Sommaire

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 10

Méthode BAC

Préparer le BAC

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Comment répondre aux questions du bac ?

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1
Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

On détermine l'ensemble de dérivabilité de la fonction et on calcule sa dérivée à l'aide des fonctions usuelles ou des opérations sur les dérivées. On remplace ensuite les expressions obtenues dans l'équation différentielle pour la vérifier.

Voir exercice

135

question 2.

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2
Résoudre une équation différentielle

On identifie la forme de l'équation différentielle :

soit $y^{'} = f$ et on utilise les formules des primitives ;
soit $y^{'} = a y + b$ avec $a$ et $b$ réels, $a \neq = 0$ , et on utilise la forme générale des solutions $x \mapsto Ce^{a x} - \frac{b}{a}$ avec $C$ réel ;

Voir exercice
130
question 1.

soit $y^{'} = a y + f$ et on utilise la forme générale des solutions $y + φ$ où $y$ est solution de $y^{'} = a y$ et $φ$ une solution particulière de $y^{'} = a y + f$ .

Voir exercice
130
question 2.

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3
Déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant une condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$

On détermine toutes les solutions de l'équation différentielle qui varient à une constante près.
On calcule ensuite

y (x_{0})

et on fixe la valeur de la constante de telle sorte que

y (x_{0}) = y_{0} .

Voir exercice

134

question 1.

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4
Répondre à une question liée au problème

Il s'agit de bien lire le texte pour en extraire les informations qui permettent de comprendre les notations utilisées et ce qu'elles représentent dans la modélisation du problème.

Voir exercice

134

question 3. b.

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Exercice guidé

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130
[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]

1. Résoudre l'équation différentielle

(E) : 2 y^{'} + y = 0

où

y

est une fonction définie et dérivable sur

R

Aide

Écrire l'équation

(E)

sous la forme

y^{'} = a y

et utiliser la forme générale des solutions.

2. On considère l'équation différentielle

(E^{'}) : 2 y^{'} + y = (x + 1) e^{- \frac{x}{2}}

.
a. Déterminer deux réels

m

p

tels que la fonction

φ

définie sur

R

par

φ (x) = (m x^{2} + p x) e^{- \frac{x}{2}}

soit solution de

(E^{'})

Aide

Justifier que

φ

est dérivable sur

R

et calculer sa dérivée

φ^{'}

. À l'aide de

(E^{'})

, déterminer un système d'inconnues

m

p

que l'on résoudra.

b. Soit

f

une fonction définie et dérivable sur

R

.
Montrer que

f

est solution de

(E^{'})

si, et seulement si,

f - φ

est solution de

(E)

Aide

On écrit que

f

φ

sont solutions de

(E^{'})

grâce à deux égalités que l'on soustrait pour montrer que

f - φ

vérifie

(E)

c. Résoudre l'équation

(E^{'})

Aide

On utilise la question 1. et la question 2. b.

3. a. Étudier les variations de la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = \frac{1}{4} (x^{2} + 2 x) e^{- \frac{x}{2}}

Aide

Il faut justifier que

h

est dérivable sur

R

, calculer sa dérivée

h^{'}

et étudier le signe de

h^{'} (x)

sur

R

b. Déterminer les limites en

- \infty

et en

+ \infty

de la fonction

h

Aide

On utilise les croissances comparées en

+ \infty

4. Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle

C_{h}

la courbe représentative de

h

C_{g}

celle de la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = e^{- \frac{x}{2}}

.

a. Étudier les positions relatives des courbes

C_{h}

C_{g}

Aide

Cela revient à étudier sur quels intervalles la courbe

C_{h}

est au-dessus de la courbe

C_{g}

, c'est‑à‑dire étudier le signe de l'expression

h (x) - g (x)

pour

x \in R

b. Tracer les courbes dans un même repère.

Aide

On utilise un tableau de valeurs des fonctions

h

g

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Exercices

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131
[D'après bac S, La Réunion, juin 2010]

Partie A

On veut résoudre l'équation différentielle

(E) : x y^{'} - y = x^{2} e^{2 x}

où

y

est définie et dérivable sur

] 0; + \infty [

.

