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Chapitre 9
Exercices

Travailler les automatismes

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16
Philippe affirme que la courbe rouge ci‑dessous représente une fonction à la fois paire et impaire. Dire s'il a raison ou tort.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 16
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17
On considère la représentation graphique d'une fonction dans un repère orthonormé.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 17
Répondre par vrai ou faux en justifiant.
La courbe ci‑dessus représente :
1. une fonction paire ;
2. une fonction impaire ;
3. une fonction périodique de période 5 ;
4. une fonction périodique de période 8{,}5 ;
5. une fonction périodique de période 10.
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18
Comparer \cos (0)+\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+\cos \left(\frac{2 \pi}{3}\right) et \cos \left(0+\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi}{3}\right).
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19
Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'équation \cos (x)=\frac{-\sqrt{2}}{2}.
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20
Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'équation \sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
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Parité et périodicité
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21
Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont paires et celles qui sont impaires. a: x \mapsto 0
b: x \mapsto-x+1
c: x \mapsto x^{2}
d: x \mapsto x^{3}
e: x \mapsto|x|
f: x \mapsto \frac{1}{x}
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22
Soit n un entier naturel. Que peut‑on dire de n lorsque la fonction f définie sur \R par f: x \mapsto x^{n} est : 1. paire ?
2. impaire ?
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23
Soit f une fonction paire sur \R, périodique de période 8 et strictement croissante sur [1\,; 3].
Démontrer que f est strictement décroissante sur [5\,; 7].
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24
On considère une fonction g continue, impaire, périodique de période 6 et définie sur l'intervalle [-6~; 6]. On sait que g est strictement croissante sur [0~; 2] et strictement décroissante sur [2~; 3].
Dresser le tableau de variations de g sur l'intervalle [-6~; 6].

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25
Reproduire et compléter sur [-6~; 8] la courbe \mathcal{C}_f ci‑dessous, représentative d'une fonction f paire et périodique de période 6.

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26
Étudier la parité et la périodicité de la fonction f définie sur \R par f(x)=\sin (x)-\sin (-x)+\cos (x)-\cos (-x).
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27
Étudier la parité des fonctions f et g définies sur \R par f(x)=\sin (\cos (x)) et g(x)=\cos (\sin (x)).
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28
Montrer que la fonction x \mapsto \sin \left(x^{3}\right) définie sur \R est une fonction impaire.
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29
Montrer que la fonction f définie sur \R par f(x)=\cos (2 x) est périodique de période \pi.
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Équations trigonométriques
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30
Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'équation {\cos (x)=\frac{-\sqrt{2}}{2}.}
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Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'inéquation {\cos (x) \leqslant \frac{\sqrt{3}}{2}.}
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32
Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'inéquation \cos (x) \times \sin (x)\lt0.
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33
Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses.
Sur [-\pi~; \pi] l'ensemble solution de -2 \cos (x)+1 \leqslant 0 est : 1. \left[-\frac{\pi}{3}~; \frac{\pi}{3}\right]
2. \left[\frac{\pi}{3}~;-\frac{\pi}{3}\right]
3. \left[-\pi~;-\frac{\pi}{3}\right] \cup\left[\frac{\pi}{3}~; \pi\right]
4. \left[-\frac{\pi}{6}~; \frac{\pi}{6}\right]
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34
Dans chaque cas, déterminer l'ensemble des réels x appartenant à l'intervalle [-\pi~; \pi] vérifiant toutes les conditions données. 1. \cos (x)>0 et \sin (x)>0
2. \cos (x)>0 et \sin (x)\lt0
3. \cos (x)\lt0 et \sin (x)>0
4. \cos (x)\lt0 et \sin (x)\lt0
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35
Justifier que l'équation \cos (2 x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)=-3 n'a pas de solution dans \R.
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36
Déterminer dans \R une solution de l'équation \cos (2 x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)=2.
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37
Résoudre dans [-\pi~; \pi] les inéquations suivantes. 1. \cos (2 x) \sin (x)>0
2. \cos (x) \sin (2 x)\lt0
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39
Existe‑t‑il un réel x tel que \cos (x)=0{,}7 et \sin (x)=0{,}3 ? Justifier.
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38
Résoudre dans \R les équations suivantes. 1. \cos (x) \sin (x)=0
2. \cos (x) \sin (x)=2
3. \cos ^{2}(x)=1
4. \sin ^{2}(x)=0{,}5
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40
Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses. Pour tout réel x, \cos(x) est égal à : 1. \cos (-x)
2. \cos (\pi-x)
3. \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)
4. \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)
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41
Sachant que x \in\left[\frac{\pi}{2}~; \pi\right] et que \sin (x)=0{,}6, déterminer en justifiant les valeurs suivantes. 1. \cos (x)
2. \sin (\pi+x)
3. \cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)
4. \sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)
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Dérivation
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42
Déterminer, pour tout réel x, f^{\prime}(x) lorsque f est la fonction dérivable sur \R définie par f(x)=\cos (x)+\sin (x).
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43
Déterminer, pour tout réel x, f^{\prime}(x) lorsque f est la fonction définie sur \R par f(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right).
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44
On considère la fonction f dérivable sur \R définie par {f(x)=\cos (\pi-x)+\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right).} 1. Démontrer que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=0.
2. Que peut‑on en déduire pour f ?
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45
On considère une fonction f définie et dérivable sur \R telle que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\cos (x)+\sin (x).
Déterminer alors une écriture possible de f(x).
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46
On considère une fonction f définie et dérivable sur \R telle que, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=\cos (2 x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right).
Déterminer alors une écriture possible de f(x).
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Variations des fonctions trigonométriques
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47
En justifiant, classer par ordre croissant les nombres \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) ; \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) et \cos \left(\frac{4 \pi}{7}\right).
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48
En justifiant, classer par ordre croissant les nombres \sin \left(\frac{\pi}{7}\right) ; \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) et \sin \left(\frac{4 \pi}{7}\right).
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49
En justifiant, comparer \cos \left(\frac{2 \pi}{7}\right) et \cos \left(\frac{5 \pi}{7}\right).
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50
En justifiant, comparer \sin \left(\frac{2 \pi}{7}\right) et \sin \left(\frac{5 \pi}{7}\right).
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Exercices inversés
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Déterminer une équation trigonométrique pour laquelle l'ensemble solution est \left\{-\frac{5 \pi}{6}+2 k \pi~; \frac{5 \pi}{6}+2 k \pi\right\}, k \in \mathbb{Z}.
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52
À l'aide des fonctions \cos et \sin, construire trois fonctions impaires définies sur \R.

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À l'aide des fonctions \cos et \sin, construire quatre fonctions périodiques de période 1 définies sur \R.

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