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P.286-287

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A
Un nouveau type d’équation


Objectif

Découvrir le principe d’une équation différentielle.

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1
On considère la fonction ff définie sur R\R par f(x)=3e2xf(x)=3 \mathrm{e}^{2 x}. Justifier que ff vérifie l’égalité f2f=0f^{\prime}-2 f=0.


2
Parmi les fonctions suivantes, définies et dérivables sur R\R, lesquelles vérifient l’équation y=4y6y'=4y-6yy est une fonction définie et dérivable sur R\R ? Justifier. Une telle équation est appelée une équation différentielle.

a) f:x3e4x+32f: x \mapsto 3 \mathrm{e}^{4 x}+\dfrac{3}{2}


b) g:x4ex6g: x \mapsto 4 \mathrm{e}^{x}-6


c) h:x5e4x+32h: x \mapsto 5 \mathrm{e}^{4 x}+\dfrac{3}{2}
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Bilan

Comment pourrait‑on définir une équation différentielle ? Y a‑t‑il unicité de la solution ?
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B
Mouvement rectiligne


Objectif

Introduire la notion de primitive d’une fonction.


Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - activité B - Mouvement rectiligne - Train Ouigo

Aide
Partie A : 1. à 3. Convertir les vitesses v0v_0 et v1v_1 en m·s—1 et calculer l’accélération a(t)=v1v0t1t0a(t)=\dfrac{v_{1}-v_{0}}{t_{1}-t_{0}}, puis chercher v(t)v(t) tel que a(t)=v(t)a(t)=v^{\prime}(t) en utilisant v0=v(0)v_{0}=v(0).
On fait de même pour trouver x(t)x(t) avec v(t)=x(t)v(t)=x^{\prime}(t) en utilisant x(0)=0x(0)=0.
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On rappelle que, pour un mouvement rectiligne décrit en fonction du temps tt par la fonction x:tx(t)x: t \mapsto x(t), la vitesse instantanée de l’objet est donnée par v(t)=x(t)v(t)=x^{\prime}(t) et son accélération instantanée est donnée par a(t)=v(t)a(t)=v^{\prime}(t).

Partie A : Phase d’accélération

Le TGV Paris-Genève part de la gare Paris-Gare de Lyon. Quelques instants après son départ, sa vitesse passe de 61,261,2 km·h–1t=0t = 0) à 244,8244,8 km·h–1 en 150150 secondes avec une accélération constante.

1
Montrer que l’accélération de ce TGV durant ces 150150 secondes est égale à 0,340,34 m·s–2.
Aide
Comme pour la partie A, on utilisera v(t)=a(t)v^{\prime}(t)=a(t).



2
Déterminer la vitesse v(t)v(t) de ce TGV en m·s–1 en fonction du temps tt sachant que, pour tout t[0 ;150]t \in[0~; 150], v(t)=a(t)=v^{\prime}(t)=a(t)= 0,340,34 m·s–2.


3
En utilisant le fait que x(t)=v(t)x^{\prime}(t)=v(t), exprimer x(t)x(t) en fonction de tt.


4
Quelle distance, en mètre, ce TGV a‑t‑il parcourue pendant ces 150 secondes ?


Partie B : Phase de freinage

Le TGV Paris-Genève a atteint sa vitesse maximale de 302,4 302,4 km·h–1, soit 8484 m·s–1 et il doit freiner pour arriver en gare. Son accélération est alors négative et constante. On suppose donc à présent que, pour tout t0t \geqslant 0, a(t)=0,75a(t)=-0{,}75 m·s–2 (on parle de décélération).
On prend t=0t = 0 (en seconde) à l’instant où débute le freinage.

1
Justifier que la vitesse du TGV à ce moment du voyage est définie en fonction du temps tt par v(t)=0,75t+84v(t)=-0,75 t+84. En déduire la durée au bout de laquelle le train sera à l’arrêt.


2
Exprimer, à ce moment du voyage, x(t)x(t) en fonction de tt.


3
Déterminer sur quelle distance, en mètre, le train a freiné avant son arrêt complet.
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Bilan

La démarche utilisée dans cette activité permet de trouver une fonction dont on connaît la dérivée. C’est ce qu’on appelle une recherche de primitives.

