Dans toute cette partie, f est une fonction définie et continue sur un intervalle I.
A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle
Définitions
Soit F une fonction définie sur I. On dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable sur I et que F′=f. On dit alors que F est solution de l’équation y′=f, appelée équation différentielle, dont l’inconnue est la fonction y.
NOTATION
y′=f signifie que, pour tout x∈I, y′(x)=f(x).
Exemple
x↦x2 et x↦x2+1 sont solutions sur R de l’équation différentielle y′=2x d’inconnue y. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur R de la fonction x↦2x.
Théorème (admis)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Théorème
Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Remarque
Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n’est pas unique.
On ne peut pas toujours expliciter les primitives d’une fonction continue sur un intervalle : c’est par exemple le cas de x↦e−x2.
DÉMONSTRATION
Soient y1 et y2 deux solutions sur I de (E):y′=f.
On définit sur I la fonction g par g(x)=y2(x)−y1(x).
Par hypothèse, y1 et y2 sont dérivables sur I et on a y1′=f et y2′=f.
Par conséquent, g=y2−y1 est aussi dérivable sur I et g′=y2′−y1′=0.
On en déduit que g est constante sur I. Il existe donc un réel k tel que, pour tout x∈I, g(x)=k soit y2(x)−y1(x)=k donc y2(x)=y1(x)+k, d’où le résultat.
Propriété
Soient x0 un réel de I et y0 un réel quelconque. L’équation différentielle (E):y′=f admet une unique solution F sur I telle que F(x0)=y0.
Remarque
On rappelle que f est supposée continue.
VOCABULAIRE
La condition F(x0)=y0 est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.
DÉMONSTRATION
f est continue et admet donc une primitive G sur I : G est une solution de (E).
Les fonctions x↦G(x)+k, avec k∈R, sont dérivables sur I de dérivée G′, elles sont donc aussi des primitives de f sur I et donc des solutions de (E).
La condition F(x0)=y0 équivaut à G(x0)+k=y0⇔k=y0−G(x0).
Ainsi, la valeur de k est unique et fixée par la condition initiale.
D’où l’unicité de la solution F de (E) définie sur I par F(x)=G(x)+y0−G(x0).
Application et méthode - 1
Énoncé
Déterminer la solution F de l’équation différentielle (E):y′=e2x vérifiant F(0)=−1.
Solution
Soit G(x)=21e2x. G est dérivable sur R et, pour tout x∈R, G′(x)=e2x. Ainsi, G est une solution de (E). La solution cherchée est donc de la forme F(x)=21e2x+k avec k∈R. Comme F(0)=−1, on a 21e0+k=−1⇔k=−23. Ainsi, pour tout x∈R, F(x)=21e2x−23.
On utilise le deuxième théorème en posant F(x)=G(x)+k, avec k∈R.
On calcule k avec la condition initiale.
B
Primitives des fonctions de référence
À l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.
Fonction f
Une primitive F
Sur l’intervalle I
x↦xn avec n∈Z et n=−1
x↦n+1xn+1
R si n∈N ; ]−∞;0[ ou ]0;+∞[ si n<0
x↦x1
x↦2x
]0;+∞[
x↦ex
x↦ex
R
x↦sinx
x↦−cosx
R
x↦cosx
x↦sinx
R
Remarque
Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction f sur un intervalle I, c’est‑à‑dire les solutions de y′=f, on ajoute une constante réelle k à la primitive F.
Propriétés
Soient F une primitive d’une fonction f et G une primitive d’une fonction g sur I :
la fonction f+g admet comme primitive sur I la fonction F+G ;
fonction λf (avec λ∈R) admet comme primitive sur I la fonction λF.
Remarque
Une primitive sur ]0;+∞[ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (Fonction logarithme).
DÉMONSTRATION
On a F′=f et G′=g. Or, (F+G)′=F′+G′=f+g et (λF)′=λ×F′=λf d’où les propriétés annoncées.
Application et méthode - 2
Énoncé
Résoudre l’équation (E):y′=x2+cos(x) d’inconnue y définie sur R.
Solution
On note f la fonction définie sur R par f(x)=x2+cos(x). f est continue sur R en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction F définie sur R par F(x)=3x3+sin(x). Les solutions de (E) sont donc les fonctions x↦3x3+sin(x)+k, où k∈R.
On vérifie que la fonction f est continue et admet donc des primitives.
On utilise le tableau des primitives.
Les solutions de l’équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle k.
C
Primitives des fonctions de la forme u′×(v′∘u)
Propriété
Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x∈I, u(x)∈J.
Alors v∘u est une primitive sur I de u′×(v′∘u).
Remarque
v∘u est une solution sur I de l’équation différentielle y′=u′×(v′∘u).
DÉMONSTRATION
Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle J et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I telle que, pour tout x∈I, u(x)∈J.
Alors v∘u est dérivable sur I et on a (v∘u)′=u′×(v′∘u). D’où le résultat.
Application et méthode - 3
Énoncé
Résoudre l’équation différentielle (E):y′=(x2+1)2x d’inconnue y.
Solution
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x2+1)2x. f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur R, donc f est continue sur R. Ainsi, f admet des primitives sur R. De plus, pour tout x∈R, f(x)=x×(x2+1)21.
On pose u(x)=x2+1 de dérivée u′(x)=2x et v(x)=−x1 de dérivée v′(x)=x21.
Alors, pour tout x∈R, f(x)=21×2x×v′(x2+1)=21×u′(x)×(v′∘u)(x).
Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies sur R de la forme x↦−2(x2+1)1+k, où k est un réel.
On identifie la fonction u pour faire apparaître, à un facteur près, le produit u′(x)×(v′∘u)(x).
On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer u′(x) et retrouver v(x).
On ajoute une constante réelle k pour obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle.
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