Synthèse

118

[Raisonner, Communiquer.]  

[DÉMO]

Soit $a\in \mathbb{R}$. On considère l’équation différentielle $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime }=ay$.

1. Soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions de $({\mathrm{E}}_0)$.
Montrer que $y_1+y_2$ est aussi une solution de $({\mathrm{E}}_0)$.


2. Soient $y$ une solution de $({\mathrm{E}}_0)$ et $k$ un réel.
Montrer que $ky$ est encore une solution de $({\mathrm{E}}_0)$.

119

[Raisonner, Communiquer.]  

[DÉMO]

On considère l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=ay+f$ où $a\ne 0$ et $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $\text{I}$. Soit $\phi$ une fonction dérivable sur $\text{I}$. On suppose que $\phi$ est une solution particulière de $(\mathrm{E})$ et soit $g$ une fonction dérivable sur $\text{I}$.
Montrer que $g$ est une solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g-\phi$ est solution de $y^{\prime }=ay$.

120

PYTHON

[Modéliser, Chercher.]
Soit $h$ un réel strictement positif.
On veut dresser un tableau de valeurs sur $[-2;2]$ avec un pas $h$ de la solution d’une équation différentielle $y^{\prime }=ay+b$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$ et telle que $a\ne 0$ et $b$, $x_0$ et $y_0$ sont des réels saisis par l’utilisateur. On prendra ici $h=0,25$.

1. Écrire sous Python une fonction solution d’argument x qui retourne l’image de $x$ par la solution de $y^{\prime }=ay+b$ qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

2. Écrire sous Python un programme qui, à partir d’une liste abs de réels dans $[-2;2]$ avec un pas de $h$, crée la liste correspondante ord des images par la fonction solution.

121

EN PHYSIQUE

[Modéliser, Calculer.]
Lors de la chute d’un objet de masse $m$ sur Terre, une force de frottement due à la résistance de l’air s’applique à cet objet. L’intensité de cette force est proportionnelle à la vitesse instantanée $v$ de l’objet.

Si la chute est verticale, la deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation $m\times a(t)=mg-kv(t)$.
La fonction $a$ représente l’accélération de l’objet à l’instant $t$, $g$ désigne l’accélération de la pesanteur (constante) et $k$ est une constante positive.
On rappelle que, pour tout $t⩾0$, on a $a(t)=v^{\prime }(t)$.

1. Déterminer une équation différentielle $(\mathrm{E})$ de la forme $y^{\prime }=\alpha y+\beta$ vérifiée par $v$ (où $\alpha$ et $\beta$ sont réels).


2. Résoudre cette équation puis exprimer $v$ en fonction de $t$.

122

[Chercher, Communiquer.]
Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=y^2$

1. Montrer que la fonction constante égale à $0$ est solution de $(\mathrm{E})$.


2. Soit $g$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ et qui ne s’annule pas sur $\text{I}$.
Montrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g$ est solution de l’équation $\frac{y^{\prime }}{y^2}=1$.


3. En déduire les solutions de $(\mathrm{E})$.


4. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ qui vaut $1$ en $0$.

123

[Représenter, Calculer.]
Méthode d’Euler

Soit $f$ la solution de l’équation $(\mathrm{E}):y^{\prime }=y+1$ telle que $f(0)=1$. On note ${\mathcal{C}}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Le but de l’exercice est d’approcher ${\mathcal{C}}_f$ sur l’intervalle $\mathrm{I}=[-2;2]$ par la courbe représentative ${\mathcal{C}}_{\phi }$ d’une fonction $\phi$ affine par morceaux. Pour cela, on va utiliser des tangentes à la courbe ${\mathcal{C}}_f$.
On note ${\mathrm{A}}_n$ le point de ${\mathcal{C}}_{\phi }$ d’abscisse $n$.

1. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $0$.


b. On pose, pour tout $x\in [0;1]$, $\phi (x)=2x+1$.
Tracer le segment $\left[{\mathrm{A}}_0{\mathrm{A}}_1\right]$ dans le repère.

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2. On se place maintenant sur l’intervalle $[1;2]$. On prend $\phi (1)$ comme approximation de $f(1)$.
a. Déterminer une équation de la tangente à ${\mathcal{C}}_f$ au point d’abscisse $1$.


b. En déduire l’expression de $\phi$ sur $[1;2]$ et tracer, comme précédemment, le segment $\left[{\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2\right]$.

