2

Fonctions sinus et cosinus

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

70

Yann se souvient que $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors $\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}9999060498$ et $\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}0137073546$.

71

Comment placer très simplement et précisément les réels $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{3}$ sur un cercle trigonométrique ?

72

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur $[0~; \pi]$, les variations de la fonction $\sin$.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de $\sin$, construire le tableau de variations de $\sin$ sur $[-2 \pi~; 2 \pi]$.

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73

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur $[0~; \pi]$, les variations de la fonction $\cos$.


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de $\cos$, construire le tableau de variations de $\cos$ sur $[-2 \pi~; 2 \pi]$.

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74

Compléter le tableau ci‑dessous.

75

Résoudre sur $\R$ les équations suivantes.

1. $\sin (x)=-1$


2. $\cos (x)=-1$


3. $\sin (x)=-0{,}5$


4. $\cos (x)=-0{,}5$

76

Résoudre sur $[-\pi~ ; \pi]$ les inéquations suivantes.

1. $\sin (x)\lt-0{,}5$


2. $\cos (x)>0{,}5$


3. $\sin (x) \geqslant-2$


4. $\cos (x) \leqslant-2$

77

À la question « résoudre dans $[-\pi~; \pi]$ l’inéquation $\sin (x) \geqslant-0{,}5$ », Étienne a répondu $\left[\dfrac{-5 \pi}{6}~; \dfrac{-\pi}{6}\right]$ alors que son amie Rachida a répondu $\left[\dfrac{-\pi}{6}~; \dfrac{-5 \pi}{6}\right]$.
Mehdi pense qu’ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.

78

[Raisonner.] ◉◉◉
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ ; $\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$ ; $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ ; $\cos \left(\dfrac{3 \pi}{5}\right)$ et $\cos \left(\dfrac{3 \pi}{7}\right)$.

79

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ ; $\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$ ; $\sin \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right)$ ; $\sin \left(\dfrac{3 \pi}{5}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{3 \pi}{7}\right)$.

80

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants : $\sin \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ ; $\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$ ; $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ et $\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$.

81

[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :

• déterminer son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ ;
• déterminer son ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f'}$ ;
• déterminer une écriture simplifiée pour $f'(x)$.

1. $f: x \mapsto 3 \cos (3 x+5)$


2. $f: x \mapsto-2 \sin (3+5 x)$


3. $f: x \mapsto \dfrac{3}{5} \cos (5 x-3)+4 \sin \left(\dfrac{-3 x}{4}+1\right)$


4. $f: x \mapsto x^{3} \cos (x)$

82

[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :

• déterminer son ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ ;
• déterminer son ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f'}$ ;
• déterminer une écriture simplifiée pour $f'(x)$.

1. $f: x \mapsto x \cos (x)$


2. $f: x \mapsto x \sin (x)$


3. $f: x \mapsto \dfrac{\cos (x)}{x}$


4. $f: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{x}$


5. $f: x \mapsto \dfrac{x}{\cos (x)}$


6. $f: x \mapsto \dfrac{x}{\sin (x)}$

83

[Représenter.] ◉◉◉
1. Résoudre dans $[-\pi~; \pi]$ : $-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin (x) \leqslant \dfrac{1}{2}$.

2. Résoudre dans $[-\pi~; \pi]$ : $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt\cos (x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

84

[Calculer.]
On admet que, pour $x \in \mathbb{R}$, $\sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x)$.

En déduire, par dérivation, une formule donnant $\cos (2 x)$ pour tout réel $x$.

85

[Calculer.] ◉◉◉
1. En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$, résoudre dans $\R$ l’équation $2 \cos ^{2}(x)-5 \cos (x)-3=0$.


2. Résoudre dans $\R$ l’équation $-6 \sin ^{2}(x)-3 \sin (x)+3=0$.

86

[Calculer.]
Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ les inéquations $\text {(E)}: 2 \sin ^{2}(x)-1>0$ et $(\mathrm{F}): 2 \cos ^{2}(x)-1\lt0$.

87

[Calculer.] ◉◉◉
En posant $\mathrm{X}=\cos (x)$ et $\mathrm{Y}=\sin (y)$, déterminer l’ensemble des couples $(x~; y)$ vérifiant les conditions suivantes. $\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+3 \sin (y)=\sqrt{2}-\dfrac{3}{2} \\ 4 \cos (x)+\sin (y)=2 \sqrt{2}-\dfrac{1}{2} \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.$

88

[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, déterminer l’ensemble des couples $(x~; y)$ vérifiant les conditions suivantes. $\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+\sin (y)=\dfrac{\sqrt{3}-2}{2} \\ 5 \cos (x)+\sqrt{3} \sin (y)=-1 \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.$

89

[Calculer.]
1. Résoudre dans $\R$ l’équation $2 \cos \left(x-\dfrac{\pi}{5}\right)-\sqrt{3}=0$.


2. Résoudre dans $\R$ l’équation $2 \sin \left(x-\dfrac{\pi}{7}\right)-\sqrt{2}=0$.

90

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre dans $\R$ l’équation $2 \sin (3 x)+\sqrt{2}=0$.

91

[Chercher.]
Montrer que l’équation $\sin (x) \cos (x)=-1$ n’a pas de solution.

92

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $+\infty$.

1. $f(x)=3 \sin (x)-2$


2. $f(x)=3 \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2$


3. $f(x)=3 \sin (x)-2 x$

93

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite).

1. $f(x)=3 \sin (x)-2$


2. $f(x)=3 \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2$


3. $f(x)=3 x \sin \left(\dfrac{1}{x}\right)-2$

94

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de $f(x)$ en $0$ (éventuellement à gauche et à droite)

1. $f(x)=\dfrac{\sin (x)}{x}$


2. $f(x)=\dfrac{\cos (x)}{x}$


3. $f(x)=\dfrac{\sin (3 x)}{x}$


4. $f(x)=\dfrac{\cos (x)}{x^{2}}$

95

[Chercher.] ◉◉◉
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire $\mathrm{X}=\cos \left(\dfrac{\pi}{\mathrm{A}}\right)+\sin \left(\dfrac{\pi}{\mathrm{B}}\right)$, où $\text{A}$ correspond à la face obtenue par le premier dé et $\text{B}$ par le second.

1. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier.


2. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un entier sachant que $\text{A}$ est pair.


3. Déterminer la probabilité que $\text{X}$ soit un nombre rationnel.

96

[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation $(\mathrm{E}): \cos (x)=-\dfrac{x}{2}$.


2. Démontrer la conjecture obtenue.

97

[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation $(\mathrm{F}): \sin (x)=\dfrac{x}{2}$.


2. Démontrer la conjecture obtenue.

98

[Raisonner.]
Soit $n$ un entier strictement positif. On note $f_n$ la fonction dérivable sur $\R$ et définie par $f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)$ et $g_n$ la fonction dérivable sur $\R$ et définie par $g_{n}(x)=\cos ^{n}(x)$.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$ strictement positif, $g_{n}^{\prime}(x)=-n \sin (x) \cos ^{n-1}(x)$.


2. En utilisant la dérivée d’un produit, déterminer sous forme simplifiée $f_{1}^{\prime}(x)$ ; $f_{2}^{\prime}(x)$ ; $f_{3}^{\prime}(x)$ et $f_{4}^{\prime}(x)$.


3. Conjecturer une formule de $f_{n}^{\prime}(x)$.


4. Démontrer la conjecture obtenue.