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Travailler les automatismes
P.276-277

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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16

Philippe affirme que la courbe rouge ci‑dessous représente une fonction à la fois paire et impaire. Dire s’il a raison ou tort.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 16

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17

On considère la représentation graphique d’une fonction dans un repère orthonormé.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 17

Répondre par vrai ou faux en justifiant.
La courbe ci‑dessus représente :

1. une fonction paire ;


2. une fonction impaire ;


3. une fonction périodique de période 55 ;


4. une fonction périodique de période 8,58{,}5 ;


5. une fonction périodique de période 1010.
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18

Comparer cos(0)+cos(π3)+cos(2π3)\cos (0)+\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right) et cos(0+π3+2π3)\cos \left(0+\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{2 \pi}{3}\right).
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19

Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’équation cos(x)=22\cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}.
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20

Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’équation sin(x)=32\sin (x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
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Parité et périodicité


21

Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont paires et celles qui sont impaires.

a:x0a: x \mapsto 0


b:xx+1b: x \mapsto-x+1


c:xx2c: x \mapsto x^{2}


d:xx3d: x \mapsto x^{3}


e:xxe: x \mapsto|x|


f:x1xf: x \mapsto \dfrac{1}{x}
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22

Soit nn un entier naturel. Que peut‑on dire de nn lorsque la fonction ff définie sur R\R par f:xxnf: x \mapsto x^{n} est :

1. paire ?


2. impaire ?
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23

Soit ff une fonction paire sur R\R, périodique de période 88 et strictement croissante sur [1;3][1\,; 3].
Démontrer que ff est strictement décroissante sur [5;7][5\,; 7].
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24

On considère une fonction gg continue, impaire, périodique de période 66 et définie sur l’intervalle [6 ;6][-6~; 6]. On sait que gg est strictement croissante sur [0 ;2][0~; 2] et strictement décroissante sur [2 ;3][2~; 3].
Dresser le tableau de variations de gg sur l’intervalle [6 ;6][-6~; 6].

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25

Reproduire et compléter sur [6 ;8][-6~; 8] la courbe Cf\mathcal{C}_f ci‑dessous, représentative d’une fonction ff paire et périodique de période 66.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 25

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

26

Étudier la parité et la périodicité de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=sin(x)sin(x)+cos(x)cos(x)f(x)=\sin (x)-\sin (-x)+\cos (x)-\cos (-x).
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27

Étudier la parité des fonctions ff et gg définies sur R\R par f(x)=sin(cos(x))f(x)=\sin (\cos (x)) et g(x)=cos(sin(x))g(x)=\cos (\sin (x)).
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28

Montrer que la fonction xsin(x3)x \mapsto \sin \left(x^{3}\right) définie sur R\R est une fonction impaire.
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29

Montrer que la fonction ff définie sur R\R par f(x)=cos(2x)f(x)=\cos (2 x) est périodique de période π\pi.
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Équations trigonométriques


30

Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’équation cos(x)=22\cos (x)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}.
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31

Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’inéquation cos(x)32\cos (x) \leqslant \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
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32

Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’inéquation cos(x)×sin(x)<0\cos (x) \times \sin (x)\lt0.
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33

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses.
Sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’ensemble solution de 2cos(x)+10-2 \cos (x)+1 \leqslant 0 est :

1. [π3 ;π3]\left[-\dfrac{\pi}{3}~; \dfrac{\pi}{3}\right]


2. [π3 ;π3]\left[\dfrac{\pi}{3}~;-\dfrac{\pi}{3}\right]


3. [π ;π3][π3 ;π]\left[-\pi~;-\dfrac{\pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{\pi}{3}~; \pi\right]


4. [π6 ;π6]\left[-\dfrac{\pi}{6}~; \dfrac{\pi}{6}\right]
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34

Dans chaque cas, déterminer l’ensemble des réels xx appartenant à l’intervalle [π ;π][-\pi~; \pi] vérifiant toutes les conditions données.

