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Synthèse
P.305-307

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118
[Raisonner, Communiquer.]
[DÉMO]

Soit aRa \in \R. On considère l’équation différentielle (E0):y=ay\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y.

1. Soient y1y_1 et y2y_2 deux solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}).
Montrer que y1+y2y_1+y_2 est aussi une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}).


2. Soient yy une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}) et kk un réel.
Montrer que kyky est encore une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}).
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119
[Raisonner, Communiquer.]
[DÉMO]

On considère l’équation différentielle (E):y=ay+f(\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+fa0a \neq 0 et ff une fonction définie et continue sur un intervalle I\text{I}. Soit φ\varphi une fonction dérivable sur I\text{I}. On suppose que φ\varphi est une solution particulière de (E)(\mathrm{E}) et soit gg une fonction dérivable sur I\text{I}.
Montrer que gg est une solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gφg - \varphi est solution de y=ayy'=ay.
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120
PYTHON
[Modéliser, Chercher.]
Soit hh un réel strictement positif.
On veut dresser un tableau de valeurs sur [2 ;2][-2~; 2] avec un pas hh de la solution d’une équation différentielle y=ay+by'=ay + b qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0 et telle que a0a \neq 0 et bb, x0x_0 et y0y_0 sont des réels saisis par l’utilisateur. On prendra ici h=0,25h = 0{,}25.

1. Écrire sous Python une fonction solution d’argument x qui retourne l’image de xx par la solution de y=ay+by'= ay + b qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0.

2. Écrire sous Python un programme qui, à partir d’une liste abs de réels dans [2 ;2][-2~; 2] avec un pas de hh, crée la liste correspondante ord des images par la fonction solution.



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121
EN PHYSIQUE
[Modéliser, Calculer.]
Lors de la chute d’un objet de masse mm sur Terre, une force de frottement due à la résistance de l’air s’applique à cet objet. L’intensité de cette force est proportionnelle à la vitesse instantanée vv de l’objet.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 121 - saut en parachute

Si la chute est verticale, la deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation m×a(t)=mgkv(t)m \times a(t)=m g-k v(t).
La fonction aa représente l’accélération de l’objet à l’instant tt, gg désigne l’accélération de la pesanteur (constante) et kk est une constante positive.
On rappelle que, pour tout t0t \geqslant 0, on a a(t)=v(t)a(t)=v^{\prime}(t).

1. Déterminer une équation différentielle (E)(\mathrm{E}) de la forme y=αy+βy^{\prime}=\alpha y+\beta vérifiée par vv (où α\alpha et β\beta sont réels).


2. Résoudre cette équation puis exprimer vv en fonction de tt.
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122
[Chercher, Communiquer.]
Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle (E):y=y2(\mathrm{E}): y^{\prime}=y^{2}

1. Montrer que la fonction constante égale à 00 est solution de (E)(\mathrm{E}).


2. Soit gg une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I} et qui ne s’annule pas sur I\text{I}.
Montrer que gg est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gg est solution de l’équation yy2=1\dfrac{y^{\prime}}{y^{2}}=1.


3. En déduire les solutions de (E)(\mathrm{E}).


4. Déterminer la solution de (E)(\mathrm{E}) qui vaut 11 en 00.
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123
[Représenter, Calculer.]
Méthode d’Euler

Soit ff la solution de l’équation (E):y=y+1(\mathrm{E}): y^{\prime}=y+1 telle que f(0)=1f(0)=1. On note Cf\mathcal{C}_f sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Le but de l’exercice est d’approcher Cf\mathcal{C}_f sur l’intervalle I=[2 ;2]\mathrm{I}=[-2~; 2] par la courbe représentative Cφ\mathcal{C}_\varphi d’une fonction φ\varphi affine par morceaux. Pour cela, on va utiliser des tangentes à la courbe Cf\mathcal{C}_f.
On note An\mathrm{A}_n le point de Cφ\mathcal{C}_\varphi d’abscisse nn.

1. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 00.


b. On pose, pour tout x[0 ;1]x \in[0~; 1], φ(x)=2x+1\varphi(x)=2 x+1.
Tracer le segment [A0A1]\left[\mathrm{A}_{0} \mathrm{A}_{1}\right] dans le repère.

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2. On se place maintenant sur l’intervalle [1 ;2][1~; 2]. On prend φ(1)\varphi(1) comme approximation de f(1)f(1).
a. Déterminer une équation de la tangente à Cf\mathcal{C}_f au point d’abscisse 11.


b. En déduire l’expression de φ\varphi sur [1 ;2][1~; 2] et tracer, comme précédemment, le segment [A1A2]\left[\mathrm{A}_{1} \mathrm{A}_{2}\right].


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3. Plus généralement, on se place sur l’intervalle [n ;n+1][n~; n+1]nn est un entier compris entre 2-2 et 11.
a. En prenant φ(n)\varphi(n) comme approximation affine de f(n)f(n), démontrer que, sur cet intervalle :
φ(x)=f(n)(x+1n)+xn\varphi(x)=f(n)(x+1-n)+x-n.


b. Déterminer une relation entre φ(n+1)\varphi(n+1) et φ(n)\varphi(n).


c. Construire les points An\mathrm{A}_n pour tout entier relatif nn vérifiant 2n2-2 \leqslant n \leqslant 2. Les segments [AnAn+1]\left[\mathrm{A}_{n} \mathrm{A}_{n+1}\right] constituent une approximation affine de Cf\mathcal{C}_f.

