Exercices de synthèse

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Python

[Modéliser, Chercher.]

Soit $h$ un réel strictement positif.
On veut dresser un tableau de valeurs sur $[-2;2]$ avec un pas $h$ de la solution d'une équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ et telle que $a\ne 0$ et $b$, $x_0$ et $y_0$ sont des réels saisis par l'utilisateur. On prendra ici $h=0,25$. 1. Écrire sous Python une fonction solution d'argument x qui retourne l'image de $x$ par la solution de $y^{\prime }=ay+b$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

2. Écrire sous Python un programme qui, à partir d'une liste abs de réels dans $[-2;2]$ avec un pas de $h$, crée la liste correspondante ord des images par la fonction solution.

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En physique

[Modéliser, Calculer.]

Lors de la chute d'un objet de masse $m$ sur Terre, une force de frottement due à la résistance de l'air s'applique à cet objet. L'intensité de cette force est proportionnelle à la vitesse instantanée $v$ de l'objet.

Si la chute est verticale, la deuxième loi de Newton permet d'écrire la relation $m\times a(t)=mg-kv(t)$.
La fonction $a$ représente l'accélération de l'objet à l'instant $t$, $g$ désigne l'accélération de la pesanteur (constante) et $k$ est une constante positive.
On rappelle que, pour tout $t⩾0$, on a $a(t)=v^{\prime }(t)$.

1. Déterminer une équation différentielle $(\mathrm{E})$ de la forme $y^{\prime }=\alpha y+\beta$ vérifiée par $v$ (où $\alpha$ et $\beta$ sont réels).

2. Résoudre cette équation puis exprimer $v$ en fonction de $t$.

122

[Chercher, Communiquer.]
Le but de l'exercice est de résoudre l'équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=y^2$

1. Montrer que la fonction constante égale à $0$ est solution de $(\mathrm{E})$.

2. Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et qui ne s'annule pas sur $\text{I}$.
Montrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g$ est solution de l'équation $\frac{y^{\prime }}{y^2}=1$.

3. En déduire les solutions de $(\mathrm{E})$.

4. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ qui vaut $1$ en $0$.

1. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $0$.

b. On pose, pour tout $x\in [0;1]$, $\phi (x)=2x+1$.
Tracer le segment $\left[{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\right]$ dans le repère.


2. On se place maintenant sur l'intervalle $[1;2]$. On prend $\phi (1)$ comme approximation de $f(1)$.
a. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d'abscisse $1$.

b. En déduire l'expression de $\phi$ sur $[1;2]$ et tracer, comme précédemment, le segment $\left[{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\right]$.

3. Plus généralement, on se place sur l'intervalle $[n;n+1]$ où $n$ est un entier compris entre $-2$ et $1$.
a. En prenant $\phi (n)$ comme approximation affine de $f(n)$, démontrer que, sur cet intervalle :

$\phi (x)=f(n)(x+1-n)+x-n$.

b. Déterminer une relation entre $\phi (n+1)$ et $\phi (n)$.

c. Construire les points ${\mathrm{A}}_n$ pour tout entier relatif $n$ vérifiant $-2⩽n⩽2$. Les segments $\left[{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}\right]$ constituent une approximation affine de ${\mathcal{C}}_f$.

4. Vérifier que $f:x\mapsto 2{\mathrm{e}}^x-1$ est solution de $(\mathrm{E})$ et comparer la courbe de $f$ avec celle obtenue à la question 3..

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En biologie

[Modéliser, Calculer.]

Une colonie de 2 000 bactéries est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence. On admet que l'évolution en fonction du temps $t$ en heure ($t⩾0$) du nombre d'individus $\mathrm{N}(t)$ de cette colonie suit l'équation différentielle $(\mathrm{E}):{\mathrm{N}}^{\prime }(t)=3\mathrm{N}(t)-0,005(\mathrm{N}(t){)}^2$.
Pour déterminer $\mathrm{N}(t)$, on se propose de remplacer $(\mathrm{E})$ par une équation plus simple puis de la résoudre.

