Travailler les automatismes

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19

Les fonctions $x\mapsto 4x+1$ et $x\mapsto 4x$ sont‑elles des primitives sur $\mathbb{R}$ de la même fonction ? Justifier.

20

Montrer que $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x^2-1$ sont solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=2x$.

21

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ définies sur $]0;+\infty [$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ définies sur $]0;+\infty [$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{2}{x^3}$ définies sur $]0;+\infty [$.

22

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }={\mathrm{e}}^x$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=3{\mathrm{e}}^{3x+1}$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=-3x^2{\mathrm{e}}^{-x^3}$.

23

1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=y$.


2. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\frac{y^{\prime }}{3}+y=0$.


3. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }-y=1$.


4. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $3y^{\prime }=3y-3$.

24

La fonction $\phi :x\mapsto x+2$ est‑elle une solution de l’équation différentielle $2y^{\prime }=y+x$ ? Justifier.

25

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }+y=x$ après avoir vérifié que $\phi :x\mapsto x-1$ en est une solution particulière.

26

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. $x\mapsto -3$


2. $x\mapsto 2x-\frac{1}{3}$


3. $x\mapsto \frac{x^2}{3}-x$


4. $x\mapsto 3x^2+\frac{2x}{3}-8$

27

Déterminer sur $]0;+\infty [$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)=\frac{1}{x^2}-1$ vérifiant $\mathrm{F}(1)=-1$.

28

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)={\mathrm{e}}^x$ telle que $\mathrm{F}(0)=\mathrm{e}$.

29

Déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction définie par $f(x)=3x^2-2x$ telle que $\mathrm{F}(1)=2$.

30

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée.

1. $x\mapsto {\mathrm{e}}^x-2{\mathrm{e}}^{-x}$


2. $x\mapsto \frac{2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}$


3. $x\mapsto \frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$


4. $x\mapsto \frac{9x^2-3}{{\left(x^3-x\right)}^2}$

31

Dans chaque cas, déterminer sur $\mathbb{R}$ la primitive $\text{F}$ de la fonction $f$ qui respecte la condition donnée.

1. $f:x\mapsto x^2{\mathrm{e}}^{x^3}$ avec $\mathrm{F}(1)=\mathrm{e}$.


2. $f:x\mapsto -x{\left(1-x^2\right)}^3$ avec $\mathrm{F}(0)=-\frac{1}{2}$.

32

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime }=2$


2. $y^{\prime }=1-2x$


3. $y^{\prime }=5x-3$


4. $y^{\prime }=x^2$


5. $y^{\prime }=3x^2+2x+1$


6. $y^{\prime }=x^3$

33

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{1}{x^3}$ définies sur $]0;+\infty [$.

34

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=x^2-\frac{1}{\sqrt{x}}$ définies sur $]0;+\infty [$.

35

Dans chaque cas, montrer que la fonction $\text{F}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $\text{I}$ considéré.

1. $\mathrm{F}:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{2x+1}$ ; $f:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x(2x-1)}{(2x+1{)}^2}$ ; $\mathrm{I}=]-\frac{1}{2};+\infty [$


2. $\mathrm{F}:x\mapsto (-6x-14){\mathrm{e}}^{-0,6x}-1,4x$ ; $f:x\mapsto (3,6x+2,4){\mathrm{e}}^{-0,6x}-1,4$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

36

Déterminer dans chaque cas les valeurs des paramètres $a$, $b$, c et $d$ pour lesquelles la fonction $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

1. $f(x)=x^2-3x+5$ et $\mathrm{F}(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.


2. $f(x)=-5x^2+7x-1$ et $\mathrm{F}(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$.

37

Déterminer les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=-{\mathrm{e}}^x$.

38

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{-2x}$


2. $y^{\prime }=4{\mathrm{e}}^{-5x}$


3. $y^{\prime }=-2{\mathrm{e}}^{6x-7}$


4. $y^{\prime }=x{\mathrm{e}}^{-x^2}$

39

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=x-1$ telle que $\mathrm{F}(1)=-1$.

