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TP2. Famille de solutions d’une équation différentielle
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2
Famille de solutions d’une équation différentielle




Énoncé

Pour tout réel xx, on considère l’équation différentielle (E):y(x)+y(x)=x(\mathrm{E}): y^{\prime}(x)+y(x)=x. On va étudier la famille des solutions de cette équation différentielle.

Objectif

Étudier une famille de solutions d’une équation différentielle à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Déterminer une solution φ\varphi de l’équation (E)(\mathrm{E}) telle que φ\varphi soit une fonction affine.


2. Soit (E0):y+y=0\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}+y=0 l’équation homogène associée à (E)(\mathrm{E}). Déterminer les solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}) et en déduire que les solutions fkf_k de (E)(\mathrm{E}) sont définies sur R\R par fk(x)=kex+x1f_{k}(x)=k \mathrm{e}^{-x}+x-1, avec kRk \in \mathbb{R}.


3. Déterminer la solution fk0f_{k_0} de (E)(\mathrm{E}) telle que fk0(0)=1f_{k_{0}}(0)=1.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

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1. a. Sur GeoGebra, créer un curseur kk variant de 100-100 à 100100 avec un incrément de 0,010{,}01.

b. En activant leur trace et en faisant varier le curseur kk, afficher les courbes Ck\mathcal{C}_k des fonctions fkf_k définies sur R\R par fk(x)=kex+x1f_{k}(x)=k \mathrm{e}^{-x}+x-1.

c. À l’aide des courbes obtenues, conjecturer les variations des fonctions fkf_k sur R\R en fonction de kk.


d. Démontrer cette conjecture.


2. a. Tracer la droite Δ\Delta d’équation y=x1y = x - 1 puis conjecturer la position des courbes Ck\mathcal{C}_k par rapport à la droite Δ\Delta suivant la valeur de kk.


b. Démontrer cette conjecture.


3. a. Placer le point J(0 ;1)\mathrm{J}(0~; 1) puis conjecturer le nombre de courbes Ck\mathcal{C}_k passant par le point J\mathrm{J}.

b. Démontrer cette conjecture.


4. Pour cette question, on se restreint à k>0k > 0.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions fkf_k admettent un minimum sur R\R, atteint en x=ln(k)x=\ln (k).


b. Soit le point Ak\mathrm{A}_k de Ck\mathcal{C}_k d’abscisse ln(k)\ln (k). En activant sa trace et en faisant varier le curseur kk, conjecturer la nature de l’ensemble des points Ak\mathrm{A}_k pour k>0k>0.


c. Démontrer que, pour tout k>0k > 0, Ak\mathrm{A}_k appartient à la droite d’équation y=x.y = x.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. Écrire une fonction solution d’arguments k et x (correspondant à kk et xx) qui renvoie la valeur de fk(x)f_{k}(x)fkf_k est une solution de l’équation (E)(\mathrm{E}).



2. a. En utilisant, par exemple, les modules mathplotlib et numpy, afficher les courbes des fonctions fkf_k et fkf_{-k}, pour kk variant de 00 à 1010 avec un pas de 11.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 5, 100)
plt.axis([-2, 5, -5, 5])
for k in range(11):
	plt.plot(x, k*np.exp(-x) + x - 1)
	plt.plot(x, -k*np.exp(-x) + x - 1)
plt.show()

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur la position de la courbe de fkf_k par rapport à celle de fkf_{-k} ?


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Utiliser la fonction solution définie à la question 1., pour déterminer solution(1,0).
Interpréter le résultat obtenu.


b. Que peut‑on en déduire pour la courbe de la fonction f1f_1 ?


4. Pour cette question, on se restreint à k>0k > 0.
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions fkf_k admettent un minimum sur R\R, atteint en x=ln(k)x=\ln (k).


b. Soit le point Ak\mathrm{A}_k de Ck\mathcal{C}_k d’abscisse ln(k)\ln (k). En utilisant une boucle pour des valeurs entières de kk allant de 11 à 100100, conjecturer l’ordonnée du point Ak\mathrm{A}_k.


Aide
Sur Python, la fonction ln\ln est appelée log du module math.


c. Démontrer que, pour tout k>0k > 0, Ak\mathrm{A}_k appartient à la droite d’équation y=xy = x.
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