Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 10

Entraînement 2

Équations différentielles $y^{'} = a y + b$ et $y^{'} = a y + f$

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

106

Parcours 2 : exercices

;

101

115

Parcours 3 : exercices

;

; et

116

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Pour les exercices
91
à
93

Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.

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Flash

Les équations différentielles

y^{'} = \frac{3}{2} y

2 y^{'} + 3 y = 0

ont les mêmes solutions.

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Flash

La fonction constante égale à

0

est solution de toutes les équations

y^{'} = a y + b

où

a

b

sont réels.

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Flash

La fonction

x \mapsto x

est solution de l'équation différentielle

y^{'} + y = x + 1

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94
[Calculer.]

Résoudre les équations différentielles suivantes.

3 y^{'} + 2 y = 0

\frac{5}{3} y^{'} - y = 0

4 y^{'} + 3 y = 0

2 y^{'} - 2 y = 0

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95
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.

2 y^{'} = 3 y

- y^{'} = \frac{3}{2} y

- 2 y^{'} = \frac{1}{3} y

5 y^{'} = 5 y

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Pour les exercices
96
à
99

Déterminer la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.

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96
[Calculer.]

y^{'} - 3 y = 0

y (0) = 2

y^{'} + 4 y = 0

y (0) = - 4

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97
[Calculer.]
1.

2 y^{'} + 3 y = 0

y (2) = 1

5 y^{'} - 2 y = 0

y (5) = e

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98
[Calculer.]
1.

3 y^{'} + y = 0

y (3) = \frac{1}{e ^{3}}

y^{'} - π^{2} y = 0

y (\frac{1}{π}) = π

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99
[Calculer.]
1.

2 y^{'} + 2 y = 0

y (2) = \frac{1}{e}

2 π y^{'} - y = 0

y (π) = - 2 e

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100
[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l'équation différentielle

(E) : y^{'} = 2 y

.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 100

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101
[Raisonner.]

Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle

y^{'} = a y

où

a

est un réel et dont la fonction

f

est une solution.

f : x \mapsto - 3 e^{\frac{x}{2}}

f : x \mapsto - 2 e^{2 x}

f : x \mapsto 2 e^{3 - 2 x}

f : x \mapsto π e^{π + x}

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Pour les exercices
102
à
105

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

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102
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de l'équation

y^{'} - 4 y = 0

qui prend la valeur

y_{0}

x_{0}

est la fonction définie sur

R

par

x \mapsto y_{0} + e^{4 (x - x_{0})}

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103
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction constante égale à

0

est solution de toutes les équations de la forme

y^{'} = a y

où

a

est un réel.

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104
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l'équation différentielle

y^{'} = a y

où

a

est un réel strictement positif ont pour limite

+ \infty

quand

x

tend vers

+ \infty

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105
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions de l'équation différentielle

3 y^{'} - 2 y = 1

sont de la forme

C e^{- \frac{1}{2} x} + \frac{2}{3}

, où

C

est une constante réelle.

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Pour les exercices
106
à
108

Résoudre l'équation différentielle donnée en précisant l'ensemble de définition des solutions.

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106
[Calculer.]

3 y^{'} - 2 y + 3 = 0

y^{'} + y = 2 y^{'} - y + 1

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107
[Calculer.]
1.

2 y^{'} - 2 y = 3 y^{'} - 22 y + 2

4 y^{'} + 3 y = 5 y^{'} + 33 y - 3

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108
[Calculer.]
1.

2 y^{'} + 2 π y = y^{'} - π y - π

2 e y^{'} + y = e y^{'} - y + e^{2}

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Pour les exercices
109
à
111

Déterminer la solution de l'équation différentielle qui prend la valeur

y_{0}

x_{0}

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109
[Calculer.]
1.

y^{'} - 2 y = 1

;

x_{0} = 0

;

y_{0} = 2

2 y^{'} - y = 3 y^{'} + y - 1

;

x_{0} = 0

;

y_{0} = 1

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110
[Calculer.]
1.

