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2. Fonctions sinus et cosinus
P.280-281

Entraînement


2
Fonctions sinus et cosinus





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

70
FLASH

Yann se souvient que .
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors et .

71
FLASH

Comment placer très simplement et précisément les réels , et sur un cercle trigonométrique ?

72
FLASH

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur , les variations de la fonction .


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de , construire le tableau de variations de sur .


Dessinez ici

73
FLASH

1. Par simple lecture graphique sur un cercle trigonométrique, déterminer, sur , les variations de la fonction .


2. Après avoir rappelé les propriétés de parité et de périodicité de , construire le tableau de variations de sur .


Dessinez ici

74
FLASH

Compléter le tableau ci‑dessous.


75
FLASH

Résoudre sur les équations suivantes.

1.


2.


3.


4.

76
FLASH

Résoudre sur les inéquations suivantes.

1.


2.


3.


4.

77
FLASH

À la question « résoudre dans l’inéquation  », Étienne a répondu alors que son amie Rachida a répondu .
Mehdi pense qu’ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.

78
[Raisonner.] ◉◉
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
 ;  ;  ; et .

79
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
 ;  ;  ; et .

80
[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :
 ;  ; et .

81
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
  • déterminer son ensemble de définition  ;
  • déterminer son ensemble de dérivabilité  ;
  • déterminer une écriture simplifiée pour .

1.


2.


3.


4.

82
[Calculer.]
Pour chacune des fonctions ci‑dessous :
  • déterminer son ensemble de définition  ;
  • déterminer son ensemble de dérivabilité  ;
  • déterminer une écriture simplifiée pour .

1.


2.


3.


4.


5.


6.

83
[Représenter.] ◉◉
1. Résoudre dans  : .

2. Résoudre dans  : .

84
[Calculer.]
On admet que, pour , .

En déduire, par dérivation, une formule donnant pour tout réel .

85
[Calculer.] ◉◉
1. En posant , résoudre dans l’équation .


2. Résoudre dans l’équation .

86
[Calculer.]
Résoudre sur les inéquations et .

87
[Calculer.] ◉◉◉
En posant et , déterminer l’ensemble des couples vérifiant les conditions suivantes.

88
[Calculer.] ◉◉◉
En utilisant la méthode de l’exercice précédent, déterminer l’ensemble des couples vérifiant les conditions suivantes.

89
[Calculer.]
1. Résoudre dans l’équation .


2. Résoudre dans l’équation .

90
[Calculer.] ◉◉
Résoudre dans l’équation .

91
[Chercher.]
Montrer que l’équation n’a pas de solution.

92
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de en .

1.


2.


3.

93
[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de en (éventuellement à gauche et à droite).

1.


2.


3.

94
[Calculer.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu’elle existe, la limite de en (éventuellement à gauche et à droite)

1.


2.


3.


4.

95
[Chercher.] ◉◉◉
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire , où correspond à la face obtenue par le premier dé et par le second.

1. Déterminer la probabilité que soit un entier.


2. Déterminer la probabilité que soit un entier sachant que est pair.


3. Déterminer la probabilité que soit un nombre rationnel.

96
[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation .


2. Démontrer la conjecture obtenue.


Aide
On pourra étudier la fonction définie sur par .

97
[Raisonner.]
1. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l’équation .


2. Démontrer la conjecture obtenue.


Aide
On pourra étudier la fonction définie sur par .

98
[Raisonner.]
Soit un entier strictement positif. On note la fonction dérivable sur et définie par et la fonction dérivable sur et définie par .

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier strictement positif, .


2. En utilisant la dérivée d’un produit, déterminer sous forme simplifiée  ;  ; et .


3. Conjecturer une formule de .


4. Démontrer la conjecture obtenue.
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