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3. Plus généralement, on se place sur l’intervalle $[n;n+1]$ où $n$ est un entier compris entre $-2$ et $1$.
a. En prenant $\phi (n)$ comme approximation affine de $f(n)$, démontrer que, sur cet intervalle : $\phi (x)=f(n)(x+1-n)+x-n$.

b. Déterminer une relation entre $\phi (n+1)$ et $\phi (n)$.


c. Construire les points ${\mathrm{A}}_n$ pour tout entier relatif $n$ vérifiant $-2⩽n⩽2$. Les segments $\left[{\mathrm{A}}_n{\mathrm{A}}_{n+1}\right]$ constituent une approximation affine de ${\mathcal{C}}_f$.

4. Vérifier que $f:x\mapsto 2{\mathrm{e}}^x-1$ est solution de $(\mathrm{E})$ et comparer la courbe de $f$ avec celle obtenue à la question 3..

124

EN BIOLOGIE

[Modéliser, Calculer.]
Une colonie de 2 000 bactéries est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence. On admet que l’évolution en fonction du temps $t$ en heure ($t⩾0$) du nombre d’individus $\mathrm{N}(t)$ de cette colonie suit l’équation différentielle $(\mathrm{E}):{\mathrm{N}}^{\prime }(t)=3\mathrm{N}(t)-0,005(\mathrm{N}(t){)}^2$.
Pour déterminer $\mathrm{N}(t)$, on se propose de remplacer $(\mathrm{E})$ par une équation plus simple puis de la résoudre.

1. On suppose que la fonction $\text{N}$ ne s’annule pas sur $[0;+\infty [$ et on définit sur $[0;+\infty [$ la fonction $g$ par $g(t)=\frac{1}{\mathrm{N}(t)}$. Déterminer $g^{\prime }(t)$.


2. Montrer que $\text{N}$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g$ est solution de $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):y^{\prime }=-3y+0,005$.


3. Résoudre $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right)$ puis résoudre $(\mathrm{E})$.


a. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ vérifiant la condition initiale indiquée dans l’énoncé.


b. Calculer le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures. Arrondir à l’unité.

125

[Raisonner, Communiquer.]
On se propose de déterminer les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb{R}$ vérifiant la condition $(\ast )$ : « Pour tous réels $x$ et $z$, $f(x+z)=f(x)f(z)$. »

1. Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifiant la condition $(\ast )$. Montrer que $f$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=f^{\prime }(0)y$.


2. Résoudre l’équation différentielle $y^{\prime }=f^{\prime }(0)y$.


3. Montrer que si $f$ vérifie la condition $(\ast )$ alors $f(0)=0$ ou $f(0)=1$.


4. Conclure quant aux fonctions vérifiant la condition $(\ast )$.

126

EN CHIMIE

[Chercher, Communiquer.]
Une cuve contient vingt litres d’air composé de 20 % de dioxygène (O₂) et de 80 % d’azote (N). On injecte de l’azote dans cette cuve avec un débit de $0,2$ litre par seconde ; le même débit de gaz s’échappe de la cuve.
On suppose que le mélange des gaz est homogène.
On note $x(t)$ la proportion volumique d’azote contenue dans la cuve à l’instant $t$, en seconde, et $v(t)$ le volume d’azote présent dans la cuve à l’instant $t$.

1. Déterminer la relation reliant $x(t)$ et $v(t)$.


2. a. Quel est le volume d’azote entrant dans la cuve entre deux instants très proches $t$ et $t+\Delta t$ ?


b. Quel est le volume d’azote sortant de la cuve entre les instants $t$ et $t+\Delta t$ ? On suppose que $\Delta t$ est suffisamment petit pour que la concentration en azote reste constante entre les instants $t$ et $t+\Delta t$.


3. En déduire la variation $\Delta v(t)$ du volume d’azote contenu dans la cuve entre les instants $t$ et $t+\Delta t$, puis la variation $\Delta x(t)$ du pourcentage d’azote entre les mêmes instants.


4. En faisant tendre $\Delta t$ vers $0$, montrer que $x$ est solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=0,01(1-y)$.


