Travailler les automatismes

À L'ORAL

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19

Les fonctions $x \mapsto 4x+1$ et $x \mapsto 4x$ sont‑elles des primitives sur $\R$ de la même fonction ? Justifier.

20

Montrer que $x \mapsto x^{2}$ et $x \mapsto x^{2}-1$ sont solutions de l’équation différentielle $y'=2x$.

21

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$ définies sur $] 0~;+\infty[$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=-\dfrac{1}{x^{2}}$ définies sur $] 0~;+\infty[$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=\dfrac{2}{x^{3}}$ définies sur $] 0~;+\infty[$.

22

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=\mathrm{e}^{x}$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{3 x+1}$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=-3 x^{2} \mathrm{e}^{-x^{3}}$.

23

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=y$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\dfrac{y^{\prime}}{3}+y=0$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}-y=1$.


4. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $3 y^{\prime}=3 y-3$.

24

La fonction $\varphi: x \mapsto x+2$ est‑elle une solution de l’équation différentielle $2 y^{\prime}=y+x$ ? Justifier.

25

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}+y=x$ après avoir vérifié que $\varphi: x \mapsto x-1$ en est une solution particulière.

26

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. $x \mapsto-3$


2. $x \mapsto 2 x-\dfrac{1}{3}$


3. $x \mapsto \dfrac{x^{2}}{3}-x$


4. $x \mapsto 3 x^{2}+\dfrac{2 x}{3}-8$

27

Déterminer sur $] 0~;+\infty[$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-1$ vérifiant $\mathrm{F}(1)=-1$.

28

Déterminer sur $\R$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ telle que $\mathrm{F}(0)=\mathrm{e}$.

29

Déterminer sur $\R$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)=3 x^{2}-2 x$ telle que $\mathrm{F}(1)=2$.

30

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. $x \mapsto \mathrm{e}^{x}-2 \mathrm{e}^{-x}$


2. $x \mapsto \dfrac{2 x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}$


3. $x \mapsto \dfrac{x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}$


4. $x \mapsto \dfrac{9 x^{2}-3}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}$

31

Dans chaque cas, déterminer sur $\R$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ qui respecte la condition donnée.

1. $f: x \mapsto x^{2} \mathrm{e}^{x^{3}}$ avec $\mathrm{F}(1)=\mathrm{e}$.


2. $f: x \mapsto-x\left(1-x^{2}\right)^{3}$ avec $\mathrm{F}(0)=-\dfrac{1}{2}$.

32

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime}=2$


2. $y^{\prime}=1-2 x$


3. $y^{\prime}=5 x-3$


4. $y^{\prime}=x^{2}$


5. $y^{\prime}=3 x^{2}+2 x+1$


6. $y^{\prime}=x^{3}$

33

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=\dfrac{1}{x^{3}}$ définies sur $]0~;+\infty[$.

34

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=x^{2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ définies sur $]0~;+\infty[$.

35

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\text{I}$ considéré.

1. $\mathrm{F}: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2 x+1}$ ; $f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}(2 x-1)}{(2 x+1)^{2}}$ ; $\mathrm{I}=]-\dfrac{1}{2} ;+\infty[$


2. $\mathrm{F}: x \mapsto(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x$ ; $f: x \mapsto(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

36

Déterminer dans chaque cas les valeurs des paramètres $a$, $b$, c$$ et $d$ pour lesquelles la fonction $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\R$.

1. $f(x)=x^{2}-3 x+5$ et $\mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$.


2. $f(x)=-5 x^{2}+7 x-1$ et $\mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$.

37

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}$.

38

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime}=-2 \mathrm{e}^{-2 x}$


2. $y^{\prime}=4 \mathrm{e}^{-5 x}$


3. $y^{\prime}=-2 \mathrm{e}^{6 x-7}$


4. $y^{\prime}=x \mathrm{e}^{-x^{2}}$

39

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=x-1$ telle que $\mathrm{F}(1)=-1$.

40

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=x^{2}-x+1$ telle que $\mathrm{F}(0)=0$.

41

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=x^{3}+x+\dfrac{1}{x^{2}}$ définie sur $]0~;+\infty[$ telle que $\mathrm{F}(1)=\dfrac{3}{4}$.

42

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=\dfrac{2 x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{5}}$ définie sur $]-\infty~; 0[$ telle que $\mathrm{F}(-1)=1$.

43

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime}-\dfrac{1}{2} y=0$


2. $2 y^{\prime}-3 y=8 y+4 y^{\prime}$


3. $5 y^{\prime}+3 y=0$


4. $-\dfrac{3}{2} y^{\prime}-\sqrt{2} y=0$

44

Dans chaque cas, déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. $y^{\prime}+\sqrt{2} y=0$ avec $\mathrm{F}(\sqrt{2})=1$.


2. $2 y^{\prime}-3 y=2 y+3 y^{\prime}$ avec $\mathrm{F}(0)=5$.


3. $\dfrac{1}{2} y^{\prime}+y=\dfrac{1}{2} y-y^{\prime}$ avec $\mathrm{F}(3)=\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

45

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $2 y^{\prime}-y=2$


2. $\sqrt{2} y^{\prime}=\sqrt{6} y-1$

46

Dans chaque cas, déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. $2 y^{\prime}+3 y=3 y^{\prime}-2 y+3$ avec $\mathrm{F}\left(\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{2}{5}$.


2. $2 y^{\prime}-3 y=2 y-3 y^{\prime}+5$ avec $\mathrm{F}(0)=1$.


3. $3 y^{\prime}-3 y=2 y^{\prime}-2 y+\mathrm{e}^{2}$ avec $\mathrm{F}(2)=2 \mathrm{e}^{2}$.

47

Montrer que $\varphi: x \mapsto 3 x-1$ est une solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+3 y=9 x$, puis donner toutes les solutions de $(\mathrm{E})$.

48

Après avoir déterminé une fonction affine $\varphi$ solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-y=2 x$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=-2$.

49

Montrer que $\varphi: x \mapsto-x^{2}-x-1$ est une solution particulière de l’équation différentielle $y^{\prime}-3 y=3 x^{2}+x+2$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

50

Après avoir déterminé une fonction polynôme du second degré $\varphi$ solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=4 x^{2}-2 x+1$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=4$.

51

Montrer que $\varphi: x \mapsto x \mathrm{e}^{-x}$ est une solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

52

Après avoir déterminé une fonction $\varphi$ de la forme $x \mapsto m x \mathrm{e}^{2 x}$ (avec $m \in \R$) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=-1$.

53

Déterminer une fonction $\varphi$ de la forme $x \mapsto\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2 x}$ (où $a$, $b$ et $c$ sont réels) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-3 y=\left(x^{2}+5 x+3\right) \mathrm{e}^{2 x}$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

54

Après avoir déterminé une solution particulière $\varphi$ de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=2 x \mathrm{e}^{-x}$ sous la forme $x \mapsto a x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ (avec $a \in \R$), déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(-1)=1$.

55

Déterminer une fonction $\varphi$ de la forme $x \mapsto\left(a x^{2}+b x\right) \mathrm{e}^{-2 x}$ (où $a$ et $b$ sont réels) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=(2 x+1) \mathrm{e}^{-2 x}$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

56

Déterminer deux équations différentielles distinctes vérifiées par la fonction $x \mapsto 3 x^{2}-2 x+1$.

57

Déterminer une équation différentielle dont une solution est $x \mapsto-4 \mathrm{e}^{5 x}$.