Famille de solutions d'une équation différentielle

1. a. Sur GeoGebra, créer un curseur $k$ variant de $-100$ à $100$ avec un incrément de $0,01$.


b. En activant leur trace et en faisant varier le curseur $k$, afficher les courbes ${\mathcal{C}}_k$ des fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=k{\mathrm{e}}^{-x}+x-1$.

c. À l'aide des courbes obtenues, conjecturer les variations des fonctions $f_k$ sur $\mathbb{R}$ en fonction de $k$.

d. Démontrer cette conjecture.

2. a. Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ puis conjecturer la position des courbes ${\mathcal{C}}_k$ par rapport à la droite $\Delta$ suivant la valeur de $k$.

b. Démontrer cette conjecture.

3. a. Placer le point $\mathrm{J}(0;1)$ puis conjecturer le nombre de courbes ${\mathcal{C}}_k$ passant par le point $\mathrm{J}$.
b. Démontrer cette conjecture.

4. Pour cette question, on se restreint à $k>0$.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions $f_k$ admettent un minimum sur $\mathbb{R}$, atteint en $x=\ln (k)$.

b. Soit le point ${\mathrm{A}}_k$ de ${\mathcal{C}}_k$ d'abscisse $\ln (k)$. En activant sa trace et en faisant varier le curseur $k$, conjecturer la nature de l'ensemble des points ${\mathrm{A}}_k$ pour $k>0$.

c. Démontrer que, pour tout $k>0$, ${\mathrm{A}}_k$ appartient à la droite d'équation $y=x.$

1. Écrire une fonction solution d'arguments k et x (correspondant à $k$ et $x$) qui renvoie la valeur de $f_k(x)$ où $f_k$ est une solution de l'équation $(\mathrm{E})$.

2. a. En utilisant, par exemple, les modules mathplotlib et numpy, afficher les courbes des fonctions $f_k$ et $f_{-k}$, pour $k$ variant de $0$ à $10$ avec un pas de $1$.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 5, 100)
plt.axis([-2, 5, -5, 5])
for k in range(11):
	plt.plot(x, k*np.exp(-x) + x - 1)
	plt.plot(x, -k*np.exp(-x) + x - 1)
plt.show()

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur la position de la courbe de $f_k$ par rapport à celle de $f_{-k}$ ?

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Utiliser la fonction solution définie à la question 1., pour déterminer solution(1,0).
Interpréter le résultat obtenu.

b. Que peut‑on en déduire pour la courbe de la fonction $f_1$ ?

4. Pour cette question, on se restreint à $k>0$.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions $f_k$ admettent un minimum sur $\mathbb{R}$, atteint en $x=\ln (k)$.

b. Soit le point ${\mathrm{A}}_k$ de ${\mathcal{C}}_k$ d'abscisse $\ln (k)$. En utilisant une boucle pour des valeurs entières de $k$ allant de $1$ à $100$, conjecturer l'ordonnée du point ${\mathrm{A}}_k$.

c. Démontrer que, pour tout $k>0$, ${\mathrm{A}}_k$ appartient à la droite d'équation $y=x$.