Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Fonctions sinus et cosinus
P.280-281

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


2
Fonctions sinus et cosinus





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

70
FLASH

Yann se souvient que cos(π4)=sin(π4)\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right).
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors cos(π4)0,9999060498\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}9999060498 et sin(π4)0,0137073546\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}0137073546.
Voir les réponses

71
FLASH

Comment placer très simplement et précisément les réels π6\dfrac{\pi}{6}, π4\dfrac{\pi}{4} et π3\dfrac{\pi}{3} sur un cercle trigonométrique ?
Voir les réponses

72
FLASH

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur [0 ;π][0~; \pi], les variations de la fonction sin\sin.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de sin\sin, construire le tableau de variations de sin\sin sur [2π ;2π][-2 \pi~; 2 \pi].


Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

73
FLASH

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur [0 ;π][0~; \pi], les variations de la fonction cos\cos.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de cos\cos, construire le tableau de variations de cos\cos sur [2π ;2π][-2 \pi~; 2 \pi].


Couleurs
Formes
Dessinez ici
Voir les réponses

74
FLASH

Compléter le tableau ci‑dessous.

x\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{x}} π6\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\dfrac{-\pi}{6}}} 2π6\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\dfrac{2\pi}{6}}} 3π6\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\dfrac{-3\pi}{6}}} 4π6\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\dfrac{4\pi}{6}}} 5π6\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\dfrac{-5\pi}{6}}}
sin(x)\sin(x)
cos(x)\cos(x)
Voir les réponses

75
FLASH

Résoudre sur R\R les équations suivantes.

1. sin(x)=1\sin (x)=-1


2. cos(x)=1\cos (x)=-1


3. sin(x)=0,5\sin (x)=-0{,}5


4. cos(x)=0,5\cos (x)=-0{,}5
Voir les réponses

76
FLASH

Résoudre sur [π ;π][-\pi~ ; \pi] les inéquations suivantes.

1. sin(x)<0,5\sin (x)\lt-0{,}5


2. cos(x)>0,5\cos (x)>0{,}5


3. sin(x)2\sin (x) \geqslant-2


4. cos(x)2\cos (x) \leqslant-2
Voir les réponses

77
FLASH

À la question « résoudre dans [π ;π][-\pi~; \pi] l’inéquation sin(x)0,5\sin (x) \geqslant-0{,}5 », Étienne a répondu [5π6 ;π6]\left[\dfrac{-5 \pi}{6}~; \dfrac{-\pi}{6}\right] alors que son amie Rachida a répondu [π6 ;5π6]\left[\dfrac{-\pi}{6}~; \dfrac{-5 \pi}{6}\right].
Mehdi pense qu’ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.
Voir les réponses

78
[Raisonner.] ◉◉
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
cos(π5)\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) ; cos(π7)\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) ; cos(2π5)\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right) ; cos(3π5)\cos \left(\dfrac{3 \pi}{5}\right) et cos(3π7)\cos \left(\dfrac{3 \pi}{7}\right).
Voir les réponses

79
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
sin(π5)\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) ; sin(π7)\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) ; sin(2π5)\sin \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right) ; sin(3π5)\sin \left(\dfrac{3 \pi}{5}\right) et sin(3π7)\sin \left(\dfrac{3 \pi}{7}\right).
Voir les réponses

80
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
sin(π5)\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right) ; sin(π7)\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) ; cos(π5)\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right) et cos(π7)\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right).
Voir les réponses

81
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
  • déterminer son ensemble de définition Df\mathcal{D}_f ;
  • déterminer son ensemble de dérivabilité Df\mathcal{D}_{f'} ;
  • déterminer une écriture simplifiée pour f(x)f'(x).

1. f:x3cos(3x+5)f: x \mapsto 3 \cos (3 x+5)


2. f:x2sin(3+5x)f: x \mapsto-2 \sin (3+5 x)


3. f:x35cos(5x3)+4sin(3x4+1)f: x \mapsto \dfrac{3}{5} \cos (5 x-3)+4 \sin \left(\dfrac{-3 x}{4}+1\right)


4. f:xx3cos(x)f: x \mapsto x^{3} \cos (x)
Voir les réponses

82
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
  • déterminer son ensemble de définition Df\mathcal{D}_f ;
  • déterminer son ensemble de dérivabilité Df\mathcal{D}_{f'} ;
  • déterminer une écriture simplifiée pour f(x)f'(x).

1. f:xxcos(x)f: x \mapsto x \cos (x)


2. f:xxsin(x)f: x \mapsto x \sin (x)


3. f:xcos(x)xf: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{x}


4. f:xsin(x)xf: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{x}


5. f:xxcos(x)f: x \mapsto \dfrac{x}{\cos (x)}


6. f:xxsin(x)f: x \mapsto \dfrac{x}{\sin (x)}
Voir les réponses

83
[Représenter.] ◉◉
1. Résoudre dans [π ;π][-\pi~; \pi] : 32sin(x)12-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin (x) \leqslant \dfrac{1}{2}.

2. Résoudre dans [π ;π][-\pi~; \pi] : 22<cos(x)32-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt\cos (x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
Voir les réponses

84
[Calculer.]
On admet que, pour xRx \in \mathbb{R}, sin(2x)=2sin(x)cos(x)\sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x).

