70

Yann se souvient que $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$.
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,9999060498$ et $\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,0137073546$.

71

Comment placer très simplement et précisément les réels $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ et $\frac{\pi }{3}$ sur un cercle trigonométrique ?

75

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations suivantes. 1. $\sin (x)=-1$

2. $\cos (x)=-1$

3. $\sin (x)=-0,5$

4. $\cos (x)=-0,5$

76

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations suivantes. 1. $\sin (x)<-0,5$

2. $\cos (x)>0,5$

3. $\sin (x)⩾-2$

4. $\cos (x)⩽-2$

77

À la question « résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $\sin (x)⩾-0,5$ », Étienne a répondu $\left[\frac{-5\pi }{6};\frac{-\pi }{6}\right]$ alors que son amie Rachida a répondu $\left[\frac{-\pi }{6};\frac{-5\pi }{6}\right]$.
Mehdi pense qu'ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.

78

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

$\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$ ; $\cos \left(\frac{3\pi }{5}\right)$ et $\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)$.

79

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

$\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{3\pi }{5}\right)$ et $\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)$.

80

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

$\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)$ et $\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)$.

83

[Représenter.]
1. Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ : $-\frac{\sqrt{3}}{2}⩽\sin (x)⩽\frac{1}{2}$.

2. Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ : $-\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos (x)⩽\frac{\sqrt{3}}{2}$.

84

[Calculer.]
On admet que, pour $x\in \mathbb{R}$, $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$.

En déduire, par dérivation, une formule donnant $\cos (2x)$ pour tout réel $x$.

85

[Calculer.]
1. En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$, résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2{\cos }^2(x)-5\cos (x)-3=0$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $-6{\sin }^2(x)-3\sin (x)+3=0$.

86

[Calculer.]
Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations $\text{(E)}:2{\sin }^2(x)-1>0$ et $(\mathrm{F}):2{\cos }^2(x)-1<0$.

87

[Calculer.]
En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$ et $\mathrm{Y}=\sin (y)$, déterminer l'ensemble des couples $(x;y)$ vérifiant les conditions suivantes.

$\{\begin{array}{l}2\cos (x)+3\sin (y)=\sqrt{2}-\frac{3}{2}\\ 4\cos (x)+\sin (y)=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\\ -\pi ⩽x⩽\pi ,-\pi ⩽y⩽\pi \end{array}$

88

[Calculer.]
En utilisant la méthode de l'exercice précédent, déterminer l'ensemble des couples $(x;y)$ vérifiant les conditions suivantes.

$\{\begin{array}{l}2\cos (x)+\sin (y)=\frac{\sqrt{3}-2}{2}\\ 5\cos (x)+\sqrt{3}\sin (y)=-1\\ -\pi ⩽x⩽\pi ,-\pi ⩽y⩽\pi \end{array}$

89

[Calculer.]
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)-\sqrt{3}=0$.

2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\sin \left(x-\frac{\pi }{7}\right)-\sqrt{2}=0$.

90

[Calculer.]
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $2\sin (3x)+\sqrt{2}=0.$

91

[Chercher.]
Montrer que l'équation $\sin (x)\cos (x)=-1$ n'a pas de solution.

92

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de $f(x)$ en $+\infty$. 1. $f(x)=3\sin (x)-2$

2. $f(x)=3\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$

3. $f(x)=3\sin (x)-2x$

93

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite). 1. $f(x)=3\sin (x)-2$

2. $f(x)=3\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$

3. $f(x)=3x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$

94

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite) 1. $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$

2. $f(x)=\frac{\cos (x)}{x}$

3. $f(x)=\frac{\sin (3x)}{x}$

4. $f(x)=\frac{\cos (x)}{x^2}$

95

[Chercher.]
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire $\mathrm{X}=\cos \left(\frac{\pi }{\mathrm{A}}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{\mathrm{B}}\right)$, où $\text{A}$ correspond à la face obtenue par le premier dé et $\text{B}$ par le second. 1. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier.

2. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier sachant que $\text{A}$ est pair.

3. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un nombre rationnel.

96

[Raisonner.]
1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l'équation $(\mathrm{E}):\cos (x)=-\frac{x}{2}$.

2. Démontrer la conjecture obtenue.

On pourra étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (x)+\frac{x}{2}.$

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97

[Raisonner.]
1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l'équation $(\mathrm{F}):\sin (x)=\frac{x}{2}$.

2. Démontrer la conjecture obtenue.

On pourra étudier la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)-\frac{x}{2}.$

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