4. Vérifier que f:x2ex1f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{x}-1 est solution de (E)(\mathrm{E}) et comparer la courbe de ff avec celle obtenue à la question 3..
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124
EN BIOLOGIE
[Modéliser, Calculer.]
Une colonie de 2 000 bactéries est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence. On admet que l’évolution en fonction du temps tt en heure (t0t \geqslant 0) du nombre d’individus N(t)\mathrm{N}(t) de cette colonie suit l’équation différentielle (E):N(t)=3N(t)0,005(N(t))2(\mathrm{E}): \mathrm{N}^{\prime}(t)=3 \mathrm{N}(t)-0{,}005(\mathrm{N}(t))^{2}.
Pour déterminer N(t)\mathrm{N}(t), on se propose de remplacer (E)(\mathrm{E}) par une équation plus simple puis de la résoudre.

1. On suppose que la fonction N\text{N} ne s’annule pas sur [0 ;+[[0~;+\infty[ et on définit sur [0 ;+[[0~;+\infty[ la fonction gg par g(t)=1N(t)g(t)=\dfrac{1}{\mathrm{N}(t)}. Déterminer g(t)g'(t).


2. Montrer que N\text{N} est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gg est solution de (E):y=3y+0,005\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}=-3 y+0{,}005.


3. Résoudre (E)\left(\mathrm{E}^{\prime}\right) puis résoudre (E)(\mathrm{E}).


a. Déterminer la solution de (E)(\mathrm{E}) vérifiant la condition initiale indiquée dans l’énoncé.


b. Calculer le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures. Arrondir à l’unité.
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125
[Raisonner, Communiquer.]
On se propose de déterminer les fonctions ff dérivables sur R\R vérifiant la condition ()(*) : « Pour tous réels x x et zz, f(x+z)=f(x)f(z)f(x+z)=f(x) f(z). »

1. Soit ff une fonction dérivable sur R\R et vérifiant la condition ()(*). Montrer que ff est solution sur R\R de l’équation différentielle y=f(0)yy^{\prime}=f^{\prime}(0) y.


2. Résoudre l’équation différentielle y=f(0)yy^{\prime}=f^{\prime}(0) y.


3. Montrer que si ff vérifie la condition ()(*) alors f(0)=0f(0)=0 ou f(0)=1f(0)=1.


4. Conclure quant aux fonctions vérifiant la condition ()(*).
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126
EN CHIMIE
[Chercher, Communiquer.]
Une cuve contient vingt litres d’air composé de 20 % de dioxygène (O2) et de 80 % d’azote (N). On injecte de l’azote dans cette cuve avec un débit de 0,20{,}2 litre par seconde ; le même débit de gaz s’échappe de la cuve.
On suppose que le mélange des gaz est homogène.
On note x(t)x(t) la proportion volumique d’azote contenue dans la cuve à l’instant tt, en seconde, et v(t)v(t) le volume d’azote présent dans la cuve à l’instant tt.

1. Déterminer la relation reliant x(t)x(t) et v(t)v(t).


2. a. Quel est le volume d’azote entrant dans la cuve entre deux instants très proches tt et t+Δtt+ \Delta t ?


b. Quel est le volume d’azote sortant de la cuve entre les instants tt et t+Δtt+ \Delta t ? On suppose que Δt\Delta t est suffisamment petit pour que la concentration en azote reste constante entre les instants tt et t+Δtt+ \Delta t.


3. En déduire la variation Δv(t)\Delta v(t) du volume d’azote contenu dans la cuve entre les instants tt et t+Δtt+ \Delta t, puis la variation Δx(t)\Delta x(t) du pourcentage d’azote entre les mêmes instants.


4. En faisant tendre Δt\Delta t vers 00, montrer que xx est solution de l’équation différentielle y=0,01(1y)y^{\prime}=0{,}01(1-y).


5. a. Déterminer l’expression de x(t)x(t) en fonction de tt.


b. Quelle sera la proportion d’azote, arrondie à 0,1 % près, au bout de cinq minutes ?
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127
PPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre

On considère l’équation différentielle d’inconnue yy :
(E):yy2y=2xex(\mathrm{E}): y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=2 x \mathrm{e}^{x}.

1. Soient A\text{ A} et B\text{B} deux réels.
Montrer que la fonction xAex+Be2xx \mapsto \mathrm{Ae}^{-x}+\mathrm{Be}^{2 x} définie sur R\R est une solution de l’équation homogène associée (E0):yy2y=0\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0. On admet que toutes les solutions de (E0)\left(\mathrm{E}_{0}\right) sont de cette forme.


2. Déterminer une solution particulière φ\varphi de (E)(\mathrm{E}) de la forme x(mx+p)exx \mapsto(m x+p) \mathrm{e}^{x}mm et pp sont réels.


