PRÉPARER LE

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[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]
1. Résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}+y=0$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.




2. On considère l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): 2 y^{\prime}+y=(x+1) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$.
a. Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x)=\left(m x^{2}+p x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ soit solution de $(\mathrm{E}^{\prime})$.




b. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$.
Montrer que $f$ est solution de $(\mathrm{E}^{\prime})$ si, et seulement si, $f-\varphi$ est solution de $(\mathrm{E})$.




c. Résoudre l’équation $(\mathrm{E}')$.




3. a. Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}$.




b. Déterminer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de la fonction $h$.




4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on appelle $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}$.

a. Étudier les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_h$ et $\mathcal{C}_g$.




b. Tracer les courbes dans un même repère.

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131

[D’après bac S, La Réunion, juin 2010]
Partie A
On veut résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}): x y^{\prime}-y=x^{2} \mathrm{e}^{2 x}$ où $y$ est définie et dérivable sur $]0~;+\infty[$.

1. Montrer que si $f$, définie et dérivable sur $]0~;+\infty[$, est solution de $(\mathrm{E})$ alors $g$, définie sur $]0~;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$, est solution de l’équation $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}$.


2. En déduire les solutions de $(\mathrm{E})$.


3. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ qui s’annule en $\dfrac{1}{2}$.


Partie B
Soit la fonction $h$ définie sur $[0~;+\infty[$ par $h(x)=\dfrac{1}{2} x \mathrm{e}^{2 x}-\dfrac{ \mathrm{e}}{2} x$.
Déterminer le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$.

132

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse (en m·s^—1) à l’instant $t$ (en s). On suppose que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur $[0~;+\infty[$ et que $v$ est solution sur $[0~;+\infty[$ de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): 10 y^{\prime}+y=30$.
Enfin, on suppose que le cycliste s’élance avec une vitesse initiale nulle, c’est‑à‑dire que $v(0)=0$.

1. Démontrer que $v(t)=30\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{10}}}\right)$.


2. a. Déterminer les variations de $v$ sur $[0~;+\infty[$.


b. Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+\infty$.


3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v'(t)$ est inférieure à $0{,}1$ m·s^—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

133

[D’après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l’épidémie, on constate que $0,01$ % de la population est contaminée. On note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours pour $t \in[0~; 30]$. On a donc $y(0)=0{,}01$.
On admet que la fonction $y$ ainsi définie est dérivable et strictement positive sur $[0~; 30]$ et vérifie l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}=0,05 y(10-y)$.

1. Soit la fonction $z$ définie sur $[0~; 30]$ par $z=\dfrac{1}{y}$.
Démontrer que $y$ est solution de $(\mathrm{E})$ avec $y(0)=0{,}01$ si, et seulement si, $z$ est solution de $(\mathrm{E}^{\prime}): z^{\prime}=-0{,}5 z+0{,}05$ avec $z(0)=100$.


2. a. En déduire l’expression de $z$, puis celle de $y$, en fonction de $t$.


b. Calculer le pourcentage, arrondi à l’unité, de la population contaminée au bout d’un mois.

134

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note $f(t)$ la température de refroidissement (en °C) d’un objet fabriqué industriellement en fonction du temps $t$ (en heures). $f$ est définie et dérivable sur $[0~;+\infty[$ et vérifie l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+\dfrac{1}{2} y=10$.

1. Déterminer $f(t)$ pour $t \geqslant 0$ sachant que, pour $t=0$, la température de l’objet est de $220$ °C.


2. On pourra admettre désormais que $f(t)=200 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{2}}}+20$.
On appelle $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques $2$ cm pour une heure en abscisse et $1$ cm pour $20$ °C en ordonnée.

a. Étudier les variations de $f$ sur $[0~;+\infty[$.

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b. Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation géométrique pour $\mathcal{C}_f$. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l’objet ?


3. a. Construire la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $[0~; 7]$.

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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l’objet est de $50$ °C.

135

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x}-3 \mathrm{e}^{-3 x}$.
Soit l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=3 \mathrm{e}^{-3 x}$

1. Résoudre l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}+2 y=0$.


2. En déduire que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\dfrac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x}$ est une solution de $\left(\mathrm{E}^{\prime}\right)$.


3. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=-3 \mathrm{e}^{-3 x}$ est une solution de $(\mathrm{E})$.


4. En remarquant que $f=g+h$, montrer que $f$ est une solution de $(\mathrm{E})$.

136

[D’après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal $(\text{O} ~; \overrightarrow{i}~, \overrightarrow{j})$ ci‑dessous, la courbe $\mathcal{C}_f$ représente une fonction $f$ définie sur $]0~;+\infty[$.
Sur le graphique, on donne également les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. L’une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$ et l’autre une des primitives $\text{F}$ de $f$.
Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ représente $f'$.