Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

1. Équation différentielle y'=f
P.288-290

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer

COURS 1


1
Équation différentielle y=fy'=f





Dans toute cette partie, ff est une fonction définie et continue sur un intervalle I\text{I}.

A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle


Définitions

Soit F\text{F} une fonction définie sur I\text{I}. On dit que F\text{F} est une primitive de ff sur I\text{I} lorsque F\text{F} est dérivable sur I\text{I} et que F=f\mathrm{F}'=f. On dit alors que F\text{F} est solution de l’équation y=fy'=f, appelée équation différentielle, dont l’inconnue est la fonction yy.

NOTATION

y=fy'=f signifie que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, y(x)=f(x)y^{\prime}(x)=f(x).

Exemple

xx2x \mapsto x^{2} et xx2+1x \mapsto x^{2}+1 sont solutions sur R\R de l’équation différentielle y=2xy'=2x d’inconnue yy. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur R\R de la fonction x2xx \mapsto 2 x.

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Remarque

  • Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n’est pas unique.
  • Le premier théorème est démontré au chapitre 11 (Calcul intégral).
  • On ne peut pas toujours expliciter les primitives d’une fonction continue sur un intervalle : c’est par exemple le cas de xex2x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{2}}.

DÉMONSTRATION

Soient y1y_1 et y2y_2 deux solutions sur I\text{I} de (E):y=f(\mathrm{E}): y^{\prime}=f.
On définit sur I\text{I} la fonction gg par g(x)=y2(x)y1(x)g(x)=y_{2}(x)-y_{1}(x).
Par hypothèse, y1y_1 et y2y_2 sont dérivables sur I\text{I} et on a y1=fy_{1}^{\prime}=f et y2=fy_{2}^{\prime}=f.
Par conséquent, g=y2y1g=y_{2}-y_{1} est aussi dérivable sur I\text{I} et g=y2y1=0g^{\prime}=y_{2}^{\prime}-y_{1}^{\prime}=0.
On en déduit que gg est constante sur I\text{I}. Il existe donc un réel kk tel que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, g(x)=kg(x)=k soit y2(x)y1(x)=ky_{2}(x)-y_{1}(x)=k donc y2(x)=y1(x)+ky_{2}(x)=y_{1}(x)+k, d’où le résultat.

Propriété

Soient x0x_0 un réel de I\text{I} et y0y_0 un réel quelconque. L’équation différentielle (E):y=f(\mathrm{E}): y^{\prime}=f admet une unique solution F\text{F} sur I\text{I} telle que F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}.

Remarque

On rappelle que ff est supposée continue.

VOCABULAIRE

La condition F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

DÉMONSTRATION

ff est continue et admet donc une primitive G\text{G} sur I\text{I} : G\text{G} est une solution de (E)(\mathrm{E}).
Les fonctions xG(x)+kx \mapsto \mathrm{G}(x)+k, avec kRk \in \mathbb{R}, sont dérivables sur I\text{I} de dérivée G\mathrm{G}', elles sont donc aussi des primitives de ff sur I\text{I} et donc des solutions de (E)(\mathrm{E}).
La condition F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} équivaut à G(x0)+k=y0k=y0G(x0)\mathrm{G}\left(x_{0}\right)+k=y_{0} \Leftrightarrow k=y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).
Ainsi, la valeur de kk est unique et fixée par la condition initiale.
D’où l’unicité de la solution F\text{F} de (E)(\mathrm{E}) définie sur I\text{I} par F(x)=G(x)+y0G(x0)\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).

Application et méthode - 1

Énoncé

Déterminer la solution F\text{F} de l’équation différentielle (E):y=e2x(\mathrm{E}): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x} vérifiant F(0)=1\mathrm{F}(0)=-1.

Solution

Soit G(x)=12e2x\mathrm{G}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}. G\text{G} est dérivable sur R\R et, pour tout xRx \in \R, G(x)=e2x\mathrm{G}^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{2 x}. Ainsi, G\text{G} est une solution de (E)(\mathrm{E}). La solution cherchée est donc de la forme F(x)=12e2x+k\mathrm{F}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}+k avec kRk \in \mathbb{R}. Comme F(0)=1\mathrm{F}(0)=-1, on a 12e0+k=1k=32\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{0}+k=-1 \Leftrightarrow k=-\dfrac{3}{2}. Ainsi, pour tout xRx \in \R, F(x)=12e2x32\mathrm{F}(x)=\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{2 x}-\dfrac{3}{2}.

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 298

Méthode

  • On cherche une primitive G\text{G} de ff. Ici f(x)=e2xf(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
  • On utilise le deuxième théorème en posant F(x)=G(x)+k\mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+k, avec kRk \in \mathbb{R}.
  • On calcule kk avec la condition initiale.

