Mathématiques Terminale Spécialité
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Comment répondre aux questions du bac ?
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1Montrer qu'une fonction est solution d'une équation
différentielle
On détermine l'ensemble de dérivabilité de la fonction et on calcule sa dérivée à l'aide des fonctions usuelles ou des opérations sur les dérivées. On remplace ensuite les expressions obtenues dans l'équation différentielle pour la vérifier.
Voir exercice question 2.
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2Résoudre une équation différentielle
On identifie la forme de l'équation différentielle :
- soit y'=f et on utilise les formules des primitives ;
- soit y'=ay+b avec a et b réels, a \neq 0, et on utilise la forme générale des solutions x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\frac{b}{a} avec \text{C} réel ;
Voir exercice question 1. - soit y'=ay+f et on utilise la forme générale des solutions y+\varphi où y est solution de y'=ay et \varphi une solution particulière de y'=ay+f.
Voir exercice question 2.
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3Déterminer la solution de l'équation différentielle
vérifiant une condition initiale \boldsymbol{y(x_{0})=y_{0}}
On détermine toutes les solutions de l'équation différentielle qui varient à une constante près.On calcule ensuite y(x_0) et on fixe la valeur de la constante de telle sorte que y\left(x_{0}\right)=y_{0}.
Voir exercice question 1.
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4Répondre à une question liée au problème
Il s'agit de bien lire le texte pour en extraire les informations qui permettent de comprendre les notations utilisées et ce qu'elles représentent dans la modélisation du problème.
Voir exercice question 3. b.
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Exercice guidé
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130
[D'après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]
1. Résoudre l'équation différentielle (\mathrm{E}): 2 y^{\prime}+y=0 où y est une fonction définie et dérivable sur \R.
2. On considère l'équation différentielle \left(\mathrm{E}^{\prime}\right): 2 y^{\prime}+y=(x+1) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}.
a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction \varphi définie sur \R par \varphi(x)=\left(m x^{2}+p x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}} soit solution de (\mathrm{E}^{\prime}).
b. Soit f une fonction définie et dérivable sur \R.
Montrer que f est solution de (\mathrm{E}^{\prime}) si, et seulement si, f-\varphi est solution de (\mathrm{E}).
c. Résoudre l'équation (\mathrm{E}').
3. a. Étudier les variations de la fonction h définie sur \R par h(x)=\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.
Aide
Écrire l'équation (\mathrm{E}) sous la forme y'=ay et utiliser la forme générale des solutions.
2. On considère l'équation différentielle \left(\mathrm{E}^{\prime}\right): 2 y^{\prime}+y=(x+1) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}.
a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction \varphi définie sur \R par \varphi(x)=\left(m x^{2}+p x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}} soit solution de (\mathrm{E}^{\prime}).
Aide
Justifier que \varphi est dérivable sur \R et calculer sa dérivée \varphi'. À l'aide de (\mathrm{E}^{\prime}), déterminer un système d'inconnues m et p que l'on résoudra.
b. Soit f une fonction définie et dérivable sur \R.
Montrer que f est solution de (\mathrm{E}^{\prime}) si, et seulement si, f-\varphi est solution de (\mathrm{E}).
Aide
On écrit que f et \varphi sont solutions de (\mathrm{E}^{\prime}) grâce à deux égalités que l'on soustrait pour montrer que f-\varphi vérifie (\mathrm{E}).
c. Résoudre l'équation (\mathrm{E}').
Aide
On utilise la question 1. et la question 2. b.
3. a. Étudier les variations de la fonction h définie sur \R par h(x)=\frac{1}{4}\left(x^{2}+2 x\right) \mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.
Aide
Il faut justifier que h est dérivable sur \R, calculer sa dérivée h' et étudier le signe de h'(x) sur \R.
b. Déterminer les limites en -\infty et en +\infty de la fonction h.
4. Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle \mathcal{C}_h la courbe représentative de h et \mathcal{C}_g celle de la fonction g définie sur \R par g(x)=\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.
a. Étudier les positions relatives des courbes \mathcal{C}_h et \mathcal{C}_g.
b. Tracer les courbes dans un même repère.
Aide
On utilise les croissances comparées en +\infty.
4. Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on appelle \mathcal{C}_h la courbe représentative de h et \mathcal{C}_g celle de la fonction g définie sur \R par g(x)=\mathrm{e}^{-\normalsize\tfrac{x}{2}}.
a. Étudier les positions relatives des courbes \mathcal{C}_h et \mathcal{C}_g.
Aide
Cela revient à étudier sur quels intervalles la courbe \mathcal{C}_h est au-dessus de la courbe \mathcal{C}_g, c'est‑à‑dire étudier le signe de l'expression h(x)-g(x) pour x \in \R.
b. Tracer les courbes dans un même repère.
Aide
On utilise un tableau de valeurs des fonctions h et g.
