1

Parité et périodicité : généralités

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

54

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, impaire et périodique de période $4$ telle que $f(-1)=3$.
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.

1. $f(0)$


2. $f(1)$


3. $f(2)$


4. $f(3)$

55

Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, impaire et périodique de période $4$.
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?

56

Compléter la courbe $\mathcal{C}_f$ ci‑dessous, représentative d’une fonction $f$ impaire et définie sur $[-8~; 8]$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

57

Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$ respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. $f$ est à la fois paire et impaire.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. $f$ est paire et strictement croissante.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
3. $f$ est impaire et strictement décroissante.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

58

Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$ respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. $f$ est périodique de période $1$ mais non de période $2$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. $f$ est périodique de période $2$ mais non de période $1$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
3. $f$ est périodique de périodes $2$ et $3$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

59

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier

1. Si $f$ n’est pas paire, alors elle est impaire.


2. Si $f$ est paire, alors elle ne peut pas être impaire.


3. Si $f$ est périodique, alors elle est définie sur $\R$.


4. Si $f(3)=f(-3)=-f(-3)$, alors $f$ est à la fois paire et impaire.


5. Si $f$ est définie en $3$ mais pas en $-3$, alors $f$ n’est ni paire ni impaire.


6. Si $f$ est périodique de période $3$, alors elle est périodique de période $6$.


7. Si $f$ est périodique de période $6$, alors elle est périodique de période $3$.


8. Si $f$ est impaire, alors $f$ est définie en $0$ et $f(0)=0$.


9. Si $f$ est impaire et périodique de période $3$, alors on peut restreindre son étude à $[-1{,}5~; 0]$.


10. Si $f$ est impaire et périodique de période $3$ avec $f(-1)=2$, alors $f(4)=-2$.

60

[Représenter.] ◉◉◉
1. Compléter le tracé ci‑dessous sur $[-2{,}5~; 5]$, sachant que $f$ est une fonction définie sur $\R$, impaire et périodique de période $4$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.
2. Résoudre dans $\R$ l’équation $f(x)=0$. Justifier.

61

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, impaire et périodique de période $4$ telle que :

• sur $[-1~; 0]$, $f(x)=x$ ;
• sur $]1~; 2]$, $f(x)=(x-2)^{2}$.

1. Déterminer $f(-4{,}5)$ ; $f(-1{,}5)$ et $f(7)$.


2. Montrer que $f$ est continue en $1$.


3. Construire le tableau de variations de $f$ sur $[-5~; 3]$.

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62

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ à la fois paire et périodique de période $2$. Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies.

1. $f(0)=0$


2. $f(5)=-f(5)$


3. $f(5)=f(-5)$


4. $f(5)=0$

63

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par :

1. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{x}}{2}$


2. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}}{2}$


3. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ (appelée cosinus hyperbolique).


4. $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}}{2}$ (appelée sinus hyperbolique).

64

[Raisonner.]
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$, périodique de période $4$ et telle que, sur $[0~; 4]$, l’équation $f(x)=0$ a pour solutions $1$ et $2{,}5$.

1. Résoudre $f(x)=0$ sur $\R$. Justifier.


2. Pour quelle raison $f$ ne peut‑elle pas être impaire ?


3. Pour quelle raison $f$ ne peut‑elle pas être paire ?

65

[Raisonner.] ◉◉◉
Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $\text{T}$ un réel strictement positif.

1. Déterminer, en fonction de $f'$, la dérivée des fonctions $g: x \mapsto f(-x)$ ; $h: x \mapsto-f(x)$ et $k: x \mapsto f(x+\mathrm{T})$.


2. Montrer que si $f$ est paire, alors $f'$ est impaire.


3. Montrer que si $f$ est impaire, alors $f'$ est paire.


4. Montrer que si $f$ est périodique de période $\text{T}$, alors $f'$ est aussi périodique de période $\text{T}$.

66

[Représenter.]
Associer à chacune des courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
$f: x \mapsto x \sin (x)$ ; $g: x \mapsto x^{2} \sin (x)$ et $h: x \mapsto x \sin ^{2}(x)$.
Justifier.

67

[Représenter.]
Associer à chacune des courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
$f: x \mapsto \sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$ ; $g: x \mapsto \sin (x)$ et $h: x \mapsto \sin (2 x)$.
Justifier.

68

[Chercher.] ◉◉◉
On a tracé ci‑dessous deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. L’une des deux représente une fonction $f$ et l’autre sa fonction dérivée $f'$.

1. Laquelle des deux représente la fonction $f$ ? Justifier.


2. Déterminer la plus petite des périodes de $f$.


3. Déterminer la plus petite des périodes de $f'$.

69

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $s$ la fonction définie pour tout $t \in \R$ par :
$s(t)=2 \cos \left(\dfrac{2 \pi t}{7}\right)-2 \sin \left(\dfrac{2 \pi t}{7}\right)-\cos \left(\dfrac{4 \pi t}{7}\right)+4 \sin \left(\dfrac{4 \pi t}{7}\right)$.
Montrer que $s$ est une fonction périodique de période $7$.