Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Activité

Fonctions trigonométriques

A
Restriction du domaine d'étude d'une fonction


Objectif : Savoir comment restreindre le domaine d'étude d'une fonction paire ou impaire et périodique. Savoir résoudre des équations trigonométriques dans et des inéquations trigonométriques sur .

Partie A

Soit un réel strictement positif et une fonction définie sur à la fois paire et périodique de période .
  • Une fonction est paire sur lorsque, pour tout , .
  • Une fonction est périodique de période sur lorsque, pour tout , .
Aide

1
Démontrer qu'il suffit alors d'étudier la fonction sur l'intervalle .


2
Démontrer que si est strictement croissante sur , où et sont deux réels, alors est strictement décroissante sur .


Partie B

Soit une fonction définie sur . On suppose que est impaire, périodique de période , strictement décroissante sur et strictement croissante sur
Une fonction est impaire sur lorsque, pour tout , .
Aide


1
Construire le tableau de variations de sur . Justifier.

Dessinez ici

2
Justifier que et que puis résoudre sur puis dans l'équation .


Partie C

1
Construire un cercle trigonométrique.

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2
Résoudre sur les inéquations , et .


3
Résoudre dans les équations et .
Bilan
Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d'une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?

B
Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels


Objectif : Déterminer, pour tous réels , et , , , et en fonction de , , et , puis et en fonction de et .

Partie A : Détermination de

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points et respectivement associés aux réels et de avec .

1
Après avoir rappelé les coordonnées de et , calculer le produit scalaire .

2
En utilisant une mesure de l'angle géométrique , calculer .

3
Exprimer alors en fonction de , , et .

4
Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque et sont deux réels quelconques.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité B - Cosinus et sinus d'une somme et d'une différence de deux réels
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Partie B : Détermination de

En remarquant que, pour tous réels et , , déterminer une formule donnant .


Partie C : Détermination de et

Sachant que, pour tout réel , , déterminer des formules donnant et pour tous réels et .


Partie D : Détermination de et

1
a) Exprimer, pour tout , en fonction de et de .

b) En utilisant , déterminer deux autres formules pour uniquement en fonction de ou .


2
Déterminer une formule donnant en fonction de et de .
Bilan
Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?

C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en


Objectif : Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en et déterminer leur nombre dérivé en .

Soit . On note le point du cercle trigonométrique associé au réel et le point de tel que est rectangle en .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Activité C - Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
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1
a) Donner, en fonction de , les coordonnées du point dans le repère orthonormé .


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de , les coordonnées de dans le repère orthonormé .


2
a) Exprimer, en fonction de , les aires des triangles et , ainsi que celle du secteur angulaire aigu .


b) Déterminer alors un encadrement de .


3
a) Montrer que . En déduire que .


b) En déduire .


c) Sachant que la fonction est impaire, déterminer puis prouver que est dérivable en et que .
est dérivable en lorsque , où est un réel (et par la suite ).
Aide


4
Montrer que, pour tout réel , .
Pour tout réel , .
Aide

5
En déduire que la fonction est dérivable en et que .
Bilan
Quelles sont les valeurs de et de  ? Quels résultats découlent de ces limites ?

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