Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 10

Primitives - Équations différentielles

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Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - ouverture

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Crédits : Glasshouse Images / Alamy

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Capacités attendues

1. Définir une primitive d'une fonction continue

f

à l'aide d'une équation différentielle

y^{'} = f

.
2. Calculer une primitive à l'aide des primitives des fonctions de référence et des fonctions de la forme

u^{'} \times (v^{'} \circ u)

.
3. Résoudre les équations différentielles de la forme

y^{'} = a y + b

, où

a

b

sont des réels tels que

a \neq = 0

.
4. Déterminer, à partir d'une solution particulière, toutes les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = a y + f

, où

a

est un réel.

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En 1998, grâce à la datation au carbone 14 (ou datation par comptage du carbone 14 résiduel) sur un fragment de baguette en bois de renne, les peintures ornant les parois de la grotte de Lascaux, située à Montignac, en Dordogne, ont pu être estimées à environ -18 600 ans. Cette technique de datation nécessite de résoudre une équation différentielle. La grotte de Lascaux a été inscrite aux monuments historiques en 1940 et en 1962 et au patrimoine mondial de l'UNESCO en 1979.

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Avant de commencer

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Prérequis

1. Connaître les dérivées des fonctions de référence.
2. Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une fonction de la forme

x \mapsto g (a x + b)

.
3. Connaître les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
4. Connaître la dérivée d'une composée

v \circ u

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Anecdote

Certaines solutions d'équations différentielles sont difficiles à expliciter mais peuvent être représentées graphiquement. Voici une représentation de certaines solutions de l'équation différentielle

y^{'} = sin (x^{2} y)

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1
Dériver des fonctions de référence

Soient

f

g

h

k

ℓ

, des fonctions définies respectivement par

f (x) = 2 x - 3

g (x) = x^{2}

h (x) = x

k (x) = \frac{1}{x}

ℓ (x) = e^{x}

Pour chacune d'entre elles, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.

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2
Dériver une somme

Soit

f

la fonction définie par

f (x) = x^{2} + \frac{1}{x}

Déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.

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3
Dériver un produit

Soit

g

la fonction définie par

g (x) = x (3 x + 2)

Déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.

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4
Dériver un quotient

Soient

h

k

les fonctions définies respectivement par

h (x) = \frac{1}{x ^{3}}

k (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x ^{2} + 1}

Pour chacune d'entre elles, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.

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5
Dériver une fonction de la forme $x \mapsto g (a x + b)$ .

Soient

u

v

les fonctions définies respectivement par

u (x) = (2 - 3 x)^{4}

v (x) = 1 - 2 x

Pour chacune d'entre elles, déterminer son ensemble de définition et, sans étudier son ensemble de dérivabilité, sa fonction dérivée.

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6
Utiliser les propriétés de l'exponentielle

Écrire les expressions suivantes, où

x \in R

, sous la forme d'une seule exponentielle.

f (x) = e^{3 x + 2} \times e^{- 4 x}

g (x) = \frac{e ^{5 x + 2}}{e ^{2}}

h (x) = (e^{x + 1})^{2} \times e^{- 2 x}

k (x) = \frac{e ^{3 x + 1}}{e ^{2 x - 1} \times e ^{2}}

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7
Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = x e^{- 2 x} .

Démontrer que pour tout réel

x

f^{'} (x) + 2 f (x) = e^{- 2 x} .

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8
Dériver une composée

Soient

u

v

w

les fonctions définies respectivement par

u (x) = x^{2} + x + 1

v (x) = (x^{2} + x + 1)^{4}

w (x) = e^{x^{2} + x + 1}

Déterminer l'ensemble de définition de chacune de ces fonctions et, sans étudier leur ensemble de dérivabilité, l'expression de leur fonction dérivée.

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9
Problème

On considère les fonctions

f

g

définies respectivement sur

R

par

f (x) = e^{2 x}

g (x) = - e^{1 - 2 x}

.
On appelle respectivement

C_{f}

C_{g}

leur courbe représentative dans un repère du plan.

1. Justifier que

f

g

sont dérivables sur

R

et déterminer leur fonction dérivée.

2. a. Résoudre dans

R

l'équation

e^{2 x} = e^{1 - 2 x}

b. Que peut‑on en déduire pour les courbes

C_{f}

C_{g}

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