[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note
f(t) la température de refroidissement (en °C) d’un objet fabriqué industriellement en fonction du temps
t (en heures).
f est définie et dérivable sur
[0 ;+∞[ et vérifie l’équation différentielle
(E):y′+21y=10.
1. Déterminer
f(t) pour
t⩾0 sachant que, pour
t=0, la température de l’objet est de
220 °C.
2. On pourra admettre désormais que
f(t)=200e−2t+20.
On appelle
Cf sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques
2 cm pour une heure en abscisse et
1 cm pour
20 °C en ordonnée.
a. Étudier les variations de
f sur
[0 ;+∞[.
b. Étudier la limite de
f en
+∞ et en donner une interprétation géométrique pour
Cf. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l’objet ?
3. a. Construire la courbe
Cf sur
[0 ;7].
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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l’objet est de
50 °C.