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P.282-283

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99
[Représenter, Raisonner.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par :
f(x)=2cos(3xπ)3sin2(4xπ)+1f(x)=2 \cos \left(\dfrac{3 x}{\pi}\right)-3 \sin ^{2}\left(\dfrac{4 x}{\pi}\right)+1.

1. Uniquement à l’aide de la calculatrice et sans justifier :
a. préciser si f(0)=2f(0) = -2 ;


b. préciser si f(π26)=54f\left(\dfrac{\pi^{2}}{6}\right)=\dfrac{-5}{4} ;


c. préciser si ff est paire ou impaire ;


d. préciser si ff est périodique de période 2π2\pi ;


e. déterminer le nombre de solutions sur [2π ;2π][-2\pi~; 2\pi] de l’équation f(x)=0f(x) = 0 ;


f. déterminer la limite éventuelle de f(x)f(x) en ++\infty ;


g. préciser si f(0)=0f'(0)=0 ;


h. préciser si f(π26)=12πf'\left(\dfrac{\pi^{2}}{6}\right)=\dfrac{-12}{\pi}.


2. Préciser si sa dérivée ff' est définie sur R\R par f(x)=6πsin(3xπ)12πsin(8xπ)f^{\prime}(x)=\dfrac{-6}{\pi} \sin \left(\dfrac{3 x}{\pi}\right)-\dfrac{12}{\pi} \sin \left(\dfrac{8 x}{\pi}\right).
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100
[Calculer, Chercher.]
Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=2cos(2x)1f(x)=2 \cos (2 x)-1.

1. Résoudre dans R\R l’équation f(x)=0f(x) = 0.


2. Déterminer la plus petite période T\text{T} de ff.


3. Montrer qu’il est possible de restreindre l’étude de ff à [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right].


4. Démontrer que sur [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right], f(x)0f^{\prime}(x) \leqslant 0.


5. Construire le tableau de variations de ff sur [π ;π][-\pi~; \pi].

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101
DEVOIR MAISON
[Chercher, Raisonner.]
Partie A
La courbe suivante représente sur [π ;π][-\pi~; \pi] la fonction ff définie par f(x)=ax+bcos(x)+cf(x)=a x+b \cos (x)+c.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 101
Déterminer les réels aa, bb et cc, sachant que la tangente à la courbe au point A\text{A} d’abscisse π2\dfrac{-\pi}{2} est horizontale et que celle au point B\text{B} de coordonnées (0 ;3)(0~; 3) a pour coefficient directeur 2-2.


Partie B
Soit gg la fonction définie sur R\R par :
g(x)=2x+2cos(x)+1g(x)=-2 x+2 \cos (x)+1.

1. Montrer que la fonction gg est strictement décroissante sur R\R.


2. Montrer que sur [0 ;π2]\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right], l’équation g(x)=0g(x)=0 admet une unique solution α\alpha et encadrer α\alpha au dixième.


3. En déduire le signe de g(x)g(x) sur R\R.
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102
[Représenter, Chercher.]
À tout réel xx de ]0;π2[\left] 0\,; \dfrac{\pi}{2}\right[, on fait correspondre le point M(x)\mathrm{M}(x) du cercle trigonométrique. La perpendiculaire à (OM(x))(\mathrm{OM}(x)) passant par M(x)\mathrm{M}(x) coupe alors respectivement les axes des abscisses et des ordonnées aux points A(x)\mathrm{A}(x) et B(x)\mathrm{B}(x). Dans la suite, g(x)g(x) désigne l’aire du triangle OA(x)B(x)\mathrm{OA}(x) \mathrm{B}(x).

1. Faire une figure complète pour x=π6x=\dfrac{\pi}{6}.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2. Déterminer les coordonnées du point A(x)\mathrm{A}(x) en fonction de xx.


Aide
On pourra utiliser le produit scalaire.


3. En admettant que OB(x)=1sin(x)\mathrm{OB}(x)=\dfrac{1}{\sin (x)}, montrer que g(x)=1sin(2x)g(x)=\dfrac{1}{\sin (2 x)}.


4. Déterminer xx pour que g(x)g(x) soit minimale et déterminer cette aire.
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103
[Modéliser, Calculer.]
Un jardinier souhaite apposer à sa maison un abri pour ses outils. Il en a déjà dessiné un plan qui a la forme d’un trapèze isocèle comme l’illustre la figure ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 103

Il cherche l’angle θ\theta qui permettrait de maximiser la surface au sol à l’aide du calcul formel.

