Mathématiques Terminale Spécialité

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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1

Combinatoire et dénombrement

Ch. 2

Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3

Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4

Suites

Ch. 5

Limites de fonctions

Ch. 6

Continuité

Ch. 7

Compléments sur la dérivation

Ch. 8

Logarithme népérien

Ch. 9

Fonctions trigonométriques

Ch. 10

Primitives - Équations différentielles

Ch. 11

Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12

Loi binomiale

Ch. 13

Sommes de variables aléatoires

Ch. 14

Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Chapitre 10

Cours 1

Équation différentielle $y^{'} = f$

Dans toute cette partie,

f

est une fonction définie et continue sur un intervalle

I

A
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

Définitions

Soit

F

une fonction définie sur

I

. On dit que

F

est une primitive de

f

sur

I

lorsque

F

est dérivable sur

I

et que

F^{'} = f

. On dit alors que

F

est solution de l'équation

y^{'} = f

, appelée équation différentielle, dont l'inconnue est la fonction

y

Notation

y^{'} = f

signifie que, pour tout

x \in I

y^{'} (x) = f (x)

Exemple

x \mapsto x^{2}

x \mapsto x^{2} + 1

sont solutions sur

R

de l'équation différentielle

y^{'} = 2 x

d'inconnue

y

. Ces deux fonctions sont donc des primitives sur

R

de la fonction

x \mapsto 2 x

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Remarques

Ce théorème est démontré au
chapitre 11
(Calcul intégral).
On ne peut pas toujours expliciter les primitives d'une fonction continue sur un intervalle : c'est par exemple le cas de $x \mapsto e^{- x^{2}}$ .

Théorème

Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Remarque

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n'est pas unique.

Démonstration

Soient

y_{1}

y_{2}

deux solutions sur

I

(E) : y^{'} = f

. On définit sur

I

la fonction

g

par

g (x) = y_{2} (x) - y_{1} (x)

.
Par hypothèse,

y_{1}

y_{2}

sont dérivables sur

I

et on a

y_{1}^{'} = f

y_{2}^{'} = f

.
Par conséquent,

g = y_{2} - y_{1}

est aussi dérivable sur

I

g^{'} = y_{2}^{'} - y_{1}^{'} = 0

.
On en déduit que

g

est constante sur

I

. Il existe donc un réel

k

tel que, pour tout

x \in I

g (x) = k

soit

y_{2} (x) - y_{1} (x) = k

donc

y_{2} (x) = y_{1} (x) + k

, d'où le résultat.

Propriété

Soient

x_{0}

un réel de

I

y_{0}

un réel quelconque. L'équation différentielle

(E) : y^{'} = f

admet une unique solution

F

sur

I

telle que

F (x_{0}) = y_{0}

Remarque

On rappelle que

f

est supposée continue.

Démonstration

f

est continue et admet donc une primitive

G

sur

I

G

est une solution de

(E)

. Les fonctions

x \mapsto G (x) + k

, avec

k \in R

, sont dérivables sur

I

de dérivée

G^{'}

, elles sont donc aussi des primitives de

f

sur

I

et donc des solutions de

(E)

.
La condition

F (x_{0}) = y_{0}

équivaut à

G (x_{0}) + k = y_{0} \Leftrightarrow k = y_{0} - G (x_{0})

.
Ainsi, la valeur de

k

est unique et fixée par la condition initiale.
D'où l'unicité de la solution

F

(E)

définie sur

I

par

F (x) = G (x) + y_{0} - G (x_{0})

Vocabulaire

La condition

F (x_{0}) = y_{0}

est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

Application et méthode - 1

Énoncé

Déterminer la solution

F

de l'équation différentielle

(E) : y^{'} = e^{2 x}

vérifiant

F (0) = - 1

Méthode

On cherche une primitive $G$ de $f$ . Ici $f (x) = e^{2 x}$ .
On utilise le deuxième théorème en posant $F (x) = G (x) + k$ , avec $k \in R$ .
On calcule $k$ avec la condition initiale.

Solution

Soit

G (x) = \frac{1}{2} e^{2 x}

G

est dérivable sur

R

et, pour tout

x \in R

G^{'} (x) = e^{2 x}

. Ainsi,

G

est une solution de

(E)

. La solution cherchée est donc de la forme

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} + k

avec

k \in R

. Comme

F (0) = - 1

, on a

\frac{1}{2} e^{0} + k = - 1 \Leftrightarrow k = - \frac{3}{2}

. Ainsi, pour tout

x \in R

F (x) = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2}

Pour s'entraîner

Exercices

p. 298

B
Primitives des fonctions de référence

À l'aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

Fonction $f$	Une primitive $F$	Sur l'intervalle $I$
$x \mapsto x^{n}$ avec $n \in Z$ et $n \neq = - 1$	$x \mapsto \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$ si $n \in N$ ; $] - \infty; 0 [$ ou $] 0; + \infty [$ si $n < 0$
$x \mapsto \frac{1}{x}$	$x \mapsto 2 x$	$] 0; + \infty [$
$x \mapsto e^{x}$	$x \mapsto e^{x}$	$R$
$x \mapsto sin x$	$x \mapsto - cos x$	$R$
$x \mapsto cos x$	$x \mapsto sin x$	$R$

