Travailler les automatismes

19

Les fonctions x \mapsto 4x+1 et x \mapsto 4x sont‑elles des primitives sur \R de la même fonction ? Justifier.

20

Montrer que x \mapsto x^{2} et x \mapsto x^{2}-1 sont solutions de l'équation différentielle y'=2x.

21

1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x}} définies sur ] 0~;+\infty[.

2. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} définies sur ] 0~;+\infty[.

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=\frac{2}{x^{3}} définies sur ] 0~;+\infty[.

22

1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}.

2. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{3 x+1}.

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=-3 x^{2} \mathrm{e}^{-x^{3}}.

23

1. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=y.

2. Déterminer les solutions de l'équation différentielle \frac{y^{\prime}}{3}+y=0.

3. Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}-y=1.

4. Déterminer les solutions de l'équation différentielle 3 y^{\prime}=3 y-3.

25

Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}+y=x après avoir vérifié que \varphi: x \mapsto x-1 en est une solution particulière.

28

Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction définie par f(x)=\mathrm{e}^{x} telle que \mathrm{F}(0)=\mathrm{e}.

30

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée. 1. x \mapsto \mathrm{e}^{x}-2 \mathrm{e}^{-x}

2. x \mapsto \frac{2 x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}

3. x \mapsto \frac{x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}

4. x \mapsto \frac{9 x^{2}-3}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}

31

Dans chaque cas, déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f qui respecte la condition donnée. 1. f: x \mapsto x^{2} \mathrm{e}^{x^{3}} avec \mathrm{F}(1)=\mathrm{e}.

2. f: x \mapsto-x\left(1-x^{2}\right)^{3} avec \mathrm{F}(0)=-\frac{1}{2}.

33

Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=\frac{1}{x^{3}} définies sur ]0~;+\infty[.

34

Déterminer les solutions de l'équation différentielle y^{\prime}=x^{2}-\frac{1}{\sqrt{x}} définies sur ]0~;+\infty[.

35

Dans chaque cas, montrer que la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f sur l'intervalle \text{I} considéré. 1. \mathrm{F}: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{2 x+1} ; f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}(2 x-1)}{(2 x+1)^{2}} ; \mathrm{I}=]-\frac{1}{2} ;+\infty[

2. \mathrm{F}: x \mapsto(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x ; f: x \mapsto(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}

36

Déterminer dans chaque cas les valeurs des paramètres a, b, c et d pour lesquelles la fonction \text{F} est une primitive de f sur \R. 1. f(x)=x^{2}-3 x+5 et \mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.

2. f(x)=-5 x^{2}+7 x-1 et \mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.

39

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle y^{\prime}=x-1 telle que \mathrm{F}(1)=-1.

40

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle y^{\prime}=x^{2}-x+1 telle que \mathrm{F}(0)=0.

41

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle y^{\prime}=x^{3}+x+\frac{1}{x^{2}} définie sur ]0~;+\infty[ telle que \mathrm{F}(1)=\frac{3}{4}.

42

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle y^{\prime}=\frac{2 x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{5}} définie sur ]-\infty~; 0[ telle que \mathrm{F}(-1)=1.

43

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l'équation différentielle donnée. 1. y^{\prime}-\frac{1}{2} y=0

2. 2 y^{\prime}-3 y=8 y+4 y^{\prime}

3. 5 y^{\prime}+3 y=0

4. -\frac{3}{2} y^{\prime}-\sqrt{2} y=0

44

Dans chaque cas, déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée. 1. y^{\prime}+\sqrt{2} y=0 avec \mathrm{F}(\sqrt{2})=1.

2. 2 y^{\prime}-3 y=2 y+3 y^{\prime} avec \mathrm{F}(0)=5.

3. \frac{1}{2} y^{\prime}+y=\frac{1}{2} y-y^{\prime} avec \mathrm{F}(3)=\frac{1}{\mathrm{e}}.

47

Montrer que \varphi: x \mapsto 3 x-1 est une solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+3 y=9 x, puis donner toutes les solutions de (\mathrm{E}).

48

Après avoir déterminé une fonction affine \varphi solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-y=2 x, déterminer la solution \text{F} de (\mathrm{E}) telle que \mathrm{F}(0)=-2.

49

Montrer que \varphi: x \mapsto-x^{2}-x-1 est une solution particulière de l'équation différentielle y^{\prime}-3 y=3 x^{2}+x+2, puis donner toutes les solutions de cette équation.

50

Après avoir déterminé une fonction polynôme du second degré \varphi solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=4 x^{2}-2 x+1, déterminer la solution \text{F} de (\mathrm{E}) telle que \mathrm{F}(0)=4.

51

Montrer que \varphi: x \mapsto x \mathrm{e}^{-x} est une solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}, puis donner toutes les solutions de cette équation.

52

Après avoir déterminé une fonction \varphi de la forme x \mapsto m x \mathrm{e}^{2 x} (avec m \in \R) solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{2 x}, déterminer la solution \text{F} de (\mathrm{E}) telle que \mathrm{F}(0)=-1.

53

Déterminer une fonction \varphi de la forme x \mapsto\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2 x} (où a, b et c sont réels) solution particulière de l'équation différentielle (\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-3 y=\left(x^{2}+5 x+3\right) \mathrm{e}^{2 x}, puis donner toutes les solutions de cette équation.

54

Après avoir déterminé une solution particulière \varphi de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+y=2 x \mathrm{e}^{-x} sous la forme x \mapsto a x^{2} \mathrm{e}^{-x} (avec a \in \R), déterminer la solution \text{F} de (\mathrm{E}) telle que \mathrm{F}(-1)=1.

56

Déterminer deux équations différentielles distinctes vérifiées par la fonction x \mapsto 3 x^{2}-2 x+1.