1. Montrer que l’aire de la figure peut s’exprimer par une fonction ff définie sur ]0 ;π2[\left] 0~; \dfrac{\pi}{2}\right[ par f(x)=4cos(x)(1+sin(x))f(x)=4 \cos (x)(1+\sin (x))xx est une mesure de l’angle θ\theta étudié.


2. Montrer que ff est dérivable sur son intervalle de définition et que, pour tout x]0 ;π2[x \in\left] 0~; \dfrac{\pi}{2}\right[, on a f(x)=8sin2(x)4sin(x)+4f^{\prime}(x)=-8 \sin ^{2}(x)-4 \sin (x)+4.


3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - exercice 103

En déduire le tableau de variations de ff sur ]0 ;π2[\left] 0~; \dfrac{\pi}{2}\right[.

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4. Conclure.
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104
APPROFONDISSEMENT
[Calculer, Raisonner.]
La fonction tangente est la fonction ff définie pour tout réel xx tel que cos(x)0\cos (x) \neq 0 par :
f(x)=tan(x)=sin(x)cos(x)f(x)=\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}.

1. Pour quelles valeurs de xx de l’intervalle [2π ;2π][-2 \pi~; 2 \pi] la fonction ff n’est‑elle pas définie ?


Compléter le tableau de valeurs suivant.

a\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{a}} 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} 5π6\dfrac{5\pi}{6}
tana\boldsymbol{\textcolor{#ffffff}{\tan a}}

2. Déterminer la limite de tan(x)\tan (x) lorsque xx tend vers π2\dfrac{\pi}{2} en lui étant inférieur.


3. Montrer que ff est à la fois impaire et périodique de période π\pi.


4. Justifier que l’on peut réduire l’étude de ff à l’intervalle [0 ;π2[\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right[.


5. Montrer que ff est dérivable sur [0 ;π2[\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right[ et que sa fonction dérivée ff' est définie, pour tout x[0 ;π2[x \in\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right[, par f(x)=1cos2(x)f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{\cos ^{2}(x)}.


6. Déterminer les variations de ff sur [0 ;π2[\left[0~; \dfrac{\pi}{2}\right[.


7. Construire le tableau de variations de ff sur [π ;π]Df[-\pi~; \pi] \cap \mathcal{D}_{f}Df\mathcal{D}_{f} est l’ensemble de définition de ff.

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105
MATHS EXPERTES
[Chercher, Communiquer.]
Soient aa et bb deux entiers naturels non nuls.
Quelle est la plus petite période de la fonction ff définie sur R\R par f(x)=cos(ax)+sin(bx)f(x)=\cos (a x)+\sin (b x) ?
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ;  ;  ;   à  ;  ;  ;  ;   à  ;  et   p. 432

Le Grand Oral

Choisir une problématique


Exemple de sujet : Les équations différentielles du deuxième ordre


Méthode

Une fois que vous avez choisi (p. 53) et cadré (p. 83) votre sujet, vous devez le formuler sous la forme d’une question que vous allez essayer de résoudre.

La façon dont vous allez formuler votre sujet va indiquer l’angle sous lequel vous avez choisi de le traiter.

Qu’est‑ce qu’une bonne problématique ?
  • une question à laquelle on ne peut répondre par oui ou par non, la réponse n’est pas évidente ;
  • une question qui n’est ni trop large ni trop précise : l’angle choisi doit vous permettre de traiter les principaux aspects du sujet ;
  • une question qui fait éventuellement écho à des préoccupations actuelles.

Votre problématique peut être amenée à évoluer au fil de vos recherches, c’est normal !

Exemples de problématiques sur ce sujet

Comment résoudre une équation différentielle du deuxième ordre ?
Cette problématique est trop vague, il sera difficile de répondre à cette question en 5 minutes.

Comment résoudre l’équation différentielle y=2y\boldsymbol{y''= -2y} ?
Cette problématique est trop précise. À part présenter la solution, il n’y a pas beaucoup d’autres enjeux.

Comment les fonctions trigonométriques permettentelles de construire les solutions d’une équation différentielle du deuxième ordre ?
Ceci pourrait constituer une problématique intéressante car elle permet d’aborder les dérivées des fonctions trigonométriques ainsi que la construction d’une solution. D’autres problématiques sont évidemment possibles.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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