5. a. Déterminer l’expression de $x(t)$ en fonction de $t$.


b. Quelle sera la proportion d’azote, arrondie à 0,1 % près, au bout de cinq minutes ?

127

PPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre

On considère l’équation différentielle d’inconnue $y$ : $(\mathrm{E}):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=2x{\mathrm{e}}^x$.
1. Soient$\text{ A}$ et $\text{B}$ deux réels.
Montrer que la fonction $x\mapsto {\mathrm{A}\mathrm{e}}^{-x}+{\mathrm{B}\mathrm{e}}^{2x}$ définie sur $\mathbb{R}$ est une solution de l’équation homogène associée $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$. On admet que toutes les solutions de $\left({\mathrm{E}}_0\right)$ sont de cette forme.


2. Déterminer une solution particulière $\phi$ de $(\mathrm{E})$ de la forme $x\mapsto (mx+p){\mathrm{e}}^x$ où $m$ et $p$ sont réels.


3. Soit $g$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ telle que $g$ et $g^{\prime }$ soient dérivables sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g-\phi$ est solution de $({\mathrm{E}}_0)$.


4. Résoudre $(\mathrm{E})$ et déterminer la solution $h$ de $(\mathrm{E})$ telle que $h(0)=1$ et $h^{\prime }(0)=0$.

128

APPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre avec second membre

On veut résoudre l’équation différentielle : $(\mathrm{E}):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=-6x^2+4x-3$.
1. Montrer que l’équation $(\mathrm{E})$ admet comme solution une fonction polynôme du second degré $\phi$ que l’on déterminera.


2. Soit $g$ une fonction deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, c’est‑à‑dire que $g$ et $g^{\prime }$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que $g$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $g-\phi$ est solution de l’équation différentielle $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$.


3. On admet que si l’équation caractéristique $a{r}^2+br+c=0$ associée à l’équation différentielle du second ordre $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ (où $a$, $b$ et $c$ sont réels) possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, alors les solutions de $a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=0$ sont de la forme $x\mapsto {\mathrm{A}\mathrm{e}}^{r_{1}x}+{\mathrm{B}\mathrm{e}}^{r_{2}x}$ où $\text{A}$ et $\text{B}$ sont des réels.
a. Résoudre l’équation $\left({\mathrm{E}}_0\right)$.


b. En déduire les solutions de l’équation $(\mathrm{E})$.


4. Déterminer la solution $f$ de $(\mathrm{E})$ telle que $f(0)=1$ et $f^{\prime }(0)=4$.

129

APPROFONDISSEMENT

Afin d’étudier la croissance d’une population évoluant en milieu fermé, Pierre François Verhulst a proposé au milieu du 19^e siècle un modèle appelé modèle de Verhulst.
On appelle équation logistique l’équation différentielle $(\mathrm{L}):y^{\prime }=ay\left(1-\frac{y}{\mathrm{K}}\right)$, où $a$ et $\text{K}$ sont des constantes réelles strictement positives. Une fonction $y:t\mapsto y(t)$ solution de cette équation est appelée fonction logistique et représente la taille de la population étudiée en fonction du temps $t$ (en particulier, $y$ est donc une fonction strictement positive).

1. a. Vérifier que la fonction constante $y=\mathrm{K}$ est solution de l’équation logistique $(\mathrm{L})$.


b. Déterminer les variations de $y$ lorsque, pour tout $t⩾0$, $y(t)<\mathrm{K}$ puis lorsque, pour tout $t⩾0$, $y(t)>\mathrm{K}$.


2. On pose, pour tout $t⩾0$, $z(t)=\frac{1}{y(t)}$.
a. Pour tout $t⩾0$, déterminer $z^{\prime }(t)$ en fonction de $y^{\prime }(t)$ et $y(t)$.


b. Démontrer que $(\mathrm{L})$ est équivalente à $z^{\prime }=-az+\frac{a}{\mathrm{K}}$.


c. Donner l’expression générale de $z(t)$ puis de $y(t)$.


3. On suppose que la population initiale est $y(0)=y_0$.
a. Démontrer que $y(t)=\frac{\mathrm{K}}{1+\frac{\mathrm{K}-y_0}{y_0}{\mathrm{e}}^{-at}}$.


b. Déterminer la limite de $y(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
Cette limite s’appelle la capacité d’accueil.