Yann se souvient que cos(4π)=sin(4π).
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors cos(4π)≈0,9999060498 et sin(4π)≈0,0137073546.
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71
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Comment placer très simplement et précisément les réels 6π, 4π et 3π sur un cercle trigonométrique ?
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1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur [0;π], les variations de la fonction sin.
2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de sin, construire le tableau de variations de sin sur [−2π;2π].
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73
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1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur [0;π], les variations de la fonction cos.
2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de cos, construire le tableau de variations de cos sur [−2π;2π].
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74
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Compléter le tableau ci‑dessous.
x
6−π
62π
6−3π
64π
6−5π
sin(x)
cos(x)
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75
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Résoudre sur R les équations suivantes.
1.sin(x)=−1
2.cos(x)=−1
3.sin(x)=−0,5
4.cos(x)=−0,5
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76
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Résoudre sur [−π;π] les inéquations suivantes.
1.sin(x)<−0,5
2.cos(x)>0,5
3.sin(x)⩾−2
4.cos(x)⩽−2
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77
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À la question « résoudre dans [−π;π] l’inéquation sin(x)⩾−0,5 », Étienne a répondu [6−5π;6−π] alors que son amie Rachida a répondu [6−π;6−5π].
Mehdi pense qu’ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.
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78
[Raisonner.]◉◉◉
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
cos(5π) ; cos(7π) ; cos(52π) ; cos(53π) et cos(73π).
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79
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
sin(5π) ; sin(7π) ; sin(52π) ; sin(53π) et sin(73π).
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80
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
sin(5π) ; sin(7π) ; cos(5π) et cos(7π).
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81
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
déterminer son ensemble de définition Df ;
déterminer son ensemble de dérivabilité Df′ ;
déterminer une écriture simplifiée pour f′(x).
1.f:x↦3cos(3x+5)
2.f:x↦−2sin(3+5x)
3.f:x↦53cos(5x−3)+4sin(4−3x+1)
4.f:x↦x3cos(x)
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82
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
déterminer son ensemble de définition Df ;
déterminer son ensemble de dérivabilité Df′ ;
déterminer une écriture simplifiée pour f′(x).
1.f:x↦xcos(x)
2.f:x↦xsin(x)
3.f:x↦xcos(x)
4.f:x↦xsin(x)
5.f:x↦cos(x)x
6.f:x↦sin(x)x
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83
[Représenter.]◉◉◉ 1. Résoudre dans [−π;π] : −23⩽sin(x)⩽21.
2. Résoudre dans [−π;π] : −22<cos(x)⩽23.
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84
[Calculer.]
On admet que, pour x∈R, sin(2x)=2sin(x)cos(x).
En déduire, par dérivation, une formule donnant cos(2x) pour tout réel x.
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85
[Calculer.]◉◉◉ 1. En posant X=cos(x), résoudre dans R l’équation 2cos2(x)−5cos(x)−3=0.
2. Résoudre dans R l’équation −6sin2(x)−3sin(x)+3=0.
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86
[Calculer.]
Résoudre sur [−π;π] les inéquations (E):2sin2(x)−1>0 et (F):2cos2(x)−1<0.
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87
[Calculer.]◉◉◉
En posant X=cos(x) et Y=sin(y), déterminer l’ensemble des couples (x;y) vérifiant les conditions suivantes.
[Calculer.] 1. Résoudre dans R l’équation 2cos(x−5π)−3=0.
2. Résoudre dans R l’équation 2sin(x−7π)−2=0.
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90
[Calculer.]◉◉◉
Résoudre dans R l’équation 2sin(3x)+2=0.
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91
[Chercher.]
Montrer que l’équation sin(x)cos(x)=−1 n’a pas de solution.
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92
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x) en +∞.
1.f(x)=3sin(x)−2
2.f(x)=3sin(x1)−2
3.f(x)=3sin(x)−2x
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93
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x) en 0 (éventuellement à gauche et à droite).
1.f(x)=3sin(x)−2
2.f(x)=3sin(x1)−2
3.f(x)=3xsin(x1)−2
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94
[Calculer.]◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de f(x) en 0 (éventuellement à gauche et à droite)
1.f(x)=xsin(x)
2.f(x)=xcos(x)
3.f(x)=xsin(3x)
4.f(x)=x2cos(x)
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95
[Chercher.]◉◉◉
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire X=cos(Aπ)+sin(Bπ), où A correspond à la face obtenue par le premier dé et B par le second.
1. Déterminer la probabilité que X soit un entier.
2. Déterminer la probabilité que X soit un entier sachant que A est pair.
3. Déterminer la probabilité que X soit un nombre rationnel.
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96
[Raisonner.] 1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation (E):cos(x)=−2x.
2. Démontrer la conjecture obtenue.
Aide
On pourra étudier la fonction f définie sur R par f(x)=cos(x)+2x.
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97
[Raisonner.] 1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation (F):sin(x)=2x.
2. Démontrer la conjecture obtenue.
Aide
On pourra étudier la fonction f définie sur R par f(x)=sin(x)−2x.
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[Raisonner.]
Soit n un entier strictement positif. On note fn la fonction dérivable sur R et définie par fn(x)=sinn(x) et gn la fonction dérivable sur R et définie par gn(x)=cosn(x).
1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n strictement positif, gn′(x)=−nsin(x)cosn−1(x).
2. En utilisant la dérivée d’un produit, déterminer sous forme simplifiée f1′(x) ; f2′(x) ; f3′(x) et f4′(x).
3. Conjecturer une formule de fn′(x).
4. Démontrer la conjecture obtenue.
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