On considère l'équation différentielle (E):y′=e−x2. Soit f la solution de cette équation vérifiant f(0)=1.
La méthode d'Euler est une méthode numérique qui permet de trouver une valeur approchée de la solution de
(E) en utilisant les deux hypothèses vérifiées par f : f:f′(x)=e−x2 et f(0)=1. On va utiliser cette méthode pour construire une approximation de la courbe représentative de f sur l'intervalle I=[0;2].
On commence par choisir un pas h>0. On pose x0=0 et, pour tout entier naturel n, xn+1=xn+h puis on définit les points Mn(xn;f(xn)) qui appartiennent donc à la courbe représentative de f que l'on souhaite approcher.
Comme on ne connaît pas l'expression de la fonction f, on ne peut pas calculer directement les coordonnées de ces points.
Objectif
Construire une suite de points Pn(xn;yn) approchant au mieux les points Mn(xn;f(xn)) pour obtenir une approximation d'une primitive de la fonction x↦e−x2 sur I à l'aide d'une des deux méthodes.
Questions préliminaires :
1. Exprimer x1 puis x2 en fonction de h.
2. Justifier que hf(xn+1)−f(xn)≈f′(xn) lorsque h est proche de 0.
3. En déduire que f(xn+1)≈f(xn)+he−xn2 lorsque h est proche de 0.
4.a. Cette relation permet d'approcher les ordonnées yn des points Pn de la manière suivante : yn+1=yn+he−xn2. Justifier cette égalité.
b. Justifier que y0=1.
c. Exprimer y1 et y2 en fonction de h.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR
Dans une feuille de calcul, on construit un tableau donnant les valeurs de xn et yn où n est un entier naturel de 0 à 20. On entre la valeur 0 dans la cellule B2, la valeur 1 dans la cellule C2 et on choisit h=0,1.
On obtient alors la feuille suivante :
1. Écrire les formules à entrer en B3 et C3 puis étirer vers le bas pour obtenir xn et yn.
2. Représenter la suite de points Pn.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON
On veut écrire un programme sous Python qui, pour une valeur de h saisie par l'utilisateur, calcule les coordonnées (xn;yn) des points Pn.
1. Déterminer la valeur de h pour obtenir 21 points équitablement répartis dans l'intervalle [0;2].
2. Écrire une fonction approximation d'arguments x, y et h (correspondant à xn, yn et h) qui retourne la valeur approchée de l'ordonnée du point Pn+1.
Aide
On pensera à charger la fonction exp du module math.
a. Écrire une fonction Euler d'arguments x0, y0 et h qui retourne les abscisses xi et les ordonnées yi des points cherchés.
b. En utilisant par exemple le module matplotlib, représenter l'approximation graphique recherchée.
Pour aller plus loin
En 1901, les mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta développent une méthode pour résoudre les équations différentielles du type y′=f(t,y) avec la condition y(t0)=y0.
À l'ordre 1, la méthode est similaire à la méthode d'Euler en posant yn+1=yn+h×f(tn,yn).
À l'ordre 2, la méthode gagne en précision en posant yn+1=yn+h×f(tn+2h,yn+2hf(tn,yn)).
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