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1. Équation différentielle y'=f
P.288-290
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COURS 1


1
Équation différentielle y′=fy'=f





Dans toute cette partie, ff est une fonction définie et continue sur un intervalle I\text{I}.

A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle


Définitions
Soit F\text{F} une fonction définie sur I\text{I}. On dit que F\text{F} est une primitive de ff sur I\text{I} lorsque F\text{F} est dérivable sur I\text{I} et que F′=f\mathrm{F}'=f. On dit alors que F\text{F} est solution de l’équation y′=fy'=f, appelée équation différentielle, dont l’inconnue est la fonction yy.

NOTATION
y′=fy'=f signifie que, pour tout x∈Ix \in \mathrm{I}, y′(x)=f(x)y^{\prime}(x)=f(x).

Exemple
x↦x2x \mapsto x^{2} et x↦x2+1x \mapsto x^{2}+1 sont solutions sur R\R de l’équation différentielle y′=2xy'=2x d’inconnue yy. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur R\R de la fonction x↦2xx \mapsto 2 x.

Théorème (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Remarque

  • Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n’est pas unique.
  • Le premier théorème est démontré au chapitre 11 (Calcul intégral).
  • On ne peut pas toujours expliciter les primitives d’une fonction continue sur un intervalle : c’est par exemple le cas de x↦e−x2x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{2}}.

DÉMONSTRATION

Soient y1y_1 et y2y_2 deux solutions sur I\text{I} de (E):y′=f(\mathrm{E}): y^{\prime}=f.
On définit sur I\text{I} la fonction gg par g(x)=y2(x)−y1(x)g(x)=y_{2}(x)-y_{1}(x).
Par hypothèse, y1y_1 et y2y_2 sont dérivables sur I\text{I} et on a y1′=fy_{1}^{\prime}=f et y2′=fy_{2}^{\prime}=f.
Par conséquent, g=y2−y1g=y_{2}-y_{1} est aussi dérivable sur I\text{I} et g′=y2′−y1′=0g^{\prime}=y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}=0.
On en déduit que gg est constante sur I\text{I}. Il existe donc un réel kk tel que, pour tout x∈Ix \in \mathrm{I}, g(x)=kg(x)=k soit y2(x)−y1(x)=ky_{2}(x)-y_{1}(x)=k donc y2(x)=y1(x)+ky_{2}(x)=y_{1}(x)+k, d’où le résultat.

Propriété
Soient x0x_0 un réel de I\text{I} et y0y_0 un réel quelconque. L’équation différentielle (E):y′=f(\mathrm{E}): y^{\prime}=f admet une unique solution F\text{F} sur I\text{I} telle que F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}.

Remarque

On rappelle que ff est supposée continue.

VOCABULAIRE
La condition F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

DÉMONSTRATION

ff est continue et admet donc une primitive G\text{G} sur I\text{I} : G\text{G} est une solution de (E)(\mathrm{E}).
Les fonctions x↦G(x)+kx \mapsto \mathrm{G}(x)+k, avec k∈Rk \in \mathbb{R}, sont dérivables sur I\text{I} de dérivée G′\mathrm{G}', elles sont donc aussi des primitives de ff sur I\text{I} et donc des solutions de (E)(\mathrm{E}).
La condition F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} équivaut à G(x0)+k=y0⇔k=y0−G(x0)\mathrm{G}\left(x_{0}\right)+k=y_{0} \Leftrightarrow k=y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).
Ainsi, la valeur de kk est unique et fixée par la condition initiale.
D’où l’unicité de la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) définie sur I\text{I} par F(x)=G(x)+y0−G(x0)\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).

Application et méthode - 1

Énoncé

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle (E):y′=e2x(\mathrm{E}): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x} vérifiant F(0)=−1\mathrm{F}(0)=-1.

Solution

Soit G(x)=12e2x\mathrm{G}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}. G\text{G} est dérivable sur R\R et, pour tout x∈Rx \in \R, G′(x)=e2x\mathrm{G}^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2 x}. Ainsi, G\text{G} est une solution de (E)(\mathrm{E}). La solution cherchée est donc de la forme F(x)=12e2x+k\mathrm{F}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+k avec k∈Rk \in \mathbb{R}. Comme F(0)=−1\mathrm{F}(0)=-1, on a 12e0+k=−1⇔k=−32\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{0}+k=-1 \Leftrightarrow k=-\dfrac{3}{2}. Ainsi, pour tout x∈Rx \in \R, F(x)=12e2x−32\mathrm{F}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\dfrac{3}{2}.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 298

Méthode

  • On cherche une primitive G\text{G} de ff. Ici f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
  • On utilise le deuxième théorème en posant F(x)=G(x)+k\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+k, avec k∈Rk \in \mathbb{R}.
  • On calcule kk avec la condition initiale.