1. On suppose que la fonction $\text{N}$ ne s'annule pas sur $[0;+\infty [$ et on définit sur $[0;+\infty [$ la fonction $g$ par $g(t)=\frac{1}{\mathrm{N}(t)}$. Déterminer $g^{\prime }(t)$.

2. Montrer que $\text{N}$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g$ est solution de $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):y^{\prime }=-3y+0,005$.

3. Résoudre $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right)$ puis résoudre $(\mathrm{E})$.

a. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ vérifiant la condition initiale indiquée dans l'énoncé.

b. Calculer le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures. Arrondir à l'unité.

125

[Raisonner, Communiquer.]
On se propose de déterminer les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant la condition $(\ast )$ : « Pour tous réels $x$ et $z$, $f(x+z)=f(x)f(z)$. »

1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant la condition $(\ast )$. Montrer que $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=f^{\prime }(0)y$.

2. Résoudre l'équation différentielle $y^{\prime }=f^{\prime }(0)y$.

3. Montrer que si $f$ vérifie la condition $(\ast )$ alors $f(0)=0$ ou $f(0)=1$.

4. Conclure quant aux fonctions vérifiant la condition $(\ast )$.

126

En chimie

[Chercher, Communiquer.]

Une cuve contient vingt litres d'air composé de 20 % de dioxygène (O₂) et de 80 % d'azote (N). On injecte de l'azote dans cette cuve avec un débit de $0,2$ litre par seconde ; le même débit de gaz s'échappe de la cuve.
On suppose que le mélange des gaz est homogène.
On note $x(t)$ la proportion volumique d'azote contenue dans la cuve à l'instant $t$, en seconde, et $v(t)$ le volume d'azote présent dans la cuve à l'instant $t$.

1. Déterminer la relation reliant $x(t)$ et $v(t)$.

2. a. Quel est le volume d'azote entrant dans la cuve entre deux instants très proches $t$ et $t+\Delta t$ ?

b. Quel est le volume d'azote sortant de la cuve entre les instants $t$ et $t+\Delta t$ ? On suppose que $\Delta t$ est suffisamment petit pour que la concentration en azote reste constante entre les instants $t$ et $t+\Delta t$.

3. En déduire la variation $\Delta v(t)$ du volume d'azote contenu dans la cuve entre les instants $t$ et $t+\Delta t$, puis la variation $\Delta x(t)$ du pourcentage d'azote entre les mêmes instants.

4. En faisant tendre $\Delta t$ vers $0$, montrer que $x$ est solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=0,01(1-y)$.

5. a. Déterminer l'expression de $x(t)$ en fonction de $t$.

b. Quelle sera la proportion d'azote, arrondie à 0,1 % près, au bout de cinq minutes ?

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Approfondissement

Équation différentielle du second ordre

On considère l'équation différentielle d'inconnue $y$ :

1. Soient$\text{ A}$ et $\text{B}$ deux réels.
Montrer que la fonction $x\mapsto {\mathrm{Ae}}^{-x}+{\mathrm{Be}}^{2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ est une solution de l'équation homogène associée $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$. On admet que toutes les solutions de $\left({\mathrm{E}}_0\right)$ sont de cette forme.

2. Déterminer une solution particulière $\phi$ de $(\mathrm{E})$ de la forme $x\mapsto (mx+p){\mathrm{e}}^x$ où $m$ et $p$ sont réels.

3. Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $g$ et $g^{\prime }$ soient dérivables sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g-\phi$ est solution de $({\mathrm{E}}_0)$.

4. Résoudre $(\mathrm{E})$ et déterminer la solution $h$ de $(\mathrm{E})$ telle que $h(0)=1$ et $h^{\prime }(0)=0$.

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Approfondissementt

Équation différentielle du second ordre avec second membre

On veut résoudre l'équation différentielle :

1. Montrer que l'équation $(\mathrm{E})$ admet comme solution une fonction polynôme du second degré $\phi$ que l'on déterminera.