En déduire, par dérivation, une formule donnant cos(2x)\cos (2 x) pour tout réel xx.
Voir les réponses

85
[Calculer.] ◉◉
1. En posant X=cos(x)\mathrm{X}=\cos (x), résoudre dans R\R l’équation 2cos2(x)5cos(x)3=02 \cos ^{2}(x)-5 \cos (x)-3=0.


2. Résoudre dans R\R l’équation 6sin2(x)3sin(x)+3=0-6 \sin ^{2}(x)-3 \sin (x)+3=0.
Voir les réponses

86
[Calculer.]
Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] les inéquations (E):2sin2(x)1>0\text {(E)}: 2 \sin ^{2}(x)-1>0 et (F):2cos2(x)1<0(\mathrm{F}): 2 \cos ^{2}(x)-1\lt0.
Voir les réponses

87
[Calculer.] ◉◉◉
En posant X=cos(x)\mathrm{X}=\cos (x) et Y=sin(y)\mathrm{Y}=\sin (y), déterminer l’ensemble des couples (x ;y)(x~; y) vérifiant les conditions suivantes.
{2cos(x)+3sin(y)=2324cos(x)+sin(y)=2212πxπ,πyπ\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+3 \sin (y)=\sqrt{2}-\dfrac{3}{2} \\ 4 \cos (x)+\sin (y)=2 \sqrt{2}-\dfrac{1}{2} \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.
Voir les réponses

88
[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, déterminer l’ensemble des couples (x ;y)(x~; y) vérifiant les conditions suivantes.
{2cos(x)+sin(y)=3225cos(x)+3sin(y)=1πxπ,πyπ\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+\sin (y)=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \\ 5 \cos (x)+\sqrt{3} \sin (y)=-1 \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.
Voir les réponses

89
[Calculer.]
1. Résoudre dans R\R l’équation 2cos(xπ5)3=02 \cos \left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)-\sqrt{3}=0.


2. Résoudre dans R\R l’équation 2sin(xπ7)2=02 \sin \left(x-\dfrac{\pi}{7}\right)-\sqrt{2}=0.
Voir les réponses

90
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans R\R l’équation 2sin(3x)+2=02 \sin (3 x)+\sqrt{2}=0.
Voir les réponses

91
[Chercher.]
Montrer que l’équation sin(x)cos(x)=1\sin (x) \cos (x)=-1 n’a pas de solution.
Voir les réponses

92
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x)f(x) en ++\infty.

1. f(x)=3sin(x)2f(x)=3 \sin (x)-2


2. f(x)=3sin(1x)2f(x)=3 \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2


3. f(x)=3sin(x)2xf(x)=3 \sin (x)-2 x
Voir les réponses

93
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x)f(x) en 00 (éventuellement à gauche et à droite).

1. f(x)=3sin(x)2f(x)=3 \sin (x)-2


2. f(x)=3sin(1x)2f(x)=3 \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2


3. f(x)=3xsin(1x)2f(x)=3 x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2
Voir les réponses

94
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x)f(x) en 00 (éventuellement à gauche et à droite)

1. f(x)=sin(x)xf(x)=\dfrac{\sin (x)}{x}


2. f(x)=cos(x)xf(x)=\dfrac{\cos (x)}{x}


3. f(x)=sin(3x)xf(x)=\dfrac{\sin (3 x)}{x}


4. f(x)=cos(x)x2f(x)=\dfrac{\cos (x)}{x^{2}}
Voir les réponses

95
[Chercher.] ◉◉◉
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire X=cos(πA)+sin(πB)\mathrm{X}=\cos \left(\dfrac{\pi}{\mathrm{A}}\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{\mathrm{B}}\right), où A\text{A} correspond à la face obtenue par le premier dé et B\text{B} par le second.

1. Déterminer la probabilité que X\text{X} soit un entier.


2. Déterminer la probabilité que X\text{X} soit un entier sachant que A\text{A} est pair.


3. Déterminer la probabilité que X\text{X} soit un nombre rationnel.
Voir les réponses

96
[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation (E):cos(x)=x2(\mathrm{E}): \cos (x)=-\dfrac{x}{2}.


2. Démontrer la conjecture obtenue.


Aide
On pourra étudier la fonction ff définie sur R\R par f(x)=cos(x)+x2f(x)=\cos (x)+\dfrac{x}{2}.
Voir les réponses

97
[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation (F):sin(x)=x2(\mathrm{F}): \sin (x)=\dfrac{x}{2}.


2. Démontrer la conjecture obtenue.


Aide
On pourra étudier la fonction ff définie sur R\R par f(x)=sin(x)x2f(x)=\sin (x)-\dfrac{x}{2}.
Voir les réponses

98
[Raisonner.]
Soit nn un entier strictement positif. On note fnf_n la fonction dérivable sur R\R et définie par fn(x)=sinn(x)f_{n}(x)=\sin ^{n}(x) et gng_n la fonction dérivable sur R\R et définie par gn(x)=cosn(x)g_{n}(x)=\cos ^{n}(x).

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier nn strictement positif, gn(x)=nsin(x)cosn1(x)g_{n}^{\prime}(x)=-n \sin (x) \cos ^{n-1}(x).


2. En utilisant la dérivée d’un produit, déterminer sous forme simplifiée f1(x)f_{1}^{\prime}(x) ; f2(x)f_{2}^{\prime}(x) ; f3(x)f_{3}^{\prime}(x) et f4(x)f_{4}^{\prime}(x).


3. Conjecturer une formule de fn(x)f_{n}^{\prime}(x).


4. Démontrer la conjecture obtenue.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.