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TP2. Famille de solutions d’une équation différentielle
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2
Famille de solutions d’une équation différentielle




Énoncé

Pour tout réel , on considère l’équation différentielle . On va étudier la famille des solutions de cette équation différentielle.

Objectif

Étudier une famille de solutions d’une équation différentielle à l’aide d’une des deux méthodes.

Questions préliminaires :

1. Déterminer une solution de l’équation telle que soit une fonction affine.


2. Soit l’équation homogène associée à . Déterminer les solutions de et en déduire que les solutions de sont définies sur par , avec .


3. Déterminer la solution de telle que .
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
GEOGEBRA

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1. a. Sur GeoGebra, créer un curseur variant de à avec un incrément de .

b. En activant leur trace et en faisant varier le curseur , afficher les courbes des fonctions définies sur par .

c. À l’aide des courbes obtenues, conjecturer les variations des fonctions sur en fonction de .


d. Démontrer cette conjecture.


2. a. Tracer la droite d’équation puis conjecturer la position des courbes par rapport à la droite suivant la valeur de .


b. Démontrer cette conjecture.


3. a. Placer le point puis conjecturer le nombre de courbes passant par le point .

b. Démontrer cette conjecture.


4. Pour cette question, on se restreint à .
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions admettent un minimum sur , atteint en .


b. Soit le point de d’abscisse . En activant sa trace et en faisant varier le curseur , conjecturer la nature de l’ensemble des points pour .


c. Démontrer que, pour tout , appartient à la droite d’équation
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
PYTHON

1. Écrire une fonction solution d’arguments k et x (correspondant à et ) qui renvoie la valeur de est une solution de l’équation .



2. a. En utilisant, par exemple, les modules mathplotlib et numpy, afficher les courbes des fonctions et , pour variant de à avec un pas de .

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-2, 5, 100)
plt.axis([-2, 5, -5, 5])
for k in range(11):
	plt.plot(x, k*np.exp(-x) + x - 1)
	plt.plot(x, -k*np.exp(-x) + x - 1)
plt.show()

b. Quelle conjecture peut‑on faire sur la position de la courbe de par rapport à celle de  ?


c. Démontrer cette conjecture.


3. a. Utiliser la fonction solution définie à la question 1., pour déterminer solution(1,0).
Interpréter le résultat obtenu.


b. Que peut‑on en déduire pour la courbe de la fonction  ?


4. Pour cette question, on se restreint à .
a. Justifier que, dans ce cas, les fonctions admettent un minimum sur , atteint en .


b. Soit le point de d’abscisse . En utilisant une boucle pour des valeurs entières de allant de à , conjecturer l’ordonnée du point .


Aide
Sur Python, la fonction est appelée log du module math.


c. Démontrer que, pour tout , appartient à la droite d’équation .
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