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Préparer le bac
P.308-309

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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

On détermine l’ensemble de dérivabilité de la fonction et on calcule sa dérivée à l’aide des fonctions usuelles ou des opérations sur les dérivées. On remplace ensuite les expressions obtenues dans l’équation différentielle pour la vérifier.

Voir exercice
135
question 2.

2
Résoudre une équation différentielle

On identifie la forme de l’équation différentielle :
  • soit et on utilise les formules des primitives ;
  • soit avec et réels, , et on utilise la forme générale des solutions avec réel ;
    Voir exercice
    130
    question 1.
  • soit et on utilise la forme générale des solutions est solution de et une solution particulière de .
    Voir exercice
    130
    question 2.


3
Déterminer la solution de l’équation différentielle vérifiant une condition initiale

On détermine toutes les solutions de l’équation différentielle qui varient à une constante près.
On calcule ensuite et on fixe la valeur de la constante de telle sorte que .

Voir exercice
134
question 1.

4
Répondre à une question liée au problème

Il s’agit de bien lire le texte pour en extraire les informations qui permettent de comprendre les notations utilisées et ce qu’elles représentent dans la modélisation du problème.

Voir exercice
134
question 3. b.
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130
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]
1. Résoudre l’équation différentielle est une fonction définie et dérivable sur .


Aide
Écrire l’équation sous la forme et utiliser la forme générale des solutions.


2. On considère l’équation différentielle .
a. Déterminer deux réels et tels que la fonction définie sur par soit solution de .


Aide
Justifier que est dérivable sur et calculer sa dérivée . À l’aide de , déterminer un système d’inconnues et que l’on résoudra.


b. Soit une fonction définie et dérivable sur .
Montrer que est solution de si, et seulement si, est solution de .


Aide
On écrit que et sont solutions de grâce à deux égalités que l’on soustrait pour montrer que vérifie .


c. Résoudre l’équation .


Aide
On utilise la question 1. et la question 2. b..


3. a. Étudier les variations de la fonction définie sur par .


Aide
Il faut justifier que est dérivable sur , calculer sa dérivée et étudier le signe de sur .


b. Déterminer les limites en et en de la fonction .


Aide
On utilise les croissances comparées en .


4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on appelle la courbe représentative de et celle de la fonction définie sur par .

a. Étudier les positions relatives des courbes et .


Aide
Cela revient à étudier sur quels intervalles la courbe est au-dessus de la courbe , c’est‑à‑dire étudier le signe de l’expression pour .


b. Tracer les courbes dans un même repère.

Aide
On utilise un tableau de valeurs des fonctions et .


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131
[D’après bac S, La Réunion, juin 2010]
Partie A
On veut résoudre l’équation différentielle est définie et dérivable sur .

1. Montrer que si , définie et dérivable sur , est solution de alors , définie sur par , est solution de l’équation .


2. En déduire les solutions de .


3. Déterminer la solution de qui s’annule en .


Partie B
Soit la fonction définie sur par .
Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
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132
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note sa vitesse (en m·s—1) à l’instant (en s). On suppose que la fonction ainsi définie est dérivable sur et que est solution sur de l’équation différentielle .
Enfin, on suppose que le cycliste s’élance avec une vitesse initiale nulle, c’est‑à‑dire que .

1. Démontrer que .


2. a. Déterminer les variations de sur .


b. Déterminer la limite de la fonction en .


3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération est inférieure à m·s—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
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133
[D’après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l’épidémie, on constate que  % de la population est contaminée. On note le pourcentage de personnes touchées par la maladie après jours pour . On a donc .
On admet que la fonction ainsi définie est dérivable et strictement positive sur et vérifie l’équation différentielle .

1. Soit la fonction définie sur par .
Démontrer que est solution de avec si, et seulement si, est solution de avec .


2. a. En déduire l’expression de , puis celle de , en fonction de .


b. Calculer le pourcentage, arrondi à l’unité, de la population contaminée au bout d’un mois.
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134
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note la température de refroidissement (en °C) d’un objet fabriqué industriellement en fonction du temps (en heures). est définie et dérivable sur et vérifie l’équation différentielle .

1. Déterminer pour sachant que, pour , la température de l’objet est de  °C.


2. On pourra admettre désormais que .
On appelle sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques  cm pour une heure en abscisse et  cm pour  °C en ordonnée.

a. Étudier les variations de sur .


Couleurs
Formes
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b. Étudier la limite de en et en donner une interprétation géométrique pour . Quelle interprétation peut‑on en faire pour l’objet ?


3. a. Construire la courbe sur .

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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l’objet est de  °C.
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135
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction définie sur par .
Soit l’équation différentielle

1. Résoudre l’équation différentielle .


2. En déduire que la fonction définie sur par est une solution de .


3. Vérifier que la fonction définie sur par est une solution de .


4. En remarquant que , montrer que est une solution de .
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136
[D’après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal ci‑dessous, la courbe représente une fonction définie sur .
Sur le graphique, on donne également les courbes et . L’une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée de et l’autre une des primitives de .
Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes et représente .


Préparer le bac - primitives
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