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Synthèse
P.258-261

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Synthèse





117
DEVOIR MAISON
[Raisonner, Communiquer.]
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels et strictement positifs, .

1. Montrer que, pour tout , la fonction possède la même propriété, c’est‑à‑dire que, pour tous réels et strictement positifs :
.


2. L’objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c’est‑à‑dire :
« Si est dérivable sur un intervalle et vérifie, pour tous réels strictement positifs et , l’identité , alors il existe tel que, pour tout , . »
Pour cela, on considère une fonction dérivable sur vérifiant, pour tous et réels strictement positifs, la propriété .
a. Déterminer .


b. On considère la fonction définie, pour tout , par un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que est une fonction constante.


c. En déduire, à l’aide de , qu’il existe un nombre réel tel que, pour tout , .


[DÉMO]
-->qmath id="2d" width="90%"> d. Déduire des questions précédentes que, pour tout , et justifier que .
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118
[Raisonner, Chercher.]
[DÉMO]

1. Montrer que, pour tout  :
.


2. Montrer que, pour tout  :
.


3. Montrer que, pour tout  :
.


4. En déduire .
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119
[Calculer, Modéliser.]
On considère la fonction définie, pour tout par :
.
1. Étudier les variations de sur .


2. Étudier les limites de en et en .


3. En déduire que pour tout nombre entier on a :
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120
PYTHON
[Chercher, Modéliser.]
À l’aide d’un programme réalisé avec Python, résoudre dans l’inéquation suivante :


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121
[Calculer, Communiquer.]
Soient la fonction définie, pour tout , par et la fonction définie sur par .

Partie A
1. Déterminer la dérivée de sur .


2. En déduire le sens de variations de sur .


3. Calculer et et en déduire qu’il existe un unique tel que .
On donnera une valeur approchée de à près.


Partie B
1. Déterminer la dérivée de sur .


2. Déduire de la partie A les variations de sur .


3. En utilisant une méthode similaire, étudier les variations de la fonction définie sur par : .
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122
[Calculer, Communiquer.]
On appelle « logarithme de base 10 », et on note , la fonction définie, pour tout , , par :
.

1. Calculer , et pour tout .


2. Établir les variations de la fonction .



Remarque
On pourra utiliser ces résultats pour les exercices
123
et
124
ci‑après.
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123
[Calculer, Modéliser.]
Le niveau de bruit d’une source sonore se mesure en décibels (dB). La formule qui donne le niveau de bruit en fonction de l’intensité (en W·m–2) de la source est , où est l’intensité d’un bruit inaudible ( W·m–2).

1. Quelle est l’intensité sonore (en W·m–2) d’un avion qui décolle avec un niveau de bruit de  dB ?


2. De combien de décibels le niveau de bruit augmente‑t‑il lorsque l’intensité de la source double ?


3. Par combien faut‑il multiplier l’intensité d’une source sonore pour que son niveau de bruit augmente de  dB ?


Logarithme népérien - Exercice 123 - Instruments à cordes
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124
EN CHIMIE
[Modéliser, Communiquer.]
Pour mesurer l’acidité d’une solution, le chimiste se sert du logarithme de base 10 : le potentiel hydrogène d’un liquide (ou pH) mesure l’acidité d’un liquide. Le pH est défini par la relation est la concentration en ions hydrogène du liquide en mol·L–1.

1. Quel est le pH d’une solution concentrée à mol·L–1 ?


2. On dit qu’un liquide a un pH neutre lorsque son pH est compris entre et . Donner un encadrement de la concentration en ions hydrogène pour un liquide de pH neutre.


3. Si le pH baisse de , par combien la concentration en ions hydrogène a été multipliée ?


Logarithme népérien - Synthèse
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125
[Calculer, Modéliser.]
À la mort d’un être vivant, la proportion de carbone 14 que contient son corps commence à décroître. La durée en année écoulée depuis la mort de l’organisme peut être exprimée en fonction de la proportion de carbone 14 dans l’organisme au temps par la formule suivante : .

1. Depuis combien de temps un animal, dont la proportion en carbone 14 est , est‑il mort ?


2. Exprimer en fonction de .


3. Quelle proportion du carbone 14 initiale reste‑t‑il dans le corps d’un être vivant mort depuis 10 000 ans ?


4. Si la quantité de carbone 14 dans un échantillon est le double de la quantité de carbone 14 dans un échantillon , déterminer le temps écoulé entre la mort des deux êtres vivants à l’origine de ces deux échantillons.


Logarithme népérien - Exercice 125 - Squelette tyrannosaure
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126
EN NSI
[Calculer, Modéliser.]
Les ordinateurs représentent les nombres en notation binaire, c’est‑à‑dire uniquement avec des et des . Afin de savoir combien de chiffres binaires sont nécessaires à l’écriture d’un nombre entier strictement positif donné, on utilise la formule suivante : , ou est le nombre que l’on cherche à exprimer en binaire. On appelle partie entière de le nombre entier tel que On admet que est le nombre de chiffres nécessaires pour écrire en binaire.

1. Calculer pour , , et .


2. Combien de chiffres faut‑il pour exprimer le nombre en binaire ?


3. De combien de caractères l’écriture binaire de sera‑t‑elle composée ?


4. Quels sont les nombres entiers positifs s’écrivant avec exactement trois chiffres binaires ?


Logarithme népérien - Exercice 126 - Circuit imprimé
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127
[Calculer, Raisonner.]
Soit un entier strictement positif.

Partie A
On définit la fonction pour tout par :
.

