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P.266-267

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A
Restriction du domaine d’étude d’une fonction


Objectif

Savoir comment restreindre le domaine d’étude d’une fonction paire ou impaire et périodique.
Savoir résoudre des équations trigonométriques dans R\mathbb{R} et des inéquations trigonométriques sur [π;π][-\pi\,; \pi].

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Partie A

Soit T\text{T} un réel strictement positif et ff une fonction définie sur R\mathbb{R} à la fois paire et périodique de période T\text{T}.

1
Démontrer qu’il suffit alors d’étudier la fonction ff sur l’intervalle [0;T2]\left[0\,; \dfrac{\mathrm{T}}{2}\right].


2
Démontrer que si ff est strictement croissante sur [a;b][a\,; b], où aa et bb sont deux réels, alors ff est strictement décroissante sur [b;a][-b\,;-a].


Partie B

Soit gg une fonction définie sur R\mathbb{R}. On suppose que gg est impaire, périodique de période 66, strictement décroissante sur [0;1][0\,; 1] et strictement croissante sur [1;3][1\,; 3]

1
Construire le tableau de variations de gg sur [4;5][-4\,; 5]. Justifier.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2
Justifier que g(0)=0g(0) = 0 et que g(3)=0g(3) = 0 puis résoudre sur [4;5][-4\,; 5] puis dans R\mathbb{R} l’équation g(x)=0g(x) = 0.


Partie C

1
Construire un cercle trigonométrique.

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2
Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] les inéquations sin(x)12\sin (x) \leqslant-\dfrac{1}{2}, sin(x)>12\sin (x)>-\dfrac{1}{2} et 12sin(x)<32-\dfrac{1}{2} \leqslant \sin (x)\lt\dfrac{\sqrt{3}}{2}.


3
Résoudre dans R\R les équations sin(2x)=12\sin (2 x)=-\dfrac{1}{2} et sin(x2)=32\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
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Aide
Partie A
  • Une fonction ff est paire sur R\mathbb{R} lorsque, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=f(x)f(-x)=f(x).
  • Une fonction ff est périodique de période T\text{T} sur R\mathbb{R} lorsque, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x+T)=f(x)f(x+\mathrm{T})=f(x).

Aide
Partie B
Une fonction ff est impaire sur R\mathbb{R} lorsque, pour tout xRx \in \mathbb{R}, f(x)=f(x)f(-x)=-f(x).

Bilan

Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d’une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?
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B
Cosinus et sinus d’une somme et d’une différence de deux réels


Objectif

Déterminer, pour tous réels aa, bb et xx, cos(a+b)\cos (a+b), cos(ab)\cos (a-b), sin(a+b)\sin (a+b) et sin(ab)\sin (a-b) en fonction de cos(a)\cos (a), cos(b)\cos (b), sin(a)\sin (a) et sin(b)\sin (b), puis cos(2x)\cos (2x) et sin(2x)\sin (2x) en fonction de cos(x)\cos (x) et sin(x)\sin (x).


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité B - Cosinus et sinus d’une somme et d’une différence de deux réels
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Partie A : Détermination de cos(ab)\boldsymbol{\cos (a-b)}

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points A\text{A} et B\text{B} respectivement associés aux réels aa et bb de [π;π][-\pi \,; \pi] avec a>ba > b.

1
Après avoir rappelé les coordonnées de A\text{A} et B\text{B}, calculer le produit scalaire OAOB\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.


2
En utilisant une mesure de l’angle géométrique AOB^\widehat{\mathrm{AOB}}, calculer OAOB\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.


3
Exprimer alors cos(ab)\cos (a-b) en fonction de cos(a)\cos (a), cos(b)\cos (b), sin(a)\sin (a) et sin(b)\sin (b).


4
Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque aa et bb sont deux réels quelconques.


Partie B : Détermination de cos(a+b)\boldsymbol{\cos (a+b)}

En remarquant que, pour tous réels aa et bb, a+b=a(b)a+b=a-(-b), déterminer une formule donnant cos(a+b)\cos (a+b).


Partie C : Détermination de sin(a+b)\boldsymbol{\sin (a+b)} et sin(ab)\boldsymbol{\sin (a-b)}

Sachant que, pour tout réel xx, sin(x)=cos(π2x)\sin (x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right), déterminer des formules donnant sin(a+b)\sin (a+b) et sin(ab)\sin (a-b) pour tous réels aa et bb.


Partie D : Détermination de cos(2x)\boldsymbol{\cos (2x)} et sin(2x)\boldsymbol{\sin (2x)}

1
a) Exprimer, pour tout xRx \in \mathbb{R}, cos(2x)\cos (2x) en fonction de cos(x)\cos (x) et de sin(x)\sin (x).


b) En utilisant cos2(x)+sin2(x)=1\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1, déterminer deux autres formules pour cos(2x)\cos (2x) uniquement en fonction de cos(x)\cos (x) ou sin(x)\sin (x).


2
Déterminer une formule donnant sin(2x)\sin (2x) en fonction de cos(x)\cos (x) et de sin(x)\sin (x).
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Bilan

Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?
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C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0\bold{0}


Objectif

Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 00 et déterminer leur nombre dérivé en 00.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité C - Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
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Soit x]0;π2[x \in] 0\,; \dfrac{\pi}{2}[. On note M\text{M} le point du cercle trigonométrique associé au réel xx et T\text{T} le point de (OM)(\mathrm{OM}) tel que OIT\text{OIT} est rectangle en I\text{I}.

1
a) Donner, en fonction de xx, les coordonnées du point M\text{M} dans le repère orthonormé (O;I,J)(\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de xx, les coordonnées de T\text{T} dans le repère orthonormé (O;I,J)(\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).


2
a) Exprimer, en fonction de xx, les aires des triangles OMI\text{OMI} et OTI\text{OTI}, ainsi que celle du secteur angulaire aigu IOM^\widehat{\mathrm{IOM}}.


b) Déterminer alors un encadrement de x2\dfrac{x}{2}.


3
a) Montrer que 1<xsin(x)<1cos(x)1 \lt \dfrac{x}{\sin (x)} \lt \dfrac{1}{\cos (x)}. En déduire que cos(x)<sin(x)x<1\cos (x) \lt \dfrac{\sin (x)}{x} \lt 1.


b) En déduire limx0x>0sin(x)x\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \dfrac{\sin (x)}{x}.


c) Sachant que la fonction sin\sin est impaire, déterminer limx0x<0sin(x)x\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} \dfrac{\sin (x)}{x} puis prouver que sin\sin est dérivable en 00 et que sin(0)=1\sin ^{\prime}(0)=1.


Aide
ff est dérivable en 00 lorsque limx0f(x)f(0)x=\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\ell, où \ell est un réel (et par la suite =f(0)\ell=f^{\prime}(0)).


4
Montrer que, pour tout réel x0x \neq 0, cos(x)1x=(sin(x)x)2×xcos(x)+1\dfrac{\cos (x)-1}{x}=-\left(\dfrac{\sin (x)}{x}\right)^{2} \times \dfrac{x}{\cos (x)+1}.


Aide
Pour tout réel xx, sin2(x)=1cos2(x)\sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x).


5
En déduire que la fonction cos\cos est dérivable en 00 et que cos(0)=0\cos ^{\prime}(0)=0.
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Bilan

Quelles sont les valeurs de limx0sin(x)x\boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \dfrac{\sin (x)}{x}} et de limx0cos(x)1x\boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \dfrac{\cos (x)-1}{x}} ?
Quels résultats découlent de ces limites ?

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