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P.266-267

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A
Restriction du domaine d’étude d’une fonction


Objectif

Savoir comment restreindre le domaine d’étude d’une fonction paire ou impaire et périodique.
Savoir résoudre des équations trigonométriques dans et des inéquations trigonométriques sur .

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Partie A

Soit un réel strictement positif et une fonction définie sur à la fois paire et périodique de période .

1
Démontrer qu’il suffit alors d’étudier la fonction sur l’intervalle .


2
Démontrer que si est strictement croissante sur , où et sont deux réels, alors est strictement décroissante sur .


Partie B

Soit une fonction définie sur . On suppose que est impaire, périodique de période , strictement décroissante sur et strictement croissante sur

1
Construire le tableau de variations de sur . Justifier.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2
Justifier que et que puis résoudre sur puis dans l’équation .


Partie C

1
Construire un cercle trigonométrique.

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2
Résoudre sur les inéquations , et .


3
Résoudre dans les équations et .
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Aide
Partie A
  • Une fonction est paire sur lorsque, pour tout , .
  • Une fonction est périodique de période sur lorsque, pour tout , .

Aide
Partie B
Une fonction est impaire sur lorsque, pour tout , .

Bilan

Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d’une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?
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B
Cosinus et sinus d’une somme et d’une différence de deux réels


Objectif

Déterminer, pour tous réels , et , , , et en fonction de , , et , puis et en fonction de et .


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité B - Cosinus et sinus d’une somme et d’une différence de deux réels
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Partie A : Détermination de

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points et respectivement associés aux réels et de avec .

1
Après avoir rappelé les coordonnées de et , calculer le produit scalaire .


2
En utilisant une mesure de l’angle géométrique , calculer .


3
Exprimer alors en fonction de , , et .


4
Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque et sont deux réels quelconques.


Partie B : Détermination de

En remarquant que, pour tous réels et , , déterminer une formule donnant .


Partie C : Détermination de et

Sachant que, pour tout réel , , déterminer des formules donnant et pour tous réels et .


Partie D : Détermination de et

1
a) Exprimer, pour tout , en fonction de et de .


b) En utilisant , déterminer deux autres formules pour uniquement en fonction de ou .


2
Déterminer une formule donnant en fonction de et de .
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Bilan

Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?
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C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en


Objectif

Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en et déterminer leur nombre dérivé en .


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité C - Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
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Soit . On note le point du cercle trigonométrique associé au réel et le point de tel que est rectangle en .

1
a) Donner, en fonction de , les coordonnées du point dans le repère orthonormé .


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de , les coordonnées de dans le repère orthonormé .


2
a) Exprimer, en fonction de , les aires des triangles et , ainsi que celle du secteur angulaire aigu .


b) Déterminer alors un encadrement de .


3
a) Montrer que . En déduire que .


b) En déduire .


c) Sachant que la fonction est impaire, déterminer puis prouver que est dérivable en et que .


Aide
est dérivable en lorsque , où est un réel (et par la suite ).


4
Montrer que, pour tout réel , .


Aide
Pour tout réel , .


5
En déduire que la fonction est dérivable en et que .
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Bilan

Quelles sont les valeurs de et de  ?
Quels résultats découlent de ces limites ?

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