Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

2. Équations différentielles y'=ay+b et y'=ay+f
P.303-304

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

Entraînement


2
Équations différentielles y=ay+by'=ay+b et y=ay+fy'=ay+f





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

Pour les exercices
91
à 
93

Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.

91
FLASH

Les équations différentielles y=32yy^{\prime}=\dfrac{3}{2} y et 2y+3y=02 y^{\prime}+3 y=0 ont les mêmes solutions.
Voir les réponses

92
FLASH

La fonction constante égale à 00 est solution de toutes les équations y=ay+by^{\prime}=a y+baa et bb sont réels.
Voir les réponses

93
FLASH

La fonction xxx \mapsto x est solution de l’équation différentielle y+y=x+1y^{\prime}+y=x+1.
Voir les réponses

94
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. 3y+2y=03 y^{\prime}+2 y=0


2. 53yy=0\dfrac{5}{3} y^{\prime}-y=0


3. 4y+3y=04 y^{\prime}+3 y=0


4. 2y2y=0\sqrt{2} y^{\prime}-2 y=0
Voir les réponses

95
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. 2y=3y2 y^{\prime}=3 y


2. y=32y-y^{\prime}=\dfrac{3}{2} y


3. 2y=13y-2 y^{\prime}=\dfrac{1}{3} y


4. 5y=5y5 y^{\prime}=\sqrt{5} y
Voir les réponses

Pour les exercices
96
à 
99

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.

96
[Calculer.] ◉◉
1. y3y=0y^{\prime}-3 y=0 et y(0)=2y(0)=2.


2. y+4y=0y^{\prime}+4 y=0 et y(0)=4y(0)=-4.
Voir les réponses

97
[Calculer.]
1. 2y+3y=02 y^{\prime}+3 y=0 et y(2)=1y(2)=1.


2. 5y2y=05 y^{\prime}-2 y=0 et y(5)=ey(5)=\mathrm{e}.
Voir les réponses

98
[Calculer.]
1. 3y+y=0\sqrt{3} y^{\prime}+y=0 et y(3)=1e3y(\sqrt{3})=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{3}}.


2. yπ2y=0y^{\prime}-\pi^{2} y=0 et y(1π)=πy\left(\dfrac{1}{\pi}\right)=\pi.
Voir les réponses

99
[Calculer.]
1. 2y+2y=0\sqrt{2} y^{\prime}+2 y=0 et y(2)=1ey(\sqrt{2})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}.


2. 2πyy=02 \pi y^{\prime}-y=0 et y(π)=2ey(\pi)=-2 \mathrm{e}.
Voir les réponses

100
[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l’équation différentielle (E):y=2y(\mathrm{E}): y^{\prime}=2 y.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 100

Voir les réponses

101
[Raisonner.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel et dont la fonction ff est une solution.

1. f:x3ex2f: x \mapsto-3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{x}{2}}}


2. f:x2e2xf: x \mapsto-\sqrt{2} \mathrm{e}^{\sqrt{2} x}


3. f:x2e32xf: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3-2 x}


4. f:xπeπ+xf: x \mapsto \pi \mathrm{e}^{\pi+x}
Voir les réponses

Pour les exercices
102
à 
105

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

102
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de l’équation y4y=0y'-4y=0 qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0 est la fonction définie sur R\R par xy0+e4(xx0)x \mapsto y_{0}+\mathrm{e}^{4\left(x-x_{0}\right)}.
Voir les réponses

103
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La fonction constante égale à 00 est solution de toutes les équations de la forme y=ayy'=ayaa est un réel.
Voir les réponses

104
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l’équation différentielle y=ayy'=ayaa est un réel strictement positif ont pour limite ++\infty quand xx tend vers ++\infty.
Voir les réponses

105
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Les solutions de l’équation différentielle 3y2y=13 y^{\prime}-2 y=1 sont de la forme Ce12x+23\mathrm{Ce}^{-\normalsize\tfrac{1}{2} x}+\dfrac{2}{3}, où C\text{C} est une constante réelle.
Voir les réponses

Pour les exercices
106
à 
108

Résoudre l’équation différentielle donnée en précisant l’ensemble de définition des solutions.

106
[Calculer.] ◉◉
1. 3y2y+3=03 y^{\prime}-2 y+3=0


2. y+y=2yy+1y^{\prime}+y=2 y^{\prime}-y+1
Voir les réponses

107
[Calculer.]
1. 2y2y=3y22y+22 y^{\prime}-\sqrt{2} y=3 y^{\prime}-2 \sqrt{2} y+\sqrt{2}


2. 4y+3y=5y+33y34 y^{\prime}+\sqrt{3} y=5 y^{\prime}+3 \sqrt{3} y-\sqrt{3}
Voir les réponses

108
[Calculer.]
1. 2y+2πy=yπyπ2 y^{\prime}+2 \pi y=y^{\prime}-\pi y-\pi


2. 2ey+y=eyy+e22 \mathrm{e} y^{\prime}+y=\mathrm{e} y^{\prime}-y+\mathrm{e}^{2}
Voir les réponses

Pour les exercices
109
à 
111

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0.