1. Donner une primitive sur R\R d’une fonction constante ta\boldsymbol{t \mapsto a}a\boldsymbol{a} est un réel.


2. Donner une primitive sur R\R d’une fonction affine tmt+p\boldsymbol{t \mapsto mt + p}m\boldsymbol{m} et p\boldsymbol{p} sont des réels.
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C
Circuit électrique RL


Objectif

Résoudre une équation différentielle de la forme x=mx+px'=mx+p.


Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - activité C - Circuit électrique RL
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Un circuit électrique contenant une résistance et une bobine est appelé un circuit RL. Lorsque ces deux éléments sont branchés en série et qu’on applique une tension constante U\text{U} (en volt) aux bornes de ce circuit, l’intensité (en ampère) en fonction du temps dans le circuit, notée i(t)i(t), respecte l’équation différentielle suivante, notée (E1):U=L×i(t)+R×i(t)\left(\mathrm{E}_{1}\right): \mathrm{U}=\mathrm{L} \times i^{\prime}(t)+\mathrm{R} \times i(t), où L\text{L} est l’inductance de la bobine (en henry) et R\text{R} la résistance (en ohm). L\text{L} et R\text{R} sont constantes et non nulles.
On cherche à déterminer l’intensité du courant dans un tel circuit en fonction du temps tt (en seconde).

1
Justifier que l’équation (E1)(\mathrm{E}_{1}) peut s’écrire sous la forme x=mx+px'=mx+pmm et pp sont des constantes dont on précisera l’expression en fonction de R\text{R}, U\text{U} et L\text{L}.


2
Montrer que l’équation différentielle (E1)(\mathrm{E}_{1}) peut s’écrire sous la forme i(t)=RL(i(t)UR)i^{\prime}(t)=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}\left(i(t)-\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}\right).


3
Afin de résoudre cette équation différentielle, on définit une fonction yy en posant y(t)=i(t)URy(t)=i(t)-\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}.

a) Exprimer y(t)y'(t) en fonction de i(t)i'(t).


Aide
On rappelle que U\text{U}, R\text{R} et L\text{L} sont des constantes.


b) Montrer que cette fonction yy vérifie l’équation différentielle y(t)=RLy(t)y^{\prime}(t)=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} y(t) que l’on note (E2)(\mathrm{E}_{2}).
Cette équation différentielle est de la forme y=ayy'=ay (avec a=RLa=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}).


4
Les équations différentielles (E1)(\mathrm{E}_{1}) et (E2)(\mathrm{E}_{2}), bien qu’écrites sous deux formes différentes, sont équivalentes. Trouver une solution de (E2)(\mathrm{E}_{2}) permettra donc de trouver une solution de (E1)(\mathrm{E}_{1}).

a) Résoudre l’équation différentielle (E2)(\mathrm{E}_{2}).


b) Déduire des questions précédentes que l’intensité du courant dans le circuit en fonction du temps peut s’écrire i(t)=UR+c×eRLti(t)=\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}+c \times \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} t}}cc est une constante.


5
On suppose que i(0)=0i(0)=0. En utilisant cette condition, exprimer la valeur de la constante cc en fonction de U\text{U} et R\text{R}.


6
En déduire que l’intensité du courant en fonction du temps dans ce circuit vaut i(t)=UR(1eRLt)i(t)=\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} t}}\right).


7
Réciproquement, vérifier que la fonction ii vérifie à la fois l’équation différentielle et la condition i(0)=0i(0)=0 appelée condition initiale.
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Bilan

Expliquer comment il est possible de se ramener à une équation différentielle de la forme y=ay\boldsymbol{y'=ay} pour résoudre une équation différentielle de la forme x=mx+p\boldsymbol{x'=mx+p}.
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Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - Leibnitz

Histoire des maths

La notation contemporaine utilisée en mathématiques en France pour la fonction dérivée de la fonction ff est ff'. Elle est due au mathématicien français Joseph‑Louis Lagrange qui introduit également le mot « dérivée ». Newton parle de la méthode des fluxions et utilise la notation x˙\dot{x} pour signaler une dérivée. Leibnitz, quant à lui, introduit la notation utilisée de nos jours en physique dx\mathrm{d}x. La lettre d\mathrm{d} symbolise une quantité différentielle.
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