2

Équations différentielles $y'=ay+b$ et $y'=ay+f$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

Pour les exercices

91

à 

93

Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.

Les équations différentielles $y^{\prime}=\dfrac{3}{2} y$ et $2 y^{\prime}+3 y=0$ ont les mêmes solutions.

La fonction constante égale à $0$ est solution de toutes les équations $y^{\prime}=a y+b$ où $a$ et $b$ sont réels.

La fonction $x \mapsto x$ est solution de l’équation différentielle $y^{\prime}+y=x+1$.

94

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $3 y^{\prime}+2 y=0$


2. $\dfrac{5}{3} y^{\prime}-y=0$


3. $4 y^{\prime}+3 y=0$


4. $\sqrt{2} y^{\prime}-2 y=0$

95

[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. $2 y^{\prime}=3 y$


2. $-y^{\prime}=\dfrac{3}{2} y$


3. $-2 y^{\prime}=\dfrac{1}{3} y$


4. $5 y^{\prime}=\sqrt{5} y$

Pour les exercices

96

à 

99

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.

96

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime}-3 y=0$ et $y(0)=2$.


2. $y^{\prime}+4 y=0$ et $y(0)=-4$.

97

[Calculer.]
1. $2 y^{\prime}+3 y=0$ et $y(2)=1$.


2. $5 y^{\prime}-2 y=0$ et $y(5)=\mathrm{e}$.

98

[Calculer.]
1. $\sqrt{3} y^{\prime}+y=0$ et $y(\sqrt{3})=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{3}}$.


2. $y^{\prime}-\pi^{2} y=0$ et $y\left(\dfrac{1}{\pi}\right)=\pi$.

99

[Calculer.]
1. $\sqrt{2} y^{\prime}+2 y=0$ et $y(\sqrt{2})=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.


2. $2 \pi y^{\prime}-y=0$ et $y(\pi)=-2 \mathrm{e}$.

100

[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}=2 y$.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.

101

[Raisonner.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle $y'=ay$ où $a$ est un réel et dont la fonction $f$ est une solution.

1. $f: x \mapsto-3 \mathrm{e}^{\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$


2. $f: x \mapsto-\sqrt{2} \mathrm{e}^{\sqrt{2} x}$


3. $f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3-2 x}$


4. $f: x \mapsto \pi \mathrm{e}^{\pi+x}$

Pour les exercices

102

à 

105

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

102

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de l’équation $y'-4y=0$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ est la fonction définie sur $\R$ par $x \mapsto y_{0}+\mathrm{e}^{4\left(x-x_{0}\right)}$.

103

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La fonction constante égale à $0$ est solution de toutes les équations de la forme $y'=ay$ où $a$ est un réel.

104

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l’équation différentielle $y'=ay$ où $a$ est un réel strictement positif ont pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

105

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
Les solutions de l’équation différentielle $3 y^{\prime}-2 y=1$ sont de la forme $\mathrm{Ce}^{-\normalsize\tfrac{1}{2} x}+\dfrac{2}{3}$, où $\text{C}$ est une constante réelle.

Pour les exercices

106

à 

108

Résoudre l’équation différentielle donnée en précisant l’ensemble de définition des solutions.

106

[Calculer.] ◉◉◉
1. $3 y^{\prime}-2 y+3=0$


2. $y^{\prime}+y=2 y^{\prime}-y+1$

107

[Calculer.]
1. $2 y^{\prime}-\sqrt{2} y=3 y^{\prime}-2 \sqrt{2} y+\sqrt{2}$


2. $4 y^{\prime}+\sqrt{3} y=5 y^{\prime}+3 \sqrt{3} y-\sqrt{3}$

108

[Calculer.]
1. $2 y^{\prime}+2 \pi y=y^{\prime}-\pi y-\pi$


2. $2 \mathrm{e} y^{\prime}+y=\mathrm{e} y^{\prime}-y+\mathrm{e}^{2}$

Pour les exercices

109

à 

111

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

109

[Calculer.]
1. $y^{\prime}-2 y=1$ ; $x_{0}=0$ ; $y_{0}=2$


2. $2 y^{\prime}-y=3 y^{\prime}+y-1$ ; $x_{0}=0$ ; $y_{0}=1$

110

[Calculer.]
1. $3 y^{\prime}-3 y=2 y^{\prime}+2 y-5$ ; $x_{0}=\dfrac{1}{5}$ ; $y_{0}=0$


