2

Équations différentielles $y^{\prime }=ay+b$ et $y^{\prime }=ay+f$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

Pour les exercices

91

à 

93

Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.

Les équations différentielles $y^{\prime }=\frac{3}{2}y$ et $2y^{\prime }+3y=0$ ont les mêmes solutions.

La fonction constante égale à $0$ est solution de toutes les équations $y^{\prime }=ay+b$ où $a$ et $b$ sont réels.

La fonction $x\mapsto x$ est solution de l’équation différentielle $y^{\prime }+y=x+1$.

94

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $3y^{\prime }+2y=0$


2. $\frac{5}{3}{y}^{\prime }-y=0$


3. $4y^{\prime }+3y=0$


4. $\sqrt{2}{y}^{\prime }-2y=0$

95

[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $2y^{\prime }=3y$


2. $-y^{\prime }=\frac{3}{2}y$


3. $-2y^{\prime }=\frac{1}{3}y$


4. $5y^{\prime }=\sqrt{5}y$

Pour les exercices

96

à 

99

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.

96

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime }-3y=0$ et $y(0)=2$.


2. $y^{\prime }+4y=0$ et $y(0)=-4$.

97

[Calculer.]
1. $2y^{\prime }+3y=0$ et $y(2)=1$.


2. $5y^{\prime }-2y=0$ et $y(5)=\mathrm{e}$.

98

[Calculer.]
1. $\sqrt{3}{y}^{\prime }+y=0$ et $y(\sqrt{3})=\frac{1}{{\mathrm{e}}^3}$.


2. $y^{\prime }-{\pi }^{2}y=0$ et $y\left(\frac{1}{\pi }\right)=\pi$.

99

[Calculer.]
1. $\sqrt{2}{y}^{\prime }+2y=0$ et $y(\sqrt{2})=\frac{1}{\mathrm{e}}$.


2. $2\pi y^{\prime }-y=0$ et $y(\pi )=-2\mathrm{e}$.

100

[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=2y$.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.

101

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle $y^{\prime }=ay$ où $a$ est un réel et dont la fonction $f$ est une solution.

1. $f:x\mapsto -3{\mathrm{e}}^{\frac{x}{2}}$


2. $f:x\mapsto -\sqrt{2}{\mathrm{e}}^{\sqrt{2}x}$


3. $f:x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{3-2x}$


4. $f:x\mapsto \pi {\mathrm{e}}^{\pi +x}$

Pour les exercices

102

à 

105

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

102

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de l’équation $y^{\prime }-4y=0$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto y_0+{\mathrm{e}}^{4\left(x-x_0\right)}$.

103

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La fonction constante égale à $0$ est solution de toutes les équations de la forme $y^{\prime }=ay$ où $a$ est un réel.

104

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l’équation différentielle $y^{\prime }=ay$ où $a$ est un réel strictement positif ont pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

105

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Les solutions de l’équation différentielle $3y^{\prime }-2y=1$ sont de la forme ${\mathrm{C}\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}x}+\frac{2}{3}$, où $\text{C}$ est une constante réelle.

Pour les exercices

106

à 

108

Résoudre l’équation différentielle donnée en précisant l’ensemble de définition des solutions.

106

[Calculer.] ◉◉◉
1. $3y^{\prime }-2y+3=0$


2. $y^{\prime }+y=2y^{\prime }-y+1$

107

[Calculer.]
1. $2y^{\prime }-\sqrt{2}y=3y^{\prime }-2\sqrt{2}y+\sqrt{2}$


2. $4y^{\prime }+\sqrt{3}y=5y^{\prime }+3\sqrt{3}y-\sqrt{3}$

108

[Calculer.]
1. $2y^{\prime }+2\pi y=y^{\prime }-\pi y-\pi$


2. $2\mathrm{e}{y}^{\prime }+y=\mathrm{e}{y}^{\prime }-y+{\mathrm{e}}^2$

Pour les exercices

109

à 

111

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

109

[Calculer.]
1. $y^{\prime }-2y=1$ ; $x_0=0$ ; $y_0=2$


2. $2y^{\prime }-y=3y^{\prime }+y-1$ ; $x_0=0$ ; $y_0=1$

110

[Calculer.]
1. $3y^{\prime }-3y=2y^{\prime }+2y-5$ ; $x_0=\frac{1}{5}$ ; $y_0=0$


2. $y-y^{\prime }=3y^{\prime }+2y+4$ ; $x_0=4$ ; $y_0=1$

111

[Calculer.]
1. $\pi y^{\prime }-2y=2y-\pi y^{\prime }+\pi$ ; $x_0=\pi$ ; $y_0=\pi$


