Savoir comment restreindre le domaine d’étude d’une fonction paire ou impaire et périodique.
Savoir résoudre des équations trigonométriques dans R et des inéquations trigonométriques sur [−π;π].
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Partie A
Soit T un réel strictement positif et f une fonction définie sur R à la fois paire et périodique de période T.
1
Démontrer qu’il suffit alors d’étudier la fonction f sur l’intervalle [0;2T].
2
Démontrer que si f est strictement croissante sur [a;b], où a et b sont deux réels, alors f est strictement décroissante sur [−b;−a].
Partie B
Soit g une fonction définie sur R. On suppose que g est impaire, périodique de période 6, strictement décroissante sur [0;1] et strictement croissante sur [1;3]
1
Construire le tableau de variations de g sur [−4;5]. Justifier.
Couleurs
Formes
Dessinez ici
2
Justifier que g(0)=0 et que g(3)=0 puis résoudre sur [−4;5] puis dans R l’équation g(x)=0.
Partie C
1
Construire un cercle trigonométrique.
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2
Résoudre sur [−π;π] les inéquations sin(x)⩽−21, sin(x)>−21 et −21⩽sin(x)<23.
3
Résoudre dans R les équations sin(2x)=−21 et sin(2x)=23.
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Aide
Partie A
Une fonction f est paire sur R lorsque, pour tout x∈R, f(−x)=f(x).
Une fonction f est périodique de période T sur R lorsque, pour tout x∈R, f(x+T)=f(x).
Aide
Partie B
Une fonction f est impaire sur R lorsque, pour tout x∈R, f(−x)=−f(x).
Bilan
Dans quel but étudie‑t‑on la parité ou la périodicité d’une fonction ? Comment résoudre rapidement certaines équations ou inéquations trigonométriques ?
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B
Cosinus et sinus d’une somme et d’une différence de deux réels
Objectif
Déterminer, pour tous réels a, b et x, cos(a+b), cos(a−b), sin(a+b) et sin(a−b) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b), puis cos(2x) et sin(2x) en fonction de cos(x) et sin(x).
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Partie A : Détermination de cos(a−b)
Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points A et B respectivement associés aux réels a et b de [−π;π] avec a>b.
1
Après avoir rappelé les coordonnées de A et B, calculer le produit scalaire OA⋅OB.
2
En utilisant une mesure de l’angle géométrique AOB, calculer OA⋅OB.
3
Exprimer alors cos(a−b) en fonction de cos(a), cos(b), sin(a) et sin(b).
4
Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque a et b sont deux réels quelconques.
Partie B : Détermination de cos(a+b)
En remarquant que, pour tous réels a et b, a+b=a−(−b), déterminer une formule donnant cos(a+b).
Partie C : Détermination de sin(a+b) et sin(a−b)
Sachant que, pour tout réel x, sin(x)=cos(2π−x), déterminer des formules donnant sin(a+b) et sin(a−b) pour tous réels a et b.
Partie D : Détermination de cos(2x) et sin(2x)
1
a)
Exprimer, pour tout x∈R, cos(2x) en fonction de cos(x) et de sin(x).
b) En utilisant cos2(x)+sin2(x)=1, déterminer deux autres formules pour cos(2x) uniquement en fonction de cos(x) ou sin(x).
2
Déterminer une formule donnant sin(2x) en fonction de cos(x) et de sin(x).
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Bilan
Quelles formules transformant des expressions trigonométriques peut‑on retenir ?
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C
Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus en 0
Objectif
Montrer que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables en 0 et déterminer leur nombre dérivé en 0.
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Soit x∈]0;2π[. On note M le point du cercle trigonométrique associé au réel x et T le point de (OM) tel que OIT est rectangle en I.
1
a)
Donner, en fonction de x, les coordonnées du point M dans le repère orthonormé (O;I,J).
b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de x, les coordonnées de T dans le repère orthonormé (O;I,J).
2
a) Exprimer, en fonction de x, les aires des triangles OMI et OTI, ainsi que celle du secteur angulaire aigu IOM.
b) Déterminer alors un encadrement de 2x.
3
a) Montrer que 1<sin(x)x<cos(x)1. En déduire que cos(x)<xsin(x)<1.
b) En déduire x→0x>0limxsin(x).
c) Sachant que la fonction sin est impaire, déterminer x→0x<0limxsin(x) puis prouver que sin est dérivable en 0 et que sin′(0)=1.
Aide
f est dérivable en 0 lorsque x→0limxf(x)−f(0)=ℓ, où ℓ est un réel (et par la suite ℓ=f′(0)).
4
Montrer que, pour tout réel x=0, xcos(x)−1=−(xsin(x))2×cos(x)+1x.
Aide
Pour tout réel x, sin2(x)=1−cos2(x).
5
En déduire que la fonction cos est dérivable en 0 et que cos′(0)=0.
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Bilan
Quelles sont les valeurs de x→0limxsin(x) et de x→0limxcos(x)−1 ?
Quels résultats découlent de ces limites ?
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