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Travailler les automatismes
P.298-299

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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19

Les fonctions x4x+1x \mapsto 4x+1 et x4xx \mapsto 4x sont‑elles des primitives sur R\R de la même fonction ? Justifier.
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20

Montrer que xx2x \mapsto x^{2} et xx21x \mapsto x^{2}-1 sont solutions de l’équation différentielle y=2xy'=2x.
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21

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=12xy^{\prime}=\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} définies sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=1x2y^{\prime}=-\dfrac{1}{x^{2}} définies sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=2x3y^{\prime}=\dfrac{2}{x^{3}} définies sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[.
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22

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=exy^{\prime}=\mathrm{e}^{x}.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=3e3x+1y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{3 x+1}.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=3x2ex3y^{\prime}=-3 x^{2} \mathrm{e}^{-x^{3}}.
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23

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=yy^{\prime}=y.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle y3+y=0\dfrac{y^{\prime}}{3}+y=0.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle yy=1y^{\prime}-y=1.


4. Déterminer les solutions de l’équation différentielle 3y=3y33 y^{\prime}=3 y-3.
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24

La fonction φ:xx+2\varphi: x \mapsto x+2 est‑elle une solution de l’équation différentielle 2y=y+x2 y^{\prime}=y+x ? Justifier.
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25

Déterminer les solutions de l’équation différentielle y+y=xy^{\prime}+y=x après avoir vérifié que φ:xx1\varphi: x \mapsto x-1 en est une solution particulière.
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Déterminer des primitives


26

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. x3x \mapsto-3


2. x2x13x \mapsto 2 x-\dfrac{1}{3}


3. xx23xx \mapsto \dfrac{x^{2}}{3}-x


4. x3x2+2x38x \mapsto 3 x^{2}+\dfrac{2 x}{3}-8
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27

Déterminer sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ la primitive F\text{F} de la fonction définie par f(x)=1x21f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-1 vérifiant F(1)=1\mathrm{F}(1)=-1.
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28

Déterminer sur R\R la primitive F\text{F} de la fonction définie par f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^{x} telle que F(0)=e\mathrm{F}(0)=\mathrm{e}.
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29

Déterminer sur R\R la primitive F\text{F} de la fonction définie par f(x)=3x22xf(x)=3 x^{2}-2 x telle que F(1)=2\mathrm{F}(1)=2.
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30

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. xex2exx \mapsto \mathrm{e}^{x}-2 \mathrm{e}^{-x}


2. x2x(x2+3)2x \mapsto \dfrac{2 x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}


3. xx2x2+1x \mapsto \dfrac{x}{2 \sqrt{x^{2}+1}}


4. x9x23(x3x)2x \mapsto \dfrac{9 x^{2}-3}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}
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31

Dans chaque cas, déterminer sur R\R la primitive F\text{F} de la fonction ff qui respecte la condition donnée.

1. f:xx2ex3f: x \mapsto x^{2} \mathrm{e}^{x^{3}} avec F(1)=e\mathrm{F}(1)=\mathrm{e}.


2. f:xx(1x2)3f: x \mapsto-x\left(1-x^{2}\right)^{3} avec F(0)=12\mathrm{F}(0)=-\dfrac{1}{2}.
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Équations différentielles et fonctions de référence


32

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. y=2y^{\prime}=2


2. y=12xy^{\prime}=1-2 x


3. y=5x3y^{\prime}=5 x-3


4. y=x2y^{\prime}=x^{2}


5. y=3x2+2x+1y^{\prime}=3 x^{2}+2 x+1


6. y=x3y^{\prime}=x^{3}
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33

Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=1x3y^{\prime}=\dfrac{1}{x^{3}} définies sur ]0 ;+[]0~;+\infty[.
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34

Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=x21xy^{\prime}=x^{2}-\dfrac{1}{\sqrt{x}} définies sur ]0 ;+[]0~;+\infty[.
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Montrer qu’une fonction est une primitive


35

Dans chaque cas, montrer que la fonction F\text{F} est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle I\text{I} considéré.

1. F:xex2x+1\mathrm{F}: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{2 x+1} ; f:xex(2x1)(2x+1)2f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}(2 x-1)}{(2 x+1)^{2}} ; I=]12;+[\mathrm{I}=]-\dfrac{1}{2} ;+\infty[


2. F:x(6x14)e0,6x1,4x\mathrm{F}: x \mapsto(-6 x-14) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 x ; f:x(3,6x+2,4)e0,6x1,4f: x \mapsto(3{,}6 x+2{,}4) \mathrm{e}^{-0{,}6 x}-1{,}4 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}
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36

Déterminer dans chaque cas les valeurs des paramètres aa, bb, c et dd pour lesquelles la fonction F\text{F} est une primitive de ff sur R\R.

1. f(x)=x23x+5f(x)=x^{2}-3 x+5 et F(x)=ax3+bx2+cx+d\mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.


