Fonctions sinus et cosinus

70

Yann se souvient que \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi}{4}\right).
Expliquer pourquoi sa calculatrice lui affiche alors \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}9999060498 et \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \approx 0{,}0137073546.

71

Comment placer très simplement et précisément les réels \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4} et \frac{\pi}{3} sur un cercle trigonométrique ?

75

Résoudre sur \R les équations suivantes. 1. \sin (x)=-1

2. \cos (x)=-1

3. \sin (x)=-0{,}5

4. \cos (x)=-0{,}5

76

Résoudre sur [-\pi~ ; \pi] les inéquations suivantes. 1. \sin (x)\lt-0{,}5

2. \cos (x)>0{,}5

3. \sin (x) \geqslant-2

4. \cos (x) \leqslant-2

77

À la question « résoudre dans [-\pi~; \pi] l'inéquation \sin (x) \geqslant-0{,}5 », Étienne a répondu \left[\frac{-5 \pi}{6}~; \frac{-\pi}{6}\right] alors que son amie Rachida a répondu \left[\frac{-\pi}{6}~; \frac{-5 \pi}{6}\right].
Mehdi pense qu'ils se sont tous les deux trompés.
Déterminer celui des trois qui a raison. Justifier.

78

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

\cos \left(\frac{\pi}{5}\right) ; \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) ; \cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right) ; \cos \left(\frac{3 \pi}{5}\right) et \cos \left(\frac{3 \pi}{7}\right).

79

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

\sin \left(\frac{\pi}{5}\right) ; \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) ; \sin \left(\frac{2 \pi}{5}\right) ; \sin \left(\frac{3 \pi}{5}\right) et \sin \left(\frac{3 \pi}{7}\right).

80

[Raisonner.]
Sans utiliser de calculatrice et en justifiant le résultat, classer par ordre croissant les nombres suivants :

\sin \left(\frac{\pi}{5}\right) ; \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) ; \cos \left(\frac{\pi}{5}\right) et \cos \left(\frac{\pi}{7}\right).

83

[Représenter.]
1. Résoudre dans [-\pi~; \pi] : -\frac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin (x) \leqslant \frac{1}{2}.

2. Résoudre dans [-\pi~; \pi] : -\frac{\sqrt{2}}{2}\lt\cos (x) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}.

84

[Calculer.]
On admet que, pour x \in \mathbb{R}, \sin (2 x)=2 \sin (x) \cos (x).

En déduire, par dérivation, une formule donnant \cos (2 x) pour tout réel x.

85

[Calculer.]
1. En posant \mathrm{X}=\cos (x), résoudre dans \R l'équation 2 \cos ^{2}(x)-5 \cos (x)-3=0.

2. Résoudre dans \R l'équation -6 \sin ^{2}(x)-3 \sin (x)+3=0.

86

[Calculer.]
Résoudre sur [-\pi~; \pi] les inéquations \text {(E)}: 2 \sin ^{2}(x)-1>0 et (\mathrm{F}): 2 \cos ^{2}(x)-1\lt0.

87

[Calculer.]
En posant \mathrm{X}=\cos (x) et \mathrm{Y}=\sin (y), déterminer l'ensemble des couples (x~; y) vérifiant les conditions suivantes.

\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+3 \sin (y)=\sqrt{2}-\frac{3}{2} \\ 4 \cos (x)+\sin (y)=2 \sqrt{2}-\frac{1}{2} \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.

88

[Calculer.]
En utilisant la méthode de l'exercice précédent, déterminer l'ensemble des couples (x~; y) vérifiant les conditions suivantes.

\left\{\begin{array}{l}2 \cos (x)+\sin (y)=\frac{\sqrt{3}-2}{2} \\ 5 \cos (x)+\sqrt{3} \sin (y)=-1 \\ -\pi \leqslant x \leqslant \pi\,,-\pi \leqslant y \leqslant \pi\end{array}\right.

89

[Calculer.]
1. Résoudre dans \R l'équation 2 \cos \left(x-\frac{\pi}{5}\right)-\sqrt{3}=0.

2. Résoudre dans \R l'équation 2 \sin \left(x-\frac{\pi}{7}\right)-\sqrt{2}=0.

90

[Calculer.]
Résoudre dans \R l'équation 2 \sin (3 x)+\sqrt{2}=0.

91

[Chercher.]
Montrer que l'équation \sin (x) \cos (x)=-1 n'a pas de solution.

92

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de f(x) en +\infty. 1. f(x)=3 \sin (x)-2

2. f(x)=3 \sin \left(\frac{1}{x}\right)-2

3. f(x)=3 \sin (x)-2 x

93

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de f(x) en 0 (éventuellement à gauche et à droite). 1. f(x)=3 \sin (x)-2

2. f(x)=3 \sin \left(\frac{1}{x}\right)-2

3. f(x)=3 x \sin \left(\frac{1}{x}\right)-2

94

[Calculer.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer, lorsqu'elle existe, la limite de f(x) en 0 (éventuellement à gauche et à droite) 1. f(x)=\frac{\sin (x)}{x}

2. f(x)=\frac{\cos (x)}{x}

3. f(x)=\frac{\sin (3 x)}{x}

4. f(x)=\frac{\cos (x)}{x^{2}}

95

[Chercher.]
On lance deux dés parfaitement équilibrés à quatre faces numérotées 1 ; 2 ; 3 et 6. On considère la variable aléatoire \mathrm{X}=\cos \left(\frac{\pi}{\mathrm{A}}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{\mathrm{B}}\right), où \text{A} correspond à la face obtenue par le premier dé et \text{B} par le second. 1. Déterminer la probabilité que \text{X} soit un entier.

2. Déterminer la probabilité que \text{X} soit un entier sachant que \text{A} est pair.

3. Déterminer la probabilité que \text{X} soit un nombre rationnel.

96

[Raisonner.]
1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l'équation (\mathrm{E}): \cos (x)=-\frac{x}{2}.

2. Démontrer la conjecture obtenue.

Aide

On pourra étudier la fonction f définie sur \R par f(x)=\cos (x)+\frac{x}{2}.

97

[Raisonner.]
1. À l'aide de la calculatrice, conjecturer le nombre de solutions réelles de l'équation (\mathrm{F}): \sin (x)=\frac{x}{2}.

2. Démontrer la conjecture obtenue.

Aide

On pourra étudier la fonction f définie sur \R par f(x)=\sin (x)-\frac{x}{2}.