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1. Parité et périodicité : généralités
P.278-279

Entraînement


1
Parité et périodicité : généralités





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

54
FLASH

Soit une fonction définie sur , impaire et périodique de période telle que .
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.

1.


2.


3.


4.
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55
FLASH

Soit une fonction définie sur , impaire et périodique de période .
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?
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56
FLASH

Compléter la courbe ci‑dessous, représentative d’une fonction impaire et définie sur .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 56

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
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57
FLASH

Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d’une fonction définie sur respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. est à la fois paire et impaire.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

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2. est paire et strictement croissante.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

3. est impaire et strictement décroissante.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

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58
FLASH

Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d’une fonction définie sur respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. est périodique de période mais non de période .


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. est périodique de période mais non de période .


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

3. est périodique de périodes et .


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

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59
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier

1. Si n’est pas paire, alors elle est impaire.


2. Si est paire, alors elle ne peut pas être impaire.


3. Si est périodique, alors elle est définie sur .


4. Si , alors est à la fois paire et impaire.


5. Si est définie en mais pas en , alors n’est ni paire ni impaire.


6. Si est périodique de période , alors elle est périodique de période .


7. Si est périodique de période , alors elle est périodique de période .


8. Si est impaire, alors est définie en et .


9. Si est impaire et périodique de période , alors on peut restreindre son étude à .


10. Si est impaire et périodique de période avec , alors .
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60
[Représenter.] ◉◉
1. Compléter le tracé ci‑dessous sur , sachant que est une fonction définie sur , impaire et périodique de période .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 60

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2. Résoudre dans l’équation . Justifier.
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61
[Chercher.] ◉◉
Soit la fonction définie sur , impaire et périodique de période telle que :
  • sur ,  ;
  • sur , .

1. Déterminer  ; et .


2. Montrer que est continue en .


3. Construire le tableau de variations de sur .

Aide
On pourra s’aider d’un tracé.


Dessinez ici
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62
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Soit une fonction définie sur à la fois paire et périodique de période . Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies.

1.


2.


3.


4.
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63
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction définie sur par :

1.


2.


3. (appelée cosinus hyperbolique).


4. (appelée sinus hyperbolique).
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64
[Raisonner.]
Soit une fonction définie sur , périodique de période et telle que, sur , l’équation a pour solutions et .

1. Résoudre sur . Justifier.


2. Pour quelle raison ne peut‑elle pas être impaire ?


3. Pour quelle raison ne peut‑elle pas être paire ?
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65
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient une fonction définie et dérivable sur et un réel strictement positif.

1. Déterminer, en fonction de , la dérivée des fonctions  ; et .


2. Montrer que si est paire, alors est impaire.


3. Montrer que si est impaire, alors est paire.


4. Montrer que si est périodique de période , alors est aussi périodique de période .
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66
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes , et tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
 ; et .
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 66

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67
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes , et tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
 ; et .
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 67

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68
[Chercher.] ◉◉
On a tracé ci‑dessous deux courbes et . L’une des deux représente une fonction et l’autre sa fonction dérivée .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 68

1. Laquelle des deux représente la fonction  ? Justifier.


2. Déterminer la plus petite des périodes de .


3. Déterminer la plus petite des périodes de .
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69
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie pour tout par :
.

Montrer que est une fonction périodique de période .



Histoire des maths

Les premiers traités de trigonométrie connus remontent à l’antiquité grecque et aux astronomes Hipparque de Nicée (2e siècle avant J.‑C.) et Menelaus d’Alexandrie (1er siècle). Elle a été développée en Inde, en Chine et dans la monde arabe médiéval avant d’atteindre l’occident latin.

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