Trigonométrie et arithmétique

Pour tout entier $n⩾2$, on note $\mathrm{E}(n)$ l'ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à $n$ tels que leur plus grand diviseur commun ($\text{PGCD}$) avec $n$ soit le nombre $1$. Par exemple, $\mathrm{E}(4)=\{1;3\}$ et $\mathrm{E}(8)=\{1;3;5;7\}$. Pour la suite, on considère le nombre $\mathrm{S}(n)$ égal à la somme des valeurs de $\cos \left(k\times \frac{2\pi }{n}\right)$ lorsque $k$ décrit l'ensemble $\mathrm{E}(n)$. On peut noter $\mathrm{S}(n)=\sum _{k\in \mathrm{E}(n)}\cos \left(k\times \frac{2\pi }{n}\right)$.
Par exemple, si $n=4$, alors $\mathrm{E}(4)=\{1;3\}$ et $\mathrm{S}(4)=\cos \left(1\times \frac{2\pi }{4}\right)+\cos \left(3\times \frac{2\pi }{4}\right)=0$.
De même, $\mathrm{S}(8)=\cos \left(1\times \frac{2\pi }{8}\right)+\cos \left(3\times \frac{2\pi }{8}\right)+\cos \left(5\times \frac{2\pi }{8}\right)+\cos \left(7\times \frac{2\pi }{8}\right)$. Questions préliminaires :

Pour chacune des valeurs de $n$ suivantes, décomposer $n$ en produit de facteurs premiers puis déterminer $\mathrm{E}(n)$.

On considère le programme suivant (question 2).

from math import *

def s(n):
	S = 0
  for i in range(1, n):
  	if gcd(i, n) == 1:
    	...
  return S