1. Montrer que si

f

, définie et dérivable sur

] 0; + \infty [

, est solution de

(E)

alors

g

, définie sur

] 0; + \infty [

par

g (x) = \frac{f ( x )}{x}

, est solution de l'équation

(E^{'}) : y^{'} = e^{2 x}

2. En déduire les solutions de

(E)

3. Déterminer la solution de

(E)

qui s'annule en

\frac{1}{2}

Partie B

Soit la fonction

h

définie sur

[0; + \infty [

par

h (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{e}{2} x

.
Déterminer le signe de

h (x)

suivant les valeurs de

x

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132
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note

v (t)

sa vitesse (en m·s^—1) à l'instant

t

(en s). On suppose que la fonction

v

ainsi définie est dérivable sur

[0; + \infty [

et que

v

est solution sur

[0; + \infty [

de l'équation différentielle

(E) : 10 y^{'} + y = 30

.
Enfin, on suppose que le cycliste s'élance avec une vitesse initiale nulle, c'est‑à‑dire que

v (0) = 0

. 1. Démontrer que

v (t) = 30 (1 - e^{- \frac{t}{10}})

2. a. Déterminer les variations de

v

sur

[0; + \infty [

b. Déterminer la limite de la fonction

v

+ \infty.

3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération

v^{'} (t)

est inférieure à

0, 1

m·s^—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de

t

à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

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133
[D'après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l'épidémie, on constate que

0, 01

% de la population est contaminée. On note

y (t)

le pourcentage de personnes touchées par la maladie après

t

jours pour

t \in [0; 30]

. On a donc

y (0) = 0, 01

.
On admet que la fonction

y

ainsi définie est dérivable et strictement positive sur

[0; 30]

et vérifie l'équation différentielle

(E) : y^{'} = 0, 05 y (10 - y)

1. Soit la fonction

z

définie sur

[0; 30]

par

z = \frac{1}{y}

.
Démontrer que

y

est solution de

(E)

avec

y (0) = 0, 01

si, et seulement si,

z

est solution de

(E^{'}) : z^{'} = - 0, 5 z + 0, 05

avec

z (0) = 100

2. a. En déduire l'expression de

z

, puis celle de

y

, en fonction de

t

b. Calculer le pourcentage, arrondi à l'unité, de la population contaminée au bout d'un mois.

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134
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note

f (t)

la température de refroidissement (en °C) d'un objet fabriqué industriellement en fonction du temps

t

(en heures).

f

est définie et dérivable sur

[0; + \infty [

et vérifie l'équation différentielle

(E) : y^{'} + \frac{1}{2} y = 10

1. Déterminer

f (t)

pour

t ⩾ 0

sachant que, pour

t = 0

, la température de l'objet est de

220

°C.

2. On pourra admettre désormais que

f (t) = 200 e^{- \frac{t}{2}} + 20

.
On appelle

C_{f}

sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques

2

cm pour une heure en abscisse et

1

cm pour

20

°C en ordonnée.

a. Étudier les variations de

f

sur

[0; + \infty [

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

b. Étudier la limite de

f

+ \infty

et en donner une interprétation géométrique pour

C_{f}

. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l'objet ?

3. a. Construire la courbe

C_{f}

sur

[0; 7]

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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l'objet est de

50

°C.

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135
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction

f

définie sur

R

par

f (x) = \frac{9}{2} e^{- 2 x} - 3 e^{- 3 x}

.
Soit l'équation différentielle

(E) : y^{'} + 2 y = 3 e^{- 3 x}

1. Résoudre l'équation différentielle

(E^{'}) : y^{'} + 2 y = 0

2. En déduire que la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = \frac{9}{2} e^{- 2 x}

est une solution de

(E^{'})

3. Vérifier que la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = - 3 e^{- 3 x}

est une solution de

(E)

4. En remarquant que

f = g + h

, montrer que

f

est une solution de

(E)

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136
[D'après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal

(O; i, j)

ci‑dessous, la courbe

C_{f}

représente une fonction

f

définie sur

] 0; + \infty [

.
Sur le graphique, on donne également les courbes

C

Γ

. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée

f^{'}

f

et l'autre une des primitives

F

f

. Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes

C

Γ

représente

f^{'}

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1Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

2Résoudre une équation différentielle

3Déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant une condition initiale y(x0​)=y0​

4Répondre à une question liée au problème

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Montrer qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

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