Activités

Partie A

Soit $\text{T}$ un réel strictement positif et $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à la fois paire et périodique de période $\text{T}$.

Démontrer qu’il suffit alors d’étudier la fonction $f$ sur l’intervalle $\left[0\,; \dfrac{\mathrm{T}}{2}\right]$.


Démontrer que si $f$ est strictement croissante sur $[a\,; b]$, où $a$ et $b$ sont deux réels, alors $f$ est strictement décroissante sur $[-b\,;-a]$.

Partie B

Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$. On suppose que $g$ est impaire, périodique de période $6$, strictement décroissante sur $[0\,; 1]$ et strictement croissante sur $[1\,; 3]$

Construire le tableau de variations de $g$ sur $[-4\,; 5]$. Justifier.

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Justifier que $g(0) = 0$ et que $g(3) = 0$ puis résoudre sur $[-4\,; 5]$ puis dans $\mathbb{R}$ l’équation $g(x) = 0$.

Partie C

Construire un cercle trigonométrique.

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Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ les inéquations $\sin (x) \leqslant-\dfrac{1}{2}$, $\sin (x)>-\dfrac{1}{2}$ et $-\dfrac{1}{2} \leqslant \sin (x)\lt\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.


Résoudre dans $\R$ les équations $\sin (2 x)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Partie A : Détermination de $\boldsymbol{\cos (a-b)}$

Dans le repère orthonormé ci‑contre, on a représenté une partie du cercle trigonométrique et placé les points $\text{A}$ et $\text{B}$ respectivement associés aux réels $a$ et $b$ de $[-\pi \,; \pi]$ avec $a > b$.

Après avoir rappelé les coordonnées de $\text{A}$ et $\text{B}$, calculer le produit scalaire $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$.


En utilisant une mesure de l’angle géométrique $\widehat{\mathrm{AOB}}$, calculer $\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$.


Exprimer alors $\cos (a-b)$ en fonction de $\cos (a)$, $\cos (b)$, $\sin (a)$ et $\sin (b)$.


Justifier que cette égalité demeure inchangée lorsque $a$ et $b$ sont deux réels quelconques.

Partie B : Détermination de $\boldsymbol{\cos (a+b)}$

En remarquant que, pour tous réels $a$ et $b$, $a+b=a-(-b)$, déterminer une formule donnant $\cos (a+b)$.

Partie C : Détermination de $\boldsymbol{\sin (a+b)}$ et $\boldsymbol{\sin (a-b)}$

Sachant que, pour tout réel $x$, $\sin (x)=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$, déterminer des formules donnant $\sin (a+b)$ et $\sin (a-b)$ pour tous réels $a$ et $b$.

Partie D : Détermination de $\boldsymbol{\cos (2x)}$ et $\boldsymbol{\sin (2x)}$

a) Exprimer, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.


b) En utilisant $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$, déterminer deux autres formules pour $\cos (2x)$ uniquement en fonction de $\cos (x)$ ou $\sin (x)$.


Déterminer une formule donnant $\sin (2x)$ en fonction de $\cos (x)$ et de $\sin (x)$.

Soit $x \in] 0\,; \dfrac{\pi}{2}[$. On note $\text{M}$ le point du cercle trigonométrique associé au réel $x$ et $\text{T}$ le point de $(\mathrm{OM})$ tel que $\text{OIT}$ est rectangle en $\text{I}$.

a) Donner, en fonction de $x$, les coordonnées du point $\text{M}$ dans le repère orthonormé $(\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J})$.


b) En utilisant les formules de trigonométrie dans un triangle rectangle, déterminer, en fonction de $x$, les coordonnées de $\text{T}$ dans le repère orthonormé $(\mathrm{O}\,; \mathrm{I}\,, \mathrm{J})$.


a) Exprimer, en fonction de $x$, les aires des triangles $\text{OMI}$ et $\text{OTI}$, ainsi que celle du secteur angulaire aigu $\widehat{\mathrm{IOM}}$.


b) Déterminer alors un encadrement de $\dfrac{x}{2}$.


a) Montrer que $1 \lt \dfrac{x}{\sin (x)} \lt \dfrac{1}{\cos (x)}$. En déduire que $\cos (x) \lt \dfrac{\sin (x)}{x} \lt 1$.


b) En déduire $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \dfrac{\sin (x)}{x}$.


c) Sachant que la fonction $\sin$ est impaire, déterminer $\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x \lt 0}} \dfrac{\sin (x)}{x}$ puis prouver que $\sin$ est dérivable en $0$ et que $\sin ^{\prime}(0)=1$.




Montrer que, pour tout réel $x \neq 0$, $\dfrac{\cos (x)-1}{x}=-\left(\dfrac{\sin (x)}{x}\right)^{2} \times \dfrac{x}{\cos (x)+1}$.




En déduire que la fonction $\cos$ est dérivable en $0$ et que $\cos ^{\prime}(0)=0$.