B
Primitives des fonctions de référence


À l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

Fonction f\boldsymbol{f} Une primitive F\mathbf{F} Sur l’intervalle I\mathbf{I}
xxnx \mapsto x^{n} avec nZn \in \mathbb{Z} et n1n \neq-1 xxn+1n+1x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} R\R si nNn \in \N ; ] ;0[]-\infty~; 0[ ou ]0 ;+[] 0~;+\infty[ si n<0n\lt0
x1xx \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}} x2xx \mapsto 2 \sqrt{x} ]0 ;+[] 0~;+\infty[
xexx \mapsto \mathrm{e}^{x} xexx \mapsto \mathrm{e}^{x} R\R
xsinxx \mapsto \sin x xcosxx \mapsto-\cos x R\R
xcosxx \mapsto \cos x xsinxx \mapsto\sin x R\R

Remarque

Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction ff sur un intervalle I\text{I}, c’est‑à‑dire les solutions de y=fy'=f, on ajoute une constante réelle kk à la primitive F\text{F}.

Propriétés

Soient F\text{F} une primitive d’une fonction ff et G\text{G} une primitive d’une fonction gg sur I\text{I} :
  • la fonction f+gf+g admet comme primitive sur I\text{I} la fonction F+G\mathrm{F} + \mathrm{G} ;
  • fonction λf\lambda f (avec λR\lambda \in \R) admet comme primitive sur I\text{I} la fonction λF\lambda \mathrm{F}.

Remarque

Une primitive sur ]0 ;+[] 0~;+\infty[ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (Fonction logarithme).

DÉMONSTRATION

On a F=f\mathrm{F}^{\prime}=f et G=g\mathrm{G}^{\prime}=g. Or, (F+G)=F+G=f+g(\mathrm{F}+\mathrm{G})^{\prime}=\mathrm{F}^{\prime}+\mathrm{G}^{\prime}=f+g et (λF)=λ×F=λf(\lambda \mathrm{F})^{\prime}=\lambda \times \mathrm{F}^{\prime}=\lambda f d’où les propriétés annoncées.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre l’équation (E):y=x2+cos(x)(\mathrm{E}): y^{\prime}=x^{2}+\cos (x) d’inconnue yy définie sur R\R.

Solution

On note ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x2+cos(x)f(x)=x^{2}+\cos (x).
ff est continue sur R\R en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction F\text{F} définie sur R\R par F(x)=x33+sin(x)\mathrm{F}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\sin (x). Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont donc les fonctions xx33+sin(x)+kx \mapsto \dfrac{x^{3}}{3}+\sin (x)+k, où kRk \in \mathbb{R}.

Pour s'entraîner : exercice 32, 33 et 34 p. 298

Méthode

  • On vérifie que la fonction ff est continue et admet donc des primitives.
  • On utilise le tableau des primitives.
  • Les solutions de l’équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle kk.

C
Primitives des fonctions de la forme u×(vu)\boldsymbol{u^{\prime} \times (v^{\prime} \circ u)}


Propriété

Soient vv une fonction définie et dérivable sur un intervalle J\text{J} et uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, u(x)Ju(x) \in \mathrm{J}.
Alors vuv \circ u est une primitive sur I\text{I} de u×(vu)u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

Remarque

vuv \circ u est une solution sur I\text{ I} de l’équation différentielle y=u×(vu)y^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

DÉMONSTRATION

Soient vv une fonction définie et dérivable sur un intervalle J\text{J} et uu une fonction définie et dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, u(x)Ju(x) \in \mathrm{J}.
Alors vuv \circ u est dérivable sur I\text{I} et on a (vu)=u×(vu)(v \circ u)^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right). D’où le résultat.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle (E):y=x(x2+1)2(\mathrm{E}): y^{\prime}=\dfrac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d’inconnue yy.

Solution

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=x(x2+1)2f(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}. ff est une fonction rationnelle définie et dérivable sur R\R, donc ff est continue sur R\R. Ainsi, ff admet des primitives sur R\R. De plus, pour tout xRx \in \R, f(x)=x×1(x2+1)2f(x)=x \times \dfrac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
On pose u(x)=x2+1u(x)=x^{2}+1 de dérivée u(x)=2xu^{\prime}(x)=2 x et v(x)=1xv(x)=-\dfrac{1}{x} de dérivée v(x)=1x2v^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
Alors, pour tout xRx \in \R, f(x)=12×2x×v(x2+1)=12×u(x)×(vu)(x)f(x)=\dfrac{1}{2} \times 2 x \times v^{\prime}\left(x^{2}+1\right)=\dfrac{1}{2} \times u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont donc les fonctions définies sur R\R de la forme x12(x2+1)+kx \mapsto-\dfrac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+k, où kk est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 298

Méthode

  • On écrit f(x)f(x) sous la forme d’un produit.
  • On identifie la fonction uu pour faire apparaître, à un facteur près, le produit u(x)×(vu)(x)u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
  • On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer u(x)u^{\prime}(x) et retrouver v(x)v(x).
  • On ajoute une constante réelle kk pour obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle.

Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.