2

Fonctions sinus et cosinus

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

70

Yann se souvient que $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$.
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors $\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,9999060498$ et $\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)\approx 0,0137073546$.

71

Comment placer très simplement et précisément les réels $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$ et $\frac{\pi }{3}$ sur un cercle trigonométrique ?

72

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur $[0;\pi ]$, les variations de la fonction $\sin$.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de $\sin$, construire le tableau de variations de $\sin$ sur $[-2\pi ;2\pi ]$.

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73

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur $[0;\pi ]$, les variations de la fonction $\cos$.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de $\cos$, construire le tableau de variations de $\cos$ sur $[-2\pi ;2\pi ]$.

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74

Compléter le tableau ci‑dessous.

75

Résoudre sur $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\sin (x)=-1$


2. $\cos (x)=-1$


3. $\sin (x)=-0,5$


4. $\cos (x)=-0,5$

76

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations suivantes.

1. $\sin (x)<-0,5$


2. $\cos (x)>0,5$


3. $\sin (x)⩾-2$


4. $\cos (x)⩽-2$

77

À la question « résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ l’inéquation $\sin (x)⩾-0,5$ », Étienne a répondu $\left[\frac{-5\pi }{6};\frac{-\pi }{6}\right]$ alors que son amie Rachida a répondu $\left[\frac{-\pi }{6};\frac{-5\pi }{6}\right]$.
Mehdi pense qu’ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.

78

[Raisonner.] ◉◉◉
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)$ ; $\cos \left(\frac{3\pi }{5}\right)$ et $\cos \left(\frac{3\pi }{7}\right)$.

79

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\sin \left(\frac{2\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{3\pi }{5}\right)$ et $\sin \left(\frac{3\pi }{7}\right)$.

80

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)$ ; $\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)$ et $\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)$.

81

[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :

• déterminer son ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$ ;
• déterminer son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\prime }}$ ;
• déterminer une écriture simplifiée pour $f^{\prime }(x)$.

1. $f:x\mapsto 3\cos (3x+5)$


2. $f:x\mapsto -2\sin (3+5x)$


3. $f:x\mapsto \frac{3}{5}\cos (5x-3)+4\sin \left(\frac{-3x}{4}+1\right)$


4. $f:x\mapsto x^3\cos (x)$

82

[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :

• déterminer son ensemble de définition ${\mathcal{D}}_f$ ;
• déterminer son ensemble de dérivabilité ${\mathcal{D}}_{f^{\prime }}$ ;
• déterminer une écriture simplifiée pour $f^{\prime }(x)$.

1. $f:x\mapsto x\cos (x)$


2. $f:x\mapsto x\sin (x)$


3. $f:x\mapsto \frac{\cos (x)}{x}$


4. $f:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}$


5. $f:x\mapsto \frac{x}{\cos (x)}$


6. $f:x\mapsto \frac{x}{\sin (x)}$

83

[Représenter.] ◉◉◉
1. Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ : $-\frac{\sqrt{3}}{2}⩽\sin (x)⩽\frac{1}{2}$.

2. Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ : $-\frac{\sqrt{2}}{2}<\cos (x)⩽\frac{\sqrt{3}}{2}$.

84

[Calculer.]
On admet que, pour $x\in \mathbb{R}$, $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$.

En déduire, par dérivation, une formule donnant $\cos (2x)$ pour tout réel $x$.

85

[Calculer.] ◉◉◉
1. En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$, résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $2{\cos }^2(x)-5\cos (x)-3=0$.


2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $-6{\sin }^2(x)-3\sin (x)+3=0$.

86

[Calculer.]
Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations $\text{(E)}:2{\sin }^2(x)-1>0$ et $(\mathrm{F}):2{\cos }^2(x)-1<0$.

87

[Calculer.] ◉◉◉
En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$ et $\mathrm{Y}=\sin (y)$, déterminer l’ensemble des couples $(x;y)$ vérifiant les conditions suivantes. $\{\begin{array}{l}2\cos (x)+3\sin (y)=\sqrt{2}-\frac{3}{2}\\ 4\cos (x)+\sin (y)=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\\ -\pi ⩽x⩽\pi ,-\pi ⩽y⩽\pi \end{array}$

88

[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, déterminer l’ensemble des couples $(x;y)$ vérifiant les conditions suivantes. $\{\begin{array}{l}2\cos (x)+\sin (y)=\frac{\sqrt{3}-2}{2}\\ 5\cos (x)+\sqrt{3}\sin (y)=-1\\ -\pi ⩽x⩽\pi ,-\pi ⩽y⩽\pi \end{array}$

89

[Calculer.]
1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $2\cos \left(x-\frac{\pi }{5}\right)-\sqrt{3}=0$.


2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $2\sin \left(x-\frac{\pi }{7}\right)-\sqrt{2}=0$.

90

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $2\sin (3x)+\sqrt{2}=0$.

91

[Chercher.]
Montrer que l’équation $\sin (x)\cos (x)=-1$ n’a pas de solution.

92

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $+\infty$.

1. $f(x)=3\sin (x)-2$


2. $f(x)=3\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$


3. $f(x)=3\sin (x)-2x$

93

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite).

1. $f(x)=3\sin (x)-2$


2. $f(x)=3\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$


3. $f(x)=3x\sin \left(\frac{1}{x}\right)-2$

94

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite)

1. $f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$


2. $f(x)=\frac{\cos (x)}{x}$


3. $f(x)=\frac{\sin (3x)}{x}$


4. $f(x)=\frac{\cos (x)}{x^2}$

95

[Chercher.] ◉◉◉
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire $\mathrm{X}=\cos \left(\frac{\pi }{\mathrm{A}}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{\mathrm{B}}\right)$, où $\text{A}$ correspond à la face obtenue par le premier dé et $\text{B}$ par le second.

1. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier.


2. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier sachant que $\text{A}$ est pair.


3. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un nombre rationnel.

96

[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation $(\mathrm{E}):\cos (x)=-\frac{x}{2}$.


2. Démontrer la conjecture obtenue.

97

[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation $(\mathrm{F}):\sin (x)=\frac{x}{2}$.


2. Démontrer la conjecture obtenue.

98

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier strictement positif. On note $f_n$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par $f_n(x)={\sin }^n(x)$ et $g_n$ la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et définie par $g_n(x)={\cos }^n(x)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $g_n^{\prime }(x)=-n\sin (x){\cos }^{n-1}(x)$.


2. En utilisant la dérivée d’un produit, déterminer sous forme simplifiée $f_1^{\prime }(x)$ ; $f_2^{\prime }(x)$ ; $f_3^{\prime }(x)$ et $f_4^{\prime }(x)$.


3. Conjecturer une formule de $f_n^{\prime }(x)$.


4. Démontrer la conjecture obtenue.