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54
Flash
Soit f une fonction définie sur R, impaire et périodique de période 4 telle que f(−1)=3.
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.
1.f(0)
2.f(1)
3.f(2)
4.f(3)
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55
Flash
Soit f une fonction définie sur R, impaire et périodique de période 4.
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?
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56
Flash
Compléter la courbe Cf ci‑dessous, représentative d'une fonction f impaire et définie sur [−8;8].
Dessinez ici
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57
Flash
Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d'une fonction f définie sur R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c'est impossible.
1.f est à la fois paire et impaire.
Dessinez ici
2.f est paire et strictement croissante.
Dessinez ici
3.f est impaire et strictement décroissante.
Dessinez ici
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58
Flash
Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d'une fonction f définie sur R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c'est impossible.
1.f est périodique de période 1 mais non de période 2.
Dessinez ici
2.f est périodique de période 2 mais non de période 1.
Dessinez ici
3.f est périodique de périodes 2 et 3.
Dessinez ici
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59
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier
1. Si f n'est pas paire, alors elle est impaire.
2. Si f est paire, alors elle ne peut pas être impaire.
3. Si f est périodique, alors elle est définie sur R.
4. Si f(3)=f(−3)=−f(−3), alors f est à la fois paire et impaire.
5. Si f est définie en 3 mais pas en −3, alors f n'est ni paire ni impaire.
6. Si f est périodique de période 3, alors elle est périodique de période 6.
7. Si f est périodique de période 6, alors elle est périodique de période 3.
8. Si f est impaire, alors f est définie en 0 et f(0)=0.
9. Si f est impaire et périodique de période 3, alors on peut restreindre son étude à [−1,5;0].
10. Si f est impaire et périodique de période 3 avec f(−1)=2, alors f(4)=−2.
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60
[Représenter.]
1. Compléter le tracé ci‑dessous sur [−2,5;5], sachant que f est une fonction définie sur R, impaire et périodique de période 4.
Dessinez ici
2. Résoudre dans R l'équation f(x)=0. Justifier.
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61
[Chercher.]
Soit f la fonction définie sur R, impaire et périodique de période 4 telle que :
sur [−1;0], f(x)=x ;
sur ]1;2], f(x)=(x−2)2.
1. Déterminer f(−4,5) ; f(−1,5) et f(7).
2. Montrer que f est continue en 1.
3. Construire le tableau de variations de f sur [−5;3].
On pourra s'aider d'un tracé.
Aide
Dessinez ici
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62
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Soit f une fonction définie sur R à la fois paire et
périodique de période 2. Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies.
1.f(0)=0
2.f(5)=−f(5)
3.f(5)=f(−5)
4.f(5)=0
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63
[Calculer.]
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction f définie sur R par :
1.f(x)=2ex+ex
2.f(x)=2ex−ex
3.f(x)=2ex+e−x (appelée cosinus hyperbolique).
4.f(x)=2ex−e−x (appelée sinus hyperbolique).
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64
[Raisonner.]
Soit f une fonction définie sur R, périodique de
période 4 et telle que, sur [0;4], l'équation f(x)=0 a pour solutions 1 et 2,5.
1. Résoudre f(x)=0 sur R. Justifier.
2. Pour quelle raison f ne peut‑elle pas être impaire ?
3. Pour quelle raison f ne peut‑elle pas être paire ?
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65
[Raisonner.]
Soient f une fonction définie et dérivable sur R et T un réel strictement positif.
1. Déterminer, en fonction de f′, la dérivée des fonctions g:x↦f(−x) ; h:x↦−f(x) et k:x↦f(x+T).
2. Montrer que si f est paire, alors f′ est impaire.
3. Montrer que si f est impaire, alors f′ est paire.
4. Montrer que si f est périodique de période T, alors f′ est aussi périodique de période T.
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66
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes C1, C2 et C3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi : f:x↦xsin(x) ; g:x↦x2sin(x) et h:x↦xsin2(x).
Justifier.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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67
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes C1, C2 et C3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi : f:x↦sin(2x) ; g:x↦sin(x) et h:x↦sin(2x).
Justifier.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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68
[Chercher.]
On a tracé ci‑dessous deux courbes C1 et C2. L'une des deux représente une fonction f et l'autre sa fonction dérivée f′.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Laquelle des deux représente la fonction f ? Justifier.
2. Déterminer la plus petite des périodes de f.
3. Déterminer la plus petite des périodes de f′.
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