Déterminer dans chaque cas les valeurs des paramètres a, b, c et d pour lesquelles la fonction F est une primitive de f sur R.
1.f(x)=x2−3x+5 et F(x)=ax3+bx2+cx+d.
2.f(x)=−5x2+7x−1 et F(x)=ax3+bx2+cx+d.
Équations différentielles et fonction exponentielle
37
Déterminer les solutions de l’équation différentielle y′=−ex.
38
Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.
1.y′=−2e−2x
2.y′=4e−5x
3.y′=−2e6x−7
4.y′=xe−x2
Équations différentielles avec condition initiale
39
Déterminer la solution F de l’équation différentielle y′=x−1 telle que F(1)=−1.
40
Déterminer la solution F de l’équation différentielle y′=x2−x+1 telle que F(0)=0.
41
Déterminer la solution F de l’équation différentielle y′=x3+x+x21 définie sur ]0;+∞[ telle que F(1)=43.
42
Déterminer la solution F de l’équation différentielle y′=x52x3−3x2+2 définie sur ]−∞;0[ telle que F(−1)=1.
Équations différentielles y′=ay+b
43
Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.
1.y′−21y=0
2.2y′−3y=8y+4y′
3.5y′+3y=0
4.−23y′−2y=0
44
Dans chaque cas, déterminer la solution F de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.
1.y′+2y=0 avec F(2)=1.
2.2y′−3y=2y+3y′ avec F(0)=5.
3.21y′+y=21y−y′ avec F(3)=e1.
45
Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.
1.2y′−y=2
2.2y′=6y−1
46
Dans chaque cas, déterminer la solution F de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.
1.2y′+3y=3y′−2y+3 avec F(51)=−52.
2.2y′−3y=2y−3y′+5 avec F(0)=1.
3.3y′−3y=2y′−2y+e2 avec F(2)=2e2.
Équations différentielles y′=ay+f
47
Montrer que φ:x↦3x−1 est une solution particulière de l’équation différentielle (E):y′+3y=9x, puis donner toutes les solutions de (E).
48
Après avoir déterminé une fonction affine φ solution particulière de l’équation différentielle (E):2y′−y=2x, déterminer la solution F de (E) telle que F(0)=−2.
49
Montrer que φ:x↦−x2−x−1 est une solution particulière de l’équation différentielle y′−3y=3x2+x+2, puis donner toutes les solutions de cette équation.
50
Après avoir déterminé une fonction polynôme
du second degré φ solution particulière de l’équation différentielle (E):y′+2y=4x2−2x+1, déterminer la solution F de (E) telle que F(0)=4.
51
Montrer que φ:x↦xe−x est une solution particulière de l’équation différentielle (E):y′+y=e−x, puis donner toutes les solutions de cette équation.
52
Après avoir déterminé une fonction φ de la forme x↦mxe2x (avec m∈R) solution particulière de l’équation différentielle (E):y′−2y=2e2x, déterminer la solution F de (E) telle que F(0)=−1.
53
Déterminer une fonction φ de la forme x↦(ax2+bx+c)e2x (où a, b et c sont réels) solution particulière de l’équation différentielle (E):2y′−3y=(x2+5x+3)e2x, puis donner toutes les
solutions de cette équation.
54
Après avoir déterminé une solution particulière φ de l’équation différentielle (E):y′+y=2xe−x sous la forme x↦ax2e−x (avec a∈R), déterminer la solution F de (E) telle que F(−1)=1.
55
Déterminer une fonction φ de la forme x↦(ax2+bx)e−2x (où a et b sont réels) solution particulière de l’équation différentielle (E):y′+2y=(2x+1)e−2x, puis donner toutes les
solutions de cette équation.
Exercices inversés
56
Déterminer deux équations différentielles distinctes vérifiées par la fonction x↦3x2−2x+1.
57
Déterminer une équation différentielle dont une solution est x↦−4e5x.
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