Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 10
Cours 1

Équation différentielle

Dans toute cette partie, est une fonction définie et continue sur un intervalle .

A
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

Définitions
Soit une fonction définie sur . On dit que est une primitive de sur lorsque est dérivable sur et que . On dit alors que est solution de l'équation , appelée équation différentielle, dont l'inconnue est la fonction .

Notation

signifie que, pour tout , .
Exemple
et sont solutions sur de l'équation différentielle d'inconnue . Ces deux fonctions sont donc des primitives sur de la fonction .
Théorème (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Remarques

  • Ce théorème est démontré au (Calcul intégral).
  • On ne peut pas toujours expliciter les primitives d'une fonction continue sur un intervalle : c'est par exemple le cas de .
Théorème
Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Remarque

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n'est pas unique.
Démonstration
Soient et deux solutions sur de . On définit sur la fonction par .
Par hypothèse, et sont dérivables sur et on a et .
Par conséquent, est aussi dérivable sur et .
On en déduit que est constante sur . Il existe donc un réel tel que, pour tout , soit donc , d'où le résultat.
Propriété
Soient un réel de et un réel quelconque. L'équation différentielle admet une unique solution sur telle que .

Remarque

On rappelle que est supposée continue.
Démonstration
est continue et admet donc une primitive sur  : est une solution de . Les fonctions , avec , sont dérivables sur de dérivée , elles sont donc aussi des primitives de sur et donc des solutions de .
La condition équivaut à .
Ainsi, la valeur de est unique et fixée par la condition initiale.
D'où l'unicité de la solution de définie sur par .

Vocabulaire

La condition est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.
Application et méthode - 1
Énoncé
Déterminer la solution de l'équation différentielle vérifiant .

Méthode

  • On cherche une primitive de . Ici .
  • On utilise le deuxième théorème en posant , avec .
  • On calcule avec la condition initiale.
Solution
Soit . est dérivable sur et, pour tout , . Ainsi, est une solution de . La solution cherchée est donc de la forme avec . Comme , on a . Ainsi, pour tout , .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 298

B
Primitives des fonctions de référence

À l'aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.
Fonction Une primitive Sur l'intervalle
avec et si  ; ou si

Remarques

  • Pour obtenir toutes les primitives d'une fonction sur un intervalle , c'est‑à‑dire les solutions de , on ajoute une constante réelle à la primitive .
  • Une primitive sur de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 ().
Propriétés
Soient une primitive d'une fonction et une primitive d'une fonction sur  :
  • la fonction admet comme primitive sur la fonction  ;
  • fonction (avec ) admet comme primitive sur la fonction .
Démonstration
On a et . Or, et d'où les propriétés annoncées.
Application et méthode - 2
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue définie sur .

Méthode

  • On vérifie que la fonction est continue et admet donc des primitives.
  • On utilise le tableau des primitives.
  • Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle .
Solution
On note la fonction définie sur par .
est continue sur en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction définie sur par . Les solutions de sont donc les fonctions , où .

Pour s'entraîner
Exercices , et p. 298

C
Primitives des fonctions de la forme

Propriété
Soient une fonction définie et dérivable sur un intervalle et une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , .
Alors est une primitive sur de .

Remarque

est une solution sur de l'équation différentielle .
Démonstration
Soient une fonction définie et dérivable sur un intervalle et une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , . Alors est dérivable sur et on a . D'où le résultat.
Application et méthode - 3
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle d'inconnue .

Méthode

  • On écrit sous la forme d'un produit.
  • On identifie la fonction pour faire apparaître, à un facteur près, le produit .
  • On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer et retrouver .
  • On ajoute une constante réelle pour obtenir toutes les solutions de l'équation différentielle.
Solution
Soit la fonction définie sur par . est une fonction rationnelle définie et dérivable sur , donc est continue sur . Ainsi, admet des primitives sur . De plus, pour tout , .
On pose de dérivée et de dérivée .
Alors, pour tout ,
Les solutions de sont donc les fonctions définies sur de la forme , où est un réel.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 298

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