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P.286-287

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A
Un nouveau type d’équation


Objectif

Découvrir le principe d’une équation différentielle.

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1
On considère la fonction définie sur par . Justifier que vérifie l’égalité .


2
Parmi les fonctions suivantes, définies et dérivables sur , lesquelles vérifient l’équation est une fonction définie et dérivable sur  ? Justifier. Une telle équation est appelée une équation différentielle.

a)


b)


c)
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Bilan

Comment pourrait‑on définir une équation différentielle ? Y a‑t‑il unicité de la solution ?
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B
Mouvement rectiligne


Objectif

Introduire la notion de primitive d’une fonction.


Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - activité B - Mouvement rectiligne - Train Ouigo

Aide
Partie A : 1. à 3. Convertir les vitesses et en m·s—1 et calculer l’accélération , puis chercher tel que en utilisant .
On fait de même pour trouver avec en utilisant .
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On rappelle que, pour un mouvement rectiligne décrit en fonction du temps par la fonction , la vitesse instantanée de l’objet est donnée par et son accélération instantanée est donnée par .

Partie A : Phase d’accélération

Le TGV Paris-Genève part de la gare Paris-Gare de Lyon. Quelques instants après son départ, sa vitesse passe de km·h–1) à km·h–1 en secondes avec une accélération constante.

1
Montrer que l’accélération de ce TGV durant ces secondes est égale à m·s–2.
Aide
Comme pour la partie A, on utilisera .



2
Déterminer la vitesse de ce TGV en m·s–1 en fonction du temps sachant que, pour tout , m·s–2.


3
En utilisant le fait que , exprimer en fonction de .


4
Quelle distance, en mètre, ce TGV a‑t‑il parcourue pendant ces 150 secondes ?


Partie B : Phase de freinage

Le TGV Paris-Genève a atteint sa vitesse maximale de km·h–1, soit m·s–1 et il doit freiner pour arriver en gare. Son accélération est alors négative et constante. On suppose donc à présent que, pour tout ,  m·s–2 (on parle de décélération).
On prend (en seconde) à l’instant où débute le freinage.

1
Justifier que la vitesse du TGV à ce moment du voyage est définie en fonction du temps par . En déduire la durée au bout de laquelle le train sera à l’arrêt.


2
Exprimer, à ce moment du voyage, en fonction de .


3
Déterminer sur quelle distance, en mètre, le train a freiné avant son arrêt complet.
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Bilan

La démarche utilisée dans cette activité permet de trouver une fonction dont on connaît la dérivée. C’est ce qu’on appelle une recherche de primitives.

1. Donner une primitive sur d’une fonction constante est un réel.


2. Donner une primitive sur d’une fonction affine et sont des réels.
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C
Circuit électrique RL


Objectif

Résoudre une équation différentielle de la forme .


Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - activité C - Circuit électrique RL
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Un circuit électrique contenant une résistance et une bobine est appelé un circuit RL. Lorsque ces deux éléments sont branchés en série et qu’on applique une tension constante (en volt) aux bornes de ce circuit, l’intensité (en ampère) en fonction du temps dans le circuit, notée , respecte l’équation différentielle suivante, notée , où est l’inductance de la bobine (en henry) et la résistance (en ohm). et sont constantes et non nulles.
On cherche à déterminer l’intensité du courant dans un tel circuit en fonction du temps (en seconde).

1
Justifier que l’équation peut s’écrire sous la forme et sont des constantes dont on précisera l’expression en fonction de , et .


2
Montrer que l’équation différentielle peut s’écrire sous la forme .


3
Afin de résoudre cette équation différentielle, on définit une fonction en posant .

a) Exprimer en fonction de .


Aide
On rappelle que , et sont des constantes.


b) Montrer que cette fonction vérifie l’équation différentielle que l’on note .
Cette équation différentielle est de la forme (avec ).


4
Les équations différentielles et , bien qu’écrites sous deux formes différentes, sont équivalentes. Trouver une solution de permettra donc de trouver une solution de .

a) Résoudre l’équation différentielle .


b) Déduire des questions précédentes que l’intensité du courant dans le circuit en fonction du temps peut s’écrire est une constante.


5
On suppose que . En utilisant cette condition, exprimer la valeur de la constante en fonction de et .


6
En déduire que l’intensité du courant en fonction du temps dans ce circuit vaut .


7
Réciproquement, vérifier que la fonction vérifie à la fois l’équation différentielle et la condition appelée condition initiale.
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Bilan

Expliquer comment il est possible de se ramener à une équation différentielle de la forme pour résoudre une équation différentielle de la forme .
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Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - Leibnitz

Histoire des maths

La notation contemporaine utilisée en mathématiques en France pour la fonction dérivée de la fonction est . Elle est due au mathématicien français Joseph‑Louis Lagrange qui introduit également le mot « dérivée ». Newton parle de la méthode des fluxions et utilise la notation pour signaler une dérivée. Leibnitz, quant à lui, introduit la notation utilisée de nos jours en physique . La lettre symbolise une quantité différentielle.
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