Activités

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3 \mathrm{e}^{2 x}$. Justifier que $f$ vérifie l’égalité $f^{\prime}-2 f=0$.


Parmi les fonctions suivantes, définies et dérivables sur $\R$, lesquelles vérifient l’équation $y'=4y-6$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$ ? Justifier. Une telle équation est appelée une équation différentielle.

a) $f: x \mapsto 3 \mathrm{e}^{4 x}+\dfrac{3}{2}$


b) $g: x \mapsto 4 \mathrm{e}^{x}-6$


c) $h: x \mapsto 5 \mathrm{e}^{4 x}+\dfrac{3}{2}$

On rappelle que, pour un mouvement rectiligne décrit en fonction du temps $t$ par la fonction $x: t \mapsto x(t)$, la vitesse instantanée de l’objet est donnée par $v(t)=x^{\prime}(t)$ et son accélération instantanée est donnée par $a(t)=v^{\prime}(t)$.

Partie A : Phase d’accélération

Le TGV Paris-Genève part de la gare Paris-Gare de Lyon. Quelques instants après son départ, sa vitesse passe de $61,2$ km·h^–1 (à $t = 0$) à $244,8$ km·h^–1 en $150$ secondes avec une accélération constante.

Montrer que l’accélération de ce TGV durant ces $150$ secondes est égale à $0,34$ m·s^–2.



Déterminer la vitesse $v(t)$ de ce TGV en m·s^–1 en fonction du temps $t$ sachant que, pour tout $t \in[0~; 150]$, $v^{\prime}(t)=a(t)=$ $0,34$ m·s^–2.


En utilisant le fait que $x^{\prime}(t)=v(t)$, exprimer $x(t)$ en fonction de $t$.


Quelle distance, en mètre, ce TGV a‑t‑il parcourue pendant ces 150 secondes ?

Partie B : Phase de freinage

Le TGV Paris-Genève a atteint sa vitesse maximale de $302,4$km·h^–1, soit $84$ m·s^–1 et il doit freiner pour arriver en gare. Son accélération est alors négative et constante. On suppose donc à présent que, pour tout $t \geqslant 0$, $a(t)=-0{,}75$ m·s^–2 (on parle de décélération).
On prend $t = 0$ (en seconde) à l’instant où débute le freinage.

Justifier que la vitesse du TGV à ce moment du voyage est définie en fonction du temps $t$ par $v(t)=-0,75 t+84$. En déduire la durée au bout de laquelle le train sera à l’arrêt.


Exprimer, à ce moment du voyage, $x(t)$ en fonction de $t$.


Déterminer sur quelle distance, en mètre, le train a freiné avant son arrêt complet.

Un circuit électrique contenant une résistance et une bobine est appelé un circuit RL. Lorsque ces deux éléments sont branchés en série et qu’on applique une tension constante $\text{U}$ (en volt) aux bornes de ce circuit, l’intensité (en ampère) en fonction du temps dans le circuit, notée $i(t)$, respecte l’équation différentielle suivante, notée $\left(\mathrm{E}_{1}\right): \mathrm{U}=\mathrm{L} \times i^{\prime}(t)+\mathrm{R} \times i(t)$, où $\text{L}$ est l’inductance de la bobine (en henry) et $\text{R}$ la résistance (en ohm). $\text{L}$ et $\text{R}$ sont constantes et non nulles.
On cherche à déterminer l’intensité du courant dans un tel circuit en fonction du temps $t$ (en seconde).

Justifier que l’équation $(\mathrm{E}_{1})$ peut s’écrire sous la forme $x'=mx+p$ où $m$ et $p$ sont des constantes dont on précisera l’expression en fonction de $\text{R}$, $\text{U}$ et $\text{L}$.


Montrer que l’équation différentielle $(\mathrm{E}_{1})$ peut s’écrire sous la forme $i^{\prime}(t)=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}\left(i(t)-\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}\right)$.


Afin de résoudre cette équation différentielle, on définit une fonction $y$ en posant $y(t)=i(t)-\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}$.

a) Exprimer $y'(t)$ en fonction de $i'(t)$.




b) Montrer que cette fonction $y$ vérifie l’équation différentielle $y^{\prime}(t)=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} y(t)$ que l’on note $(\mathrm{E}_{2})$.
Cette équation différentielle est de la forme $y'=ay$ (avec $a=-\dfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}}$).


Les équations différentielles $(\mathrm{E}_{1})$ et $(\mathrm{E}_{2})$, bien qu’écrites sous deux formes différentes, sont équivalentes. Trouver une solution de $(\mathrm{E}_{2})$ permettra donc de trouver une solution de $(\mathrm{E}_{1})$.

a) Résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}_{2})$.


b) Déduire des questions précédentes que l’intensité du courant dans le circuit en fonction du temps peut s’écrire $i(t)=\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}+c \times \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} t}}$ où $c$ est une constante.


On suppose que $i(0)=0$. En utilisant cette condition, exprimer la valeur de la constante $c$ en fonction de $\text{U}$ et $\text{R}$.


En déduire que l’intensité du courant en fonction du temps dans ce circuit vaut $i(t)=\dfrac{\mathrm{U}}{\mathrm{R}}\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{\mathrm{R}}{\mathrm{L}} t}}\right)$.


Réciproquement, vérifier que la fonction $i$ vérifie à la fois l’équation différentielle et la condition $i(0)=0$ appelée condition initiale.