Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.
91
Flash
Les équations différentielles y′=23y et 2y′+3y=0 ont les mêmes solutions.
92
Flash
La fonction constante égale à 0 est solution de toutes les équations y′=ay+b où a et b sont réels.
93
Flash
La fonction x↦x est solution de l'équation différentielle y′+y=x+1.
94
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.
1.3y′+2y=0
2.35y′−y=0
3.4y′+3y=0
4.2y′−2y=0
95
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.
1.2y′=3y
2.−y′=23y
3.−2y′=31y
4.5y′=5y
Pour les exercices
96
à
99
Déterminer la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.
96
[Calculer.]
1.y′−3y=0 et y(0)=2.
2.y′+4y=0 et y(0)=−4.
97
[Calculer.]
1.2y′+3y=0 et y(2)=1.
2.5y′−2y=0 et y(5)=e.
98
[Calculer.]
1.3y′+y=0 et y(3)=e31.
2.y′−π2y=0 et y(π1)=π.
99
[Calculer.]
1.2y′+2y=0 et y(2)=e1.
2.2πy′−y=0 et y(π)=−2e.
100
[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l'équation différentielle (E):y′=2y.
En justifiant, préciser leur expression algébrique.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
101
[Raisonner.]
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle y′=ay où a est un réel et dont la fonction f est une solution.
1.f:x↦−3e2x
2.f:x↦−2e2x
3.f:x↦2e3−2x
4.f:x↦πeπ+x
Pour les exercices
102
à
105
Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
102
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de l'équation y′−4y=0 qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction définie sur R par x↦y0+e4(x−x0).
103
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction constante égale à 0 est solution de toutes les équations de la forme y′=ay où a est un réel.
104
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l'équation différentielle y′=ay où a est un réel strictement positif ont pour limite +∞ quand x tend vers +∞.
105
Vrai / Faux
[Communiquer.]
Les solutions de l'équation différentielle 3y′−2y=1 sont de la forme Ce−21x+32, où C est une constante réelle.
Pour les exercices
106
à
108
Résoudre l'équation différentielle donnée en précisant l'ensemble de définition des solutions.
106
[Calculer.]
1.3y′−2y+3=0
2.y′+y=2y′−y+1
107
[Calculer.]
1.2y′−2y=3y′−22y+2
2.4y′+3y=5y′+33y−3
108
[Calculer.]
1.2y′+2πy=y′−πy−π
2.2ey′+y=ey′−y+e2
Pour les exercices
109
à
111
Déterminer la solution de l'équation différentielle qui prend la valeur y0 en x0.
109
[Calculer.]
1.y′−2y=1 ; x0=0 ; y0=2
2.2y′−y=3y′+y−1 ; x0=0 ; y0=1
110
[Calculer.]
1.3y′−3y=2y′+2y−5 ; x0=51 ; y0=0
2.y−y′=3y′+2y+4 ; x0=4 ; y0=1
111
[Calculer.]
1.πy′−2y=2y−πy′+π ; x0=π ; y0=π
2.ey′+2y=y−2ey′+e ; x0=3e ; y0=2e
Pour les exercices
112
à
114
Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.
112
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La fonction x↦2e3x−31 définie sur R est solution de y′=3y+1.
113
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de y′=ay+b avec a et b réels (a=0) qui prend la valeur y0 en x0 est la fonction x↦y0exp(a(x−x0))−ab définie sur R.
114
Vrai / Faux
[Communiquer.]
La solution de y′+y=1 qui prend la valeur 2 en 0 a pour limite +∞ en −∞.
Pour les exercices
115
et
116
Déterminer les solutions de l'équation différentielle en cherchant une solution particulière φ de la forme indiquée.
115
[Calculer.]
1.2y′+y=x+1 avec φ(x)=mx+p.
2.y′+3y=2x−1 avec φ(x)=mx+p.
3.y′−3y=−3x2−x−2 avec φ(x)=ax2+bx+c.
4.2y′−3y=3x2−x−2 avec φ(x)=ax2+bx+c.
116
[Calculer.]
1.y′+3y=(2+2x)e−2x avec φ(x)=(mx+p)e−2x.
2.y′+y=(3−2x)ex avec φ(x)=(mx+p)ex.
3.y′−2y=−(3x2+x+2)e−x avec φ(x)=(ax2+bx+c)e−x.
4.y′+2y=−(2x2−x+21)e2x avec φ(x)=(ax2+bx+c)e2x.
117
GeoGebra
[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm3 d'un gaz dans la cuve A à un instant t=0 alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l'extérieur.
On appelle respectivement A(t) et B(t) le volume en cm3 de ce gaz dans les cuves A et B à l'instant t (exprimé en heure). On a donc A(0)=10 et B(0)=0.
On admet que les fonctions A et B sont définies et dérivables sur [0;+∞[ et vérifient les équations différentielles A′(t)=−5A(t)+2B(t) et B′(t)=2A(t)−2B(t).
1. On définit sur [0;+∞[ deux fonctions f et g par f(t)=A(t)+2B(t) et g(t)=−2A(t)+B(t).
a. Calculer f(0) et g(0).
b. Déterminer, pour tout t∈[0;+∞[, f′(t) et g′(t) et en déduire que f et g sont solutions de deux équations différentielles de la forme y′=ay.
c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif t, f(t) et g(t).
d. En déduire, pour tout réel t positif, les expressions de A(t) et B(t).
2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions A et B sur [0;2] et déterminer expérimentalement l'instant T, arrondi à 10-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume V de gaz dont on donnera un arrondi à 10-3.
GeoGebra
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