Remarques

Pour obtenir toutes les primitives d'une fonction $f$ sur un intervalle $I$ , c'est‑à‑dire les solutions de $y^{'} = f$ , on ajoute une constante réelle $k$ à la primitive $F$ .
Une primitive sur $] 0; + \infty [$ de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (
Fonction logarithme
).

Propriétés

Soient

F

une primitive d'une fonction

f

G

une primitive d'une fonction

g

sur

I

la fonction $f + g$ admet comme primitive sur $I$ la fonction $F + G$ ;
fonction $λ f$ (avec $λ \in R$ ) admet comme primitive sur $I$ la fonction $λ F$ .

Démonstration

On a

F^{'} = f

G^{'} = g

. Or,

(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

(λ F)^{'} = λ \times F^{'} = λ f

d'où les propriétés annoncées.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre l'équation

(E) : y^{'} = x^{2} + cos (x)

d'inconnue

y

définie sur

R

Méthode

On vérifie que la fonction $f$ est continue et admet donc des primitives.
On utilise le tableau des primitives.
Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle $k$ .

Solution

On note

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = x^{2} + cos (x)

f

est continue sur

R

en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction

F

définie sur

R

par

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + sin (x)

. Les solutions de

(E)

sont donc les fonctions

x \mapsto \frac{x ^{3}}{3} + sin (x) + k

, où

k \in R

Pour s'entraîner

Exercices

p. 298

C
Primitives des fonctions de la forme $u^{'} \times (v^{'} \circ u)$

Propriété

Soient

v

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

J

u

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x \in I

u (x) \in J

.
Alors

v \circ u

est une primitive sur

I

u^{'} \times (v^{'} \circ u)

Remarque

v \circ u

est une solution sur

I

de l'équation différentielle

y^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

Démonstration

Soient

v

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

J

u

une fonction définie et dérivable sur un intervalle

I

telle que, pour tout

x \in I

u (x) \in J

. Alors

v \circ u

est dérivable sur

I

et on a

(v \circ u)^{'} = u^{'} \times (v^{'} \circ u)

. D'où le résultat.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre l'équation différentielle

(E) : y^{'} = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

d'inconnue

y

Méthode

On écrit $f (x)$ sous la forme d'un produit.
On identifie la fonction $u$ pour faire apparaître, à un facteur près, le produit $u^{'} (x) \times (v^{'} \circ u) (x)$ .
On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer $u^{'} (x)$ et retrouver $v (x)$ .
On ajoute une constante réelle $k$ pour obtenir toutes les solutions de l'équation différentielle.

Solution

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = \frac{x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

f

est une fonction rationnelle définie et dérivable sur

R

, donc

f

est continue sur

R

. Ainsi,

f

admet des primitives sur

R

. De plus, pour tout

x \in R

f (x) = x \times \frac{1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}

.
On pose

u (x) = x^{2} + 1

de dérivée

u^{'} (x) = 2 x

v (x) = - \frac{1}{x}

de dérivée

v^{'} (x) = \frac{1}{x ^{2}}

.
Alors, pour tout

x \in R

f (x) = \frac{1}{2} \times 2 x \times v^{'} (x^{2} + 1) = \frac{1}{2} \times u^{'} (x) \times (v^{'} \circ u) (x) .

Les solutions de

(E)

sont donc les fonctions définies sur

R

de la forme

x \mapsto - \frac{1}{2 ( x ^{2} + 1 )} + k

, où

k

est un réel.

Pour s'entraîner

Exercices

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Équation différentielle $y^{'} = f$

A
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

Notation

Remarques

Remarque

Remarque

Vocabulaire

Méthode

B
Primitives des fonctions de référence

Remarques

Méthode

C
Primitives des fonctions de la forme $u^{'} \times (v^{'} \circ u)$

Remarque

Méthode

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À propos

Équation différentielle y′=f

APrimitives d'une fonction continue sur un intervalle

Notation

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Remarque

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Vocabulaire

Méthode

BPrimitives des fonctions de référence

Remarques

Méthode

CPrimitives des fonctions de la forme u′×(v′∘u)

Remarque

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Équation différentielle $y^{'} = f$

A
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle

B
Primitives des fonctions de référence

C
Primitives des fonctions de la forme $u^{'} \times (v^{'} \circ u)$