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Équations différentielles $y'=ay+b$ et $y'=ay+f$

On dit aussi « sans second membre » au lieu de « homogène ».

Exemple

Les équations différentielles $y^{\prime}=5 y$ et $2 y^{\prime}+9 y=0$ sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement $a=5$ et $a=-\dfrac{9}{2}$.

DÉMONSTRATION

1. Soient $\text{C}$ un réel et $y$ la fonction définie sur $\R$ par $y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}$. Alors $y$ est dérivable sur $\R$ (produit d’une constante par la composée d’une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout $x \in \R$, $y^{\prime}(x)=\mathrm{C}a\mathrm{e}^{a x}=a y(x)$.
Ainsi, $y$ est solution de $(\mathrm{E}_{0})$.
Réciproquement, soient $y$ une solution de $(\mathrm{E}_{0})$ et la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=y(x) \mathrm{e}^{-a x}$.
Alors $g$ est dérivable sur $\R$ (produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$) et, pour tout $x \in \R$, $g^{\prime}(x)=y^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=a y(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=0$.
Donc $g$ est une fonction constante, c’est‑à‑dire qu’il existe un réel $\text{C}$ tel que, pour tout $x \in \R$, $g(x)=\mathrm{C}$ soit $y(x) \mathrm{e}^{-a x}=\mathrm{C}$ c’est‑à‑dire $y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}$.

2. Soit $y$ une solution de $(\mathrm{E}_{0})$. D’après 1., il existe un réel $\text{C}$ tel que, pour tout 2., $y(x)=\mathrm{Ce}^{a x}$.
Par hypothèse, $y\left(x_{0}\right)=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{a x_{0}}=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{C}=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}}$.
Donc, pour tout $x \in \R$, $y(x)=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}} \times \mathrm{e}^{a x}=y_{0} \mathrm{e}^{a\left(x-x_{0}\right)}$ et cette solution est unique.

Exemple

Les fonctions définies sur $\R$ par $x \mapsto \mathrm{Ce}^{2 x}$, où $\text{C}$ est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle $(\mathrm{E}_{0}): y^{\prime}=2 y$.
L’allure des courbes représentatives de certaines solutions de $(\mathrm{E}_{0})$ est donnée ci‑contre.

Les courbes situées au‑dessus de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel $\text{C}$ ; celles en‑dessous de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

118

p. 305.

Résoudre l’équation différentielle $\left(\mathrm{E}_{0}\right): 2 y^{\prime}+3 y=0$ avec la condition initiale $y(2) = 1$.

DÉMONSTRATION

Soit $(\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+b$ une équation différentielle avec $a \neq 0$.

1. On détermine une solution constante $\varphi : x \mapsto k$ de $(\mathrm{E})$ où $k$ est un réel. Alors $\mathrm{D}_{\varphi^{\prime}}=\mathbb{R}$ et, pour tout $x \in \R$, $\varphi^{\prime}(x)=0$. Donc $\varphi$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, pour tout $x \in \R$, $\varphi^{\prime}(x)=a \varphi(x)+b \Leftrightarrow 0=a k+b \Leftrightarrow k=-\dfrac{b}{a}$ donc $\varphi(x)=-\dfrac{b}{a}$.

2. Soit $y$ une fonction dérivable sur $\R$.
$y$ est solution de $(\mathrm{E}) \Leftrightarrow$ Pour tout $x \in \R$, $y^{\prime}(x)=a y(x)+b$.
$y-\varphi$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout $x \in \R$, $(y-\varphi)^{\prime}(x)=y^{\prime}(x)-\varphi^{\prime}(x)=a y(x)+b-0=a y(x)+b=a\left(y(x)+\dfrac{b}{a}\right)=a(y(x)-\varphi(x))$ donc $y-\varphi$ est solution de $\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y$.
Réciproquement, $y-\varphi$ est solution de $\left(\mathrm{E}_{0}\right) \Leftrightarrow(y-\varphi)^{\prime}=a(y-\varphi) \Leftrightarrow y^{\prime}-\varphi^{\prime}=a y-a \varphi \Leftrightarrow$ Pour tout $x \in \R$, $y^{\prime}(x)=a y(x)+b$ donc $y$ est solution de $(\mathrm{E})$.

3. Les solutions de $\left(\mathrm{E}_{0}\right)$ sont les fonctions définies par $x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}$ sur $\R$ où $\mathrm{C} \in \R$, donc celles de $(\mathrm{E})$ sont les fonctions définies par $x \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\dfrac{b}{a}$ sur $\R$ où $\mathrm{C} \in \R$.

Autrement dit, les solutions de $(\mathrm{E})$ s’obtiennent en ajoutant une solution particulière constante $\varphi$ de $(\mathrm{E})$ aux solutions de l’équation homogène associée $y' = ay$.

Exemple

Les solutions de $y^{\prime}=2 y+3$ sont les fonctions définies sur $\R$ par $y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}-\dfrac{3}{2}$ où $\text{C}$ est un réel.

Déterminer la solution $y$ de l’équation différentielle $(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}+3 y=2$ telle que $y(2)=-\dfrac{1}{3}$.

La propriété est un cas particulier du principe de superposition.

À l’aide d’une solution particulière de $(\mathrm{E})$, on obtient toutes les solutions.

DÉMONSTRATION

Voir exercice

119

p. 305.

Soit $(\mathrm{E})$ l’équation différentielle $2 y^{\prime}+3 y=6 x+1$. On note $\varphi$ une fonction affine qui est une solution particulière de $(\mathrm{E})$. À l’aide de $\varphi$, résoudre $(\mathrm{E})$.