Chapitre 9
TP INFO 1
Coordonnées dépendant du temps
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Énoncé
On se place dans un repère orthonormé. Pour tout instant t \geqslant 0 exprimé en minute, un objet représenté par le point \text{M} est localisé par son abscisse x(t)=\cos (t) et son ordonnée y(t)=\sin (2 t), toutes deux exprimées en mètre. On cherche à tracer la courbe décrite par \text{M} dans ce repère.
Question préliminaire :
Montrer qu'aux instants t et t + 2\pi, le point \text{M} a les mêmes coordonnées.
Montrer qu'aux instants t et t + 2\pi, le point \text{M} a les mêmes coordonnées.
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Objectif
Tracer la courbe décrite par \mathbf{M} et observer des propriétés graphiques en utilisant une des trois méthodes.
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Ce type de courbe est appelée courbe paramétrique et sera étudiée après la terminale.
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Méthode 1Tableur
1. On propose ici de représenter à l'aide du tableur l'ensemble des points obtenus pour des valeurs de t variant de 0 à 2\pi, avec un pas de h.
a. Reproduire et compléter la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable .)
a. Reproduire et compléter la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable .)
b. À l'aide de l'outil graphique, en sélectionnant les colonnes B et C, créer un nuage de points de coordonnées (x(t) ; y(t)).
c. Adapter cette méthode avec un pas de h égal à 0{,}2, puis à 0{,}1.
2. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le compteur t varie de 0 à 2\pi ?
c. Adapter cette méthode avec un pas de h égal à 0{,}2, puis à 0{,}1.
2. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le compteur t varie de 0 à 2\pi ?
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Méthode 2GeoGebra
1. Créer un curseur t allant de 0 à 2\pi, avec un incrément de 0{,}5.
2. Dans le champ Saisie, créer le point \mathrm{M} :
3. a. Activer la trace de \text{M} et déplacer le curseur pour observer la courbe décrite par \text{M}.
b. Recommencer avec un incrément de 0{,}2 puis de 0{,}1.
4. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le curseur varie de 0 à 2\pi ?
5. Retrouver le profil de la courbe directement à l'aide de la saisie d'une courbe dite « paramétrée » :
2. Dans le champ Saisie, créer le point \mathrm{M} :
3. a. Activer la trace de \text{M} et déplacer le curseur pour observer la courbe décrite par \text{M}.
b. Recommencer avec un incrément de 0{,}2 puis de 0{,}1.
4. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le curseur varie de 0 à 2\pi ?
5. Retrouver le profil de la courbe directement à l'aide de la saisie d'une courbe dite « paramétrée » :
GeoGebra
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Méthode 3Calculatrice
1. Démontrer algébriquement que y(t)=2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)} ou y(t)=-2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)}.
2. Tracer les courbes des deux fonctions obtenues à la question 1.
2. Tracer les courbes des deux fonctions obtenues à la question 1.
GeoGebra
3. Quelles propriétés graphiques observe‑t‑on ?
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Montrer que si \mathrm{M}(a~; b) est un point de la courbe, alors il en est de même pour les points \mathrm{A}(a~;-b) ; \mathrm{B}(-a~; b) et \mathrm{C}(-a~;-b). Quelles conséquences peut on tirer de cette remarque ?
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Oups, une coquille