B
Primitives des fonctions de référence


À l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

Fonction f\boldsymbol{f} Une primitive F\mathbf{F} Sur l’intervalle I\mathbf{I}
x↦xnx \mapsto x^{n} avec n∈Zn \in \mathbb{Z} et n≠−1n \neq-1 x↦xn+1n+1x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} R\R si n∈Nn \in \N ; ]−∞ ;0[]-\infty~; 0[ ou ]0 ;+∞[] 0~;+\infty[ si n<0n\lt0
x↦1xx \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} x↦2xx \mapsto 2 \sqrt{x} ]0 ;+∞[] 0~;+\infty[
x↦exx \mapsto \mathrm{e}^{x} x↦exx \mapsto \mathrm{e}^{x} R\R
x↦sin⁡xx \mapsto \sin x x↦−cos⁡xx \mapsto-\cos x R\R
x↦cos⁡xx \mapsto \cos x x↦sin⁡xx \mapsto\sin x R\R

Remarque

Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction ff sur un intervalle I\text{I}, c’est‑à‑dire les solutions de y′=fy'=f, on ajoute une constante réelle kk à la primitive F\text{F}.

Propriétés
Soient F\text{F} une primitive d’une fonction ff et G\text{G} une primitive d’une fonction gg sur I\text{I} :
  • la fonction f+gf+g admet comme primitive sur I\text{I} la fonction F+G\mathrm{F} + \mathrm{G} ;
  • fonction λf\lambda f (avec λ∈R\lambda \in \R) admet comme primitive sur I\text{I} la fonction λF\lambda \mathrm{F}.

Remarque

Une primitive sur ]0 ;+∞[] 0~;+\infty[ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (Fonction logarithme).

DÉMONSTRATION

On a F′=f\mathrm{F}^{\prime}=f et G′=g\mathrm{G}^{\prime}=g. Or, (F+G)′=F′+G′=f+g(\mathrm{F}+\mathrm{G})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}+\mathrm{G}^{\prime}=f+g et (λF)′=λ×F′=λf(\lambda \mathrm{F})^{\prime}=\lambda \times \mathrm{F}^{\prime}=\lambda f d’où les propriétés annoncées.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre l’équation (E):y′=x2+cos⁡(x)(\mathrm{E}): y^{\prime}=x^{2}+\cos (x) d’inconnue yy définie sur R\R.

Solution

On note ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+cos⁡(x)f(x)=x^{2}+\cos (x).
ff est continue sur R\R en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction F\text{F} définie sur R\R par F(x)=x33+sin⁡(x)\mathrm{F}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\sin (x). Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont donc les fonctions x↦x33+sin⁡(x)+kx \mapsto \dfrac{x^{3}}{3}+\sin (x)+k, où k∈Rk \in \mathbb{R}.

Pour s'entraîner : exercice 32, 33 et 34 p. 298

Méthode

  • On vérifie que la fonction ff est continue et admet donc des primitives.
  • On utilise le tableau des primitives.
  • Les solutions de l’équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle kk.

C
Primitives des fonctions de la forme u′×(v′∘u)\boldsymbol{u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)}


Propriété
Soient vv une fonction définie et dérivable sur un intervalle J\text{J} et uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que, pour tout x∈Ix \in \mathrm{I}, u(x)∈Ju(x) \in \mathrm{J}.
Alors v∘uv \circ u est une primitive sur I\text{I} de u′×(v′∘u)u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

Remarque

v∘uv \circ u est une solution sur I\text{ I} de l’équation différentielle y′=u′×(v′∘u)y^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

DÉMONSTRATION

Soient vv une fonction définie et dérivable sur un intervalle J\text{J} et uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que, pour tout x∈Ix \in \mathrm{I}, u(x)∈Ju(x) \in \mathrm{J}.
Alors v∘uv \circ u est dérivable sur I\text{I} et on a (v∘u)′=u′×(v′∘u)(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right). D’où le résultat.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle (E):y′=x(x2+1)2(\mathrm{E}): y^{\prime}=\dfrac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d’inconnue yy.

Solution

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x(x2+1)2f(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}. ff est une fonction rationnelle définie et dérivable sur R\R, donc ff est continue sur R\R. Ainsi, ff admet des primitives sur R\R. De plus, pour tout x∈Rx \in \R, f(x)=x×1(x2+1)2f(x)=x \times \dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
On pose u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 de dérivée u′(x)=2xu^{\prime}(x)=2 x et v(x)=−1xv(x)=-\dfrac{1}{x} de dérivée v′(x)=1x2v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
Alors, pour tout x∈Rx \in \R, f(x)=12×2x×v′(x2+1)=12×u′(x)×(v′∘u)(x)f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2 x \times v^{\prime}\left(x^{2}+1\right)=\dfrac{1}{2} \times u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont donc les fonctions définies sur R\R de la forme x↦−12(x2+1)+kx \mapsto-\dfrac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+k, où kk est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 298

Méthode

  • On écrit f(x)f(x) sous la forme d’un produit.
  • On identifie la fonction uu pour faire apparaître, à un facteur près, le produit u′(x)×(v′∘u)(x)u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
  • On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer u′(x)u^{\prime}(x) et retrouver v(x)v(x).
  • On ajoute une constante réelle kk pour obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle.

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