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Synthèse
P.305-307

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118
[Raisonner, Communiquer.]
[DÉMO]

Soit . On considère l’équation différentielle .

1. Soient et deux solutions de .
Montrer que est aussi une solution de .


2. Soient une solution de et un réel.
Montrer que est encore une solution de .
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119
[Raisonner, Communiquer.]
[DÉMO]

On considère l’équation différentielle et une fonction définie et continue sur un intervalle . Soit une fonction dérivable sur . On suppose que est une solution particulière de et soit une fonction dérivable sur .
Montrer que est une solution de si, et seulement si, est solution de .
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120
PYTHON
[Modéliser, Chercher.]
Soit un réel strictement positif.
On veut dresser un tableau de valeurs sur avec un pas de la solution d’une équation différentielle qui prend la valeur en et telle que et , et sont des réels saisis par l’utilisateur. On prendra ici .

1. Écrire sous Python une fonction solution d’argument x qui retourne l’image de par la solution de qui prend la valeur en .

2. Écrire sous Python un programme qui, à partir d’une liste abs de réels dans avec un pas de , crée la liste correspondante ord des images par la fonction solution.




121
EN PHYSIQUE
[Modéliser, Calculer.]
Lors de la chute d’un objet de masse sur Terre, une force de frottement due à la résistance de l’air s’applique à cet objet. L’intensité de cette force est proportionnelle à la vitesse instantanée de l’objet.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 121 - saut en parachute

Si la chute est verticale, la deuxième loi de Newton permet d’écrire la relation .
La fonction représente l’accélération de l’objet à l’instant , désigne l’accélération de la pesanteur (constante) et est une constante positive.
On rappelle que, pour tout , on a .

1. Déterminer une équation différentielle de la forme vérifiée par (où et sont réels).


2. Résoudre cette équation puis exprimer en fonction de .
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122
[Chercher, Communiquer.]
Le but de l’exercice est de résoudre l’équation différentielle

1. Montrer que la fonction constante égale à est solution de .


2. Soit une fonction dérivable sur un intervalle et qui ne s’annule pas sur .
Montrer que est solution de si, et seulement si, est solution de l’équation .


3. En déduire les solutions de .


4. Déterminer la solution de qui vaut en .
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123
[Représenter, Calculer.]
Méthode d’Euler

Soit la solution de l’équation telle que . On note sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan. Le but de l’exercice est d’approcher sur l’intervalle par la courbe représentative d’une fonction affine par morceaux. Pour cela, on va utiliser des tangentes à la courbe .
On note le point de d’abscisse .

1. a. Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse .


b. On pose, pour tout , .
Tracer le segment dans le repère.

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2. On se place maintenant sur l’intervalle . On prend comme approximation de .
a. Déterminer une équation de la tangente à au point d’abscisse .


b. En déduire l’expression de sur et tracer, comme précédemment, le segment .


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3. Plus généralement, on se place sur l’intervalle est un entier compris entre et .
a. En prenant comme approximation affine de , démontrer que, sur cet intervalle :
.


b. Déterminer une relation entre et .


c. Construire les points pour tout entier relatif vérifiant . Les segments constituent une approximation affine de .

4. Vérifier que est solution de et comparer la courbe de avec celle obtenue à la question 3..
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124
EN BIOLOGIE
[Modéliser, Calculer.]
Une colonie de 2 000 bactéries est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé en permanence. On admet que l’évolution en fonction du temps en heure () du nombre d’individus de cette colonie suit l’équation différentielle .
Pour déterminer , on se propose de remplacer par une équation plus simple puis de la résoudre.

1. On suppose que la fonction ne s’annule pas sur et on définit sur la fonction par . Déterminer .


2. Montrer que est solution de si, et seulement si, est solution de .


3. Résoudre puis résoudre .


a. Déterminer la solution de vérifiant la condition initiale indiquée dans l’énoncé.


b. Calculer le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures. Arrondir à l’unité.
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125
[Raisonner, Communiquer.]
On se propose de déterminer les fonctions dérivables sur vérifiant la condition  : « Pour tous réels et , . »

1. Soit une fonction dérivable sur et vérifiant la condition . Montrer que est solution sur de l’équation différentielle .


