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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Synthèse
Exercices de synthèse
99
[Représenter, Raisonner.]
Soit f la fonction définie sur R par :
f(x)=2cos(π3x)−3sin2(π4x)+1.
1. Uniquement à l'aide de la calculatrice et sans justifier :
a. préciser si f(0)=−2 ;
b. préciser si f(6π2)=4−5 ;
c. préciser si f est paire ou impaire ;
d. préciser si f est périodique de période 2π ;
e. déterminer le nombre de solutions sur [−2π;2π] de l'équation f(x)=0 ;
f. déterminer la limite éventuelle de f(x) en +∞ ;
g. préciser si f′(0)=0 ;
h. préciser si f′(6π2)=π−12.
2. Préciser si sa dérivée f′ est définie sur R par f′(x)=π−6sin(π3x)−π12sin(π8x).
100
[Calculer, Chercher.]
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=2cos(2x)−1.
1. Résoudre dans R l'équation f(x)=0.
2. Déterminer la plus petite période T de f.
3. Montrer qu'il est possible de restreindre l'étude de f à [0;2π].
4. Démontrer que sur [0;2π], f′(x)⩽0.
5. Construire le tableau de variations de f sur [−π;π].
Dessinez ici
101
Devoir maison
[Chercher, Raisonner.]
Partie A
La courbe suivante représente sur [−π;π] la fonction f définie par f(x)=ax+bcos(x)+c.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Déterminer les réels a, b et c, sachant que la tangente à la courbe au point A d'abscisse 2−π est horizontale et que celle au point B de coordonnées (0;3) a pour coefficient directeur −2.
Partie B
Soit g la fonction définie sur R par :
g(x)=−2x+2cos(x)+1.
1. Montrer que la fonction g est strictement décroissante sur R.
2. Montrer que sur [0;2π], l'équation g(x)=0 admet une unique solution α et encadrer α au dixième.
3. En déduire le signe de g(x) sur R.
102
[Représenter, Chercher.]
À tout réel x de ]0;2π[, on fait correspondre le point M(x) du cercle trigonométrique. La perpendiculaire à (OM(x)) passant par M(x) coupe alors respectivement les axes des abscisses et des ordonnées aux points A(x) et B(x). Dans la suite, g(x) désigne l'aire du triangle OA(x)B(x).
1. Faire une figure complète pour x=6π.
GeoGebra
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2. Déterminer les coordonnées du point A(x) en fonction de x.
On pourra utiliser le produit scalaire.
Aide
3. En admettant que OB(x)=sin(x)1, montrer que g(x)=sin(2x)1.
4. Déterminer x pour que g(x) soit minimale et déterminer cette aire.
103
[Modéliser, Calculer.]
Un jardinier souhaite apposer à sa maison un abri pour ses outils. Il en a déjà dessiné un plan qui a la forme d'un trapèze isocèle comme l'illustre la figure ci‑après.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Il cherche l'angle θ qui permettrait de maximiser la surface au sol à l'aide du calcul formel.
1. Montrer que l'aire de la figure peut s'exprimer par une fonction f définie sur ]0;2π[ par f(x)=4cos(x)(1+sin(x)) où x est une mesure de l'angle θ étudié.
2. Montrer que f est dérivable sur son intervalle de définition et que, pour tout x∈]0;2π[, on a f′(x)=−8sin2(x)−4sin(x)+4.
3. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :
Le zoom est accessible dans la version Premium.
En déduire le tableau de variations de f sur ]0;2π[.
Dessinez ici
4. Conclure.
104
Approfondissement
[Calculer, Raisonner.]
La fonction tangente est la fonction f définie pour tout réel x tel que cos(x)=0 par :
f(x)=tan(x)=cos(x)sin(x).
1. Pour quelles valeurs de x de l'intervalle [−2π;2π] la fonction f n'est‑elle pas définie ?
Compléter le tableau de valeurs suivant.
a
0
6π
4π
3π
65π
tana
2. Déterminer la limite de tan(x) lorsque x tend vers 2π en lui étant inférieur.
3. Montrer que f est à la fois impaire et périodique de période π.
4. Justifier que l'on peut réduire l'étude de f à l'intervalle [0;2π[.
5. Montrer que f est dérivable sur [0;2π[ et que sa fonction dérivée f′ est définie, pour tout x∈[0;2π[, par f′(x)=cos2(x)1.
6. Déterminer les variations de f sur [0;2π[.
7. Construire le tableau de variations de f sur [−π;π]∩Df où Df est l'ensemble de définition de f.
Dessinez ici
105
Maths expertes
[Chercher, Communiquer.]
Soient a et b deux entiers naturels non nuls.
Quelle est la plus petite période de la fonction f définie sur R par f(x)=cos(ax)+sin(bx) ?
) votre sujet, vous devez le formuler sous la forme d'une question que vous allez essayer de résoudre.
❯
La façon dont vous allez formuler votre sujet va indiquer l'angle sous lequel vous avez choisi de le traiter.
❯
Qu'est‑ce qu'une bonne problématique ?
une question à laquelle on ne peut répondre par oui ou par non, la réponse n'est pas évidente ;
une question qui n'est ni trop large ni trop précise : l'angle choisi doit vous permettre de traiter les principaux aspects du sujet ;
une question qui fait éventuellement écho à des préoccupations actuelles.
❯
Votre problématique peut être amenée à évoluer au fil de vos recherches, c'est normal !
Exemples de problématiques sur ce sujet
❯Comment résoudre une équation différentielle du deuxième ordre ?
Cette problématique est trop vague, il sera difficile de répondre à cette question en 5 minutes.
❯Comment résoudre l'équation différentielle y′′=−2y ?
Cette problématique est trop précise. À part présenter la solution, il n'y a pas beaucoup d'autres enjeux.
❯Comment les fonctions trigonométriques permettentelles de construire les solutions d'une équation différentielle du deuxième ordre ?
Ceci pourrait constituer une problématique intéressante car elle permet d'aborder les dérivées des fonctions trigonométriques ainsi que la construction d'une solution. D'autres problématiques sont évidemment possibles.