Devoir maison

[Raisonner, Communiquer.]

On rappelle la propriété suivante : pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln (xy)=\ln (x)+\ln (y)$.

1. Montrer que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, la fonction $f:x\mapsto \alpha \ln (x)$ possède la même propriété, c'est‑à‑dire que, pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs :

$f(xy)=f(x)+f(y)$.

2. L'objectif des questions suivantes est de démontrer la réciproque de cette propriété, c'est‑à‑dire :
« Si $f$ est dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et vérifie, pour tous réels strictement positifs $x$ et $y$, l'identité $f(xy)=f(x)+f(y)$, alors il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $f(x)=\alpha \ln (x)$. »
Pour cela, on considère une fonction $f$ dérivable sur $]0;+\infty [$ vérifiant, pour tous $x$ et $y$ réels strictement positifs, la propriété $f(xy)=f(x)+f(y)$.
a. Déterminer $f(1)$.

b. On considère la fonction $g$ définie, pour tout $y\in ]0;+\infty [$, par $g(y)=f(xy)-f(y)$ où $x$ un réel strictement positif quelconque fixé.
Montrer que $g$ est une fonction constante.

c. En déduire, à l'aide de $g^{\prime }$, qu'il existe un nombre réel $\alpha$ tel que, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=\frac{\alpha }{x}$.

d. Déduire des questions précédentes que, pour tout $x>0$, $f(x)=\alpha \ln (x)+k$ et justifier que $k=0$.

Démo

[Raisonner, Chercher.]

1. Montrer que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$ :

$\ln (1+x)-x⩽0$.

2. Montrer que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$ :

$\ln (1+x)-x+\frac{x^2}{2}⩾0$.

3. Montrer que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$ :

$x-\frac{x^2}{2}⩽\ln (1+x)⩽x$.

4. En déduire $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}$.

[Calculer, Communiquer.]
Soient $f$ la fonction définie, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, par $f(x)=(-x+3)\ln (x)$ et $g$ la fonction définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{3}{x}-1-\ln (x)$.

Partie A

1. Déterminer la dérivée $g^{\prime }$ de $g$ sur $]0;+\infty [$.

2. En déduire le sens de variations de $g$ sur $]0;+\infty [$.

3. Calculer $g(1)$ et $g(2)$ et en déduire qu'il existe un unique $\alpha \in ]0;+\infty [$ tel que $g(\alpha )=0$.
On donnera une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.

Partie B

1. Déterminer la dérivée $f^{\prime }$ de $f$ sur $]0;+\infty [$.

2. Déduire de la partie A les variations de $f$ sur $]0;+\infty [$.

3. En utilisant une méthode similaire, étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $]0;+\infty [$ par : $h(x)=(2x-3)\ln (x)$.

[Calculer, Modéliser.]
Le niveau de bruit d'une source sonore se mesure en décibels (dB). La formule qui donne le niveau de bruit en fonction de l'intensité $\text{I}$ (en W·m^–2) de la source est $\mathrm{N}=10\log \left(\frac{\mathrm{I}}{{\mathrm{I}}_0}\right)$, où ${\text{I}}_0$ est l'intensité d'un bruit inaudible (${\text{I}}_0=10^{-12}$ W·m^–2).

1. Quelle est l'intensité sonore (en W·m^–2) d'un avion qui décolle avec un niveau de bruit de $120$ dB ?

2. De combien de décibels le niveau de bruit augmente‑t‑il lorsque l'intensité de la source double ?

3. Par combien faut‑il multiplier l'intensité d'une source sonore pour que son niveau de bruit augmente de $10$ dB ?

En chimie

[Modéliser, Communiquer.]
Pour mesurer l'acidité d'une solution, le chimiste se sert du logarithme de base 10 : le potentiel hydrogène d'un liquide (ou pH) mesure l'acidité d'un liquide. Le pH est défini par la relation $\mathrm{p}\mathrm{H}=-\log (\mathrm{C})$ où $\text{C}$ est la concentration en ions hydrogène du liquide en mol·L^–1.

1. Quel est le pH d'une solution concentrée à $10^{-5}$ mol·L^–1 ?

2. On dit qu'un liquide a un pH neutre lorsque son pH est compris entre $6,5$ et $7,5$. Donner un encadrement de la concentration en ions hydrogène pour un liquide de pH neutre.

