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1. Équation différentielle y'=f

P.288-290

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COURS 1

1
Équation différentielle $y^{'} = f$

Dans toute cette partie,

f

est une fonction définie et continue sur un intervalle

I

A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

Définitions

Soit

F

une fonction définie sur

I

. On dit que

F

est une primitive de

f

sur

I

lorsque

F

est dérivable sur

I

et que

F^{'} = f

. On dit alors que

F

est solution de l’équation

y^{'} = f

, appelée équation différentielle, dont l’inconnue est la fonction

y

NOTATION

y^{'} = f

signifie que, pour tout

x \in I

y^{'} (x) = f (x)

Exemple

x \mapsto x^{2}

x \mapsto x^{2} + 1

sont solutions sur

R

de l’équation différentielle

y^{'} = 2 x

d’inconnue

y

. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur

R

de la fonction

x \mapsto 2 x

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Remarque

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n’est pas unique.
Le premier théorème est démontré au chapitre 11 (Calcul intégral).
On ne peut pas toujours expliciter les primitives d’une fonction continue sur un intervalle : c’est par exemple le cas de $x \mapsto e^{- x^{2}}$ .

DÉMONSTRATION

Soient

y_{1}

y_{2}

deux solutions sur

I

(E) : y^{'} = f

.
On définit sur

I

la fonction

g

par

g (x) = y_{2} (x) - y_{1} (x)

.
Par hypothèse,

y_{1}

y_{2}

sont dérivables sur

I

et on a

y_{1}^{'} = f

y_{2}^{'} = f

.
Par conséquent,

g = y_{2} - y_{1}

est aussi dérivable sur

I

g^{'} = y_{2}^{'} - y_{1}^{'} = 0

.
On en déduit que

g

est constante sur

I

. Il existe donc un réel

k

tel que, pour tout

x \in I

g (x) = k

soit

y_{2} (x) - y_{1} (x) = k

donc

y_{2} (x) = y_{1} (x) + k

, d’où le résultat.

Propriété

Soient

x_{0}

un réel de

I

y_{0}

un réel quelconque. L’équation différentielle

(E) : y^{'} = f

admet une unique solution

F

sur

I

telle que

F (x_{0}) = y_{0}

Remarque

On rappelle que

f

est supposée continue.

VOCABULAIRE

La condition

F (x_{0}) = y_{0}

est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

DÉMONSTRATION

f

est continue et admet donc une primitive

G

sur

I

G

est une solution de

(E)

.
Les fonctions

x \mapsto G (x) + k

, avec

k \in R

, sont dérivables sur

I

de dérivée

G^{'}

, elles sont donc aussi des primitives de

f

sur

I

et donc des solutions de

(E)

.
La condition

F (x_{0}) = y_{0}

équivaut à

G (x_{0}) + k = y_{0} \Leftrightarrow k = y_{0} - G (x_{0})

.
Ainsi, la valeur de

k

est unique et fixée par la condition initiale.
D’où l’unicité de la solution

F

(E)

définie sur

I

par

F (x) = G (x) + y_{0} - G (x_{0})

Application et méthode - 1

Énoncé

Déterminer la solution

F

de l’équation différentielle

(E) : y^{'} = e^{2 x}

vérifiant

F (0) = - 1

Solution

Soit

G (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}

G

est dérivable sur

R

et, pour tout

x \in R

G^{'} (x) = e^{2 x}

. Ainsi,

G

est une solution de

(E)

. La solution cherchée est donc de la forme

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + k

avec

k \in R

. Comme

F (0) = - 1

, on a

\frac{1}{2} e^{0} + k = - 1 \Leftrightarrow k = - \frac{3}{2}

. Ainsi, pour tout

x \in R

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2}

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 298

Méthode

On cherche une primitive $G$ de $f$ . Ici $f (x) = e^{2 x}$ .
On utilise le deuxième théorème en posant $F (x) = G (x) + k$ , avec $k \in R$ .
On calcule $k$ avec la condition initiale.

