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TP2. Trigonométrie et arithmétique
P.275

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TP INFO


2
Trigonométrie et arithmétique




Énoncé

Pour tout entier n2n \geqslant 2, on note E(n)\mathrm{E}(n) l’ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à nn tels que leur plus grand diviseur commun (PGCD\text{PGCD}) avec nn soit le nombre 11. Par exemple, E(4)={1 ;3}\mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et E(8)={1 ;3 ;5 ;7}\mathrm{E}(8)=\{1~; 3~; 5~; 7\}.
Pour la suite, on considère le nombre S(n)\mathrm{S}(n) égal à la somme des valeurs de cos(k×2πn)\cos \left(k \times \dfrac{2 \pi}{n}\right) lorsque kk décrit l’ensemble E(n)\mathrm{E}(n). On peut noter S(n)=kE(n)cos(k×2πn)\mathrm{S}(n)=\mathop{\sum}\limits_{k \in \mathrm{E}(n)} \cos \left(k \times \dfrac{2 \pi}{n}\right).
Par exemple, si n=4n=4, alors E(4)={1 ;3}\mathrm{E}(4)=\{1~; 3\} et S(4)=cos(1×2π4)+cos(3×2π4)=0\mathrm{S}(4)=\cos \left(1 \times \dfrac{2 \pi}{4}\right)+\cos \left(3 \times \dfrac{2 \pi}{4}\right)=0.
De même, S(8)=cos(1×2π8)+cos(3×2π8)+cos(5×2π8)+cos(7×2π8)\mathrm{S}(8)=\cos \left(1 \times \dfrac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(3 \times \dfrac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(5 \times \dfrac{2 \pi}{8}\right)+\cos \left(7 \times \dfrac{2 \pi}{8}\right).

Questions préliminaires :

Pour chacune des valeurs de nn suivantes, décomposer nn en produit de facteurs premiers puis déterminer E(n)\mathrm{E}(n).

1. n=3n=3


2. n=9n=9


3. n=12n=12


4. n=14n=14


5. n=15n=15


6. n=30n=30


7. n=54n=54
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Objectif

Conjecturer les valeurs prises par S(n)\boldsymbol{\mathbf{S}(n)} en fonction de n\boldsymbol{n} en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
CALCULATRICE

Pour n=3n=3, on présente ici les étapes de calcul de S(n)\mathrm{S}(n) à la calculatrice.

Aide
On pensera à sélectionner le mode radian.


Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP2 Trigonométrie et arithmétique - calculatrice

1. Pour les valeurs de nn étudiées dans la question préliminaire, adapter cette méthode et déterminer S(n)\mathrm{S}(n).


2. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par S(n)\mathrm{S}(n) ?
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On considère le programme suivant (quastion 2.).

Remarque : Avec certains environnements Python, on pourra importer le module fractions pour accéder à la commande gcd.


1. Que teste la ligne 6 ?


2. Compléter le programme afin que la fonction s renvoie la somme définie dans l’énoncé (le nombre π\pi s’écrit pi en Python).

from math import *

def s(n):
	S = 0
  for i in range(1, n):
  	if gcd(i, n) == 1:
    	...
  return S

3. Déterminer un algorithme qui renvoie une liste contenant l’ensemble des valeurs S(n)\mathrm{S}(n), pour nn appartenant à la liste :
[3 ;4 ;9 ;12 ;14 ;15 ;30 ;54][3~; 4~; 9~; 12~; 14~; 15~; 30~; 54].

4. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par S(n)\mathrm{S}(n) ?
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Pour aller plus loin


Option maths expertes :
Conjecturer la valeur prise par S(n)\mathrm{S}(n) en fonction de la décomposition de nn en produit de facteurs premiers.
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