3. Soit gg une fonction définie sur R\R telle que gg et gg' soient dérivables sur R\R.
Démontrer que gg est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gφg-\varphi est solution de (E0)(\mathrm{E}_0).


4. Résoudre (E)(\mathrm{E}) et déterminer la solution hh de (E)(\mathrm{E}) telle que h(0)=1h(0)=1 et h(0)=0h'(0)=0.
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128
APPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre avec second membre

On veut résoudre l’équation différentielle :
(E):yy6y=6x2+4x3(\mathrm{E}): y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=-6 x^{2}+4 x-3.

1. Montrer que l’équation (E)(\mathrm{E}) admet comme solution une fonction polynôme du second degré φ\varphi que l’on déterminera.


2. Soit gg une fonction deux fois dérivable sur R\R, c’est‑à‑dire que gg et gg' sont dérivables sur R\R.
Démontrer que gg est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, gφg-\varphi est solution de l’équation différentielle (E0):yy6y=0\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0.


3. On admet que si l’équation caractéristique ar2+br+c=0a r^{2}+b r+c=0 associée à l’équation différentielle du second ordre ay+by+cy=0a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 (où aa, bb et cc sont réels) possède deux racines réelles distinctes r1r_1 et r2r_2, alors les solutions de ay+by+cy=0a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 sont de la forme xAer1x+Ber2xx \mapsto \mathrm{Ae}^{r_{1} x}+\mathrm{Be}^{r_{2} x}A\text{A} et B\text{B} sont des réels.
a. Résoudre l’équation (E0)\left(\mathrm{E}_{0}\right).


b. En déduire les solutions de l’équation (E)(\mathrm{E}).


4. Déterminer la solution ff de (E)(\mathrm{E}) telle que f(0)=1f(0)=1 et f(0)=4f'(0)=4.
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129
APPROFONDISSEMENT

Afin d’étudier la croissance d’une population évoluant en milieu fermé, Pierre François Verhulst a proposé au milieu du 19e siècle un modèle appelé modèle de Verhulst.
On appelle équation logistique l’équation différentielle (L):y=ay(1yK)(\mathrm{L}): y^{\prime}=a y\left(1-\dfrac{y}{\mathrm{K}}\right), où aa et K\text{K} sont des constantes réelles strictement positives. Une fonction y:ty(t)y: t \mapsto y(t) solution de cette équation est appelée fonction logistique et représente la taille de la population étudiée en fonction du temps tt (en particulier, yy est donc une fonction strictement positive).

1. a. Vérifier que la fonction constante y=Ky=\mathrm{K} est solution de l’équation logistique (L)(\mathrm{L}).


b. Déterminer les variations de yy lorsque, pour tout t0t \geqslant 0, y(t)<Ky(t)\lt\mathrm{K} puis lorsque, pour tout t0t \geqslant 0, y(t)>Ky(t)>\mathrm{K}.


2. On pose, pour tout t0t \geqslant 0, z(t)=1y(t)z(t)=\dfrac{1}{y(t)}.
a. Pour tout t0t \geqslant 0, déterminer z(t)z'(t) en fonction de y(t)y'(t) et y(t)y(t).


b. Démontrer que (L)(\mathrm{L}) est équivalente à z=az+aKz^{\prime}=-a z+\dfrac{a}{\mathrm{K}}.


c. Donner l’expression générale de z(t)z(t) puis de y(t)y(t).


3. On suppose que la population initiale est y(0)=y0y(0)=y_0.
a. Démontrer que y(t)=K1+Ky0y0eaty(t)=\dfrac{\mathrm{K}}{1+\dfrac{\mathrm{K}-y_{0}}{y_{0}} \mathrm{e}^{-a t}}.


b. Déterminer la limite de y(t)y(t) lorsque tt tend vers ++\infty.
Cette limite s’appelle la capacité d’accueil.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ,  à  ,  à  et  à   p. 432

Le Grand Oral

Exemple de sujet : La chute d’un corps, équations du mouvement

Si vous avez également choisi la spécialité Physique‑Chimie, un sujet sur les équations de mouvement peut constituer un bon sujet en lien avec ce chapitre.

À aller voir dans ce manuel :
À aller voir sur internet :
Les points à aborder dans votre présentation :
  • Bien cadrer le sujet : on parle ici d’une chute verticale avec frottements.
  • Rappeler la deuxième loi de Newton.
  • Décrire le type d’équation différentielle que l’on obtient puis préciser la solution générale.

Exemples de questions qui pourraient vous être posées :
  • Quels sont les liens entre les primitives et les équations différentielles ?
  • Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?
  • Comment peut‑on déterminer la constante présente dans la solution générale ?
  • Que se passe‑t‑il si la vitesse initiale de l’objet est non nulle ?

Faire le lien avec son projet d’orientation :
  • Les équations de mouvement permettent de déterminer la position des planètes et des satellites.
  • Les équations différentielles sont omniprésentes en physique (mécanique des fluides, électromagnétisme, thermodynamique, etc.).

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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