Chapitre 9
Fonctions trigonométriques
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Capacités attendues
1. Savoir étudier l'éventuelle parité ou périodicité d'une fonction dans le but de restreindre son domaine d'étude.
2. Savoir résoudre sur [-\pi\,; \pi] une équation trigonométrique du type \cos (x)=a.
3. Savoir résoudre sur [-\pi\,; \pi] une inéquation trigonométrique du type \cos (x) \leqslant a.
4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.
5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.
2. Savoir résoudre sur [-\pi\,; \pi] une équation trigonométrique du type \cos (x)=a.
3. Savoir résoudre sur [-\pi\,; \pi] une inéquation trigonométrique du type \cos (x) \leqslant a.
4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.
5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.
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La trigonométrie est à la fois utilisée en navigation maritime et astronomique. Elle permet de donner la distance d'un bateau à une côte, ainsi que la hauteur angulaire du soleil au‑dessus de l'horizon.
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Avant de commencer
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Prérequis
1. Connaître la définition du cosinus et du sinus d'un réel.
2. Savoir placer sur le cercle trigonométrique un réel x, connaissant son cosinus ou son sinus.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu'une fonction f est ou n'est pas dérivable en un réel a.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu'une fonction f est ou n'est pas dérivable en un réel a.
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La trigonométrie a permis à Joseph Fourier (1768‑1830) de trouver les éléments de la puissante analyse harmonique. Par exemple, les logiciels de reconnaissance musicale dédiés aux chansons sont fondés sur cette théorie.
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1Cosinus et sinus d'un nombre réel
1. À partir du réel x positionné sur le cercle trigonométrique ci‑dessous qu'il faudra reproduire, placer, à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée, les réels associés :-x ; \pi + x ; \pi - x ; \frac{\pi}{2}+x ; \frac{\pi}{2}-x et 2 \pi+x.
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. Compléter le tableau suivant en fonction des réels \cos (x) et \sin (x).
| \cos (-x)= \sin (-x)= | \cos (\pi+x)= \sin (\pi+x)= | \cos (\pi-x)= \sin (\pi-x)= |
| \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)= \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)= | \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)= \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)= | \cos (2\pi+x)= \sin (2\pi+x)= |
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2Déterminer le cosinus et le sinus d'angles remarquables
Compléter le tableau de valeurs ci‑dessous puis placer le plus précisément possible les réels 0 ; \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{3} ; et \frac{\pi}{2} sur le cercle trigonométrique.
| \boldsymbol{\color{white}{x}} | \bold{\color{white}{0}} | \boldsymbol{\color{white}{\frac{\pi}{6}}} | \boldsymbol{\color{white}{\frac{\pi}{4}}} | \boldsymbol{\color{white}{\frac{\pi}{3}}} | \boldsymbol{\color{white}{\frac{\pi}{2}}} |
| \cos (x) | |||||
| \sin (x) |
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3Résoudre graphiquement des équations et inéquations trigonométriques
Résoudre graphiquement sur [-\pi \,; \pi] chacune des équations ou inéquations suivantes en représentant l'ensemble des réels solutions sur un cercle trigonométrique.
1. \cos (x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}
2. \sin (x)=-1
3. \sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
4. \cos (x) \geqslant-\frac{\sqrt{3}}{2}
5. \sin (x)>-\frac{1}{2}
2. \sin (x)=-1
3. \sin (x)=-\frac{\sqrt{3}}{2}
4. \cos (x) \geqslant-\frac{\sqrt{3}}{2}
5. \sin (x)>-\frac{1}{2}
6. \sin (x) \lt \frac{1}{2}
GeoGebra
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4Déterminer la mesure principale d'un réel
Pour chacun des réels x suivants, déterminer l'entier relatif k et le réel a de l'intervalle ]-\pi \,; \pi] (appelé mesure principale de x) tels que x=a+2 k \pi.
1. x=-\frac{29 \pi}{4}2. x=\frac{47 \pi}{3}
3. x=\frac{35 \pi}{2}
4. x=-\frac{55 \pi}{6}
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5Nombre dérivé d'une fonction \boldsymbol{f} en un réel \boldsymbol{a}
1. Montrer que la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^{2} est dérivable en -1 et déterminer f^{\prime}(-1).2. Montrer que la fonction f définie sur [0\,;+\infty[ par f(x)=x \sqrt{x} est dérivable en 0 et déterminer f^{\prime}(0).
3. Montrer que la fonction f définie sur \R par f(x)=|x| n'est pas dérivable en 0.
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6Problème
Le cercle trigonométrique nous permet d'affirmer que l'équation \sin (x)=-0{,}7 admet deux
solutions \alpha et \beta sur [-\pi\,; \pi] telles que \alpha \lt \beta.
1. Exprimer \beta en fonction de \alpha.
2. En déduire, en fonction de \alpha, les solutions sur \mathbb{R} de cette équation.
2. En déduire, en fonction de \alpha, les solutions sur \mathbb{R} de cette équation.
3. Résoudre sur [-\pi\,; \pi], en fonction de \alpha, l'inéquation \sin (x)>-0{,}7.
4. Déterminer \cos (\alpha).
4. Déterminer \cos (\alpha).
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