1. cos(x)>0\cos (x)>0 et sin(x)>0\sin (x)>0


2. cos(x)>0\cos (x)>0 et sin(x)<0\sin (x)\lt0


3. cos(x)<0\cos (x)\lt0 et sin(x)>0\sin (x)>0


4. cos(x)<0\cos (x)\lt0 et sin(x)<0\sin (x)\lt0
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35

Justifier que l’équation cos(2x)+sin(x2)=3\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=-3 n’a pas de solution dans R\R.
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36

Déterminer dans R\R une solution de l’équation cos(2x)+sin(x2)=2\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right)=2.
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37

Résoudre dans [π ;π][-\pi~; \pi] les inéquations suivantes.

1. cos(2x)sin(x)>0\cos (2 x) \sin (x)>0


2. cos(x)sin(2x)<0\cos (x) \sin (2 x)\lt0
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38

Résoudre dans R\R les équations suivantes.

1. cos(x)sin(x)=0\cos (x) \sin (x)=0


2. cos(x)sin(x)=2\cos (x) \sin (x)=2


3. cos2(x)=1\cos ^{2}(x)=1


4. sin2(x)=0,5\sin ^{2}(x)=0{,}5
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39

Existe‑t‑il un réel xx tel que cos(x)=0,7\cos (x)=0{,}7 et sin(x)=0,3\sin (x)=0{,}3 ? Justifier.
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40

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses. Pour tout réel xx, cos(x)\cos(x) est égal à :

1. cos(x)\cos (-x)


2. cos(πx)\cos (\pi-x)


3. sin(π2x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)


4. sin(π2+x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)
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41

Sachant que x[π2 ;π]x \in\left[\dfrac{\pi}{2}~; \pi\right] et que sin(x)=0,6\sin (x)=0{,}6, déterminer en justifiant les valeurs suivantes.

1. cos(x)\cos (x)


2. sin(π+x)\sin (\pi+x)


3. cos(π2+x)\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)


4. sin(π2+x)\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)
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Dérivation


42

Déterminer, pour tout réel xx, f(x)f^{\prime}(x) lorsque ff est la fonction dérivable sur R\R définie par f(x)=cos(x)+sin(x)f(x)=\cos (x)+\sin (x).
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43

Déterminer, pour tout réel xx, f(x)f^{\prime}(x) lorsque ff est la fonction définie sur R\R par f(x)=cos(2x)+sin(x2)f(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right).
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44

On considère la fonction ff dérivable sur R\R définie par f(x)=cos(πx)+sin(π2+x)f(x)=\cos (\pi-x)+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right).

1. Démontrer que, pour tout réel xx, f(x)=0f^{\prime}(x)=0.


2. Que peut‑on en déduire pour ff ?
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45

On considère une fonction ff définie et dérivable sur R\R telle que, pour tout réel xx, f(x)=cos(x)+sin(x)f^{\prime}(x)=\cos (x)+\sin (x).
Déterminer alors une écriture possible de f(x)f(x).
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46

On considère une fonction ff définie et dérivable sur R\R telle que, pour tout réel xx, f(x)=cos(2x)+sin(x2)f^{\prime}(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\dfrac{x}{2}\right).
Déterminer alors une écriture possible de f(x)f(x).
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Variations des fonctions trigonométriques


47

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres cos(π7)\cos \left(\dfrac{\pi}{7}\right) ; cos(2π7)\cos \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right) et cos(4π7)\cos \left(\dfrac{4 \pi}{7}\right).
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48

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres sin(π7)\sin \left(\dfrac{\pi}{7}\right) ; sin(2π7)\sin \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right) et sin(4π7)\sin \left(\dfrac{4 \pi}{7}\right).
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49

En justifiant, comparer cos(2π7)\cos \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right) et cos(5π7)\cos \left(\dfrac{5 \pi}{7}\right).
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50

En justifiant, comparer sin(2π7)\sin \left(\dfrac{2 \pi}{7}\right) et sin(5π7)\sin \left(\dfrac{5 \pi}{7}\right).
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Exercices inversés


51

Déterminer une équation trigonométrique pour laquelle l’ensemble solution est {5π6+2kπ ;5π6+2kπ}\left\{-\dfrac{5 \pi}{6}+2 k \pi~; \dfrac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right\}, kZk \in \mathbb{Z}.
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52

À l’aide des fonctions cos\cos et sin\sin, construire trois fonctions impaires définies sur R\R.

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53

À l’aide des fonctions cos\cos et sin\sin, construire quatre fonctions périodiques de période 11 définies sur R\R.

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