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1. Parité et périodicité : généralités
P.278-279

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Entraînement


1
Parité et périodicité : généralités





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

54
FLASH

Soit ff une fonction définie sur R\R, impaire et périodique de période 44 telle que f(1)=3f(-1)=3.
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.

1. f(0)f(0)


2. f(1)f(1)


3. f(2)f(2)


4. f(3)f(3)
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55
FLASH

Soit ff une fonction définie sur R\R, impaire et périodique de période 44.
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?
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56
FLASH

Compléter la courbe Cf\mathcal{C}_f ci‑dessous, représentative d’une fonction ff impaire et définie sur [8 ;8][-8~; 8].

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 56

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

57
FLASH

Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d’une fonction ff définie sur R\R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. ff est à la fois paire et impaire.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. ff est paire et strictement croissante.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

3. ff est impaire et strictement décroissante.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 57

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58
FLASH

Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d’une fonction ff définie sur R\R respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. ff est périodique de période 11 mais non de période 22.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

2. ff est périodique de période 22 mais non de période 11.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

3. ff est périodique de périodes 22 et 33.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 58

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59
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier

1. Si ff n’est pas paire, alors elle est impaire.


2. Si ff est paire, alors elle ne peut pas être impaire.


3. Si ff est périodique, alors elle est définie sur R\R.


4. Si f(3)=f(3)=f(3)f(3)=f(-3)=-f(-3), alors ff est à la fois paire et impaire.


5. Si ff est définie en 33 mais pas en 3-3, alors ff n’est ni paire ni impaire.


6. Si ff est périodique de période 33, alors elle est périodique de période 66.


7. Si ff est périodique de période 66, alors elle est périodique de période 33.


8. Si ff est impaire, alors ff est définie en 00 et f(0)=0f(0)=0.


9. Si ff est impaire et périodique de période 33, alors on peut restreindre son étude à [1,5 ;0][-1{,}5~; 0].


10. Si ff est impaire et périodique de période 33 avec f(1)=2f(-1)=2, alors f(4)=2f(4)=-2.
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60
[Représenter.] ◉◉
1. Compléter le tracé ci‑dessous sur [2,5 ;5][-2{,}5~; 5], sachant que ff est une fonction définie sur R\R, impaire et périodique de période 44.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 60

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2. Résoudre dans R\R l’équation f(x)=0f(x)=0. Justifier.
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61
[Chercher.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur R\R, impaire et périodique de période 44 telle que :
  • sur [1 ;0][-1~; 0], f(x)=xf(x)=x ;
  • sur ]1 ;2]]1~; 2], f(x)=(x2)2f(x)=(x-2)^{2}.

1. Déterminer f(4,5)f(-4{,}5) ; f(1,5)f(-1{,}5) et f(7)f(7).


2. Montrer que ff est continue en 11.


3. Construire le tableau de variations de ff sur [5 ;3][-5~; 3].

Aide
On pourra s’aider d’un tracé.


Couleurs
Formes
Dessinez ici
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62
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Soit ff une fonction définie sur R\R à la fois paire et périodique de période 22. Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies.

1. f(0)=0f(0)=0


2. f(5)=f(5)f(5)=-f(5)


3. f(5)=f(5)f(5)=f(-5)


4. f(5)=0f(5)=0
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63
[Calculer.] ◉◉
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction ff définie sur R\R par :

1. f(x)=ex+ex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}}{2}


2. f(x)=exex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{2}


3. f(x)=ex+ex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2} (appelée cosinus hyperbolique).


4. f(x)=exex2f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2} (appelée sinus hyperbolique).
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64
[Raisonner.]
Soit ff une fonction définie sur R\R, périodique de période 44 et telle que, sur [0 ;4][0~; 4], l’équation f(x)=0f(x)=0 a pour solutions 11 et 2,52{,}5.

1. Résoudre f(x)=0f(x)=0 sur R\R. Justifier.


2. Pour quelle raison ff ne peut‑elle pas être impaire ?


3. Pour quelle raison ff ne peut‑elle pas être paire ?
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65
[Raisonner.] ◉◉◉
Soient ff une fonction définie et dérivable sur R\R et T\text{T} un réel strictement positif.

1. Déterminer, en fonction de ff', la dérivée des fonctions g:xf(x)g: x \mapsto f(-x) ; h:xf(x)h: x \mapsto-f(x) et k:xf(x+T)k: x \mapsto f(x+\mathrm{T}).


2. Montrer que si ff est paire, alors ff' est impaire.


3. Montrer que si ff est impaire, alors ff' est paire.


4. Montrer que si ff est périodique de période T\text{T}, alors ff' est aussi périodique de période T\text{T}.
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66
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes C1\mathcal{C}_1, C2\mathcal{C}_2 et C3\mathcal{C}_3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
f:xxsin(x)f: x \mapsto x \sin (x) ; g:xx2sin(x)g: x \mapsto x^{2} \sin (x) et h:xxsin2(x)h: x \mapsto x \sin ^{2}(x).
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 66

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67
[Représenter.]
Associer à chacune des courbes C1\mathcal{C}_1, C2\mathcal{C}_2 et C3\mathcal{C}_3 tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
f:xsin(x2)f: x \mapsto \sin \left(\dfrac{x}{2}\right) ; g:xsin(x)g: x \mapsto \sin (x) et h:xsin(2x)h: x \mapsto \sin (2 x).
Justifier.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 67

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68
[Chercher.] ◉◉
On a tracé ci‑dessous deux courbes C1\mathcal{C}_1 et C2\mathcal{C}_2. L’une des deux représente une fonction ff et l’autre sa fonction dérivée ff'.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 68

1. Laquelle des deux représente la fonction ff ? Justifier.


2. Déterminer la plus petite des périodes de ff.


3. Déterminer la plus petite des périodes de ff'.
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69
[Calculer.] ◉◉
Soit ss la fonction définie pour tout tRt \in \R par :
s(t)=2cos(2πt7)2sin(2πt7)cos(4πt7)+4sin(4πt7)s(t)=2 \cos \left(\dfrac{2 \pi t}{7}\right)-2 \sin \left(\dfrac{2 \pi t}{7}\right)-\cos \left(\dfrac{4 \pi t}{7}\right)+4 \sin \left(\dfrac{4 \pi t}{7}\right).

Montrer que ss est une fonction périodique de période 77.



Histoire des maths

Les premiers traités de trigonométrie connus remontent à l’antiquité grecque et aux astronomes Hipparque de Nicée (2e siècle avant J.‑C.) et Menelaus d’Alexandrie (1er siècle). Elle a été développée en Inde, en Chine et dans la monde arabe médiéval avant d’atteindre l’occident latin.

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