Un circuit électrique contenant une résistance et une bobine est appelé un circuit RL. Lorsque ces deux éléments sont branchés en série et qu’on applique une tension constante
U (en volt) aux bornes de ce circuit, l’intensité (en ampère) en fonction du temps dans le circuit, notée
i(t), respecte l’équation différentielle suivante, notée
(E1):U=L×i′(t)+R×i(t), où
L est l’inductance de la bobine (en henry) et
R la résistance (en ohm).
L et
R sont constantes et non nulles.
On cherche à déterminer l’intensité du courant dans un tel circuit en fonction du temps
t (en seconde).
Justifier que l’équation
(E1) peut s’écrire sous la forme
x′=mx+p où
m et
p sont des constantes dont on précisera l’expression en fonction de
R,
U et
L.
Montrer que l’équation différentielle
(E1) peut s’écrire sous la forme
i′(t)=−LR(i(t)−RU).
Afin de résoudre cette équation différentielle, on définit une fonction
y en posant
y(t)=i(t)−RU.
a) Exprimer
y′(t) en fonction de
i′(t).
On rappelle que U, R et L sont des constantes.
b) Montrer que cette fonction
y vérifie l’équation différentielle
y′(t)=−LRy(t) que l’on note
(E2).
Cette équation différentielle est de la forme
y′=ay (avec
a=−LR).
Les équations différentielles
(E1) et
(E2), bien qu’écrites sous deux formes différentes, sont équivalentes. Trouver une solution de
(E2) permettra donc de trouver une solution de
(E1).
a) Résoudre l’équation différentielle
(E2).
b) Déduire des questions précédentes que l’intensité du courant dans le circuit en fonction du temps peut s’écrire
i(t)=RU+c×e−LRt où
c est une constante.
On suppose que
i(0)=0. En utilisant cette condition, exprimer la valeur de la constante
c en fonction de
U et
R.
En déduire que l’intensité du courant en fonction du temps dans ce circuit vaut
i(t)=RU(1−e−LRt).
Réciproquement, vérifier que la fonction
i vérifie à la fois l’équation différentielle et la condition
i(0)=0 appelée condition initiale.