Pour tout entier n⩾2, on note E(n) l’ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à n tels que leur plus grand diviseur commun (PGCD) avec n soit le nombre 1. Par exemple, E(4)={1;3} et E(8)={1;3;5;7}.
Pour la suite, on considère le nombre S(n) égal à la somme des valeurs de cos(k×n2π) lorsque k décrit l’ensemble E(n). On peut noter S(n)=k∈E(n)∑cos(k×n2π).
Par exemple, si n=4, alors E(4)={1;3} et S(4)=cos(1×42π)+cos(3×42π)=0.
De même, S(8)=cos(1×82π)+cos(3×82π)+cos(5×82π)+cos(7×82π).
Questions préliminaires :
Pour chacune des valeurs de n suivantes, décomposer n en produit de facteurs premiers puis déterminer E(n).
1.n=3
2.n=9
3.n=12
4.n=14
5.n=15
6.n=30
7.n=54
Objectif
Conjecturer les valeurs prises par S(n) en fonction de n en utilisant une des deux méthodes.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
CALCULATRICE
Pour n=3, on présente ici les étapes de calcul de S(n) à la calculatrice.
Aide
On pensera à sélectionner le mode radian.
1. Pour les valeurs de n étudiées dans la question préliminaire, adapter cette méthode et déterminer S(n).
2. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux
différentes valeurs prises par S(n) ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère le programme suivant (quastion 2.).
Remarque :Avec certains environnements Python, on pourra importer le module fractions pour accéder à la commande gcd.
1. Que teste la ligne 6 ?
2. Compléter le programme afin que la fonction s renvoie la somme définie dans l’énoncé (le nombre π s’écrit pi en Python).
from math import *
def s(n):
S = 0
for i in range(1, n):
if gcd(i, n) == 1:
...
return S
3. Déterminer un algorithme qui renvoie une liste contenant l’ensemble des valeurs S(n), pour n appartenant à la liste :
[3;4;9;12;14;15;30;54].
4. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par S(n) ?
Pour aller plus loin
Option maths expertes:
Conjecturer la valeur prise par S(n) en fonction de la décomposition de n en produit de facteurs premiers.
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