Mathématiques Terminale Spécialité

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Chapitre 9
Activité

Fonctions trigonométriques

18 professeurs ont participé à cette page
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A
Restriction du domaine d'étude d'une fonction


Objectif : Savoir comment restreindre le domaine d'étude d'une fonction paire ou impaire et périodique. Savoir résoudre des équations trigonométriques dans \mathbb{R} et des inéquations trigonométriques sur [-\pi\,; \pi].

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Partie A

Soit \text{T} un réel strictement positif et f une fonction définie sur \mathbb{R} à la fois paire et périodique de période \text{T}.
Aide
  • Une fonction f est paire sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(-x)=f(x).
  • Une fonction f est périodique de période \text{T} sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(x+\mathrm{T})=f(x).

1
Démontrer qu'il suffit alors d'étudier la fonction f sur l'intervalle \left[0\,; \frac{\mathrm{T}}{2}\right].


2
Démontrer que si f est strictement croissante sur [a\,; b], où a et b sont deux réels, alors f est strictement décroissante sur [-b\,;-a].


Partie B

Soit g une fonction définie sur \mathbb{R}. On suppose que g est impaire, périodique de période 6, strictement décroissante sur [0\,; 1] et strictement croissante sur [1\,; 3]
Aide
Une fonction f est impaire sur \mathbb{R} lorsque, pour tout x \in \mathbb{R}, f(-x)=-f(x).


1
Construire le tableau de variations de g sur [-4\,; 5]. Justifier.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin
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2
Justifier que g(0) = 0 et que g(3) = 0 puis résoudre sur [-4\,; 5] puis dans \mathbb{R} l'équation g(x) = 0.


Partie C

1
Construire un cercle trigonométrique.

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2
Résoudre sur [-\pi~; \pi] les inéquations \sin (x) \leqslant-\frac{1}{2}, \sin (x)>-\frac{1}{2} et -\frac{1}{2} \leqslant \sin (x)\lt\frac{\sqrt{3}}{2}.


3
Résoudre dans \R les équations \sin (2 x)=-\frac{1}{2} et \sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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Bilan
Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d'une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?
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B
Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels


Objectif : Déterminer, pour tous réels a, b et x, \cos (a+b), \cos (a-b), \sin (a+b) et \sin (a-b) en fonction de \cos (a), \cos (b), \sin (a) et \sin (b), puis \cos (2x) et \sin (2x) en fonction de \cos (x) et \sin (x).

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Partie A : Détermination de \boldsymbol{\cos (a-b)}

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points \text{A} et \text{B} respectivement associés aux réels a et b de [-\pi \,; \pi] avec a > b.

1
Après avoir rappelé les coordonnées de \text{A} et \text{B}, calculer le produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.

2
En utilisant une mesure de l'angle géométrique \widehat{\mathrm{AOB}}, calculer \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}.

3
Exprimer alors \cos (a-b) en fonction de \cos (a), \cos (b), \sin (a) et \sin (b).

4
Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque a et b sont deux réels quelconques.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité B - Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels
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Partie B : Détermination de \boldsymbol{\cos (a+b)}

En remarquant que, pour tous réels a et b, a+b=a-(-b), déterminer une formule donnant \cos (a+b).


Partie C : Détermination de \boldsymbol{\sin (a+b)} et \boldsymbol{\sin (a-b)}

Sachant que, pour tout réel x, \sin (x)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right), déterminer des formules donnant \sin (a+b) et \sin (a-b) pour tous réels a et b.


Partie D : Détermination de \boldsymbol{\cos (2x)} et \boldsymbol{\sin (2x)}

1
a) Exprimer, pour tout x \in \mathbb{R}, \cos (2x) en fonction de \cos (x) et de \sin (x).

b) En utilisant \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1, déterminer deux autres formules pour \cos (2x) uniquement en fonction de \cos (x) ou \sin (x).


2
Déterminer une formule donnant \sin (2x) en fonction de \cos (x) et de \sin (x).
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Bilan
Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?
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C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en \bold{0}


Objectif : Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0 et déterminer leur nombre dérivé en 0.

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Soit x \in] 0\,; \frac{\pi}{2}[. On note \text{M} le point du cercle trigonométrique associé au réel x et \text{T} le point de (\mathrm{OM}) tel que \text{OIT} est rectangle en \text{I}.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité C - Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
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1
a) Donner, en fonction de x, les coordonnées du point \text{M} dans le repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de x, les coordonnées de \text{T} dans le repère orthonormé (\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J}).


2
a) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles \text{OMI} et \text{OTI}, ainsi que celle du secteur angulaire aigu \widehat{\mathrm{IOM}}.


b) Déterminer alors un encadrement de \frac{x}{2}.


3
a) Montrer que 1 \lt \frac{x}{\sin (x)} \lt \frac{1}{\cos (x)}. En déduire que \cos (x) \lt \frac{\sin (x)}{x} \lt 1.


b) En déduire \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \frac{\sin (x)}{x}.


c) Sachant que la fonction \sin est impaire, déterminer \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} \frac{\sin (x)}{x} puis prouver que \sin est dérivable en 0 et que \sin ^{\prime}(0)=1.
Aide
f est dérivable en 0 lorsque \lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\ell, où \ell est un réel (et par la suite \ell=f^{\prime}(0)).


4
Montrer que, pour tout réel x \neq 0, \frac{\cos (x)-1}{x}=-\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)^{2} \times \frac{x}{\cos (x)+1}.
Aide
Pour tout réel x, \sin ^{2}(x)=1-\cos ^{2}(x).

5
En déduire que la fonction \cos est dérivable en 0 et que \cos ^{\prime}(0)=0.
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Bilan
Quelles sont les valeurs de \boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\sin (x)}{x}} et de \boldsymbol{\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0}} \frac{\cos (x)-1}{x}} ? Quels résultats découlent de ces limites ?
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