Soit f une fonction définie sur \R, impaire et périodique de période 4 telle que f(-1)=3.
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.

1. f(0)

2. f(1)

3. f(2)

4. f(3)

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Soit f une fonction définie sur \R, impaire et périodique de période 4.
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?

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Compléter la courbe \mathcal{C}_f ci‑dessous, représentative d'une fonction f impaire et définie sur [-8~; 8].

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Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d'une fonction f définie sur \R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c'est impossible. 1. f est à la fois paire et impaire.

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2. f est paire et strictement croissante.

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3. f est impaire et strictement décroissante.

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Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d'une fonction f définie sur \R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c'est impossible. 1. f est périodique de période 1 mais non de période 2.

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2. f est périodique de période 2 mais non de période 1.

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3. f est périodique de périodes 2 et 3.

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59
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier

1. Si f n'est pas paire, alors elle est impaire.

2. Si f est paire, alors elle ne peut pas être impaire.

3. Si f est périodique, alors elle est définie sur \R.

4. Si f(3)=f(-3)=-f(-3), alors f est à la fois paire et impaire.

5. Si f est définie en 3 mais pas en -3, alors f n'est ni paire ni impaire.

6. Si f est périodique de période 3, alors elle est périodique de période 6.

7. Si f est périodique de période 6, alors elle est périodique de période 3.

8. Si f est impaire, alors f est définie en 0 et f(0)=0.

9. Si f est impaire et périodique de période 3, alors on peut restreindre son étude à [-1{,}5~; 0].

10. Si f est impaire et périodique de période 3 avec f(-1)=2, alors f(4)=-2.

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60
[Représenter.]

1. Compléter le tracé ci‑dessous sur [-2{,}5~; 5], sachant que f est une fonction définie sur \R, impaire et périodique de période 4.

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2. Résoudre dans \R l'équation f(x)=0. Justifier.

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61
[Chercher.]

Soit f la fonction définie sur \R, impaire et périodique de période 4 telle que :

sur [-1~; 0], f(x)=x ;
sur ]1~; 2], f(x)=(x-2)^{2}.

1. Déterminer f(-4{,}5) ; f(-1{,}5) et f(7).

2. Montrer que f est continue en 1.

3. Construire le tableau de variations de f sur [-5~; 3].

Aide

On pourra s'aider d'un tracé.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

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62
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Soit f une fonction définie sur \R à la fois paire et périodique de période 2. Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies. 1. f(0)=0

2. f(5)=-f(5)

3. f(5)=f(-5)

4. f(5)=0

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63
[Calculer.]

Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction f définie sur \R par : 1. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}}{2}

2. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{2}

3. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2} (appelée cosinus hyperbolique).

4. f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2} (appelée sinus hyperbolique).

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64
[Raisonner.]
Soit f une fonction définie sur \R, périodique de période 4 et telle que, sur [0~; 4], l'équation f(x)=0 a pour solutions 1 et 2{,}5. 1. Résoudre f(x)=0 sur \R. Justifier.

2. Pour quelle raison f ne peut‑elle pas être impaire ?

3. Pour quelle raison f ne peut‑elle pas être paire ?

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65
[Raisonner.]

Soient f une fonction définie et dérivable sur \R et \text{T} un réel strictement positif. 1. Déterminer, en fonction de f', la dérivée des fonctions g: x \mapsto f(-x) ; h: x \mapsto-f(x) et k: x \mapsto f(x+\mathrm{T}).

2. Montrer que si f est paire, alors f' est impaire.

3. Montrer que si f est impaire, alors f' est paire.

4. Montrer que si f est périodique de période \text{T}, alors f' est aussi périodique de période \text{T}.

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66
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
f: x \mapsto x \sin (x) ; g: x \mapsto x^{2} \sin (x) et h: x \mapsto x \sin ^{2}(x).
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 66

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67
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes \mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2 et \mathcal{C}_3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
f: x \mapsto \sin \left(\frac{x}{2}\right) ; g: x \mapsto \sin (x) et h: x \mapsto \sin (2 x).
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 67

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68
[Chercher.]

On a tracé ci‑dessous deux courbes \mathcal{C}_1 et \mathcal{C}_2. L'une des deux représente une fonction f et l'autre sa fonction dérivée f'.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 68

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1. Laquelle des deux représente la fonction f ? Justifier.

2. Déterminer la plus petite des périodes de f.

3. Déterminer la plus petite des périodes de f'.

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69
[Calculer.]

Soit s la fonction définie pour tout t \in \R par :

s(t)=2 \cos \left(\frac{2 \pi t}{7}\right)-2 \sin \left(\frac{2 \pi t}{7}\right)-\cos \left(\frac{4 \pi t}{7}\right)+4 \sin \left(\frac{4 \pi t}{7}\right).

Montrer que s est une fonction périodique de période 7.

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