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Exercices
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131
[D'après bac S, La Réunion, juin 2010]
Partie A
On veut résoudre l'équation différentielle (\mathrm{E}): x y^{\prime}-y=x^{2} \mathrm{e}^{2 x} où y est définie et dérivable sur ]0~;+\infty[.1. Montrer que si f, définie et dérivable sur ]0~;+\infty[, est solution de (\mathrm{E}) alors g, définie sur ]0~;+\infty[ par g(x)=\frac{f(x)}{x}, est solution de l'équation \left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}.
2. En déduire les solutions de (\mathrm{E}).
3. Déterminer la solution de (\mathrm{E}) qui s'annule en \frac{1}{2}.
Partie B
Soit la fonction h définie sur [0~;+\infty[ par h(x)=\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{2 x}-\frac{ \mathrm{e}}{2} x.
Déterminer le signe de h(x) suivant les valeurs de x.
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132
[D'après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse (en m·s—1) à l'instant t (en s). On suppose que la fonction v ainsi définie est dérivable sur [0~;+\infty[ et que v est solution sur [0~;+\infty[ de l'équation différentielle (\mathrm{E}): 10 y^{\prime}+y=30.
Enfin, on suppose que le cycliste s'élance avec une vitesse initiale nulle, c'est‑à‑dire que v(0)=0. 1. Démontrer que v(t)=30\left(1-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{10}}}\right).
2. a. Déterminer les variations de v sur [0~;+\infty[.
b. Déterminer la limite de la fonction v en +\infty.
3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v'(t) est inférieure à 0{,}1 m·s—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.
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133
[D'après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l'épidémie, on constate que 0,01 % de la population est contaminée. On note y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours pour t \in[0~; 30]. On a donc y(0)=0{,}01.
On admet que la fonction y ainsi définie est dérivable et strictement positive sur [0~; 30] et vérifie l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=0,05 y(10-y).
1. Soit la fonction z définie sur [0~; 30] par z=\frac{1}{y}.
Démontrer que y est solution de (\mathrm{E}) avec y(0)=0{,}01 si, et seulement si, z est solution de (\mathrm{E}^{\prime}): z^{\prime}=-0{,}5 z+0{,}05 avec z(0)=100.
Démontrer que y est solution de (\mathrm{E}) avec y(0)=0{,}01 si, et seulement si, z est solution de (\mathrm{E}^{\prime}): z^{\prime}=-0{,}5 z+0{,}05 avec z(0)=100.
2. a. En déduire l'expression de z, puis celle de y, en fonction de t.
b. Calculer le pourcentage, arrondi à l'unité, de la population contamin ée au bout d'un mois.
b. Calculer le pourcentage, arrondi à l'unité, de la population contamin ée au bout d'un mois.
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134
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note f(t) la température de refroidissement (en °C) d'un objet fabriqué industriellement en fonction du temps t (en heures). f est définie et dérivable sur [0~;+\infty[ et vérifie l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+\frac{1}{2} y=10.
1. Déterminer f(t) pour t \geqslant 0 sachant que, pour t=0, la température de l'objet est de 220 °C.
2. On pourra admettre désormais que f(t)=200 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{2}}}+20.
On appelle \mathcal{C}_f sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour 20 °C en ordonnée.
a. Étudier les variations de f sur [0~;+\infty[.
b. Étudier la limite de f en +\infty et en donner une interprétation géométrique pour \mathcal{C}_f. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l'objet ?
2. On pourra admettre désormais que f(t)=200 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{t}{2}}}+20.
On appelle \mathcal{C}_f sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques 2 cm pour une heure en abscisse et 1 cm pour 20 °C en ordonnée.
a. Étudier les variations de f sur [0~;+\infty[.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
b. Étudier la limite de f en +\infty et en donner une interprétation géométrique pour \mathcal{C}_f. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l'objet ?
3. a. Construire la courbe \mathcal{C}_f sur [0~; 7].
b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l'objet est de 50 °C.
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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l'objet est de 50 °C.
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135
[D'après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction f définie sur \R par f(x)=\frac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x}-3 \mathrm{e}^{-3 x}.
Soit l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}+2 y=3 \mathrm{e}^{-3 x} 1. Résoudre l'équation différentielle \left(\mathrm{E}^{\prime}\right): y^{\prime}+2 y=0.
2. En déduire que la fonction h définie sur \R par h(x)=\frac{9}{2} \mathrm{e}^{-2 x} est une solution de \left(\mathrm{E}^{\prime}\right).
3. Vérifier que la fonction g définie sur \R par g(x)=-3 \mathrm{e}^{-3 x} est une solution de (\mathrm{E}).
4. En remarquant que f=g+h, montrer que f est une solution de (\mathrm{E}).
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136
[D'après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal (\text{O} ~; \overrightarrow{i}~, \overrightarrow{j}) ci‑dessous, la courbe \mathcal{C}_f représente une fonction f définie sur ]0~;+\infty[.
Sur le graphique, on donne également les courbes \mathcal{C} et \Gamma. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée f' de f et l'autre une des primitives \text{F} de f. Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes \mathcal{C} et \Gamma représente f'.
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