=~0$.

Aide

On pourra utiliser la dérivabilité de la fonction $\text{ln}$ en $1$.

3. Proposer un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\text{e}^4$ à l’aide de ce résultat.

APPROFONDISSEMENT

Soit $\alpha$ un nombre réel strictement positif. On appelle fonction puissance de base $\alpha$ la fonction f définie, pour tout $\nobreakspace{x \in] 0\ ;+\infty[}$, par $f(x)=~\mathrm{e}^{\alpha \ln (x)}$.
Pour tout $\nobreakspace{x \in] 0\ ;+\infty[}$, on pose alors $f(x) = x^\alpha$.

1. Calculer $f(1)$ et $f(\text{e})$.


2. Montrer que $f$ est strictement croissante sur $] 0~;~+\infty[$.


3. Montrer que, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $f(x \times y)=~f(x) \times f(y)$.


4. Si $\alpha$ est un entier naturel strictement positif, quel type de fonction retrouve‑t‑on ?


5. Montrer que cette définition de $f$ permet d’écrire que, pour tout $x~\gt~0$, $x^{\normalsize\tfrac{1}{2}}=~\sqrt{x}$.

APPROFONDISSEMENT

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x > 0$, par $f(x)=\text e^{x \ln (x)}$.

1. Justifier, à l’aide de l’exercice 135, la notation $f(x)=x^{x}$.


2. Calculer $f(1)$ et $f(\text e)$.


3. Justifier que, pour tout $x>0, f(x)>0$.


4. Calculer $\lim\limits_{\substack{x \to +\infty}}f(x)$ et $\lim\limits_{\substack{x \to 0}}f(x)$.


5. Démontrer que, pour tout $x > 0$, $f^{\prime}(x)=(1+\ln (x)) \times f(x)$ En déduire le sens de variation de $f$.