Travailler les automatismes

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16

Philippe affirme que la courbe rouge ci‑dessous représente une fonction à la fois paire et impaire. Dire s’il a raison ou tort.

17

On considère la représentation graphique d’une fonction dans un repère orthonormé.


Répondre par vrai ou faux en justifiant.
La courbe ci‑dessus représente :

1. une fonction paire ;


2. une fonction impaire ;


3. une fonction périodique de période $5$ ;


4. une fonction périodique de période $8,5$ ;


5. une fonction périodique de période $10$.

18

Comparer $\cos (0)+\cos \left(\frac{\pi }{3}\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}\right)$ et $\cos \left(0+\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}\right)$.

19

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’équation $\cos (x)=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

20

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’équation $\sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

21

Parmi les fonctions suivantes, préciser celles qui sont paires et celles qui sont impaires.

$a:x\mapsto 0$


$b:x\mapsto -x+1$


$c:x\mapsto x^2$


$d:x\mapsto x^3$


$e:x\mapsto |x|$


$f:x\mapsto \frac{1}{x}$

22

Soit $n$ un entier naturel. Que peut‑on dire de $n$ lorsque la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f:x\mapsto x^n$ est :

1. paire ?


2. impaire ?

23

Soit $f$ une fonction paire sur $\mathbb{R}$, périodique de période $8$ et strictement croissante sur $[1;3]$.
Démontrer que $f$ est strictement décroissante sur $[5;7]$.

24

On considère une fonction $g$ continue, impaire, périodique de période $6$ et définie sur l’intervalle $[-6;6]$. On sait que $g$ est strictement croissante sur $[0;2]$ et strictement décroissante sur $[2;3]$.
Dresser le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $[-6;6]$.

25

Reproduire et compléter sur $[-6;8]$ la courbe ${\mathcal{C}}_f$ ci‑dessous, représentative d’une fonction $f$ paire et périodique de période $6$.

26

Étudier la parité et la périodicité de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (x)-\sin (-x)+\cos (x)-\cos (-x)$.

27

Étudier la parité des fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\sin (\cos (x))$ et $g(x)=\cos (\sin (x))$.

28

Montrer que la fonction $x\mapsto \sin \left(x^3\right)$ définie sur $\mathbb{R}$ est une fonction impaire.

29

Montrer que la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (2x)$ est périodique de période $\pi$.

30

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’équation $\cos (x)=\frac{-\sqrt{2}}{2}$.

31

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’inéquation $\cos (x)⩽\frac{\sqrt{3}}{2}$.

32

Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’inéquation $\cos (x)\times \sin (x)<0$.

33

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses.
Sur $[-\pi ;\pi ]$ l’ensemble solution de $-2\cos (x)+1⩽0$ est :

1. $\left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right]$


2. $\left[\frac{\pi }{3};-\frac{\pi }{3}\right]$


3. $\left[-\pi ;-\frac{\pi }{3}\right]\cup \left[\frac{\pi }{3};\pi \right]$


4. $\left[-\frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]$

34

Dans chaque cas, déterminer l’ensemble des réels $x$ appartenant à l’intervalle $[-\pi ;\pi ]$ vérifiant toutes les conditions données.

1. $\cos (x)>0$ et $\sin (x)>0$


2. $\cos (x)>0$ et $\sin (x)<0$


3. $\cos (x)<0$ et $\sin (x)>0$


4. $\cos (x)<0$ et $\sin (x)<0$

35

Justifier que l’équation $\cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)=-3$ n’a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

36

Déterminer dans $\mathbb{R}$ une solution de l’équation $\cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)=2$.

37

Résoudre dans $[-\pi ;\pi ]$ les inéquations suivantes.

1. $\cos (2x)\sin (x)>0$


2. $\cos (x)\sin (2x)<0$

38

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

1. $\cos (x)\sin (x)=0$


2. $\cos (x)\sin (x)=2$


3. ${\cos }^2(x)=1$


4. ${\sin }^2(x)=0,5$

39

Existe‑t‑il un réel $x$ tel que $\cos (x)=0,7$ et $\sin (x)=0,3$ ? Justifier.

40

Déterminer, en justifiant, la ou les bonnes réponses. Pour tout réel $x$, $\cos (x)$ est égal à :

1. $\cos (-x)$


2. $\cos (\pi -x)$


3. $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$


4. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

41

Sachant que $x\in \left[\frac{\pi }{2};\pi \right]$ et que $\sin (x)=0,6$, déterminer en justifiant les valeurs suivantes.

1. $\cos (x)$


2. $\sin (\pi +x)$


3. $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$


4. $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

42

Déterminer, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)$ lorsque $f$ est la fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\cos (x)+\sin (x)$.

43

Déterminer, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)$ lorsque $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.

44

On considère la fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ définie par $f(x)=\cos (\pi -x)+\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$.

1. Démontrer que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=0$.


2. Que peut‑on en déduire pour $f$ ?

45

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=\cos (x)+\sin (x)$.
Déterminer alors une écriture possible de $f(x)$.

46

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que, pour tout réel $x$, $f^{\prime }(x)=\cos (2x)+\sin \left(\frac{x}{2}\right)$.
Déterminer alors une écriture possible de $f(x)$.

47

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres $\cos \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)$ et $\cos \left(\frac{4\pi }{7}\right)$.

48

En justifiant, classer par ordre croissant les nombres $\sin \left(\frac{\pi }{7}\right)$ ; $\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)$ et $\sin \left(\frac{4\pi }{7}\right)$.

49

En justifiant, comparer $\cos \left(\frac{2\pi }{7}\right)$ et $\cos \left(\frac{5\pi }{7}\right)$.

50

En justifiant, comparer $\sin \left(\frac{2\pi }{7}\right)$ et $\sin \left(\frac{5\pi }{7}\right)$.

51

Déterminer une équation trigonométrique pour laquelle l’ensemble solution est $\left\{-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

52

À l’aide des fonctions $\cos$ et $\sin$, construire trois fonctions impaires définies sur $\mathbb{R}$.

53

À l’aide des fonctions $\cos$ et $\sin$, construire quatre fonctions périodiques de période $1$ définies sur $\mathbb{R}$.