PRÉPARER LE

130

[D’après bac S, Amérique du Sud, novembre 2008]
1. Résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}):2y^{\prime }+y=0$ où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.




2. On considère l’équation différentielle $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):2y^{\prime }+y=(x+1){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$.
a. Déterminer deux réels $m$ et $p$ tels que la fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=\left(m{x}^2+px\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ soit solution de $({\mathrm{E}}^{\prime })$.




b. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $f$ est solution de $({\mathrm{E}}^{\prime })$ si, et seulement si, $f-\phi$ est solution de $(\mathrm{E})$.




c. Résoudre l’équation $({\mathrm{E}}^{\prime })$.




3. a. Étudier les variations de la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{1}{4}\left(x^2+2x\right){\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$.




b. Déterminer les limites en $-\infty$ et en $+\infty$ de la fonction $h$.




4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on appelle ${\mathcal{C}}_h$ la courbe représentative de $h$ et ${\mathcal{C}}_g$ celle de la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$.

a. Étudier les positions relatives des courbes ${\mathcal{C}}_h$ et ${\mathcal{C}}_g$.




b. Tracer les courbes dans un même repère.

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131

[D’après bac S, La Réunion, juin 2010]
Partie A
On veut résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}):x{y}^{\prime }-y=x^2{\mathrm{e}}^{2x}$ où $y$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty [$.

1. Montrer que si $f$, définie et dérivable sur $]0;+\infty [$, est solution de $(\mathrm{E})$ alors $g$, définie sur $]0;+\infty [$ par $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, est solution de l’équation $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x}$.


2. En déduire les solutions de $(\mathrm{E})$.


3. Déterminer la solution de $(\mathrm{E})$ qui s’annule en $\frac{1}{2}$.


Partie B
Soit la fonction $h$ définie sur $[0;+\infty [$ par $h(x)=\frac{1}{2}x{\mathrm{e}}^{2x}-\frac{\mathrm{e}}{2}x$.
Déterminer le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$.

132

[D’après bac S, Nouvelle-Calédonie, mars 2011]
Un cycliste roule sur une route descendante, rectiligne et très longue. On note $v(t)$ sa vitesse (en m·s^—1) à l’instant $t$ (en s). On suppose que la fonction $v$ ainsi définie est dérivable sur $[0;+\infty [$ et que $v$ est solution sur $[0;+\infty [$ de l’équation différentielle $(\mathrm{E}):10y^{\prime }+y=30$.
Enfin, on suppose que le cycliste s’élance avec une vitesse initiale nulle, c’est‑à‑dire que $v(0)=0$.

1. Démontrer que $v(t)=30\left(1-{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{10}}\right)$.


2. a. Déterminer les variations de $v$ sur $[0;+\infty [$.


b. Déterminer la limite de la fonction $v$ en $+\infty$.


3. Dans cette question, on considère que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération $v^{\prime }(t)$ est inférieure à $0,1$ m·s^—2. À la calculatrice, déterminer à la seconde près la plus petite valeur de $t$ à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée.

133

[D’après bac S, Amérique du Nord, juin 2009]
Dans cet exercice, on étudie une épidémie dans une population. Au début de l’épidémie, on constate que $0,01$ % de la population est contaminée. On note $y(t)$ le pourcentage de personnes touchées par la maladie après $t$ jours pour $t\in [0;30]$. On a donc $y(0)=0,01$.
On admet que la fonction $y$ ainsi définie est dérivable et strictement positive sur $[0;30]$ et vérifie l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=0,05y(10-y)$.

1. Soit la fonction $z$ définie sur $[0;30]$ par $z=\frac{1}{y}$.
Démontrer que $y$ est solution de $(\mathrm{E})$ avec $y(0)=0,01$ si, et seulement si, $z$ est solution de $({\mathrm{E}}^{\prime }):z^{\prime }=-0,5z+0,05$ avec $z(0)=100$.


2. a. En déduire l’expression de $z$, puis celle de $y$, en fonction de $t$.


b. Calculer le pourcentage, arrondi à l’unité, de la population contaminée au bout d’un mois.

134

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2009]
On note $f(t)$ la température de refroidissement (en °C) d’un objet fabriqué industriellement en fonction du temps $t$ (en heures). $f$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty [$ et vérifie l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+\frac{1}{2}y=10$.

1. Déterminer $f(t)$ pour $t⩾0$ sachant que, pour $t=0$, la température de l’objet est de $220$ °C.


2. On pourra admettre désormais que $f(t)=200{\mathrm{e}}^{-\frac{t}{2}}+20$.
On appelle ${\mathcal{C}}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On prendra comme unités graphiques $2$ cm pour une heure en abscisse et $1$ cm pour $20$ °C en ordonnée.

a. Étudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty [$.

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b. Étudier la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation géométrique pour ${\mathcal{C}}_f$. Quelle interprétation peut‑on en faire pour l’objet ?


3. a. Construire la courbe ${\mathcal{C}}_f$ sur $[0;7]$.

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b. Graphiquement, déterminer une valeur approchée, en heure et en minute, du moment où la température de l’objet est de $50$ °C.

135

[D’après bac S, Antilles-Guyane, juin 2008]
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{9}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}-3{\mathrm{e}}^{-3x}$.
Soit l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }+2y=3{\mathrm{e}}^{-3x}$

1. Résoudre l’équation différentielle $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right):y^{\prime }+2y=0$.


2. En déduire que la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)=\frac{9}{2}{\mathrm{e}}^{-2x}$ est une solution de $\left({\mathrm{E}}^{\prime }\right)$.


3. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-3{\mathrm{e}}^{-3x}$ est une solution de $(\mathrm{E})$.


4. En remarquant que $f=g+h$, montrer que $f$ est une solution de $(\mathrm{E})$.

136

[D’après Bac STI2D, Antilles-Guyane, juin 2013]
Dans le repère orthonormal $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ ci‑dessous, la courbe ${\mathcal{C}}_f$ représente une fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$.
Sur le graphique, on donne également les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$. L’une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f^{\prime }$ de $f$ et l’autre une des primitives $\text{F}$ de $f$.
Indiquer, en justifiant, laquelle des deux courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ représente $f^{\prime }$.