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Méthode d’Euler pour une équation $y^{\prime}=f$

On considère l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}=\mathrm{e}^{-x^{2}}$. Soit $f$ la solution de cette équation vérifiant $f(0) = 1$.
La méthode d’Euler est une méthode numérique qui permet de trouver une valeur approchée de la solution de $(\mathrm{E})$ en utilisant les deux hypothèses vérifiées par $f$ : $f: f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x^{2}}$ et $f(0)=1$. On va utiliser cette méthode pour construire une approximation de la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $\mathrm{I}=[0~; 2]$.
On commence par choisir un pas $h > 0$. On pose $x_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1}=x_{n}+h$ puis on définit les points $\mathrm{M}_{n}\left(x_{n}~; f\left(x_{n}\right)\right)$ qui appartiennent donc à la courbe représentative de $f$ que l’on souhaite approcher.
Comme on ne connaît pas l’expression de la fonction $f$, on ne peut pas calculer directement les coordonnées de ces points.

Questions préliminaires :

1. Exprimer $x_1$ puis $x_2$ en fonction de $h$.


2. Justifier que $\dfrac{f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_{n}\right)}{h} \approx f^{\prime}\left(x_{n}\right)$ lorsque $h$ est proche de $0$.


3. En déduire que $f\left(x_{n+1}\right) \approx f\left(x_{n}\right)+h \mathrm{e}^{-x_{n}^{2}}$ lorsque $h$ est proche de $0$.


4. a. Cette relation permet d’approcher les ordonnées $y_n$ des points $\mathrm{P}_n$ de la manière suivante : $y_{n+1}=y_{n}+h \mathrm{e}^{-x_{n}^{2}}$. Justifier cette égalité.


b. Justifier que $y_0=1$.


c. Exprimer $y_1$ et $y_2$ en fonction de $h$.