TP2. Trigonométrie et arithmétique
P.275
TP INFO
2 Trigonométrie et arithmétique
2
Énoncé
Pour tout entier , on note l’ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à tels que leur plus grand diviseur commun () avec soit le nombre . Par exemple, et .
Pour la suite, on considère le nombre égal à la somme des valeurs de lorsque décrit l’ensemble . On peut noter .
Par exemple, si , alors et .
De même, .
Questions préliminaires :
Pour chacune des valeurs de suivantes, décomposer en produit de facteurs premiers puis déterminer .
1.
2.
3.
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5.
6.
7.
Pour la suite, on considère le nombre égal à la somme des valeurs de lorsque décrit l’ensemble . On peut noter .
Par exemple, si , alors et .
De même, .
Questions préliminaires :
Pour chacune des valeurs de suivantes, décomposer en produit de facteurs premiers puis déterminer .
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5.
6.
7.
Objectif
Conjecturer les valeurs prises par en fonction de en utilisant une des deux méthodes.
Objectif
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
CALCULATRICE
Pour , on présente ici les étapes de calcul de à la calculatrice.
Aide
1. Pour les valeurs de étudiées dans la question préliminaire, adapter cette méthode et déterminer .
2. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par ?
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On considère le programme suivant (quastion 2.).
Remarque : Avec certains environnements Python, on pourra importer le module fractions pour accéder à la commande gcd.
1. Que teste la ligne 6 ?
2. Compléter le programme afin que la fonction s renvoie la somme définie dans l’énoncé (le nombre s’écrit pi en Python).
from math import *
def s(n):
S = 0
for i in range(1, n):
if gcd(i, n) == 1:
...
return S
3. Déterminer un algorithme qui renvoie une liste contenant l’ensemble des valeurs , pour appartenant à la liste :
.
4. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par ?
Pour aller plus loin
Pour aller plus loin
Option maths expertes :
Conjecturer la valeur prise par en fonction de la décomposition de en produit de facteurs premiers.