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2. Équations différentielles y'=ay+b et y'=ay+f
P.303-304

Entraînement


2
Équations différentielles et





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

Pour les exercices
91
à 
93

Indiquer, en justifiant, si la proposition est vraie ou fausse.

91
FLASH

Les équations différentielles et ont les mêmes solutions.
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92
FLASH

La fonction constante égale à est solution de toutes les équations et sont réels.
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93
FLASH

La fonction est solution de l’équation différentielle .
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94
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1.


2.


3.


4.
Voir la correction

95
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles suivantes.

1.


2.


3.


4.
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Pour les exercices
96
à 
99

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui vérifie la condition initiale donnée.

96
[Calculer.] ◉◉
1. et .


2. et .
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97
[Calculer.]
1. et .


2. et .
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98
[Calculer.]
1. et .


2. et .
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99
[Calculer.]
1. et .


2. et .
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100
[Raisonner.]
Dans un repère du plan, on a tracé les représentations graphiques de cinq solutions de l’équation différentielle .
En justifiant, préciser leur expression algébrique.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 100

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101
[Raisonner.] ◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation différentielle est un réel et dont la fonction est une solution.

1.


2.


3.


4.
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Pour les exercices
102
à 
105

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

102
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de l’équation qui prend la valeur en est la fonction définie sur par .
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103
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La fonction constante égale à est solution de toutes les équations de la forme est un réel.
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104
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Les solutions non nulles de l’équation différentielle est un réel strictement positif ont pour limite quand tend vers .
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105
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme , où est une constante réelle.
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Pour les exercices
106
à 
108

Résoudre l’équation différentielle donnée en précisant l’ensemble de définition des solutions.

106
[Calculer.] ◉◉
1.


2.
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107
[Calculer.]
1.


2.
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108
[Calculer.]
1.


2.
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Pour les exercices
109
à 
111

Déterminer la solution de l’équation différentielle qui prend la valeur en .

109
[Calculer.]
1.  ;  ;


2.  ;  ;
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110
[Calculer.]
1.  ;  ;


2.  ;  ;
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111
[Calculer.]
1.  ;  ;


2.  ;  ;
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Pour les exercices
112
à 
114

Indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

112
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La fonction définie sur est solution de .
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113
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de avec et réels () qui prend la valeur en est la fonction définie sur .
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114
VRAI / FAUX
[Communiquer.]
La solution de qui prend la valeur en a pour limite en .
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Pour les exercices
115
et 
116

Déterminer les solutions de l’équation différentielle en cherchant une solution particulière de la forme indiquée.

115
[Calculer.] ◉◉
1. avec .


2. avec .


3. avec .


4. avec .
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116
[Calculer.] ◉◉◉
1. avec .


2. avec .


3. avec .


4. avec .
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117
GEOGEBRA
[Modéliser.]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm3 d’un gaz dans la cuve A à un instant alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l’extérieur.
On appelle respectivement et le volume en cm3 de ce gaz dans les cuves A et B à l’instant (exprimé en heure). On a donc et .
On admet que les fonctions et sont définies et dérivables sur et vérifient les équations différentielles et .

1. On définit sur deux fonctions et par et .
a. Calculer et .


b. Déterminer, pour tout , et et en déduire que et sont solutions de deux équations différentielles de la forme .


c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif , et .


d. En déduire, pour tout réel positif, les expressions de et .


2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions et sur et déterminer expérimentalement l’instant , arrondi à 10-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume de gaz dont on donnera un arrondi à 10-3.

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