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1. Équation différentielle y'=f
P.288-290

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COURS 1


1
Équation différentielle





Dans toute cette partie, est une fonction définie et continue sur un intervalle .

A
Primitives d’une fonction continue sur un intervalle


Définitions

Soit une fonction définie sur . On dit que est une primitive de sur lorsque est dérivable sur et que . On dit alors que est solution de l’équation , appelée équation différentielle, dont l’inconnue est la fonction .

NOTATION

signifie que, pour tout , .

Exemple

et sont solutions sur de l’équation différentielle d’inconnue . Ces deux fonctions sont donc des primitives sur de la fonction .

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Théorème

Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Remarque

  • Si une fonction admet une primitive sur un intervalle, celle‑ci n’est pas unique.
  • Le premier théorème est démontré au chapitre 11 (Calcul intégral).
  • On ne peut pas toujours expliciter les primitives d’une fonction continue sur un intervalle : c’est par exemple le cas de .

DÉMONSTRATION

Soient et deux solutions sur de .
On définit sur la fonction par .
Par hypothèse, et sont dérivables sur et on a et .
Par conséquent, est aussi dérivable sur et .
On en déduit que est constante sur . Il existe donc un réel tel que, pour tout , soit donc , d’où le résultat.

Propriété

Soient un réel de et un réel quelconque. L’équation différentielle admet une unique solution sur telle que .

Remarque

On rappelle que est supposée continue.

VOCABULAIRE

La condition est parfois appelée condition initiale, en référence à certaines situations rencontrées en physique.

DÉMONSTRATION

est continue et admet donc une primitive sur  : est une solution de .
Les fonctions , avec , sont dérivables sur de dérivée , elles sont donc aussi des primitives de sur et donc des solutions de .
La condition équivaut à .
Ainsi, la valeur de est unique et fixée par la condition initiale.
D’où l’unicité de la solution de définie sur par .

Application et méthode - 1

Énoncé

Déterminer la solution de l’équation différentielle vérifiant .

Solution

Soit . est dérivable sur et, pour tout , . Ainsi, est une solution de . La solution cherchée est donc de la forme avec . Comme , on a . Ainsi, pour tout , .

Pour s'entraîner : exercices 28 et 29 p. 298

Méthode

  • On cherche une primitive de . Ici .
  • On utilise le deuxième théorème en posant , avec .
  • On calcule avec la condition initiale.

B
Primitives des fonctions de référence


À l’aide des dérivées des fonctions de référence, on obtient le tableau suivant des primitives.

Fonction Une primitive Sur l’intervalle
avec et si  ; ou si

Remarque

Pour obtenir toutes les primitives d’une fonction sur un intervalle , c’est‑à‑dire les solutions de , on ajoute une constante réelle à la primitive .

Propriétés

Soient une primitive d’une fonction et une primitive d’une fonction sur  :
  • la fonction admet comme primitive sur la fonction  ;
  • fonction (avec ) admet comme primitive sur la fonction .

Remarque

Une primitive sur de la fonction inverse est étudiée au chapitre 8 (Fonction logarithme).

DÉMONSTRATION

On a et . Or, et d’où les propriétés annoncées.

Application et méthode - 2

Énoncé

Résoudre l’équation d’inconnue définie sur .

Solution

On note la fonction définie sur par .
est continue sur en tant que somme de fonctions continues et admet donc des primitives. Par exemple, la fonction définie sur par . Les solutions de sont donc les fonctions , où .

Pour s'entraîner : exercice 32, 33 et 34 p. 298

Méthode

  • On vérifie que la fonction est continue et admet donc des primitives.
  • On utilise le tableau des primitives.
  • Les solutions de l’équation sont toutes les primitives : on ajoute donc une constante réelle .

C
Primitives des fonctions de la forme


Propriété

Soient une fonction définie et dérivable sur un intervalle et une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , .
Alors est une primitive sur de .

Remarque

est une solution sur de l’équation différentielle .

DÉMONSTRATION

Soient une fonction définie et dérivable sur un intervalle et une fonction définie et dérivable sur un intervalle telle que, pour tout , .
Alors est dérivable sur et on a . D’où le résultat.

Application et méthode - 3

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle d’inconnue .

Solution

Soit la fonction définie sur par . est une fonction rationnelle définie et dérivable sur , donc est continue sur . Ainsi, admet des primitives sur . De plus, pour tout , .
On pose de dérivée et de dérivée .
Alors, pour tout , .
Les solutions de sont donc les fonctions définies sur de la forme , où est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 298

Méthode

  • On écrit sous la forme d’un produit.
  • On identifie la fonction pour faire apparaître, à un facteur près, le produit .
  • On utilise les dérivées des fonctions de référence pour calculer et retrouver .
  • On ajoute une constante réelle pour obtenir toutes les solutions de l’équation différentielle.

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