Équations différentielles \bm{y'=ay+b} et \bm{y'=ay+f}

Les équations différentielles y^{\prime}=5 y et 2 y^{\prime}+9 y=0 sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement a=5 et a=-\frac{9}{2}.

1. Les solutions de \left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y sont les fonctions définies sur \R par y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}, où \text{C} est un réel.
2. Pour tous réels x_0 et y_0, \left(\mathrm{E}_{0}\right) a une unique solution y telle que y\left(x_{0}\right)=y_{0}.

1. Soient \text{C} un réel et y la fonction définie sur \R par y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}. Alors y est dérivable sur \R (produit d'une constante par la composée d'une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout x \in \R, y^{\prime}(x)=\mathrm{C}a\mathrm{e}^{a x}=a y(x). Ainsi, y est solution de (\mathrm{E}_{0}).
Réciproquement, soient y une solution de (\mathrm{E}_{0}) et la fonction g définie sur \R par g(x)=y(x) \mathrm{e}^{-a x}.
Alors g est dérivable sur \R (produit et composée de fonctions dérivables sur \R) et, pour tout x \in \R, g^{\prime}(x)=y^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=a y(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=0.
Donc g est une fonction constante, c'est‑à‑dire qu'il existe un réel \text{C} tel que, pour tout x \in \R, g(x)=\mathrm{C} soit y(x) \mathrm{e}^{-a x}=\mathrm{C} c'est‑à‑dire y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}.

2. Soit y une solution de (\mathrm{E}_{0}). D'après 1., il existe un réel \text{C} tel que, pour tout 2., y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}.
Par hypothèse, y\left(x_{0}\right)=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{a x_{0}}=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{C}=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}}.
Donc, pour tout x \in \R, y(x)=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}} \times \mathrm{e}^{a x}=y_{0} \mathrm{e}^{a\left(x-x_{0}\right)} et cette solution est unique.

On raisonne par double implication pour démontrer le premier théorème.

Les courbes situées au‑dessus de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel \text{C} ; celles en‑dessous de l'axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.

(\mathrm{E}_{0}) peut s'écrire y^{\prime}=-\frac{3}{2} y donc les solutions de (\mathrm{E}_{0}) sont les fonctions x \mapsto \operatorname{Cexp}\left(-\frac{3}{2} x\right) où \text{C} est un nombre réel.
Or y(2)=1 \Leftrightarrow \operatorname{Cexp}\left(-\frac{3}{2} \times 2\right)=1 \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-3}=1 \Leftrightarrow \mathrm{C}=\mathrm{e}^{3}.
La solution cherchée est la fonction y définie sur \R par y(x)=\exp \left(3-\frac{3}{2} x\right).

Exercices

43

et

44

p. 299

L'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+b, qui peut aussi s'écrire y^{\prime}-a y=b, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Les solutions de (\mathrm{E}) sont les fonctions définies sur \R par x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\frac{b}{a} où \text{C} est une constante réelle.

Soit (\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+b une équation différentielle avec a \neq 0.

1. On détermine une solution constante \varphi : x \mapsto k de (\mathrm{E}) où k est un réel. Alors \mathrm{D}_{\varphi^{\prime}}=\mathbb{R} et, pour tout x \in \R, \varphi^{\prime}(x)=0. Donc \varphi est solution de (\mathrm{E}) si, et seulement si, pour tout x \in \R, \varphi^{\prime}(x)=a \varphi(x)+b \Leftrightarrow 0=a k+b \Leftrightarrow k=-\frac{b}{a} donc \varphi(x)=-\frac{b}{a}.

2. Soit y une fonction dérivable sur \R.
y est solution de (\mathrm{E}) \Leftrightarrow Pour tout x \in \R, y^{\prime}(x)=a y(x)+b.
y-\varphi est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, (y-\varphi)^{\prime}(x)=y^{\prime}(x)-\varphi^{\prime}(x)=a y(x)+b-0=a y(x)+b=a\left(y(x)+\frac{b}{a}\right)=a(y(x)-\varphi(x)) donc y-\varphi est solution de \left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y.
Réciproquement, y-\varphi est solution de \left(\mathrm{E}_{0}\right) \Leftrightarrow(y-\varphi)^{\prime}=a(y-\varphi) \Leftrightarrow y^{\prime}-\varphi^{\prime}=a y-a \varphi \Leftrightarrow Pour tout x \in \R, y^{\prime}(x)=a y(x)+b donc y est solution de (\mathrm{E}).

3. Les solutions de \left(\mathrm{E}_{0}\right) sont les fonctions définies par x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x} sur \R où \mathrm{C} \in \R, donc celles de (\mathrm{E}) sont les fonctions définies par x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\frac{b}{a} sur \R où \mathrm{C} \in \R.

Autrement dit, les solutions de (\mathrm{E}) s'obtiennent en ajoutant une solution particulière constante \varphi de (\mathrm{E}) aux solutions de l'équation homogène associée y' = ay.

Les solutions de y^{\prime}=2 y+3 sont les fonctions définies sur \R par y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}-\frac{3}{2} où \text{C} est un réel.

(\mathrm{E}) \Leftrightarrow y^{\prime}=-\frac{3}{2} y+1. On reconnaît la forme y' = ay + b avec a=-\frac{3}{2} et b=1 donc -\frac{b}{a}=\frac{2}{3}. Les solutions de (\mathrm{E}) sont les fonctions x \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+\frac{2}{3} où \text{C} est un réel.
y(2)=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} \times 2}}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-3}=-1 \Leftrightarrow \mathrm{C}=-\frac{1}{\mathrm{e}^{-3}}=-\mathrm{e}^{3}
La fonction y cherchée est définie sur \R par y(x)=-\mathrm{e}^{3-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+\frac{2}{3}.

Exercice

45

et

46

p. 299

L'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+f, qui peut aussi s'écrire y^{\prime}-a y=f, est également appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

1. On pose \varphi(x)=m x+p (où m et p sont réels). En tant que fonction affine, \varphi est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, \varphi^{\prime}(x)=m.
\varphi est solution de (\mathrm{E}) signifie que, pour tout x \in \R, 2 m+3(m x+p)=6 x+1\Leftrightarrow 2 m+3 m x+3 p=6 x+1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}2 m+3 p=1 \\ 3 m=6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}p=-1 \\ m=2\end{array}\right.\right.
Donc \varphi: x \mapsto 2 x-1 est une solution particulière de (\mathrm{E}).

2. L'équation homogène associée à (\mathrm{E}) est 2 y^{\prime}+3 y=0, soit y^{\prime}=-\frac{3}{2} y, de solutions x \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}, où \text{C} est un réel. Les solutions de (\mathrm{E}) sont donc les fonctions définies sur \R par x \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+2 x-1, où \text{C} est un réel.

Exercices

47

et

48

p. 299