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TP1. Méthode d’Euler pour une équation y'=f
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TP INFO


1
Méthode d’Euler pour une équation




Énoncé

On considère l’équation différentielle . Soit la solution de cette équation vérifiant .
La méthode d’Euler est une méthode numérique qui permet de trouver une valeur approchée de la solution de en utilisant les deux hypothèses vérifiées par  : et . On va utiliser cette méthode pour construire une approximation de la courbe représentative de sur l’intervalle .
On commence par choisir un pas . On pose et, pour tout entier naturel , puis on définit les points qui appartiennent donc à la courbe représentative de que l’on souhaite approcher.
Comme on ne connaît pas l’expression de la fonction , on ne peut pas calculer directement les coordonnées de ces points.

Objectif

Construire une suite de points approchant au mieux les points pour obtenir une approximation d’une primitive de la fonction sur à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Exprimer puis en fonction de .


2. Justifier que lorsque est proche de .


3. En déduire que lorsque est proche de .


4. a. Cette relation permet d’approcher les ordonnées des points de la manière suivante : . Justifier cette égalité.


b. Justifier que .


c. Exprimer et en fonction de .
Voir les réponses
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
TABLEUR

Dans une feuille de calcul, on construit un tableau donnant les valeurs de et est un entier naturel de à . On entre la valeur dans la cellule B2, la valeur dans la cellule C2 et on choisit .
On obtient alors la feuille suivante :
Méthode d’Euler pour une équation y′=f

1. Écrire les formules à entrer en B3 et C3 puis étirer vers le bas pour obtenir et .

2. Représenter la suite de points .
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

On veut écrire un programme sous Python qui, pour une valeur de saisie par l’utilisateur, calcule les coordonnées des points .

1. Déterminer la valeur de pour obtenir 21 points équitablement répartis dans l’intervalle .

2. Écrire une fonction approximation d’arguments x, y et h (correspondant à , et ) qui retourne la valeur approchée de l’ordonnée du point .

Aide
On pensera à charger la fonction exp du module math.


a. Écrire une fonction Euler d’arguments x0, y0 et h qui retourne les abscisses et les ordonnées des points cherchés.


b. En utilisant par exemple le module matplotlib, représenter l’approximation graphique recherchée.



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Pour aller plus loin


En 1901, les mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta développent une méthode pour résoudre les équations différentielles du type avec la condition .
À l’ordre 1, la méthode est similaire à la méthode d’Euler en posant .
À l’ordre 2, la méthode gagne en précision en posant .
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