2. $\mathrm{e}{y}^{\prime }+2y=y-2\mathrm{e}{y}^{\prime }+\mathrm{e}$ ; $x_0=3\mathrm{e}$ ; $y_0=2\mathrm{e}$

Pour les exercices

112

à 

114

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

112

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La fonction $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{3x}-\frac{1}{3}$ définie sur $\mathbb{R}$ est solution de $y^{\prime }=3y+1$.

113

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de $y^{\prime }=ay+b$ avec $a$ et $b$ réels ($a\ne 0$) qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ est la fonction $x\mapsto y_0\exp \left(a\left(x-x_0\right)\right)-\frac{b}{a}$ définie sur $\mathbb{R}$.

114

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de $y^{\prime }+y=1$ qui prend la valeur $2$ en $0$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$.

Pour les exercices

115

et 

116

Déterminer les solutions de l’équation différentielle en cherchant une solution particulière $\phi$ de la forme indiquée.

115

[Calculer.] ◉◉◉
1. $2y^{\prime }+y=x+1$ avec $\phi (x)=mx+p$.


2. $y^{\prime }+3y=2x-1$ avec $\phi (x)=mx+p$.


3. $y^{\prime }-3y=-3x^2-x-2$ avec $\phi (x)=a{x}^2+bx+c$.


4. $2y^{\prime }-3y=3x^2-x-2$ avec $\phi (x)=a{x}^2+bx+c$.

116

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime }+3y=(2+2x){\mathrm{e}}^{-2x}$ avec $\phi (x)=(mx+p){\mathrm{e}}^{-2x}$.


2. $y^{\prime }+y=(3-2x){\mathrm{e}}^x$ avec $\phi (x)=(mx+p){\mathrm{e}}^x$.


3. $y^{\prime }-2y=-\left(3x^2+x+2\right){\mathrm{e}}^{-x}$ avec $\phi (x)=\left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^{-x}$.


4. $y^{\prime }+2y=-\left(2x^2-x+\frac{1}{2}\right){\mathrm{e}}^{2x}$ avec $\phi (x)=\left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^{2x}$.

117

GEOGEBRA

[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm³ d’un gaz dans la cuve A à un instant $t=0$ alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l’extérieur.
On appelle respectivement $\mathrm{A}(t)$ et $\mathrm{B}(t)$ le volume en cm³ de ce gaz dans les cuves A et B à l’instant $t$ (exprimé en heure). On a donc $\mathrm{A}(0)=10$ et $\mathrm{B}(0)=0$.
On admet que les fonctions $\text{A}$ et $\text{B}$ sont définies et dérivables sur $[0;+\infty [$ et vérifient les équations différentielles ${\mathrm{A}}^{\prime }(t)=-5\mathrm{A}(t)+2\mathrm{B}(t)$ et ${\mathrm{B}}^{\prime }(t)=2\mathrm{A}(t)-2\mathrm{B}(t)$.

1. On définit sur $[0;+\infty [$ deux fonctions $f$ et $g$ par $f(t)=\mathrm{A}(t)+2\mathrm{B}(t)$ et $g(t)=-2\mathrm{A}(t)+\mathrm{B}(t)$.
a. Calculer $f(0)$ et $g(0)$.


b. Déterminer, pour tout $t\in [0;+\infty [$, $f^{\prime }(t)$ et $g^{\prime }(t)$ et en déduire que $f$ et $g$ sont solutions de deux équations différentielles de la forme $y^{\prime }=ay$.


c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif $t$, $f(t)$ et $g(t)$.


d. En déduire, pour tout réel $t$ positif, les expressions de $\mathrm{A}(t)$ et $\mathrm{B}(t)$.


2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions $\text{A}$ et $\text{B}$ sur $[0;2]$ et déterminer expérimentalement l’instant $\text{T}$, arrondi à 10^-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume $\text{V}$ de gaz dont on donnera un arrondi à 10^-3.