2. Résoudre l’équation différentielle .


3. Montrer que si vérifie la condition alors ou .


4. Conclure quant aux fonctions vérifiant la condition .
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126
EN CHIMIE
[Chercher, Communiquer.]
Une cuve contient vingt litres d’air composé de 20 % de dioxygène (O2) et de 80 % d’azote (N). On injecte de l’azote dans cette cuve avec un débit de litre par seconde ; le même débit de gaz s’échappe de la cuve.
On suppose que le mélange des gaz est homogène.
On note la proportion volumique d’azote contenue dans la cuve à l’instant , en seconde, et le volume d’azote présent dans la cuve à l’instant .

1. Déterminer la relation reliant et .


2. a. Quel est le volume d’azote entrant dans la cuve entre deux instants très proches et  ?


b. Quel est le volume d’azote sortant de la cuve entre les instants et  ? On suppose que est suffisamment petit pour que la concentration en azote reste constante entre les instants et .


3. En déduire la variation du volume d’azote contenu dans la cuve entre les instants et , puis la variation du pourcentage d’azote entre les mêmes instants.


4. En faisant tendre vers , montrer que est solution de l’équation différentielle .


5. a. Déterminer l’expression de en fonction de .


b. Quelle sera la proportion d’azote, arrondie à 0,1 % près, au bout de cinq minutes ?
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127
PPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre

On considère l’équation différentielle d’inconnue  :
.

1. Soient et deux réels.
Montrer que la fonction définie sur est une solution de l’équation homogène associée . On admet que toutes les solutions de sont de cette forme.


2. Déterminer une solution particulière de de la forme et sont réels.


3. Soit une fonction définie sur telle que et soient dérivables sur .
Démontrer que est solution de si, et seulement si, est solution de .


4. Résoudre et déterminer la solution de telle que et .
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128
APPROFONDISSEMENT

Équation différentielle du second ordre avec second membre

On veut résoudre l’équation différentielle :
.

1. Montrer que l’équation admet comme solution une fonction polynôme du second degré que l’on déterminera.


2. Soit une fonction deux fois dérivable sur , c’est‑à‑dire que et sont dérivables sur .
Démontrer que est solution de si, et seulement si, est solution de l’équation différentielle .


3. On admet que si l’équation caractéristique associée à l’équation différentielle du second ordre (où , et sont réels) possède deux racines réelles distinctes et , alors les solutions de sont de la forme et sont des réels.
a. Résoudre l’équation .


b. En déduire les solutions de l’équation .


4. Déterminer la solution de telle que et .
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129
APPROFONDISSEMENT

Afin d’étudier la croissance d’une population évoluant en milieu fermé, Pierre François Verhulst a proposé au milieu du 19e siècle un modèle appelé modèle de Verhulst.
On appelle équation logistique l’équation différentielle , où et sont des constantes réelles strictement positives. Une fonction solution de cette équation est appelée fonction logistique et représente la taille de la population étudiée en fonction du temps (en particulier, est donc une fonction strictement positive).

1. a. Vérifier que la fonction constante est solution de l’équation logistique .


b. Déterminer les variations de lorsque, pour tout , puis lorsque, pour tout , .


2. On pose, pour tout , .
a. Pour tout , déterminer en fonction de et .


b. Démontrer que est équivalente à .


c. Donner l’expression générale de puis de .


3. On suppose que la population initiale est .
a. Démontrer que .


b. Déterminer la limite de lorsque tend vers .
Cette limite s’appelle la capacité d’accueil.
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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre


Exercices transversaux maths spé
à  ,  à  ,  à  et  à   p. 432

Le Grand Oral

Exemple de sujet : La chute d’un corps, équations du mouvement

Si vous avez également choisi la spécialité Physique‑Chimie, un sujet sur les équations de mouvement peut constituer un bon sujet en lien avec ce chapitre.

À aller voir dans ce manuel :
À aller voir sur internet :
Les points à aborder dans votre présentation :
  • Bien cadrer le sujet : on parle ici d’une chute verticale avec frottements.
  • Rappeler la deuxième loi de Newton.
  • Décrire le type d’équation différentielle que l’on obtient puis préciser la solution générale.

Exemples de questions qui pourraient vous être posées :
  • Quels sont les liens entre les primitives et les équations différentielles ?
  • Quelle est la méthode générale pour résoudre une équation différentielle ?
  • Comment peut‑on déterminer la constante présente dans la solution générale ?
  • Que se passe‑t‑il si la vitesse initiale de l’objet est non nulle ?

Faire le lien avec son projet d’orientation :
  • Les équations de mouvement permettent de déterminer la position des planètes et des satellites.
  • Les équations différentielles sont omniprésentes en physique (mécanique des fluides, électromagnétisme, thermodynamique, etc.).

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14
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