Fonctions trigonométriques
P.264-265
Chapitre 9
Fonctions trigonométriques
La trigonométrie est à la fois utilisée en navigation maritime et astronomique.
Elle permet de donner la distance d’un bateau à une côte, ainsi que la hauteur angulaire du soleil au‑dessus de l’horizon.
Elle permet de donner la distance d’un bateau à une côte, ainsi que la hauteur angulaire du soleil au‑dessus de l’horizon.
Capacités attendues - chapitre 9
1. Savoir étudier l’éventuelle parité ou périodicité d’une fonction dans le but de restreindre son domaine d’étude.
2. Savoir résoudre sur une équation trigonométrique du type .
3. Savoir résoudre sur une inéquation trigonométrique du type .
4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.
5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.
2. Savoir résoudre sur une équation trigonométrique du type .
3. Savoir résoudre sur une inéquation trigonométrique du type .
4. Connaître la dérivée des fonctions cosinus et sinus.
5. Savoir étudier une fonction définie à partir des fonctions trigonométriques.
Avant de commencer
Prérequis
1. Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un réel.
2. Savoir placer sur le cercle trigonométrique un réel , connaissant son cosinus ou son sinus.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu’une fonction est ou n’est pas dérivable en un réel .
2. Savoir placer sur le cercle trigonométrique un réel , connaissant son cosinus ou son sinus.
3. Connaître certaines valeurs remarquables du cosinus et du sinus.
4. Justifier qu’une fonction est ou n’est pas dérivable en un réel .
1Cosinus et sinus d’un nombre réel
1. À partir du réel positionné sur le cercle trigonométrique ci‑dessous qu’il faudra reproduire, placer, à l’aide d’un compas et d’une règle non graduée, les réels associés : ; ; ; ; et .
1
Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. Compléter le tableau suivant en fonction des réels et .
2Déterminer le cosinus et le sinus d’angles remarquables
Compléter le tableau de valeurs ci‑dessous puis placer le plus précisément possible les réels ; ; ; ; et sur le cercle trigonométrique.
2
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3Résoudre graphiquement des équations et inéquations trigonométriques
Résoudre graphiquement sur chacune des équations ou inéquations suivantes en représentant l’ensemble des réels solutions sur un cercle trigonométrique.
3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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4Déterminer la mesure principale d’un réel
Pour chacun des réels suivants, déterminer l’entier relatif et le réel de l’intervalle (appelé mesure principale de ) tels que .
4
1.
2.
3.
4.
5Nombre dérivé d’une fonction en un réel
1. Montrer que la fonction définie sur par est dérivable en et déterminer .5
2. Montrer que la fonction définie sur par est dérivable en et déterminer .
3. Montrer que la fonction définie sur par n’est pas dérivable en .
6Problème
Le cercle trigonométrique nous permet d’affirmer que l’équation admet deux
solutions et sur telles que .
6
1. Exprimer en fonction de .
2. En déduire, en fonction de , les solutions sur de cette équation.
3. Résoudre sur , en fonction de , l’inéquation .
4. Déterminer .
Anecdote
La trigonométrie a permis à Joseph Fourier (1768‑1830) de trouver les éléments de la puissante analyse harmonique. Par exemple, les logiciels de reconnaissance musicale dédiés aux chansons sont fondés sur cette théorie.