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TP1. Coordonnées dépendant du temps
P.274

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1
Coordonnées dépendant du temps




Énoncé

On se place dans un repère orthonormé. Pour tout instant t0t \geqslant 0 exprimé en minute, un objet représenté par le point M\text{M} est localisé par son abscisse x(t)=cos(t)x(t)=\cos (t) et son ordonnée y(t)=sin(2t)y(t)=\sin (2 t), toutes deux exprimées en mètre. On cherche à tracer la courbe décrite par M\text{M} dans ce repère.

Question préliminaire :

Montrer qu’aux instants tt et t+2πt + 2\pi, le point M\text{M} a les mêmes coordonnées.
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Objectif

Tracer la courbe décrite par M\mathbf{M} et observer des propriétés graphiques en utilisant une des trois méthodes.

Remarque

Ce type de courbe est appelée courbe paramétrique et sera étudiée après la terminale.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

1. On propose ici de représenter à l’aide du tableur l’ensemble des points obtenus pour des valeurs de tt variant de 00 à 2π2\pi, avec un pas de hh.
a. Reproduire et compléter la feuille de calcul ci‑dessous. (Fichier téléchargeable ici.)

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP1 Coordonnées dépendant du temps - tableur

b. À l’aide de l’outil graphique, en sélectionnant les colonnes B et C, créer un nuage de points de coordonnées (x(t);y(t))(x(t) ; y(t)).

c. Adapter cette méthode avec un pas de hh égal à 0,20{,}2, puis à 0,10{,}1.

2. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le compteur t varie de 00 à 2π2\pi ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
GEOGEBRA

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1. Créer un curseur tt allant de 00 à 2π2\pi, avec un incrément de 0,50{,}5.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP1 Coordonnées dépendant du temps - Geogebra

2. Dans le champ Saisie, créer le point M\mathrm{M} :

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP1 Coordonnées dépendant du temps - Geogebra

3. a. Activer la trace de M\text{M} et déplacer le curseur pour observer la courbe décrite par M\text{M}.

b. Recommencer avec un incrément de 0,20{,}2 puis de 0,10{,}1.

4. Quelle propriété retrouve‑t‑on lorsque le curseur varie de 00 à 2π2\pi ?


5. Retrouver le profil de la courbe directement à l’aide de la saisie d’une courbe dite « paramétrée » :

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP1 Coordonnées dépendant du temps - Geogebra
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 3
CALCULATRICE

1. Démontrer algébriquement que y(t)=2x(t)1x2(t)y(t)=2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)} ou y(t)=2x(t)1x2(t)y(t)=-2 x(t) \sqrt{1-x^{2}(t)}.


2. Tracer les courbes des deux fonctions obtenues à la question 1..

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3. Quelles propriétés graphiques observe‑t‑on ?
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Pour aller plus loin


Montrer que si M(a ;b)\mathrm{M}(a~; b) est un point de la courbe, alors il en est de même pour les points A(a ;b)\mathrm{A}(a~;-b) ; B(a ;b)\mathrm{B}(-a~; b) et C(a ;b)\mathrm{C}(-a~;-b). Quelles conséquences peut on tirer de cette remarque ?
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