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Fonctions trigonométriques
P.264-265
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Chapitre 9


Fonctions trigonométriques





Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - ouverture

La trigonométrie est à la fois utilisée en navigation maritime et astronomique.
Elle permet de donner la distance d’un bateau à une côte, ainsi que la hauteur angulaire du soleil au‑dessus de l’horizon.

Capacités attendues - chapitre 9

1. Savoir étudier l’éventuelle parité ou périodicité d’une fonction dans le but de restreindre son domaine d’étude.

2. Savoir résoudre sur [−π ;π][-\pi\,; \pi] une équation trigonométrique du type cos⁡(x)=a\cos (x)=a.

3. Savoir résoudre sur [−π ;π][-\pi\,; \pi] une inéquation trigonométrique du type cos⁡(x)⩽a\cos (x) \leqslant a.

4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.

5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un réel.
2. Savoir placer sur le cercle trigonométrique un réel xx, connaissant son cosinus ou son sinus.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu’une fonction ff est ou n’est pas dérivable en un réel aa.

1
Cosinus et sinus d’un nombre réel

1. À partir du réel xx positionné sur le cercle trigonométrique ci‑dessous qu’il faudra reproduire, placer, à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée, les réels associés : −x-x ; π+x\pi + x ; π−x\pi - x ; π2+x\dfrac{\pi}{2}+x ; π2−x\dfrac{\pi}{2}-x et 2π+x2 \pi+x.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Équations différentielles - exercice 1

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. Compléter le tableau suivant en fonction des réels cos⁡(x)\cos (x) et sin⁡(x)\sin (x).

cos⁡(−x)=\cos (-x)=

sin⁡(−x)=\sin (-x)=
 cos⁡(π+x)=\cos (\pi+x)=

sin⁡(π+x)=\sin (\pi+x)=
 cos⁡(π−x)=\cos (\pi-x)=

sin⁡(π−x)=\sin (\pi-x)=
cos⁡(π2+x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=

sin⁡(π2+x)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=
 cos⁡(π2−x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=

sin⁡(π2−x)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=
 cos⁡(2π+x)=\cos (2\pi+x)=

sin⁡(2π+x)=\sin (2\pi+x)=
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2
Déterminer le cosinus et le sinus d’angles remarquables

Compléter le tableau de valeurs ci‑dessous puis placer le plus précisément possible les réels 00 ; π6\dfrac{\pi}{6} ; π4\dfrac{\pi}{4} ; π3\dfrac{\pi}{3} ; et π2\dfrac{\pi}{2} sur le cercle trigonométrique.

x\boldsymbol{\color{white}{x}} 0\bold{\color{white}{0}} π6\boldsymbol{\color{white}{\dfrac{\pi}{6}}} π4\boldsymbol{\color{white}{\dfrac{\pi}{4}}} π3\boldsymbol{\color{white}{\dfrac{\pi}{3}}} π2\boldsymbol{\color{white}{\dfrac{\pi}{2}}}
cos⁡(x)\cos (x)
sin⁡(x)\sin (x)

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3
Résoudre graphiquement des équations et inéquations trigonométriques

Résoudre graphiquement sur [−π ;π][-\pi \,; \pi] chacune des équations ou inéquations suivantes en représentant l’ensemble des réels solutions sur un cercle trigonométrique.

1. cos⁡(x)=−22\cos (x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}


2. sin⁡(x)=−1\sin (x)=-1


3. sin⁡(x)=−32\sin (x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}


4. cos⁡(x)⩾−32\cos (x) \geqslant-\dfrac{\sqrt{3}}{2}


5. sin⁡(x)>−12\sin (x)>-\dfrac{1}{2}


6. sin⁡(x)<12\sin (x) \lt \dfrac{1}{2}


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4
Déterminer la mesure principale d’un réel

Pour chacun des réels xx suivants, déterminer l’entier relatif kk et le réel aa de l’intervalle ]−π ;π]]-\pi \,; \pi] (appelé mesure principale de xx) tels que x=a+2kπx=a+2 k \pi.

1. x=−29π4x=-\dfrac{29 \pi}{4}


2. x=47π3x=\dfrac{47 \pi}{3}


3. x=35π2x=\dfrac{35 \pi}{2}


4. x=−55π6x=-\dfrac{55 \pi}{6}
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5
Nombre dérivé d’une fonction f\boldsymbol{f} en un réel a\boldsymbol{a}

1. Montrer que la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x2f(x)=x^{2} est dérivable en −1-1 et déterminer f′(−1)f^{\prime}(-1).


2. Montrer que la fonction ff définie sur [0 ;+∞[[0\,;+\infty[ par f(x)=xxf(x)=x \sqrt{x} est dérivable en 00 et déterminer f′(0)f^{\prime}(0).


3. Montrer que la fonction ff définie sur R\R par f(x)=∣x∣f(x)=|x| n’est pas dérivable en 00.
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6
Problème

Le cercle trigonométrique nous permet d’affirmer que l’équation sin⁡(x)=−0,7\sin (x)=-0{,}7 admet deux solutions α\alpha et β\beta sur [−π ;π][-\pi\,; \pi] telles que α<β\alpha \lt \beta.

1. Exprimer β\beta en fonction de α\alpha.


2. En déduire, en fonction de α\alpha, les solutions sur R\mathbb{R} de cette équation.


3. Résoudre sur [−π ;π][-\pi\,; \pi], en fonction de α\alpha, l’inéquation sin⁡(x)>−0,7\sin (x)>-0{,}7.


4. Déterminer cos⁡(α)\cos (\alpha).
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Anecdote

La trigonométrie a permis à Joseph Fourier (1768‑1830) de trouver les éléments de la puissante analyse harmonique. Par exemple, les logiciels de reconnaissance musicale dédiés aux chansons sont fondés sur cette théorie.
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