109
[Calculer.]
1. y2y=1y^{\prime}-2 y=1 ; x0=0x_{0}=0 ; y0=2y_{0}=2


2. 2yy=3y+y12 y^{\prime}-y=3 y^{\prime}+y-1 ; x0=0x_{0}=0 ; y0=1y_{0}=1
Voir les réponses

110
[Calculer.]
1. 3y3y=2y+2y53 y^{\prime}-3 y=2 y^{\prime}+2 y-5 ; x0=15x_{0}=\dfrac{1}{5} ; y0=0y_{0}=0


2. yy=3y+2y+4y-y^{\prime}=3 y^{\prime}+2 y+4 ; x0=4x_{0}=4 ; y0=1y_{0}=1
Voir les réponses

111
[Calculer.]
1. πy2y=2yπy+π\pi y^{\prime}-2 y=2 y-\pi y^{\prime}+\pi ; x0=πx_{0}=\pi ; y0=πy_{0}=\pi


2. ey+2y=y2ey+e\mathrm{e} y^{\prime}+2 y=y-2 \mathrm{e} y^{\prime}+\mathrm{e} ; x0=3ex_{0}=3 \mathrm{e} ; y0=2ey_{0}=2 \mathrm{e}
Voir les réponses

Pour les exercices
112
à 
114

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

112
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La fonction x2e3x13x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3 x}-\dfrac{1}{3} définie sur R\R est solution de y=3y+1y'=3y + 1.
Voir les réponses

113
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de y=ay+by'= ay + b avec aa et bb réels (a0a \neq 0) qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0 est la fonction xy0exp(a(xx0))bax \mapsto y_{0} \exp \left(a\left(x-x_{0}\right)\right)-\dfrac{b}{a} définie sur R\R.
Voir les réponses

114
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de y+y=1y' + y = 1 qui prend la valeur 22 en 00 a pour limite ++\infty en -\infty.
Voir les réponses

Pour les exercices
115
et 
116

Déterminer les solutions de l’équation différentielle en cherchant une solution particulière φ\varphi de la forme indiquée.

115
[Calculer.] ◉◉
1. 2y+y=x+12 y^{\prime}+y=x+1 avec φ(x)=mx+p\varphi(x)=m x+p.


2. y+3y=2x1y^{\prime}+3 y=2 x-1 avec φ(x)=mx+p\varphi(x)=m x+p.


3. y3y=3x2x2y^{\prime}-3 y=-3 x^{2}-x-2 avec φ(x)=ax2+bx+c\varphi(x)=a x^{2}+b x+c.


4. 2y3y=3x2x22 y^{\prime}-3 y=3 x^{2}-x-2 avec φ(x)=ax2+bx+c\varphi(x)=a x^{2}+b x+c.
Voir les réponses

116
[Calculer.] ◉◉◉
1. y+3y=(2+2x)e2xy^{\prime}+3 y=(2+2 x) \mathrm{e}^{-2 x} avec φ(x)=(mx+p)e2x\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{-2 x}.


2. y+y=(32x)exy^{\prime}+y=(3-2 x) \mathrm{e}^{x} avec φ(x)=(mx+p)ex\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{x}.


3. y2y=(3x2+x+2)exy^{\prime}-2 y=-\left(3 x^{2}+x+2\right) \mathrm{e}^{-x} avec φ(x)=(ax2+bx+c)ex\varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}.


4. y+2y=(2x2x+12)e2xy^{\prime}+2 y=-\left(2 x^{2}-x+\dfrac{1}{2}\right) \mathrm{e}^{2 x} avec φ(x)=(ax2+bx+c)e2x\varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2x}.
Voir les réponses

117
GEOGEBRA
[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm3 d’un gaz dans la cuve A à un instant t=0t=0 alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l’extérieur.
On appelle respectivement A(t)\mathrm{A}(t) et B(t)\mathrm{B}(t) le volume en cm3 de ce gaz dans les cuves A et B à l’instant tt (exprimé en heure). On a donc A(0)=10\mathrm{A}(0)=10 et B(0)=0\mathrm{B}(0)=0.
On admet que les fonctions A\text{A} et B\text{B} sont définies et dérivables sur [0 ;+[[0~;+\infty[ et vérifient les équations différentielles A(t)=5A(t)+2B(t)\mathrm{A}^{\prime}(t)=-5 \mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t) et B(t)=2A(t)2B(t)\mathrm{B}^{\prime}(t)=2 \mathrm{A}(t)-2 \mathrm{B}(t).

1. On définit sur [0 ;+[[0~;+\infty[ deux fonctions ff et gg par f(t)=A(t)+2B(t)f(t)=\mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t) et g(t)=2A(t)+B(t)g(t)=-2 \mathrm{A}(t)+\mathrm{B}(t).
a. Calculer f(0)f(0) et g(0)g(0).


b. Déterminer, pour tout t[0;+[t \in[0 ;+\infty[, f(t)f^{\prime}(t) et g(t)g^{\prime}(t) et en déduire que ff et g g sont solutions de deux équations différentielles de la forme y=ayy'=ay.


c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif tt, f(t)f(t) et g(t)g(t).


d. En déduire, pour tout réel tt positif, les expressions de A(t)\mathrm{A}(t) et B(t)\mathrm{B}(t).


2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions A\text{A} et B\text{B} sur [0 ;2][0~; 2] et déterminer expérimentalement l’instant T\text{T}, arrondi à 10-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume V\text{V} de gaz dont on donnera un arrondi à 10-3.

Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.