On considère l'équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }={\mathrm{e}}^{-x^2}$. Soit $f$ la solution de cette équation vérifiant $f(0)=1$. La méthode d'Euler est une méthode numérique qui permet de trouver une valeur approchée de la solution de $(\mathrm{E})$ en utilisant les deux hypothèses vérifiées par $f$ : $f:f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-x^2}$ et $f(0)=1$. On va utiliser cette méthode pour construire une approximation de la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $\mathrm{I}=[0;2]$.

On commence par choisir un pas $h>0$. On pose $x_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $x_{n+1}=x_n+h$ puis on définit les points ${\mathrm{M}}_n\left(x_n;f\left(x_n\right)\right)$ qui appartiennent donc à la courbe représentative de $f$ que l'on souhaite approcher.
Comme on ne connaît pas l'expression de la fonction $f$, on ne peut pas calculer directement les coordonnées de ces points.

Dans une feuille de calcul, on construit un tableau donnant les valeurs de $x_n$ et $y_n$ où $n$ est un entier naturel de $0$ à $20$. On entre la valeur $0$ dans la cellule B2, la valeur $1$ dans la cellule C2 et on choisit $h=0,1$.
On obtient alors la feuille suivante :

1. Écrire les formules à entrer en B3 et C3 puis étirer vers le bas pour obtenir $x_n$ et $y_n$.

2. Représenter la suite de points ${\mathrm{P}}_n$.

On veut écrire un programme sous Python qui, pour une valeur de $h$ saisie par l'utilisateur, calcule les coordonnées $\left(x_n;y_n\right)$ des points ${\mathrm{P}}_n$. 1. Déterminer la valeur de $h$ pour obtenir 21 points équitablement répartis dans l'intervalle $[0;2]$.

2. Écrire une fonction approximation d'arguments x, y et h (correspondant à $x_n$, $y_n$ et $h$) qui retourne la valeur approchée de l'ordonnée du point ${\mathrm{P}}_{n+1}$.


a. Écrire une fonction Euler d'arguments x0, y0 et h qui retourne les abscisses $x_i$ et les ordonnées $y_i$ des points cherchés.

b. En utilisant par exemple le module matplotlib, représenter l'approximation graphique recherchée.