Sur $\mathbb{R}$, les solutions de $\cos (x)=-0,5$ sont :

a. $\left\{\frac{-2\pi }{3}+2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right\}$, où $k\in \mathbb{R}$.

b. $\left\{\frac{-5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$, où $k\in \mathbb{R}$.

c. $\left\{\frac{-2\pi }{3}+2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right\}$, où $k\in \mathbb{Z}$.

d. $\left\{\frac{-5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$, où $k\in \mathbb{Z}$.

Sur $\mathbb{R}$, une solution de $\cos (x)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$ est :

a. $\frac{\pi }{3}$

b. $\frac{\pi }{4}$

c. $\frac{-\pi }{3}$

d. $\frac{\pi }{6}$

Sur $[-\pi ;\pi ]$, les solutions de $\sin (x)⩽\frac{1}{2}$ sont :

a. $\left[\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6}\right]$

b. $\left[\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]$

c. $\left[-\pi ;\frac{\pi }{6}\right]\cup \left[\frac{5\pi }{6};\pi \right]$

d. $[-\pi ;\pi ]$

La fonction dérivée $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f:x\mapsto \sin (3x)-4\cos (3-2x)$ est définie par :

a. $f^{\prime }(x)=\cos (3x)+4\sin (3-2x)$

b. $f^{\prime }(x)=\cos (3x)+12\sin (3-2x)$

c. $f^{\prime }(x)=3\cos (3x)-8\sin (3-2x)$

d. $f^{\prime }(x)=3\cos (3x)+8\sin (3-2x)$

Pour toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$, on peut affirmer que :

a. Si $f(2)=f(-2)$, alors $f$ est paire.

b. Si $f(2)\ne f(-2)$, alors $f$ n'est pas paire.

c. Si $f(2)=f(-2)$, alors $f$ est périodique de période $4$.

d. Si $f(2)\ne f(-2)$, alors $f$ n'est pas périodique de période $4$.

Pour tout réel $x$, quelles expressions ci‑dessous sont égales à $\sin (x)$ ?

a. $\sin (-x)$

b. $\sin (\pi -x)$

c. $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$

d. $\cos \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$

La fonction dérivée $f^{\prime }$ sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f:x\mapsto x^2\cos (x)$ est définie par :

a. $f^{\prime }(x)=2x\sin (x)$

b. $f^{\prime }(x)=-2x\sin (x)$

c. $f^{\prime }(x)=2x\cos (x)-x^2\sin (x)$

d. $f^{\prime }(x)=2x\cos (x)+x^2\sin (x)$

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos (\sin (x))$ est :

a. paire.

b. impaire.

c. périodique de période $\pi$.

d. périodique de période $2\pi$.

15

On cherche à déterminer algébriquement le nombre de solutions sur $[-3\pi ;3\pi ]$ de l'équation :

A

Soient $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ de plus petite période ${\text{T}}_1$ et $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ de plus petite période ${\text{T}}_2$, ${\text{T}}_1$ et ${\text{T}}_2$ étant deux entiers strictement positifs et distincts.
La plus petite période $T$ de la fonction $h$ définie, pour tout $x\in \mathbb{R}$, par $h(x)=f(x)+g(x)$ est :

a. le plus petit des deux nombres ${\text{T}}_1$ et ${\text{T}}_2$.

b. le plus grand des deux nombres ${\text{T}}_1$ et ${\text{T}}_2$.

c. le plus petit multiple commun strictement positif à ${\text{T}}_1$ et ${\text{T}}_2$.

d. le plus grand diviseur commun strictement positif à ${\text{T}}_1$ et ${\text{T}}_2$.

B

Une expression de la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{1}{\cos (x)}$ est :

a. $f^{\prime }(x)=-\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$.

b. $f^{\prime }(x)=\frac{\sin (x)}{{\cos }^2(x)}$.

c. $f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sin (x)}$.

d. $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sin (x)}$.

C

Vrai ou faux ? La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x+\cos (x)\sin (x)$ est strictement croissante sur son domaine de définition.

a. Vrai

b. Faux

D

Quel est l'ensemble solution du système d'équations $\{\begin{array}{c}\left|\cos \left(x\right)\right|=\frac{1}{2}\\ \sin \left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$ ?

a. $\varnothing$

b. $\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi ;\frac{2\pi }{3}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

c. $\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi ;-\frac{\pi }{3}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

d. $\left\{\frac{\pi }{3}+k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

E

Sur $[0;2\pi ]$, les courbes représentatives des fonctions cosinus et sinus ont exactement deux points d'intersection.

a. Vrai

b. Faux

F

Soient $a$ et $b$ deux réels appartenant à $\left[-\pi ;\frac{-\pi }{2}\right]$. Parmi les propositions ci-dessous, lesquelles sont vraies ?

a. Si $a<b$ alors $\cos (a)<\cos (b)$.

b. Si $a<b$ alors $\cos (a)>\cos (b)$.

c. Si $a<b$ alors $\sin (a)<\sin (b)$.

d. Si $a<b$ alors $\sin (a)>\sin (b)$.

G

Parmi les fonctions ci-dessous, définies sur $\mathbb{R}$, lesquelles sont paires ?

a. $x\mapsto \cos (2x)+1$

b. $x\mapsto \sin (x)+\cos (x)$

c. $x\mapsto \sin \left(\left|x\right|\right)$

d. $x\mapsto x^2+\cos (x)$

H

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos \left(x+\pi \right)+\cos \left(x\right)$ est :

a. paire.

b. impaire.

c. périodique de période $\pi$.

d. strictement croissante.