[Raisonner, Communiquer.
]
On rappelle la propriété suivante : pour tous réels
x et
y strictement positifs,
ln(xy)=ln(x)+ln(y).
1. Montrer que, pour tout
α∈R, la fonction
f:x↦αln(x) possède la même propriété, c’est‑à‑dire que, pour tous réels
x et
y strictement positifs :
f(xy)=f(x)+f(y).
2.
L’objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c’est‑à‑dire :
« Si
f est dérivable sur un intervalle
I et vérifie, pour tous réels strictement positifs
x et
y, l’identité
f(xy)=f(x)+f(y), alors il existe
α∈R tel que, pour tout
x∈]0 ; +∞[,
f(x)=αln(x). »
Pour cela, on considère une fonction
f dérivable sur
]0 ; +∞[ vérifiant, pour tous
x et
y réels strictement positifs, la propriété
f(xy)=f(x)+f(y).
a. Déterminer
f(1).
b. On considère la fonction
g définie, pour tout
y∈]0 ; +∞[, par
g(y)= f(xy)−f(y) où
x un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que
g est une fonction constante.
c. En déduire, à l’aide de
g′, qu’il existe un nombre réel
α tel que, pour tout
x > 0,
f′(x)=xα.
-->qmath id="2d" width="90%">
d. Déduire des questions précédentes que, pour tout
x > 0,
f(x)=αln(x)+k et justifier que
k=0.