B
Primitives des fonctions de référence

À l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur l’intervalle $I$
$x \mapsto x^{n}$ avec $n \in Z$ et $n \neq = - 1$	$x \mapsto \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$ si $n \in N$ ; $] - \infty; 0 [$ ou $] 0; + \infty [$ si $n < 0$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto 2 x$	$] 0; + \infty [$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto sin x$	$x \mapsto - cos x$	$R$
$x \mapsto cos x$	$x \mapsto sin x$	$R$

Remarque

Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction

f

sur un intervalle

I

, c’est‑à‑dire les solutions de

y^{'} = f

, on ajoute une constante réelle

k

à la primitive

F

Propriétés

Soient

F

une primitive d’une fonction

f

G

une primitive d’une fonction

g

sur

I

la fonction $f + g$ admet comme primitive sur $I$ la fonction $F + G$ ;
fonction $λ f$ (avec $λ \in R$ ) admet comme primitive sur $I$ la fonction $λ F$ .

Remarque

Une primitive sur

] 0; + \infty [

de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (Fonction logarithme).

DÉMONSTRATION

On a

F^{'} = f

G^{'} = g

. Or,

(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

(λ F)^{'} = λ \times F^{'} = λ f

d’où les propriétés annoncées.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre l’équation

(E) : y^{'} = x^{2} + cos (x)

d’inconnue

y

définie sur

R

Solution

On note

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = x^{2} + cos (x)

f

est continue sur

R

en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction

F

définie sur

R

par

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + sin (x)

. Les solutions de

(E)

sont donc les fonctions

x \mapsto \frac{x ^{3}}{3} + sin (x) + k

, où

k \in R

Pour s'entraîner : exercice 32, 33 et 34 p. 298

Méthode

On vérifie que la fonction $f$ est continue et admet donc des primitives.
On utilise le tableau des primitives.
Les solutions de l’équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle $k$ .

C
Primitives des fonctions de la forme $u^{'} \times (v^{'} \circ u)$

Propriété

Soient

v

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

J

u

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x \in I

u (x) \in J

.
Alors

v \circ u

est une primitive sur

I

u^{'} \times (v^{'} \circ u)

Remarque

v \circ u

est une solution sur

I

de l’équation différentielle

y^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

DÉMONSTRATION

Soient

v

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

J

u

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x \in I

u (x) \in J

.
Alors

v \circ u

est dérivable sur

I

et on a

(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

. D’où le résultat.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle

(E) : y^{'} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

d’inconnue

y

Solution

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

f

est une fonction rationnelle définie et dérivable sur

R

, donc

f

est continue sur

R

. Ainsi,

f

admet des primitives sur

R

. De plus, pour tout

x \in R

f (x) = x \times \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

.
On pose

u (x) = x^{2} + 1

de dérivée

u^{'} (x) = 2 x

v (x) = - \frac{1}{x}

de dérivée

v^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}}

.
Alors, pour tout

x \in R

f (x) = \frac{1}{2} \times 2 x \times v^{'} (x^{2} + 1) = \frac{1}{2} \times u^{'} (x) \times (v^{'} \circ u) (x)

.
Les solutions de

(E)

sont donc les fonctions définies sur

R

de la forme

x \mapsto - \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} + k

, où

k

est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 298

Méthode

On écrit $f (x)$ sous la forme d’un produit.
On identifie la fonction $u$ pour faire apparaître, à un facteur près, le produit $u^{'} (x) \times (v^{'} \circ u) (x)$ .
On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer $u^{'} (x)$ et retrouver $v (x)$ .
On ajoute une constante réelle $k$ pour obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle.

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1Équation différentielle y′=f

APrimitives d’une fonction continue sur un intervalle

Remarque

DÉMONSTRATION

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 1

Énoncé

Solution

Méthode

BPrimitives des fonctions de référence

Remarque

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 2

Énoncé

Solution

Méthode

CPrimitives des fonctions de la forme u′×(v′∘u)

Remarque

DÉMONSTRATION

Application et méthode - 3

Énoncé

Solution

Méthode

1
Équation différentielle $y^{'} = f$

A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle

B
Primitives des fonctions de référence

C
Primitives des fonctions de la forme $u^{'} \times (v^{'} \circ u)$