Travailler les automatismes

À L'ORAL

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16

Philippe affirme que la courbe rouge ci‑dessous représente une fonction à la fois paire et impaire. Dire s’il a raison ou tort.

17

On considère la représentation graphique d’une fonction dans un repère orthonormé.

Répondre par vrai ou faux en justifiant.
La courbe ci‑dessus représente :

1. une fonction paire ;


2. une fonction impaire ;


3. une fonction périodique de période $5$ ;


4. une fonction périodique de période $8{,}5$ ;


5. une fonction périodique de période $10$.

18

Comparer $\cos (0)+\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)$ et $\cos \left(0+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2 \pi}{3}\right)$.

19

Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ l’équation $\cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$.

20

Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ l’équation $\sin (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

21

Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont paires et celles qui sont impaires.

$a: x \mapsto 0$


$b: x \mapsto-x+1$


$c: x \mapsto x^{2}$


$d: x \mapsto x^{3}$


$e: x \mapsto|x|$


$f: x \mapsto \dfrac{1}{x}$

22

Soit $n$ un entier naturel. Que peut‑on dire de $n$ lorsque la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f: x \mapsto x^{n}$ est :

1. paire ?


2. impaire ?

23

Soit $f$ une fonction paire sur $\R$, périodique de période $8$ et strictement croissante sur $[1\,; 3]$.
Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $[5\,; 7]$.

24

On considère une fonction $g$ continue, impaire, périodique de période $6$ et définie sur l’intervalle $[-6~; 6]$. On sait que $g$ est strictement croissante sur $[0~; 2]$ et strictement décroissante sur $[2~; 3]$.
Dresser le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $[-6~; 6]$.

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25

Reproduire et compléter sur $[-6~; 8]$ la courbe $\mathcal{C}_f$ ci‑dessous, représentative d’une fonction $f$ paire et périodique de période $6$.

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

26

Étudier la parité et la périodicité de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\sin (x)-\sin (-x)+\cos (x)-\cos (-x)$.

27

Étudier la parité des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par $f(x)=\sin (\cos (x))$ et $g(x)=\cos (\sin (x))$.

28

Montrer que la fonction $x \mapsto \sin \left(x^{3}\right)$ définie sur $\R$ est une fonction impaire.

29

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\cos (2 x)$ est périodique de période $\pi$.

30

Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ l’équation $\cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$.

31

Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ l’inéquation $\cos (x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

32

Résoudre sur $[-\pi~; \pi]$ l’inéquation $\cos (x) \times \sin (x)\lt0$.

33

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses.
Sur $[-\pi~; \pi]$ l’ensemble solution de $-2 \cos (x)+1 \leqslant 0$ est :

1. $\left[-\dfrac{\pi}{3}~; \dfrac{\pi}{3}\right]$


2. $\left[\dfrac{\pi}{3}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]$


3. $\left[-\pi~;-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{\pi}{3}~; \pi\right]$


4. $\left[-\dfrac{\pi}{6}~; \dfrac{\pi}{6}\right]$

34

Dans chaque cas, déterminer l’ensemble des réels $x$ appartenant à l’intervalle $[-\pi~; \pi]$ vérifiant toutes les conditions données.

1. $\cos (x)>0$ et $\sin (x)>0$


2. $\cos (x)>0$ et $\sin (x)\lt0$


3. $\cos (x)\lt0$ et $\sin (x)>0$


4. $\cos (x)\lt0$ et $\sin (x)\lt0$

35

Justifier que l’équation $\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=-3$ n’a pas de solution dans $\R$.

36

Déterminer dans $\R$ une solution de l’équation $\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=2$.

37

Résoudre dans $[-\pi~; \pi]$ les inéquations suivantes.

1. $\cos (2 x) \sin (x)>0$


2. $\cos (x) \sin (2 x)\lt0$

38

Résoudre dans $\R$ les équations suivantes.

1. $\cos (x) \sin (x)=0$


2. $\cos (x) \sin (x)=2$


3. $\cos ^{2}(x)=1$


4. $\sin ^{2}(x)=0{,}5$

39

Existe‑t‑il un réel $x$ tel que $\cos (x)=0{,}7$ et $\sin (x)=0{,}3$ ? Justifier.

40

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses. Pour tout réel $x$, $\cos(x)$ est égal à :

1. $\cos (-x)$


2. $\cos (\pi-x)$


3. $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$


4. $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$

41

Sachant que $x \in\left[\dfrac{\pi}{2}~; \pi\right]$ et que $\sin (x)=0{,}6$, déterminer en justifiant les valeurs suivantes.

1. $\cos (x)$


2. $\sin (\pi+x)$


3. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$


4. $\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$

42

Déterminer, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)$ lorsque $f$ est la fonction dérivable sur $\R$ définie par $f(x)=\cos (x)+\sin (x)$.

43

Déterminer, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)$ lorsque $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$.

44

On considère la fonction $f$ dérivable sur $\R$ définie par $f(x)=\cos (\pi-x)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=0$.


2. Que peut‑on en déduire pour $f$ ?

45

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\cos (x)+\sin (x)$.
Déterminer alors une écriture possible de $f(x)$.

46

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que, pour tout réel $x$, $f^{\prime}(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)$.
Déterminer alors une écriture possible de $f(x)$.

47

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres $\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$ ; $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right)$ et $\cos \left(\dfrac{4 \pi}{7}\right)$.

48

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres $\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right)$ ; $\sin \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{4 \pi}{7}\right)$.

49

En justifiant, comparer $\cos \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right)$ et $\cos \left(\dfrac{5 \pi}{7}\right)$.

50

En justifiant, comparer $\sin \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right)$ et $\sin \left(\dfrac{5 \pi}{7}\right)$.

51

Déterminer une équation trigonométrique pour laquelle l’ensemble solution est $\left\{-\dfrac{5 \pi}{6}+2 k \pi~; \dfrac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right\}$, $k \in \mathbb{Z}$.

52

À l’aide des fonctions $\cos$ et $\sin$, construire trois fonctions impaires définies sur $\R$.

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53

À l’aide des fonctions $\cos$ et $\sin$, construire quatre fonctions périodiques de période $1$ définies sur $\R$.

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