3 y^{'} - 3 y = 2 y^{'} + 2 y - 5

;

x_{0} = \frac{1}{5}

;

y_{0} = 0

y - y^{'} = 3 y^{'} + 2 y + 4

;

x_{0} = 4

;

y_{0} = 1

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111
[Calculer.]
1.

π y^{'} - 2 y = 2 y - π y^{'} + π

;

x_{0} = π

;

y_{0} = π

e y^{'} + 2 y = y - 2 e y^{'} + e

;

x_{0} = 3 e

;

y_{0} = 2 e

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Pour les exercices
112
à
114

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

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112
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction

x \mapsto 2 e^{3 x} - \frac{1}{3}

définie sur

R

est solution de

y^{'} = 3 y + 1

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113
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de

y^{'} = a y + b

avec

a

b

réels (

a \neq = 0

) qui prend la valeur

y_{0}

x_{0}

est la fonction

x \mapsto y_{0} exp (a (x - x_{0})) - \frac{b}{a}

définie sur

R

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114
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de

y^{'} + y = 1

qui prend la valeur

2

0

a pour limite

+ \infty

- \infty

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Pour les exercices
115
et
116

Déterminer les solutions de l'équation différentielle en cherchant une solution particulière

φ

de la forme indiquée.

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115
[Calculer.]

2 y^{'} + y = x + 1

avec

φ (x) = m x + p

y^{'} + 3 y = 2 x - 1

avec

φ (x) = m x + p

y^{'} - 3 y = - 3 x^{2} - x - 2

avec

φ (x) = a x^{2} + b x + c

2 y^{'} - 3 y = 3 x^{2} - x - 2

avec

φ (x) = a x^{2} + b x + c

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116
[Calculer.]

y^{'} + 3 y = (2 + 2 x) e^{- 2 x}

avec

φ (x) = (m x + p) e^{- 2 x}

y^{'} + y = (3 - 2 x) e^{x}

avec

φ (x) = (m x + p) e^{x}

y^{'} - 2 y = - (3 x^{2} + x + 2) e^{- x}

avec

φ (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{- x}

y^{'} + 2 y = - (2 x^{2} - x + \frac{1}{2}) e^{2 x}

avec

φ (x) = (a x^{2} + b x + c) e^{2 x}

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117
GeoGebra
[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm³ d'un gaz dans la cuve A à un instant

t = 0

alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l'extérieur.
On appelle respectivement

A (t)

B (t)

le volume en cm³ de ce gaz dans les cuves A et B à l'instant

t

(exprimé en heure). On a donc

A (0) = 10

B (0) = 0

.
On admet que les fonctions

A

B

sont définies et dérivables sur

[0; + \infty [

et vérifient les équations différentielles

A^{'} (t) = - 5 A (t) + 2 B (t)

B^{'} (t) = 2 A (t) - 2 B (t)

1. On définit sur

[0; + \infty [

deux fonctions

f

g

par

f (t) = A (t) + 2 B (t)

g (t) = - 2 A (t) + B (t)

.
a. Calculer

f (0)

g (0)

b. Déterminer, pour tout

t \in [0; + \infty [

f^{'} (t)

g^{'} (t)

et en déduire que

f

g

sont solutions de deux équations différentielles de la forme

y^{'} = a y

c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif

t

f (t)

g (t)

d. En déduire, pour tout réel

t

positif, les expressions de

A (t)

B (t)

2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions

A

B

sur

[0; 2]

et déterminer expérimentalement l'instant

T

, arrondi à 10^-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume

V

de gaz dont on donnera un arrondi à 10^-3.

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Équations différentielles $y^{'} = a y + b$ et $y^{'} = a y + f$

Pour les exercices
91
à
93

Pour les exercices
96
à
99

Pour les exercices
102
à
105

Pour les exercices
106
à
108

Pour les exercices
109
à
111

Pour les exercices
112
à
114

Pour les exercices
115
et
116

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109
à
111

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112
à
114

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115
et
116