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Comment répondre aux questions du bac ?

1
Montrer qu’une fonction est solution d’une équation différentielle

On détermine l’ensemble de dérivabilité de la fonction et on calcule sa dérivée à l’aide des fonctions usuelles ou des opérations sur les dérivées. On remplace ensuite les expressions obtenues dans l’équation différentielle pour la vérifier.

Voir exercice
135
question 2.

2
Résoudre une équation différentielle

On identifie la forme de l’équation différentielle :
  • soit y=fy'=f et on utilise les formules des primitives ;
  • soit y=ay+by'=ay+b avec aa et bb réels, a0a \neq 0, et on utilise la forme générale des solutions xCeaxbax \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\dfrac{b}{a} avec C\text{C} réel ;
    Voir exercice
    130
    question 1.
  • soit y=ay+fy'=ay+f et on utilise la forme générale des solutions y+φy+\varphiyy est solution de y=ayy'=ay et φ\varphi une solution particulière de y=ay+fy'=ay+f.
    Voir exercice
    130
    question 2.


3
Déterminer la solution de l’équation différentielle vérifiant une condition initiale y(x0)=y0\boldsymbol{y(x_{0})=y_{0}}

On détermine toutes les solutions de l’équation différentielle qui varient à une constante près.
On calcule ensuite y(x0)y(x_0) et on fixe la valeur de la constante de telle sorte que y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}.

Voir exercice
134
question 1.

4
Répondre à une question liée au problème

Il s’agit de bien lire le texte pour en extraire les informations qui permettent de comprendre les notations utilisées et ce qu’elles représentent dans la modélisation du problème.

Voir exercice
134
question 3. b.
Voir les réponses
130
[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]
1. Résoudre l’équation différentielle (E):2y+y=0(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}+y=0yy est une fonction définie et dérivable sur R\R.


Aide
Écrire l’équation (E)(\mathrm{E}) sous la forme y=ayy'=ay et utiliser la forme générale des solutions.


2. On considère l’équation différentielle (E):2y+y=(x+1)ex2\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): 2 y^{\prime}+y=(x+1) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}.
a. Déterminer deux réels mm et pp tels que la fonction φ\varphi définie sur R\R par φ(x)=(mx2+px)ex2\varphi(x)=\left(m x^{2}+p x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}} soit solution de (E)(\mathrm{E}^{\prime}).


Aide
Justifier que φ\varphi est dérivable sur R\R et calculer sa dérivée φ\varphi'. À l’aide de (E)(\mathrm{E}^{\prime}), déterminer un système d’inconnues mm et pp que l’on résoudra.


b. Soit ff une fonction définie et dérivable sur R\R.
Montrer que ff est solution de (E)(\mathrm{E}^{\prime}) si, et seulement si, fφf-\varphi est solution de (E)(\mathrm{E}).


Aide
On écrit que ff et φ\varphi sont solutions de (E)(\mathrm{E}^{\prime}) grâce à deux égalités que l’on soustrait pour montrer que fφf-\varphi vérifie (E)(\mathrm{E}).


c. Résoudre l’équation (E)(\mathrm{E}').


Aide
On utilise la question 1. et la question 2. b..


3. a. Étudier les variations de la fonction hh définie sur R\R par h(x)=14(x2+2x)ex2h(x)=\dfrac{1}{4}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.


Aide
Il faut justifier que hh est dérivable sur R\R, calculer sa dérivée hh' et étudier le signe de h(x)h'(x) sur R\R.


b. Déterminer les limites en -\infty et en ++\infty de la fonction hh.


Aide
On utilise les croissances comparées en ++\infty.


4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on appelle Ch\mathcal{C}_h la courbe représentative de hh et Cg\mathcal{C}_g celle de la fonction gg définie sur R\R par g(x)=ex2g(x)=\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.

a. Étudier les positions relatives des courbes Ch\mathcal{C}_h et Cg\mathcal{C}_g.


Aide
Cela revient à étudier sur quels intervalles la courbe Ch\mathcal{C}_h est au-dessus de la courbe Cg\mathcal{C}_g, c’est‑à‑dire étudier le signe de l’expression h(x)g(x)h(x)-g(x) pour xRx \in \R.


b. Tracer les courbes dans un même repère.

Aide
On utilise un tableau de valeurs des fonctions hh et gg.


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131
[D’après bac S, La Réunion, juin 2010]
Partie A
On veut résoudre l’équation différentielle (E):xyy=x2e2x(\mathrm{E}): x y^{\prime}-y=x^{2} \mathrm{e}^{2 x}yy est définie et dérivable sur ]0 ;+[]0~;+\infty[.

1. Montrer que si ff, définie et dérivable sur ]0 ;+[]0~;+\infty[, est solution de (E)(\mathrm{E}) alors gg, définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[ par g(x)=f(x)xg(x)=\dfrac{f(x)}{x}, est solution de l’équation (E):y=e2x\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}.


