Soit $\text{F}$ une fonction définie sur $\text{I}$. On dit que $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ lorsque $\text{F}$ est dérivable sur $\text{I}$ et que ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$. On dit alors que $\text{F}$ est solution de l'équation $y^{\prime }=f$, appelée équation différentielle, dont l'inconnue est la fonction $y$.

$y^{\prime }=f$ signifie que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $y^{\prime }(x)=f(x)$.

Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n'est pas unique.

Soient $x_0$ un réel de $\text{I}$ et $y_0$ un réel quelconque. L'équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }=f$ admet une unique solution $\text{F}$ sur $\text{I}$ telle que $\mathrm{F}\left(x_0\right)=y_0$.

On rappelle que $f$ est supposée continue.

$f$ est continue et admet donc une primitive $\text{G}$ sur $\text{I}$ : $\text{G}$ est une solution de $(\mathrm{E})$. Les fonctions $x\mapsto \mathrm{G}(x)+k$, avec $k\in \mathbb{R}$, sont dérivables sur $\text{I}$ de dérivée ${\mathrm{G}}^{\prime }$, elles sont donc aussi des primitives de $f$ sur $\text{I}$ et donc des solutions de $(\mathrm{E})$.
La condition $\mathrm{F}\left(x_0\right)=y_0$ équivaut à $\mathrm{G}\left(x_0\right)+k=y_0\iff k=y_0-\mathrm{G}\left(x_0\right)$.
Ainsi, la valeur de $k$ est unique et fixée par la condition initiale.
D'où l'unicité de la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ définie sur $\text{I}$ par $\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+y_0-\mathrm{G}\left(x_0\right)$.

La condition $\mathrm{F}\left(x_0\right)=y_0$ est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

Déterminer la solution $\text{F}$ de l'équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x}$ vérifiant $\mathrm{F}(0)=-1$.

• On cherche une primitive $\text{G}$ de $f$. Ici $f(x)={\mathrm{e}}^{2x}$.
• On utilise le deuxième théorème en posant $\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+k$, avec $k\in \mathbb{R}$.
• On calcule $k$ avec la condition initiale.

À l'aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

• Pour obtenir toutes les primitives d'une fonction $f$ sur un intervalle $\text{I}$, c'est‑à‑dire les solutions de $y^{\prime }=f$, on ajoute une constante réelle $k$ à la primitive $\text{F}$.
• Une primitive sur $]0;+\infty [$ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (
  Fonction logarithme
  ).

Résoudre l'équation $(\mathrm{E}):y^{\prime }=x^2+\cos (x)$ d'inconnue $y$ définie sur $\mathbb{R}$.

• On vérifie que la fonction $f$ est continue et admet donc des primitives.
• On utilise le tableau des primitives.
• Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle $k$.

Soient $v$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{J}$ et $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $\text{I}$ telle que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $u(x)\in \mathrm{J}$.
Alors $v\circ u$ est une primitive sur $\text{I}$ de $u^{\prime }\times \left(v^{\prime }\circ u\right)$.

$v\circ u$ est une solution sur$\text{ I}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=u^{\prime }\times \left(v^{\prime }\circ u\right)$.