Partie A

Soit $\text{T}$ un réel strictement positif et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à la fois paire et périodique de période $\text{T}$.

Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d'une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?

Partie A : Détermination de $\cos (\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points $\text{A}$ et $\text{B}$ respectivement associés aux réels $a$ et $b$ de $[-\pi ;\pi ]$ avec $a>b$.

Partie B : Détermination de $\cos (\mathbf{a}+\mathbf{b})$

En remarquant que, pour tous réels $a$ et $b$, $a+b=a-(-b)$, déterminer une formule donnant $\cos (a+b)$.

Partie C : Détermination de $\sin (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ et $\sin (\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Sachant que, pour tout réel $x$, $\sin (x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, déterminer des formules donnant $\sin (a+b)$ et $\sin (a-b)$ pour tous réels $a$ et $b$.

Partie D : Détermination de $\cos (2\mathbf{x})$ et $\sin (2\mathbf{x})$

1

a) Exprimer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\cos (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.

b) En utilisant ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, déterminer deux autres formules pour $\cos (2x)$ uniquement en fonction de $\cos (x)$ ou $\sin (x)$.

2

Déterminer une formule donnant $\sin (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.

Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?

Quelles sont les valeurs de $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (\mathbf{x})}{\mathbf{x}}$ et de $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\cos (\mathbf{x})-1}{\mathbf{x}}$ ? Quels résultats découlent de ces limites ?