2. Soit $g$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, c'est‑à‑dire que $g$ et $g^{\prime }$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g-\phi$ est solution de l'équation différentielle $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$.

3. On admet que si l'équation caractéristique $a{r}^2+br+c=0$ associée à l'équation différentielle du second ordre $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont réels) possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ sont de la forme $x\mapsto {\mathrm{Ae}}^{r_{1}x}+{\mathrm{Be}}^{r_{2}x}$ où $\text{A}$ et $\text{B}$ sont des réels.
a. Résoudre l'équation $\left({\mathrm{E}}_0\right)$.

b. En déduire les solutions de l'équation $(\mathrm{E})$.

4. Déterminer la solution $f$ de $(\mathrm{E})$ telle que $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=4$.

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Approfondissement

Afin d'étudier la croissance d'une population évoluant en milieu fermé, Pierre François Verhulst a proposé au milieu du 19^e siècle un modèle appelé modèle de Verhulst.
On appelle équation logistique l'équation différentielle $(\mathrm{L}):y^{\prime }=ay\left(1-\frac{y}{\mathrm{K}}\right)$, où $a$ et $\text{K}$ sont des constantes réelles strictement positives. Une fonction $y:t\mapsto y(t)$ solution de cette équation est appelée fonction logistique et représente la taille de la population étudiée en fonction du temps $t$ (en particulier, $y$ est donc une fonction strictement positive).

1. a. Vérifier que la fonction constante $y=\mathrm{K}$ est solution de l'équation logistique $(\mathrm{L})$.

b. Déterminer les variations de $y$ lorsque, pour tout $t⩾0$, $y(t)<\mathrm{K}$ puis lorsque, pour tout $t⩾0$, $y(t)>\mathrm{K}$.

2. On pose, pour tout $t⩾0$, $z(t)=\frac{1}{y(t)}$.
a. Pour tout $t⩾0$, déterminer $z^{\prime }(t)$ en fonction de $y^{\prime }(t)$ et $y(t)$.

b. Démontrer que $(\mathrm{L})$ est équivalente à $z^{\prime }=-az+\frac{a}{\mathrm{K}}$.

c. Donner l'expression générale de $z(t)$ puis de $y(t)$.

3. On suppose que la population initiale est $y(0)=y_0$.
a. Démontrer que $y(t)=\frac{\mathrm{K}}{1+\frac{\mathrm{K}-y_0}{y_0}{\mathrm{e}}^{-at}}$.

b. Déterminer la limite de $y(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
Cette limite s'appelle la capacité d'accueil.

Si vous avez également choisi la spécialité Physique‑Chimie, un sujet sur les équations de mouvement peut constituer un bon sujet en lien avec ce chapitre.

❯ À aller voir dans ce manuel :

• Activité B p. 286
• Activité C p. 287
• Exercice

  121

  p. 305

❯ À aller voir sur internet :

• Un cours de physique sur les équations de mouvement :
  LLS.fr/EquaMouv
• Une vidéo sur la chute des corps :
  LLS.fr/VideoChuteCorps

❯ Les points à aborder dans votre présentation :

• Bien cadrer le sujet : on parle ici d'une chute verticale avec frottements.
• Rappeler la deuxième loi de Newton.
• Décrire le type d'équation différentielle que l'on obtient puis préciser la solution générale.

❯ Exemples de questions qui pourraient vous être posées :

• Quels sont les liens entre les primitives et les équations différentielles ?
• Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?
• Comment peut‑on déterminer la constante présente dans la solution générale ?
• Que se passe‑t‑il si la vitesse initiale de l'objet est non nulle ?

❯ Faire le lien avec son projet d'orientation :

• Les équations de mouvement permettent de déterminer la position des planètes et des satellites.
• Les équations différentielles sont omniprésentes en physique (mécanique des fluides, électromagnétisme, thermodynamique, etc.).

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14