Partie A

Soit $\text{T}$ un réel strictement positif et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à la fois paire et périodique de période $\text{T}$.

Démontrer qu’il suffit alors d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[0;\frac{\mathrm{T}}{2}\right]$.


Démontrer que si $f$ est strictement croissante sur $[a;b]$, où $a$ et $b$ sont deux réels, alors $f$ est strictement décroissante sur $[-b;-a]$.

Partie B

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On suppose que $g$ est impaire, périodique de période $6$, strictement décroissante sur $[0;1]$ et strictement croissante sur $[1;3]$

Construire le tableau de variations de $g$ sur $[-4;5]$. Justifier.


Justifier que $g(0)=0$ et que $g(3)=0$ puis résoudre sur $[-4;5]$ puis dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x)=0$.

Partie C

Construire un cercle trigonométrique.

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations $\sin (x)⩽-\frac{1}{2}$, $\sin (x)>-\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}⩽\sin (x)<\frac{\sqrt{3}}{2}$.


Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations $\sin (2x)=-\frac{1}{2}$ et $\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Partie A : Détermination de $\cos (\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points $\text{A}$ et $\text{B}$ respectivement associés aux réels $a$ et $b$ de $[-\pi ;\pi ]$ avec $a>b$.

Après avoir rappelé les coordonnées de $\text{A}$ et $\text{B}$, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$.


En utilisant une mesure de l’angle géométrique $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{O}\mathrm{B}}$, calculer $\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}$.


Exprimer alors $\cos (a-b)$ en fonction de $\cos (a)$, $\cos (b)$, $\sin (a)$ et $\sin (b)$.


Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque $a$ et $b$ sont deux réels quelconques.

Partie B : Détermination de $\cos (\mathbf{a}+\mathbf{b})$

En remarquant que, pour tous réels $a$ et $b$, $a+b=a-(-b)$, déterminer une formule donnant $\cos (a+b)$.

Partie C : Détermination de $\sin (\mathbf{a}+\mathbf{b})$ et $\sin (\mathbf{a}-\mathbf{b})$

Sachant que, pour tout réel $x$, $\sin (x)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$, déterminer des formules donnant $\sin (a+b)$ et $\sin (a-b)$ pour tous réels $a$ et $b$.

Partie D : Détermination de $\cos (2\mathbf{x})$ et $\sin (2\mathbf{x})$

a) Exprimer, pour tout $x\in \mathbb{R}$, $\cos (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.


b) En utilisant ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$, déterminer deux autres formules pour $\cos (2x)$ uniquement en fonction de $\cos (x)$ ou $\sin (x)$.


Déterminer une formule donnant $\sin (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.

Soit $x\in ]0;\frac{\pi }{2}[$. On note $\text{M}$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et $\text{T}$ le point de $(\mathrm{O}\mathrm{M})$ tel que $\text{OIT}$ est rectangle en $\text{I}$.

a) Donner, en fonction de $x$, les coordonnées du point $\text{M}$ dans le repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$.


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de $x$, les coordonnées de $\text{T}$ dans le repère orthonormé $(\mathrm{O};\mathrm{I},\mathrm{J})$.


a) Exprimer, en fonction de $x$, les aires des triangles $\text{OMI}$ et $\text{OTI}$, ainsi que celle du secteur angulaire aigu $\widehat{\mathrm{I}\mathrm{O}\mathrm{M}}$.


b) Déterminer alors un encadrement de $\frac{x}{2}$.


a) Montrer que $1<\frac{x}{\sin (x)}<\frac{1}{\cos (x)}$. En déduire que $\cos (x)<\frac{\sin (x)}{x}<1$.


b) En déduire $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$.


c) Sachant que la fonction $\sin$ est impaire, déterminer $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x<0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$ puis prouver que $\sin$ est dérivable en $0$ et que ${\sin }^{\prime }(0)=1$.




Montrer que, pour tout réel $x\ne 0$, $\frac{\cos (x)-1}{x}=-{\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)}^2\times \frac{x}{\cos (x)+1}$.




En déduire que la fonction $\cos$ est dérivable en $0$ et que ${\cos }^{\prime }(0)=0$.