Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 10
Cours 2

Équations différentielles et

Dans toute cette partie, et sont des réels et est une fonction définie et continue sur un intervalle de .

A
Résolution de l'équation différentielle

Définition
L'équation différentielle , qui peut aussi s'écrire , est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Remarque

On dit aussi « sans second membre » au lieu de « homogène ».
Exemple
Les équations différentielles et sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement et .
Théorèmes
1. Les solutions de sont les fonctions définies sur par , où est un réel.
2. Pour tous réels et , a une unique solution telle que .
Démonstration
1. Soient un réel et la fonction définie sur par . Alors est dérivable sur (produit d'une constante par la composée d'une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout , . Ainsi, est solution de .
Réciproquement, soient une solution de et la fonction définie sur par .
Alors est dérivable sur (produit et composée de fonctions dérivables sur ) et, pour tout , .
Donc est une fonction constante, c'est‑à‑dire qu'il existe un réel tel que, pour tout , soit c'est‑à‑dire .

2. Soit une solution de . D'après 1., il existe un réel tel que, pour tout 2., .
Par hypothèse, .
Donc, pour tout , et cette solution est unique.

Logique

On raisonne par double implication pour démontrer le premier théorème.
Exemple
Les fonctions définies sur par , où est un réel, sont les solutions de l'équation différentielle .
L'allure des courbes représentatives de certaines solutions de est donnée ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - Résolution de l'équation différentielle y′=ay
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Remarque

Les courbes situées au‑dessus de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel  ; celles en‑dessous de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.
Propriété
Soient et des solutions de et un réel.
Alors la somme et le produit sont aussi solutions de .
Démonstration
Voir exercice p. 305.
Application et méthode - 4
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle avec la condition initiale .

Méthode

  • On écrit sous la forme .
  • On utilise la forme générale des solutions avec réel.
  • On calcule à l'aide de la condition initiale.
Solution
peut s'écrire donc les solutions de sont les fonctions est un nombre réel.
Or .
La solution cherchée est la fonction définie sur par .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 299

B
Résolution de l'équation différentielle avec

Définition
L'équation différentielle , qui peut aussi s'écrire , est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Propriété
Les solutions de sont les fonctions définies sur par est une constante réelle.
Démonstration
Soit une équation différentielle avec .

1. On détermine une solution constante de est un réel. Alors et, pour tout , . Donc est solution de si, et seulement si, pour tout , donc .

2. Soit une fonction dérivable sur .
est solution de Pour tout , .
est dérivable sur et, pour tout , donc est solution de .
Réciproquement, est solution de Pour tout , donc est solution de .

3. Les solutions de sont les fonctions définies par sur , donc celles de sont les fonctions définies par sur .

Remarque

Autrement dit, les solutions de s'obtiennent en ajoutant une solution particulière constante de aux solutions de l'équation homogène associée .
Exemple
Les solutions de sont les fonctions définies sur par est un réel.
Application et méthode - 5
Énoncé
Déterminer la solution de l'équation différentielle telle que .

Méthode

  • On écrit sous la forme .
  • On utilise la forme générale des solutions avec réel.
  • On calcule à l'aide de la condition initiale.
Solution
. On reconnaît la forme avec et donc . Les solutions de sont les fonctions est un réel.

La fonction cherchée est définie sur par .

Pour s'entraîner
Exercice et p. 299

C
Résolution de l'équation différentielle avec

Définition
L'équation différentielle , qui peut aussi s'écrire , est également appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Propriété
Soit une solution particulière de .
Alors est une solution de si, et seulement si, est une solution de l'équation homogène associée .

Remarque

La propriété est un cas particulier du principe de superposition.

Remarque

À l'aide d'une solution particulière de , on obtient toutes les solutions.
Démonstration
Voir exercice p. 305.
Application et méthode - 6
Énoncé
Soit l'équation différentielle . On note une fonction affine qui est une solution particulière de . À l'aide de , résoudre .

Méthode

  • En remplaçant et dans , on obtient un système d'équations d'inconnues et .
  • On écrit l'équation homogène associée et ses solutions est un réel.
  • Une solution de est la somme de et d'une solution de .
Solution
1. On pose (où et sont réels). En tant que fonction affine, est dérivable sur et, pour tout , .
est solution de signifie que, pour tout ,
Donc est une solution particulière de .

2. L'équation homogène associée à est , soit , de solutions , où est un réel. Les solutions de sont donc les fonctions définies sur par , où est un réel.

Pour s'entraîner
Exercices et p. 299

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