2. $y-y^{\prime}=3 y^{\prime}+2 y+4$ ; $x_{0}=4$ ; $y_{0}=1$

111

[Calculer.]
1. $\pi y^{\prime}-2 y=2 y-\pi y^{\prime}+\pi$ ; $x_{0}=\pi$ ; $y_{0}=\pi$


2. $\mathrm{e} y^{\prime}+2 y=y-2 \mathrm{e} y^{\prime}+\mathrm{e}$ ; $x_{0}=3 \mathrm{e}$ ; $y_{0}=2 \mathrm{e}$

Pour les exercices

112

à 

114

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

112

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La fonction $x \mapsto 2 \mathrm{e}^{3 x}-\dfrac{1}{3}$ définie sur $\R$ est solution de $y'=3y + 1$.

113

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de $y'= ay + b$ avec $a$ et $b$ réels ($a \neq 0$) qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ est la fonction $x \mapsto y_{0} \exp \left(a\left(x-x_{0}\right)\right)-\dfrac{b}{a}$ définie sur $\R$.

114

VRAI / FAUX

[Communiquer.]
La solution de $y' + y = 1$ qui prend la valeur $2$ en $0$ a pour limite $+\infty$ en $-\infty$.

Pour les exercices

115

et 

116

Déterminer les solutions de l’équation différentielle en cherchant une solution particulière $\varphi$ de la forme indiquée.

115

[Calculer.] ◉◉◉
1. $2 y^{\prime}+y=x+1$ avec $\varphi(x)=m x+p$.


2. $y^{\prime}+3 y=2 x-1$ avec $\varphi(x)=m x+p$.


3. $y^{\prime}-3 y=-3 x^{2}-x-2$ avec $\varphi(x)=a x^{2}+b x+c$.


4. $2 y^{\prime}-3 y=3 x^{2}-x-2$ avec $\varphi(x)=a x^{2}+b x+c$.

116

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime}+3 y=(2+2 x) \mathrm{e}^{-2 x}$ avec $\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{-2 x}$.


2. $y^{\prime}+y=(3-2 x) \mathrm{e}^{x}$ avec $\varphi(x)=(m x+p) \mathrm{e}^{x}$.


3. $y^{\prime}-2 y=-\left(3 x^{2}+x+2\right) \mathrm{e}^{-x}$ avec $\varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{-x}$.


4. $y^{\prime}+2 y=-\left(2 x^{2}-x+\dfrac{1}{2}\right) \mathrm{e}^{2 x}$ avec $\varphi(x)=\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2x}$.

117

GEOGEBRA

[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm³ d’un gaz dans la cuve A à un instant $t=0$ alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l’extérieur.
On appelle respectivement $\mathrm{A}(t)$ et $\mathrm{B}(t)$ le volume en cm³ de ce gaz dans les cuves A et B à l’instant $t$ (exprimé en heure). On a donc $\mathrm{A}(0)=10$ et $\mathrm{B}(0)=0$.
On admet que les fonctions $\text{A}$ et $\text{B}$ sont définies et dérivables sur $[0~;+\infty[$ et vérifient les équations différentielles $\mathrm{A}^{\prime}(t)=-5 \mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t)$ et $\mathrm{B}^{\prime}(t)=2 \mathrm{A}(t)-2 \mathrm{B}(t)$.

1. On définit sur $[0~;+\infty[$ deux fonctions $f$ et $g$ par $f(t)=\mathrm{A}(t)+2 \mathrm{B}(t)$ et $g(t)=-2 \mathrm{A}(t)+\mathrm{B}(t)$.
a. Calculer $f(0)$ et $g(0)$.


b. Déterminer, pour tout $t \in[0 ;+\infty[$, $f^{\prime}(t)$ et $g^{\prime}(t)$ et en déduire que $f$ et $g$ sont solutions de deux équations différentielles de la forme $y'=ay$.


c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif $t$, $f(t)$ et $g(t)$.


d. En déduire, pour tout réel $t$ positif, les expressions de $\mathrm{A}(t)$ et $\mathrm{B}(t)$.


2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions $\text{A}$ et $\text{B}$ sur $[0~; 2]$ et déterminer expérimentalement l’instant $\text{T}$, arrondi à 10^-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume $\text{V}$ de gaz dont on donnera un arrondi à 10^-3.

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