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Primitives - Équations différentielles
P.284-285
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Chapitre 10


Primitives - Équations différentielles





Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - ouverture

En 1998, grâce à la datation au carbone 14 (ou datation par comptage du carbone 14 résiduel) sur un fragment de baguette en bois de renne, les peintures ornant les parois de la grotte de Lascaux, située à Montignac, en Dordogne, ont pu être estimées à environ -18 600 ans. Cette technique de datation nécessite de résoudre une équation différentielle.
La grotte de Lascaux a été inscrite aux monuments historiques en 1940 et en 1962 et au patrimoine mondial de l’UNESCO en 1979.

Capacités attendues - chapitre 10

1. Définir une primitive d’une fonction continue ff à l’aide d’une équation différentielle y′=fy' = f.

2. Calculer une primitive à l’aide des primitives des fonctions de référence et des fonctions de la forme u′×(v′∘u)u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

3. Résoudre les équations différentielles de la forme y′=ay+by^{\prime}=a y+b, où aa et b b sont des réels tels que a≠0a \neq 0.

4. Déterminer, à partir d’une solution particulière, toutes les solutions de l’équation différentielle y′=ay+fy^{\prime}=a y+f, où aa est un réel.

Avant de commencer

Prérequis

1. Connaître les dérivées des fonctions de référence.
2. Connaître la dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une fonction de la forme x↦g(ax+b)x \mapsto g(a x+b).
3. Connaître les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
4. Connaître la dérivée d’une composée v∘uv \circ u.

1
Dériver des fonctions de référence

Soient ff, gg, hh, kk et ℓ\ell, des fonctions définies respectivement par f(x)=2x−3f(x)=2 x-3, g(x)=x2g(x)=x^{2}, h(x)=xh(x)=\sqrt{x}, k(x)=1xk(x)=\dfrac{1}{x} et ℓ(x)=ex\ell(x)=\mathrm{e}^{x}.
Pour chacune d’entre elles, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.
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2
Dériver une somme

Soit ff la fonction définie par f(x)=x2+1xf(x)=x^{2}+\dfrac{1}{x}.
Déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.
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3
Dériver un produit

Soit gg la fonction définie par g(x)=x(3x+2)g(x)=\sqrt{x}(3 x+2).
Déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.
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4
Dériver un quotient

Soient hh et kk les fonctions définies respectivement par h(x)=1x3h(x)=\dfrac{1}{x^{3}} et k(x)=x2+x+1x2+1k(x)=\dfrac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}.
Pour chacune d’entre elles, déterminer son ensemble de définition, son ensemble de dérivabilité et sa fonction dérivée.
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5
Dériver une fonction de la forme x↦g(ax+b)\boldsymbol{x \mapsto g(a x+b)}.

Soient uu et vv les fonctions définies respectivement par u(x)=(2−3x)4u(x)=(2-3 x)^{4} et v(x)=1−2xv(x)=\sqrt{1-2 x}.
Pour chacune d’entre elles, déterminer son ensemble de définition et, sans étudier son ensemble de dérivabilité, sa fonction dérivée.
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6
Utiliser les propriétés de l’exponentielle

Écrire les expressions suivantes, où x∈Rx \in \R, sous la forme d’une seule exponentielle.

1. f(x)=e3x+2×e−4xf(x)=\mathrm{e}^{3 x+2} \times \mathrm{e}^{-4 x}


2. g(x)=e5x+2e2g(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{5 x+2}}{\mathrm{e}^{2}}


3. h(x)=(ex+1)2×e−2xh(x)=\left(\mathrm{e}^{x+1}\right)^{2} \times \mathrm{e}^{-2 x}


4. k(x)=e3x+1e2x−1×e2k(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{3 x+1}}{\mathrm{e}^{2 x-1} \times \mathrm{e}^{2}}
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7
Utiliser les propriétés de la fonction exponentielle

Soitf f la fonction définie sur R\R par f(x)=xe−2xf(x)=x \mathrm{e}^{-2 x}.
Démontrer que pour tout réel xx :
f′(x)+2f(x)=e−2xf^{\prime}(x)+2 f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}.
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8
Dériver une composée

Soient uu, vv et ww les fonctions définies respectivement par u(x)=x2+x+1u(x)=\sqrt{x^{2}+x+1}, v(x)=(x2+x+1)4v(x)=\left(x^{2}+x+1\right)^{4} et w(x)=ex2+x+1w(x)=\mathrm{e}^{x^{2}+x+1}.
Déterminer l’ensemble de définition de chacune de ces fonctions et, sans étudier leur ensemble de dérivabilité, l’expression de leur fonction dérivée.
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9
Problème

On considère les fonctions ff et gg définies respectivement sur R\R par f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{2 x} et g(x)=−e1−2xg(x)=-\mathrm{e}^{1-2 x}.
On appelle respectivement Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g leur courbe représentative dans un repère du plan.

1. Justifier que ff et gg sont dérivables sur R\R et déterminer leur fonction dérivée.


2. a. Résoudre dans R\R l’équation e2x=e1−2x\mathrm{e}^{2 x}=\mathrm{e}^{1-2 x}.


b. Que peut‑on en déduire pour les courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g ? Justifier.
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Anecdote

Certaines solutions d’équations différentielles sont difficiles à expliciter mais peuvent être représentées graphiquement.
Voici une représentation de certaines solutions de l’équation différentielle y′=sin⁡(x2y)y^{\prime}=\sin \left(x^{2} y\right).

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