Équation différentielle \bm{y'=f}

Soit \text{F} une fonction définie sur \text{I}. On dit que \text{F} est une primitive de f sur \text{I} lorsque \text{F} est dérivable sur \text{I} et que \mathrm{F}'=f. On dit alors que \text{F} est solution de l'équation y'=f, appelée équation différentielle, dont l'inconnue est la fonction y.

y'=f signifie que, pour tout x \in \mathrm{I}, y^{\prime}(x)=f(x).

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

• Ce théorème est démontré au
  chapitre 11
  (Calcul intégral).
• On ne peut pas toujours expliciter les primitives d'une fonction continue sur un intervalle : c'est par exemple le cas de x \mapsto \mathrm{e}^{-x^{2}}.

Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n'est pas unique.

Soient x_0 un réel de \text{I} et y_0 un réel quelconque. L'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=f admet une unique solution \text{F} sur \text{I} telle que \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}.

On rappelle que f est supposée continue.

f est continue et admet donc une primitive \text{G} sur \text{I} : \text{G} est une solution de (\mathrm{E}). Les fonctions x \mapsto \mathrm{G}(x)+k, avec k \in \mathbb{R}, sont dérivables sur \text{I} de dérivée \mathrm{G}', elles sont donc aussi des primitives de f sur \text{I} et donc des solutions de (\mathrm{E}).
La condition \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} équivaut à \mathrm{G}\left(x_{0}\right)+k=y_{0} \Leftrightarrow k=y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).
Ainsi, la valeur de k est unique et fixée par la condition initiale.
D'où l'unicité de la solution \text{F} de (\mathrm{E}) définie sur \text{I} par \mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+y_{0}-\mathrm{G}\left(x_{0}\right).

La condition \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0} est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

Déterminer la solution \text{F} de l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x} vérifiant \mathrm{F}(0)=-1.

• On cherche une primitive \text{G} de f. Ici f(x)=\mathrm{e}^{2 x}.
• On utilise le deuxième théorème en posant \mathrm{F}(x)=\mathrm{G}(x)+k, avec k \in \mathbb{R}.
• On calcule k avec la condition initiale.

Résoudre l'équation (\mathrm{E}): y^{\prime}=x^{2}+\cos (x) d'inconnue y définie sur \R.

• On vérifie que la fonction f est continue et admet donc des primitives.
• On utilise le tableau des primitives.
• Les solutions de l'équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle k.

On note f la fonction définie sur \R par f(x)=x^{2}+\cos (x).
f est continue sur \R en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=\frac{x^{3}}{3}+\sin (x). Les solutions de (\mathrm{E}) sont donc les fonctions x \mapsto \frac{x^{3}}{3}+\sin (x)+k, où k \in \mathbb{R}.

Exercices

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Soient v une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{J} et u une fonction définie et dérivable sur un intervalle \text{I} telle que, pour tout x \in \mathrm{I}, u(x) \in \mathrm{J}.
Alors v \circ u est une primitive sur \text{I} de u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

v \circ u est une solution sur\text{ I} de l'équation différentielle y^{\prime}=u^{\prime} \times\left(v^{\prime} \circ u\right).

Résoudre l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d'inconnue y.

• On écrit f(x) sous la forme d'un produit.
• On identifie la fonction u pour faire apparaître, à un facteur près, le produit u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
• On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer u^{\prime}(x) et retrouver v(x).
• On ajoute une constante réelle k pour obtenir toutes les solutions de l'équation différentielle.

Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}. f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur \R, donc f est continue sur \R. Ainsi, f admet des primitives sur \R. De plus, pour tout x \in \R, f(x)=x \times \frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.
On pose u(x)=x^{2}+1 de dérivée u^{\prime}(x)=2 x et v(x)=-\frac{1}{x} de dérivée v^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Alors, pour tout x \in \R, f(x)=\frac{1}{2} \times 2 x \times v^{\prime}\left(x^{2}+1\right)=\frac{1}{2} \times u^{\prime}(x) \times\left(v^{\prime} \circ u\right)(x).
Les solutions de (\mathrm{E}) sont donc les fonctions définies sur \R de la forme x \mapsto-\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+k, où k est un réel.

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