40

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=x^2-x+1$ telle que $\mathrm{F}(0)=0$.

41

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=x^3+x+\frac{1}{x^2}$ définie sur $]0;+\infty [$ telle que $\mathrm{F}(1)=\frac{3}{4}$.

42

Déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{2x^3-3x^2+2}{x^5}$ définie sur $]-\infty ;0[$ telle que $\mathrm{F}(-1)=1$.

43

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $y^{\prime }-\frac{1}{2}y=0$


2. $2y^{\prime }-3y=8y+4y^{\prime }$


3. $5y^{\prime }+3y=0$


4. $-\frac{3}{2}{y}^{\prime }-\sqrt{2}y=0$

44

Dans chaque cas, déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. $y^{\prime }+\sqrt{2}y=0$ avec $\mathrm{F}(\sqrt{2})=1$.


2. $2y^{\prime }-3y=2y+3y^{\prime }$ avec $\mathrm{F}(0)=5$.


3. $\frac{1}{2}{y}^{\prime }+y=\frac{1}{2}y-y^{\prime }$ avec $\mathrm{F}(3)=\frac{1}{\mathrm{e}}$.

45

Dans chaque cas, déterminer les solutions de l’équation différentielle donnée.

1. $2y^{\prime }-y=2$


2. $\sqrt{2}{y}^{\prime }=\sqrt{6}y-1$

46

Dans chaque cas, déterminer la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle donnée qui respecte la condition précisée.

1. $2y^{\prime }+3y=3y^{\prime }-2y+3$ avec $\mathrm{F}\left(\frac{1}{5}\right)=-\frac{2}{5}$.


2. $2y^{\prime }-3y=2y-3y^{\prime }+5$ avec $\mathrm{F}(0)=1$.


3. $3y^{\prime }-3y=2y^{\prime }-2y+{\mathrm{e}}^2$ avec $\mathrm{F}(2)=2{\mathrm{e}}^2$.

47

Montrer que $\phi :x\mapsto 3x-1$ est une solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+3y=9x$, puis donner toutes les solutions de $(\mathrm{E})$.

48

Après avoir déterminé une fonction affine $\phi$ solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):2y^{\prime }-y=2x$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=-2$.

49

Montrer que $\phi :x\mapsto -x^2-x-1$ est une solution particulière de l’équation différentielle $y^{\prime }-3y=3x^2+x+2$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

50

Après avoir déterminé une fonction polynôme du second degré $\phi$ solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+2y=4x^2-2x+1$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=4$.

51

Montrer que $\phi :x\mapsto x{\mathrm{e}}^{-x}$ est une solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+y={\mathrm{e}}^{-x}$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

52

Après avoir déterminé une fonction $\phi$ de la forme $x\mapsto mx{\mathrm{e}}^{2x}$ (avec $m\in \mathbb{R}$) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }-2y=2{\mathrm{e}}^{2x}$, déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(0)=-1$.

53

Déterminer une fonction $\phi$ de la forme $x\mapsto \left(a{x}^2+bx+c\right){\mathrm{e}}^{2x}$ (où $a$, $b$ et $c$ sont réels) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):2y^{\prime }-3y=\left(x^2+5x+3\right){\mathrm{e}}^{2x}$, puis donner toutes les solutions de cette équation.

54

Après avoir déterminé une solution particulière $\phi$ de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+y=2x{\mathrm{e}}^{-x}$ sous la forme $x\mapsto a{x}^2{\mathrm{e}}^{-x}$ (avec $a\in \mathbb{R}$), déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}(-1)=1$.

55

Déterminer une fonction $\phi$ de la forme $x\mapsto \left(a{x}^2+bx\right){\mathrm{e}}^{-2x}$ (où $a$ et $b$ sont réels) solution particulière de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+$