Mathématiques Terminale Spécialité

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Chapitre 9
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Trigonométrie et arithmétique

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Énoncé
Pour tout entier , on note l'ensemble de tous les entiers naturels inférieurs ou égaux à tels que leur plus grand diviseur commun () avec soit le nombre . Par exemple, et . Pour la suite, on considère le nombre égal à la somme des valeurs de lorsque décrit l'ensemble . On peut noter .
Par exemple, si , alors et .
De même, .

Questions préliminaires :

Pour chacune des valeurs de suivantes, décomposer en produit de facteurs premiers puis déterminer .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.
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Objectif
Conjecturer les valeurs prises par en fonction de en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1
Calculatrice

Pour , on présente ici les étapes de calcul de à la calculatrice.

On pensera à sélectionner le mode radian.
Aide

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - TP2 Trigonométrie et arithmétique - calculatrice
Le zoom est accessible dans la version Premium.


1. Pour les valeurs de étudiées dans la question préliminaire, adapter cette méthode et déterminer .


2. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par  ?
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Méthode 2
Python

On considère le programme suivant (question 2).

Remarque

Avec certains environnements Python, on pourra importer le module fractions pour accéder à la commande gcd.

1. Que teste la ligne 6 ?

2. Compléter le programme afin que la fonction s renvoie la somme définie dans l'énoncé (le nombre s'écrit pi en Python).

from math import *

def s(n):
	S = 0
  for i in range(1, n):
  	if gcd(i, n) == 1:
    	...
  return S

3. Déterminer un algorithme qui renvoie une liste contenant l'ensemble des valeurs , pour appartenant à la liste :
.

4. Quel résultat peut‑on conjecturer quant aux différentes valeurs prises par  ?
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Pour aller plus loin

Option maths expertes :
Conjecturer la valeur prise par en fonction de la décomposition de en produit de facteurs premiers.

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