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Parité et périodicité : généralités

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 60 ; 63 ; 68 ; 78 ; 83 et 92
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 61 ; 69 ; 85 ; 90 et 94
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 87 et 95

54

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, impaire et périodique de période $4$ telle que $f(-1)=3$.
Parmi les nombres suivants, lesquels peut‑on déterminer ? Justifier.

1. $f(0)$


2. $f(1)$


3. $f(2)$


4. $f(3)$

55

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, impaire et périodique de période $4$.
Sur quel intervalle peut‑on restreindre son étude ?

56

Compléter la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci‑dessous, représentative d’une fonction $f$ impaire et définie sur $[-8;8]$.

57

Tracer dans chaque cas, si possible, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. $f$ est à la fois paire et impaire.



2. $f$ est paire et strictement croissante.



3. $f$ est impaire et strictement décroissante.

58

Dans chaque cas, tracer, si possible, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ respectant les conditions données.
Justifier lorsque c’est impossible.

1. $f$ est périodique de période $1$ mais non de période $2$.



2. $f$ est périodique de période $2$ mais non de période $1$.



3. $f$ est périodique de périodes $2$ et $3$.

59

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Parmi les affirmations suivantes, trouver celles qui sont toujours vraies. Justifier

1. Si $f$ n’est pas paire, alors elle est impaire.


2. Si $f$ est paire, alors elle ne peut pas être impaire.


3. Si $f$ est périodique, alors elle est définie sur $\mathbb{R}$.


4. Si $f(3)=f(-3)=-f(-3)$, alors $f$ est à la fois paire et impaire.


5. Si $f$ est définie en $3$ mais pas en $-3$, alors $f$ n’est ni paire ni impaire.


6. Si $f$ est périodique de période $3$, alors elle est périodique de période $6$.


7. Si $f$ est périodique de période $6$, alors elle est périodique de période $3$.


8. Si $f$ est impaire, alors $f$ est définie en $0$ et $f(0)=0$.


9. Si $f$ est impaire et périodique de période $3$, alors on peut restreindre son étude à $[-1,5;0]$.


10. Si $f$ est impaire et périodique de période $3$ avec $f(-1)=2$, alors $f(4)=-2$.

60

[Représenter.] ◉◉◉
1. Compléter le tracé ci‑dessous sur $[-2,5;5]$, sachant que $f$ est une fonction définie sur $\mathbb{R}$, impaire et périodique de période $4$.


2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $f(x)=0$. Justifier.

61

[Chercher.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$, impaire et périodique de période $4$ telle que :

• sur $[-1;0]$, $f(x)=x$ ;
• sur $]1;2]$, $f(x)=(x-2{)}^2$.

1. Déterminer $f(-4,5)$ ; $f(-1,5)$ et $f(7)$.


2. Montrer que $f$ est continue en $1$.


3. Construire le tableau de variations de $f$ sur $[-5;3]$.

62

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ à la fois paire et périodique de période $2$. Donner, en justifiant, les propositions qui sont toujours vraies.

1. $f(0)=0$


2. $f(5)=-f(5)$


3. $f(5)=f(-5)$


4. $f(5)=0$

63

[Calculer.] ◉◉◉
Dans chaque cas, étudier la parité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

1. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^x}{2}$


2. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^x}{2}$


3. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ (appelée cosinus hyperbolique).


4. $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ (appelée sinus hyperbolique).

64

[Raisonner.]
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, périodique de période $4$ et telle que, sur $[0;4]$, l’équation $f(x)=0$ a pour solutions $1$ et $2,5$.

1. Résoudre $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$. Justifier.


2. Pour quelle raison $f$ ne peut‑elle pas être impaire ?


3. Pour quelle raison $f$ ne peut‑elle pas être paire ?

65

[Raisonner.] ◉◉◉
Soient $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\text{T}$ un réel strictement positif.

1. Déterminer, en fonction de $f^{\prime }$, la dérivée des fonctions $g:x\mapsto f(-x)$ ; $h:x\mapsto -f(x)$ et $k:x\mapsto f(x+\mathrm{T})$.


2. Montrer que si $f$ est paire, alors $f^{\prime }$ est impaire.


3. Montrer que si $f$ est impaire, alors $f^{\prime }$ est paire.


4. Montrer que si $f$ est périodique de période $\text{T}$, alors $f^{\prime }$ est aussi périodique de période $\text{T}$.

66

[Représenter.]
Associer à chacune des courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
$f:x\mapsto x\sin (x)$ ; $g:x\mapsto x^2\sin (x)$ et $h:x\mapsto x{\sin }^2(x)$.
Justifier.

67

[Représenter.]
Associer à chacune des courbes ${\mathcal{C}}_1$, ${\mathcal{C}}_2$ et ${\mathcal{C}}_3$ tracées ci‑dessous la fonction qui lui correspond parmi :
$f:x\mapsto \sin \left(\frac{x}{2}\right)$ ; $g:x\mapsto \sin (x)$ et $h:x\mapsto \sin (2x)$.
Justifier.

68

[Chercher.] ◉◉◉
On a tracé ci‑dessous deux courbes ${\mathcal{C}}_1$ et ${\mathcal{C}}_2$. L’une des deux représente une fonction $f$ et l’autre sa fonction dérivée $f^{\prime }$.


1. Laquelle des deux représente la fonction $f$ ? Justifier.


2. Déterminer la plus petite des périodes de $f$.


3. Déterminer la plus petite des périodes de $f^{\prime }$.

69

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $s$ la fonction définie pour tout $t\in \mathbb{R}$ par :

Montrer que $s$ est une fonction périodique de période $7$.