3. Si le pH baisse de $1,079$, par combien la concentration en ions hydrogène a été multipliée ?

[Calculer, Raisonner.]
Soit $k$ un entier strictement positif.

Partie A

On définit la fonction $f_k$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$ par :

1. Montrer que, pour tout $x\in ]0;+\infty [$, $\ln (x)⩽x$.

2. Montrer que $f_k(1)=0$.

3. Étudier les variations de $f_k$.
On montrera notamment que :

a. $f_k$ admet un maximum dont on précisera les coordonnées en fonction de $k$ ;

a. dans un repère, la courbe représentative de $f_k$ admet deux asymptotes dont on précisera les équations.

Partie B

On définit la fonction $g_k$ pour tout $x\in ]0;+\infty [$ par $g_k(x)=x^k\ln (x)$.

1. Montrer que $g_k(1)=0$.

2. Étudier les variations de $g_k$ sur $]0;+\infty [$. On montrera notamment que :
a. $g_k$ admet un minimum dont on précisera les coordonnées en fonction de $k$ ;

b. $\underset{x\to 0}{\lim }{g}_k(x)=0$ et que $\underset{x\to +\infty }{\lim }{g}_k(x)=+\infty$.

[Calculer, Représenter.]
Dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, on note ${\text{M}}_{\theta }$ les points tels que ${\mathrm{O}\mathrm{M}}_{\theta }=\ln (\theta )$ où $\theta$ est l'angle orienté $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{{\mathrm{O}\mathrm{M}}_{\theta }})$.

1. Placer ${\text{M}}_{\theta }$ pour $\theta =\frac{\pi }{2}$, $\theta =\pi$, $\theta =\frac{3\pi }{2}$ et $\theta =2\pi$.

2. Pour toutes les valeurs de $\theta$ de la forme $\frac{k\pi }{2}$ où $k$ prend toutes les valeurs entières de $-4$ à $4$, placer les points ${\text{M}}_{\theta }$ et les relier.

DÉFI

[Chercher, Modéliser.]

Les nombres premiers sont répartis de manière a priori irrégulière. Cependant, il est possible de démontrer que le nombre de nombres premiers inférieurs à un nombre réel $x$ est approximativement $\frac{x}{\ln (x)}$ quand $x$ est grand.

À l'aide d'un programme Python, évaluer la pertinence de cette affirmation.

Approfondissement

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x>0$, par $f(x)={\text{e}}^{x\ln (x)}$.

1. Justifier, à l'aide de l'exercice 135, la notation $f(x)=x^x$.

2. Calculer $f(1)$ et $f(\text{e})$.

3. Justifier que, pour tout $x>0,f(x)>0$.

4. Calculer $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \end{array}}{\lim }f(x)$ et $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{\lim }f(x)$.

5. Démontrer que, pour tout $x>0$, $f^{\prime }(x)=(1+\ln (x))\times f(x)$ En déduire le sens de variation de $f$.

Méthode

❯ La dernière partie du Grand Oral consiste en un entretien de 5 minutes avec le jury sur votre projet d'orientation.

❯ Le jury attend de vous que vous puissiez présenter votre démarche et vos projets d'orientation, et expliquer le lien entre le sujet que vous avez choisi et ce projet.

❯ Quelques conseils :

• Votre projet d'orientation relève d'une démarche particulière. Partagez les étapes importantes de votre réflexion avec le jury : comment votre projet a‑t‑il mûri ? Grâce à quelles expériences (stages par exemple), à quelles rencontres (avec des enseignants, des professionnels, des personnes de votre entourage), à quelles lectures ? Comment avez-vous orienté vos études, notamment par le choix de vos spécialités, en vue de ce projet ?
• Si vous n'avez pas d'idée précise de ce que vous voulez faire comme métier ou du domaine dans lequel vous souhaitez travailler plus tard. Faites part au jury de votre cheminement. Le jury appréciera que vous lui expliquiez vos hésitations.

Exemples de lien avec son projet d'orientation

La fonction logarithme a de nombreuses applications : en voici quelques-unes.

❯ En chimie, le logarithme est utilisé pour calculer le pH d'une solution.

❯ L'échelle de Richter utilisée par les sismologues est une échelle logarithmique.

❯ Le niveau du bruit, exprimé en décibel, utilise également une échelle logarithmique.

❯ En informatique, des algorithmes (de recherche dichotomique par exemple) ont une complexité logarithmique.

Les exercices , , et donnent également des exemples d'utilisations concrètes du logarithme.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14