Famille de solutions d'une équation différentielle

1. a. Sur GeoGebra, créer un curseur k variant de -100 à 100 avec un incrément de 0{,}01.


b. En activant leur trace et en faisant varier le curseur k, afficher les courbes \mathcal{C}_k des fonctions f_k définies sur \R par f_{k}(x)=k \mathrm{e}^{-x}+x-1.

c. À l'aide des courbes obtenues, conjecturer les variations des fonctions f_k sur \R en fonction de k.

d. Démontrer cette conjecture.

2. a. Tracer la droite \Delta d'équation y = x - 1 puis conjecturer la position des courbes \mathcal{C}_k par rapport à la droite \Delta suivant la valeur de k.

b. Démontrer cette conjecture.

3. a. Placer le point \mathrm{J}(0~; 1) puis conjecturer le nombre de courbes \mathcal{C}_k passant par le point \mathrm{J}.
b. Démontrer cette conjecture.

4. Pour cette question, on se restreint à k > 0.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions f_k admettent un minimum sur \R, atteint en x=\ln (k).

b. Soit le point \mathrm{A}_k de \mathcal{C}_k d'abscisse \ln (k). En activant sa trace et en faisant varier le curseur k, conjecturer la nature de l'ensemble des points \mathrm{A}_k pour k>0.

c. Démontrer que, pour tout k > 0, \mathrm{A}_k appartient à la droite d'équation y = x.

1. Écrire une fonction solution d'arguments k et x (correspondant à k et x) qui renvoie la valeur de f_{k}(x) où f_k est une solution de l'équation (\mathrm{E}).

2. a. En utilisant, par exemple, les modules mathplotlib et numpy, afficher les courbes des fonctions f_k et f_{-k}, pour k variant de 0 à 10 avec un pas de 1.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 5, 100)
plt.axis([-2, 5, -5, 5])
for k in range(11):
	plt.plot(x, k*np.exp(-x) + x - 1)
	plt.plot(x, -k*np.exp(-x) + x - 1)
plt.show()

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur la position de la courbe de f_k par rapport à celle de f_{-k} ?

c. Démontrer cette conjecture.

3. a. Utiliser la fonction solution définie à la question 1., pour déterminer solution(1,0).
Interpréter le résultat obtenu.

b. Que peut‑on en déduire pour la courbe de la fonction f_1 ?

4. Pour cette question, on se restreint à k > 0.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions f_k admettent un minimum sur \R, atteint en x=\ln (k).

b. Soit le point \mathrm{A}_k de \mathcal{C}_k d'abscisse \ln (k). En utilisant une boucle pour des valeurs entières de k allant de 1 à 100, conjecturer l'ordonnée du point \mathrm{A}_k.

c. Démontrer que, pour tout k > 0, \mathrm{A}_k appartient à la droite d'équation y = x.