La trigonométrie est à la fois utilisée en navigation maritime et astronomique.
Elle permet de donner la distance d’un bateau à une côte, ainsi que la hauteur angulaire du soleil au‑dessus de l’horizon.
Capacités attendues - chapitre 9
1. Savoir étudier l’éventuelle parité ou périodicité d’une fonction dans le but de restreindre son domaine d’étude.
2. Savoir résoudre sur [−π;π] une équation trigonométrique du type cos(x)=a.
3. Savoir résoudre sur [−π;π] une inéquation trigonométrique du type cos(x)⩽a.
4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.
5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.
Avant de commencer
Prérequis
1. Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un réel.
2. Savoir placer sur le cercle trigonométrique un réel x, connaissant son cosinus ou son sinus.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu’une fonction f est ou n’est pas dérivable en un réel a.
1
Cosinus et sinus d’un nombre réel
1. À partir du réel x positionné sur le cercle trigonométrique ci‑dessous qu’il faudra reproduire, placer, à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée, les réels associés : −x ; π+x ; π−x ; 2π+x ; 2π−x et 2π+x.
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. Compléter le tableau suivant en fonction des réels cos(x) et sin(x).
cos(−x)= sin(−x)=
cos(π+x)= sin(π+x)=
cos(π−x)= sin(π−x)=
cos(2π+x)= sin(2π+x)=
cos(2π−x)= sin(2π−x)=
cos(2π+x)= sin(2π+x)=
2
Déterminer le cosinus et le sinus d’angles remarquables
Compléter le tableau de valeurs ci‑dessous puis placer le plus précisément possible les réels 0 ; 6π ; 4π ; 3π ; et 2π sur le cercle trigonométrique.
x
0
6π
4π
3π
2π
cos(x)
sin(x)
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3
Résoudre graphiquement des équations et inéquations trigonométriques
Résoudre graphiquement sur [−π;π] chacune des équations ou inéquations suivantes en représentant l’ensemble des réels solutions sur un cercle trigonométrique.
1.cos(x)=−22
2.sin(x)=−1
3.sin(x)=−23
4.cos(x)⩾−23
5.sin(x)>−21
6.sin(x)<21
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4
Déterminer la mesure principale d’un réel
Pour chacun des réels x suivants, déterminer l’entier relatif k et le réel a de l’intervalle ]−π;π] (appelé mesure principale de x) tels que x=a+2kπ.
1.x=−429π
2.x=347π
3.x=235π
4.x=−655π
5
Nombre dérivé d’une fonction f en un réel a
1. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x)=x2 est dérivable en −1 et déterminer f′(−1).
2. Montrer que la fonction f définie sur [0;+∞[ par f(x)=xx est dérivable en 0 et déterminer f′(0).
3. Montrer que la fonction f définie sur R par f(x)=∣x∣ n’est pas dérivable en 0.
6
Problème
Le cercle trigonométrique nous permet d’affirmer que l’équation sin(x)=−0,7 admet deux
solutions α et β sur [−π;π] telles que α<β.
1. Exprimer β en fonction de α.
2. En déduire, en fonction de α, les solutions sur R de cette équation.
3. Résoudre sur [−π;π], en fonction de α, l’inéquation sin(x)>−0,7.
4. Déterminer cos(α).
Anecdote
La trigonométrie a permis à Joseph Fourier (1768‑1830) de trouver les éléments de la puissante analyse harmonique. Par exemple, les logiciels de reconnaissance musicale dédiés aux chansons sont fondés sur cette théorie.
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