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10
La fonction dérivée f' sur \R de la fonction f: x \mapsto \sin (3 x)-4 \cos (3-2 x) est définie par :
a.f^{\prime}(x)=\cos (3 x)+4 \sin (3-2 x)
b.f^{\prime}(x)=\cos (3 x)+12 \sin (3-2 x)
c.f^{\prime}(x)=3 \cos (3 x)-8 \sin (3-2 x)
d.f^{\prime}(x)=3 \cos (3 x)+8 \sin (3-2 x)
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QCM
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11
Pour toute fonction f définie sur \R, on peut affirmer que :
a. Si f(2) = f(-2), alors f est paire.
b. Si f(2) \neq f(-2), alors f n'est pas paire.
c. Si f(2)=f(-2), alors f est périodique de période 4.
d. Si f(2) \neq f(-2), alors f n'est pas périodique de période 4.
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12
Pour tout réel x, quelles expressions ci‑dessous sont égales à \sin(x) ?
a.\sin (-x)
b.\sin (\pi-x)
c.\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)
d.\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)
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13
La fonction dérivée f' sur \R de la fonction f: x \mapsto x^{2} \cos (x) est définie par :
a.f^{\prime}(x)=2 x \sin (x)
b.f^{\prime}(x)=-2 x \sin (x)
c.f^{\prime}(x)=2 x \cos (x)-x^{2} \sin (x)
d.f^{\prime}(x)=2 x \cos (x)+x^{2} \sin (x)
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14
La fonction f définie sur \R par f(x)=\cos (\sin (x)) est :
a. paire.
b. impaire.
c. périodique de période \pi.
d. périodique de période 2\pi.
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Problème
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15
On cherche à déterminer algébriquement le nombre de solutions sur [-3 \pi~; 3 \pi] de l'équation :
\sin (x)+\cos (x)=-1.
1. À l'aide de la calculatrice, déterminer graphiquement le nombre de solutions de cette équation sur [-3 \pi~; 3 \pi].
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2. Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\sin (x)+\cos (x)+1.
a. Démontrer que f est périodique de période 2\pi, mais qu'elle n'est ni paire ni impaire.
b. Sur quel ensemble peut‑on alors restreindre l'étude de f ?
c. Résoudre dans [-\pi~; \pi] l'inéquation \cos (x)>\sin (x) puis, après avoir dérivé f, construire le tableau de variations de f sur [-\pi~; \pi].
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QCM
Supplémentaires
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A
Soient f une fonction définie sur \mathbb{R} de plus petite période \text{T}_1 et g une fonction définie sur \mathbb{R} de plus petite période \text{T}_2, \text{T}_1 et \text{T}_2 étant deux entiers strictement positifs et distincts.
La plus petite période T de la fonction h définie, pour tout x \in \mathbb{R}, par h(x)=f(x)+g(x) est :
a. le plus petit des deux nombres \text{T}_1 et \text{T}_2.
b. le plus grand des deux nombres \text{T}_1 et \text{T}_2.
c. le plus petit multiple commun strictement positif à \text{T}_1 et \text{T}_2.
d. le plus grand diviseur commun strictement positif à \text{T}_1 et \text{T}_2.
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B
Une expression de la dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = \dfrac{1}{\cos(x)} est :
a.f'(x) = -\dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
b.f'(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos^2(x)}.
c.f'(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}.
d.f'(x) = -\dfrac{1}{\sin(x)}.
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C
Vrai ou faux ? La fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x) = x + \cos(x) \sin(x) est strictement croissante sur son domaine de définition.
a. Vrai
b. Faux
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D
Quel est l'ensemble solution du système d'équations \left\{ \begin{matrix} \left| \cos \left( x \right) \right| = \dfrac{1}{2} \\ \sin \left( x\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix} \right. ?