2. En déduire les solutions de (E)(\mathrm{E}).


3. Déterminer la solution de (E)(\mathrm{E}) qui s’annule en 12\dfrac{1}{2}.


Partie B
Soit la fonction hh définie sur [0 ;+[[0~;+\infty[ par h(x)=12xe2xe2xh(x)=\dfrac{1}{2} x \mathrm{e}^{2 x}-\dfrac{ \mathrm{e}}{2} x.
Déterminer le signe de h(x)h(x) suivant les valeurs de xx.
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132
[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note v(t)v(t) sa vitesse (en m·s—1) à l’instant tt (en s). On suppose que la fonction vv ainsi définie est dérivable sur [0 ;+[[0~;+\infty[ et que vv est solution sur [0 ;+[[0~;+\infty[ de l’équation différentielle (E):10y+y=30(\mathrm{E}): 10 y^{\prime}+y=30.
Enfin, on suppose que le cycliste s’élance avec une vitesse initiale nulle, c’est‑à‑dire que v(0)=0v(0)=0.

1. Démontrer que v(t)=30(1et10)v(t)=30\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{10}}}\right).


2. a. Déterminer les variations de vv sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


b. Déterminer la limite de la fonction vv en ++\infty.


3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v(t)v'(t) est inférieure à 0,10{,}1 m·s—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de tt à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
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133
[D’après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l’épidémie, on constate que 0,010,01 % de la population est contaminée. On note y(t)y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après tt jours pour t[0 ;30]t \in[0~; 30]. On a donc y(0)=0,01y(0)=0{,}01.
On admet que la fonction yy ainsi définie est dérivable et strictement positive sur [0 ;30][0~; 30] et vérifie l’équation différentielle (E):y=0,05y(10y)(\mathrm{E}): y^{\prime}=0,05 y(10-y).

1. Soit la fonction zz définie sur [0 ;30][0~; 30] par z=1yz=\dfrac{1}{y}.
Démontrer que yy est solution de (E)(\mathrm{E}) avec y(0)=0,01y(0)=0{,}01 si, et seulement si, zz est solution de (E):z=0,5z+0,05(\mathrm{E}^{\prime}): z^{\prime}=-0{,}5 z+0{,}05 avec z(0)=100z(0)=100.


2. a. En déduire l’expression de zz, puis celle de yy, en fonction de tt.


b. Calculer le pourcentage, arrondi à l’unité, de la population contaminée au bout d’un mois.
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134
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note f(t)f(t) la température de refroidissement (en °C) d’un objet fabriqué industriellement en fonction du temps tt (en heures). ff est définie et dérivable sur [0 ;+[[0~;+\infty[ et vérifie l’équation différentielle (E):y+12y=10(\mathrm{E}): y^{\prime}+\dfrac{1}{2} y=10.

1. Déterminer f(t)f(t) pour t0t \geqslant 0 sachant que, pour t=0t=0, la température de l’objet est de 220220 °C.


2. On pourra admettre désormais que f(t)=200et2+20f(t)=200 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{2}}}+20.
On appelle Cf\mathcal{C}_f sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques 22 cm pour une heure en abscisse et 11 cm pour 2020 °C en ordonnée.

a. Étudier les variations de ff sur [0 ;+[[0~;+\infty[.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

b. Étudier la limite de ff en ++\infty et en donner une interprétation géométrique pour Cf\mathcal{C}_f. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l’objet ?


3. a. Construire la courbe Cf\mathcal{C}_f sur [0 ;7][0~; 7].

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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l’objet est de 5050 °C.
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135
[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction ff définie sur R\R par f(x)=92e2x3e3xf(x)=\dfrac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x}-3 \mathrm{e}^{-3 x}.
Soit l’équation différentielle (E):y+2y=3e3x(\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=3 \mathrm{e}^{-3 x}

1. Résoudre l’équation différentielle (E):y+2y=0\left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}+2 y=0.


2. En déduire que la fonction hh définie sur R\R par h(x)=92e2xh(x)=\dfrac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x} est une solution de (E)\left(\mathrm{E}^{\prime}\right).


3. Vérifier que la fonction gg définie sur R\R par g(x)=3e3xg(x)=-3 \mathrm{e}^{-3 x} est une solution de (E)(\mathrm{E}).


4. En remarquant que f=g+hf=g+h, montrer que ff est une solution de (E)(\mathrm{E}).
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136
[D’après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal (;i ,j)(\text{O} ~; \overrightarrow{i}~, \overrightarrow{j}) ci‑dessous, la courbe Cf\mathcal{C}_f représente une fonction ff définie sur ]0 ;+[]0~;+\infty[.
Sur le graphique, on donne également les courbes C\mathcal{C} et Γ\Gamma. L’une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée ff' de ff et l’autre une des primitives F\text{F} de ff.
Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes C\mathcal{C} et Γ\Gamma représente ff'.


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