2. f(x)=5x2+7x1f(x)=-5 x^{2}+7 x-1 et F(x)=ax3+bx2+cx+d\mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
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Équations différentielles et fonction exponentielle


37

Déterminer les solutions de l’équation différentielle y=exy^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}.
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38

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. y=2e2xy^{\prime}=-2 \mathrm{e}^{-2 x}


2. y=4e5xy^{\prime}=4 \mathrm{e}^{-5 x}


3. y=2e6x7y^{\prime}=-2 \mathrm{e}^{6 x-7}


4. y=xex2y^{\prime}=x \mathrm{e}^{-x^{2}}
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Équations différentielles avec condition initiale


39

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle y=x1y^{\prime}=x-1 telle que F(1)=1\mathrm{F}(1)=-1.
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40

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle y=x2x+1y^{\prime}=x^{2}-x+1 telle que F(0)=0\mathrm{F}(0)=0.
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41

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle y=x3+x+1x2y^{\prime}=x^{3}+x+\dfrac{1}{x^{2}} définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ telle que F(1)=34\mathrm{F}(1)=\dfrac{3}{4}.
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42

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle y=2x33x2+2x5y^{\prime}=\dfrac{2 x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{5}} définie sur ] ;0[]-\infty~; 0[ telle que F(1)=1\mathrm{F}(-1)=1.
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Équations différentielles y=ay+b\boldsymbol{y'=ay+b}


43

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. y12y=0y^{\prime}-\dfrac{1}{2} y=0


2. 2y3y=8y+4y2 y^{\prime}-3 y=8 y+4 y^{\prime}


3. 5y+3y=05 y^{\prime}+3 y=0


4. 32y2y=0-\dfrac{3}{2} y^{\prime}-\sqrt{2} y=0
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44

Dans chaque cas, déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. y+2y=0y^{\prime}+\sqrt{2} y=0 avec F(2)=1\mathrm{F}(\sqrt{2})=1.


2. 2y3y=2y+3y2 y^{\prime}-3 y=2 y+3 y^{\prime} avec F(0)=5\mathrm{F}(0)=5.


3. 12y+y=12yy\dfrac{1}{2} y^{\prime}+y=\dfrac{1}{2} y-y^{\prime} avec F(3)=1e\mathrm{F}(3)=\dfrac{1}{\mathrm{e}}.
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45

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. 2yy=22 y^{\prime}-y=2


2. 2y=6y1\sqrt{2} y^{\prime}=\sqrt{6} y-1
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46

Dans chaque cas, déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. 2y+3y=3y2y+32 y^{\prime}+3 y=3 y^{\prime}-2 y+3 avec F(15)=25\mathrm{F}\left(\dfrac{1}{5}\right)=-\dfrac{2}{5}.


2. 2y3y=2y3y+52 y^{\prime}-3 y=2 y-3 y^{\prime}+5 avec F(0)=1\mathrm{F}(0)=1.


3. 3y3y=2y2y+e23 y^{\prime}-3 y=2 y^{\prime}-2 y+\mathrm{e}^{2} avec F(2)=2e2\mathrm{F}(2)=2 \mathrm{e}^{2}.
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Équations différentielles y=ay+f\boldsymbol{y'=ay+f}


47

Montrer que φ:x3x1\varphi: x \mapsto 3 x-1 est une solution particulière de l’équation différentielle (E):y+3y=9x(\mathrm{E}): y^{\prime}+3 y=9 x, puis donner toutes les solutions de (E)(\mathrm{E}).
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48

Après avoir déterminé une fonction affine φ\varphi solution particulière de l’équation différentielle (E):2yy=2x(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-y=2 x, déterminer la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) telle que F(0)=2\mathrm{F}(0)=-2.
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49

Montrer que φ:xx2x1\varphi: x \mapsto-x^{2}-x-1 est une solution particulière de l’équation différentielle y3y=3x2+x+2y^{\prime}-3 y=3 x^{2}+x+2, puis donner toutes les solutions de cette équation.
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50

Après avoir déterminé une fonction polynôme du second degré φ\varphi solution particulière de l’équation différentielle (E):y+2y=4x22x+1(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=4 x^{2}-2 x+1, déterminer la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) telle que F(0)=4\mathrm{F}(0)=4.
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51

Montrer que φ:xxex\varphi: x \mapsto x \mathrm{e}^{-x} est une solution particulière de l’équation différentielle (E):y+y=ex(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=\mathrm{e}^{-x}, puis donner toutes les solutions de cette équation.
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52

Après avoir déterminé une fonction φ\varphi de la forme xmxe2xx \mapsto m x \mathrm{e}^{2 x} (avec mRm \in \R) solution particulière de l’équation différentielle (E):y2y=2e2x(\mathrm{E}): y^{\prime}-2 y=2 \mathrm{e}^{2 x}, déterminer la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) telle que F(0)=1\mathrm{F}(0)=-1.
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53

Déterminer une fonction φ\varphi de la forme x(ax2+bx+c)e2xx \mapsto\left(a x^{2}+b x+c\right) \mathrm{e}^{2 x} (où aa, bb et cc sont réels) solution particulière de l’équation différentielle (E):2y3y=(x2+5x+3)e2x(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}-3 y=\left(x^{2}+5 x+3\right) \mathrm{e}^{2 x}, puis donner toutes les solutions de cette équation.
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54

Après avoir déterminé une solution particulière φ\varphi de l’équation différentielle (E):y+y=2xex(\mathrm{E}): y^{\prime}+y=2 x \mathrm{e}^{-x} sous la forme xax2exx \mapsto a x^{2} \mathrm{e}^{-x} (avec aRa \in \R), déterminer la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) telle que F(1)=1\mathrm{F}(-1)=1.
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55

Déterminer une fonction φ\varphi de la forme x(ax2+bx)e2xx \mapsto\left(a x^{2}+b x\right) \mathrm{e}^{-2 x} (où aa et bb sont réels) solution particulière de l’équation différentielle (E):y+2y=(2x+1)e2x(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=(2 x+1) \mathrm{e}^{-2 x}, puis donner toutes les solutions de cette équation.
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Exercices inversés


56

Déterminer deux équations différentielles distinctes vérifiées par la fonction x3x22x+1x \mapsto 3 x^{2}-2 x+1.
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57

Déterminer une équation différentielle dont une solution est x4e5xx \mapsto-4 \mathrm{e}^{5 x}.
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