1. Montrer que, pour tout , .


2. Montrer que .


3. Étudier les variations de .
On montrera notamment que :

a. admet un maximum dont on précisera les coordonnées en fonction de  ;


a. dans un repère, la courbe représentative de admet deux asymptotes dont on précisera les équations.


Partie B
On définit la fonction pour tout par .

1. Montrer que .


2. Étudier les variations de sur . On montrera notamment que :
a. admet un minimum dont on précisera les coordonnées en fonction de  ;


b. et que .
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128
[Chercher, Représenter.]
Quel est le point de la représentation graphique de la fonction logarithme népérien dans un repère orthonormé qui est le plus proche de l’origine du repère ?



Indication
On pourra démontrer que si est sur la courbe représentative de la fonction , alors .


Logarithme népérien - Exercice 128 - Courbe

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129
[Modéliser, Raisonner.]
Logarithme népérien - Exercice 129 - Fleur de nénuphar
Sur un étang se trouve un nénuphar. La surface de ce nénuphar double tous les jours. Le nénuphar occupe toute la surface de l’étang au bout d’exactement 20 jours. Au bout de combien de temps le nénuphar a‑t‑il recouvert 75 % de l’étang ?

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130
[Chercher, Raisonner.]
Soit un entier . On note la fonction définie par et, pour tout entier .

Déterminer l’ensemble de définition de la fonction .
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131
[Chercher, Communiquer.]
Au lycée de Jason, le professeur de mathématiques a dit que l’on ne pouvait pas inverser le rôle d’un nombre et de son exposant dans un calcul. Par exemple, et ne sont pas égaux. Jason, se demande pourtant si, dans certains cas particuliers, il y a égalité entre et .
Aider Jason à répondre à cette question.



Aide
On pourra étudier la fonction .

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132
[Calculer, Représenter.]
Dans un repère orthonormé , on note les points tels que est l'angle orienté .

1. Placer pour , , et .


2. Pour toutes les valeurs de de la forme prend toutes les valeurs entières de à , placer les points et les relier.
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133
DÉFI
[Chercher, Modéliser.]
Les nombres premiers sont répartis de manière a priori irrégulière. Cependant, il est possible de démontrer que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre réel est approximativement quand est grand.

À l’aide d’un programme Python, évaluer la pertinence de cette affirmation.

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Logarithme népérien - Histoire des maths - La vallée Poussin

Histoire des maths

La machine Enigma est l’œuvre d’Arthur Scherbius, mort en 1929 avant de savoir quel usage l’armée allemande ferait de son invention.

Gauss et Legendre, à la fin du XVIIIe siècle, avaient déjà conjecturé empiriquement ce résultat. Il faut attendre Hadamard et La vallée Poussin pour une démonstration du « théorème des nombres premiers » en 1896. Ils montrent plus précisément que représente le nombre de nombres premiers inférieurs à .

134
APPROFONDISSEMENT

On cherche à déterminer .

1. Soit un réel non nul fixé. On admet qu’il existe alors toujours un entier suffisamment grand tel que .
a. Démontrer que, pour suffisamment grand :
.


b. Montrer que .


2. Étudier le cas .


Aide
On pourra utiliser la dérivabilité de la fonction en .
3. Proposer un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de à l’aide de ce résultat.
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135
APPROFONDISSEMENT

Soit un nombre réel strictement positif. On appelle fonction puissance de base la fonction f définie, pour tout , par .
Pour tout , on pose alors .

1. Calculer et .


2. Montrer que est strictement croissante sur .


3. Montrer que, pour tous réels et strictement positifs, .


4. Si est un entier naturel strictement positif, quel type de fonction retrouve‑t‑on ?


5. Montrer que cette définition de permet d’écrire que, pour tout , .
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136
APPROFONDISSEMENT

Soit la fonction définie, pour tout , par .

1. Justifier, à l’aide de l’exercice 135, la notation .


2. Calculer et .


3. Justifier que, pour tout .


4. Calculer et .


5. Démontrer que, pour tout , En déduire le sens de variation de .
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ,  ,  à  ,  ,  et  p. 432

Le Grand Oral

Présenter votre projet d'orientation

Exemple de sujet : Les tables de logarithmes de Neper et Briggs et leurs utilisations historiques.

Méthode

La dernière partie du Grand Oral consiste en un entretien de 5 minutes avec le jury sur votre projet d’orientation.

Le jury attend de vous que vous puissiez présenter votre démarche et vos projets d’orientation, et expliquer le lien entre le sujet que vous avez choisi et ce projet.

Quelques conseils :
  • Votre projet d’orientation relève d’une démarche particulière. Partagez les étapes importantes de votre réflexion avec le jury : comment votre projet a‑t‑il mûri ? Grâce à quelles expériences (stages par exemple), à quelles rencontres (avec des enseignants, des professionnels, des personnes de votre entourage), à quelles lectures ? Comment avez-vous orienté vos études, notamment par le choix de vos spécialités, en vue de ce projet ?
  • Si vous n’avez pas d’idée précise de ce que vous voulez faire comme métier ou du domaine dans lequel vous souhaitez travailler plus tard. Faites part au jury de votre cheminement. Le jury appréciera que vous lui expliquiez vos hésitations.

Exemples de lien avec son projet d’orientation

La fonction logarithme a de nombreuses applications : en voici quelques-unes.

En chimie, le logarithme est utilisé pour calculer le pH d’une solution.

L’échelle de Richter utilisée par les sismologues est une échelle logarithmique.

Le niveau du bruit, exprimé en décibel, utilise également une échelle logarithmique.

En informatique, des algorithmes (de recherche dichotomique par exemple) ont une complexité logarithmique.

Les exercices , , et donnent également des exemples d’utilisations concrètes du logarithme.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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