[Représenter, Calculer.
]
Méthode d’Euler
Soit
f la solution de l’équation
(E):y′=y+1 telle que
f(0)=1. On note
Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Le but de l’exercice est d’approcher
Cf sur l’intervalle
I=[−2 ;2] par la courbe représentative
Cφ d’une fonction
φ affine par morceaux. Pour cela, on va utiliser des tangentes à la courbe
Cf.
On note
An le point de
Cφ d’abscisse
n.
1. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe
Cf au point d’abscisse
0.
b. On pose, pour tout
x∈[0 ;1],
φ(x)=2x+1.
Tracer le segment
[A0A1] dans le repère.
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2. On se place maintenant sur l’intervalle
[1 ;2]. On prend
φ(1) comme approximation de
f(1).
a. Déterminer une équation de la tangente à
Cf au point d’abscisse
1.
b. En déduire l’expression de
φ sur
[1 ;2] et tracer, comme précédemment, le segment
[A1A2].
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3. Plus généralement, on se place sur l’intervalle
[n ;n+1] où
n est un entier compris entre
−2 et
1.
a. En prenant
φ(n) comme approximation affine de
f(n), démontrer que, sur cet intervalle :
φ(x)=f(n)(x+1−n)+x−n.
b. Déterminer une relation entre
φ(n+1) et
φ(n).
c. Construire les points
An pour tout entier relatif
n vérifiant
−2⩽n⩽2. Les segments
[AnAn+1] constituent une approximation affine de
Cf.
4. Vérifier que
f:x↦2ex−1 est solution de
(E) et comparer la courbe de
f avec celle obtenue à la question
3..