[Modéliser.
]
Deux cuves A et B sont séparées par une membrane poreuse. On injecte 10 cm
3 d’un gaz dans la cuve A à un instant
t=0 alors que la cuve B est laissée vide. Ce gaz diffuse en permanence entre les deux cuves et une partie est rejetée vers l’extérieur.
On appelle respectivement
A(t) et
B(t) le volume en cm
3 de ce gaz dans les cuves A et B à l’instant
t (exprimé en heure). On a donc
A(0)=10 et
B(0)=0.
On admet que les fonctions
A et
B sont définies et dérivables sur
[0 ;+∞[ et vérifient les équations différentielles
A′(t)=−5A(t)+2B(t) et
B′(t)=2A(t)−2B(t).
1. On définit sur
[0 ;+∞[ deux fonctions
f et
g par
f(t)=A(t)+2B(t) et
g(t)=−2A(t)+B(t).
a. Calculer
f(0) et
g(0).
b. Déterminer, pour tout
t∈[0;+∞[,
f′(t) et
g′(t) et en déduire que
f et
g sont solutions de deux équations différentielles de la forme
y′=ay.
c. Résoudre ces deux équations et déterminer, pour tout réel positif
t,
f(t) et
g(t).
d. En déduire, pour tout réel
t positif, les expressions de
A(t) et
B(t).
2. Avec GeoGebra, construire les courbes représentatives des fonctions
A et
B sur
[0 ;2] et déterminer expérimentalement l’instant
T, arrondi à 10
-2, pour lequel les deux cuves contiendront le même volume
V de gaz dont on donnera un arrondi à 10
-3.
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