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2. Équations différentielles y'=ay+b et y'=ay+f
P.290-292

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COURS 2


2
Équations différentielles y=ay+by'=ay+b et y=ay+fy'=ay+f





Dans toute cette partie, aa et bb sont des réels et ff est une fonction définie et continue sur un intervalle I\text{I} de R\R.

A
Résolution de l’équation différentielle y=ay\boldsymbol{y' = ay}


Définition

L’équation différentielle (E0):y=ay\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y, qui peut aussi s’écrire yay=0y' - ay = 0, est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Remarque

On dit aussi « sans second membre » au lieu de « homogène ».

Exemple

Les équations différentielles y=5yy^{\prime}=5 y et 2y+9y=02 y^{\prime}+9 y=0 sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement a=5a=5 et a=92a=-\dfrac{9}{2}.

Théorèmes

1. Les solutions de (E0):y=ay\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y sont les fonctions définies sur R\R par y(x)=Ceaxy(x)=\mathrm{Ce}^{a x}, où C\text{C} est un réel.
2. Pour tous réels x0x_0 et y0y_0, (E0)\left(\mathrm{E}_{0}\right) a une unique solution yy telle que y(x0)=y0y\left(x_{0}\right)=y_{0}.

DÉMONSTRATION

1. Soient C\text{C} un réel et yy la fonction définie sur R\R par y(x)=Ceaxy(x)=\mathrm{Ce}^{a x}. Alors yy est dérivable sur R\R (produit d’une constante par la composée d’une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout xRx \in \R, y(x)=Caeax=ay(x)y^{\prime}(x)=\mathrm{C}a\mathrm{e}^{a x}=a y(x).
Ainsi, yy est solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}).
Réciproquement, soient yy une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}) et la fonction gg définie sur R\R par g(x)=y(x)eaxg(x)=y(x) \mathrm{e}^{-a x}.
Alors gg est dérivable sur R\R (produit et composée de fonctions dérivables sur R\R) et, pour tout xRx \in \R, g(x)=y(x)eaxay(x)eax=ay(x)eaxay(x)eax=0g^{\prime}(x)=y^{\prime}(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=a y(x) \mathrm{e}^{-a x}-a y(x) \mathrm{e}^{-a x}=0.
Donc gg est une fonction constante, c’est‑à‑dire qu’il existe un réel C\text{C} tel que, pour tout xRx \in \R, g(x)=Cg(x)=\mathrm{C} soit y(x)eax=Cy(x) \mathrm{e}^{-a x}=\mathrm{C} c’est‑à‑dire y(x)=Ceaxy(x)=\mathrm{Ce}^{a x}.

2. Soit yy une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}). D’après 1., il existe un réel C\text{C} tel que, pour tout 2., y(x)=Ceaxy(x)=\mathrm{Ce}^{a x}.
Par hypothèse, y(x0)=y0Ceax0=y0C=y0eax0y\left(x_{0}\right)=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{a x_{0}}=y_{0} \Leftrightarrow \mathrm{C}=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}}.
Donc, pour tout xRx \in \R, y(x)=y0eax0×eax=y0ea(xx0)y(x)=y_{0} \mathrm{e}^{-a x_{0}} \times \mathrm{e}^{a x}=y_{0} \mathrm{e}^{a\left(x-x_{0}\right)} et cette solution est unique.

LOGIQUE

On raisonne par double implication pour démontrer le premier théorème.

Exemple

Les fonctions définies sur R\R par xCe2xx \mapsto \mathrm{Ce}^{2 x}, où C\text{C} est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle (E0):y=2y(\mathrm{E}_{0}): y^{\prime}=2 y.
L’allure des courbes représentatives de certaines solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}) est donnée ci‑contre.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - Résolution de l’équation différentielle y′=ay

Remarque

Les courbes situées au‑dessus de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel C\text{C} ; celles en‑dessous de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.

Propriété

Soient y1y_1 et y2y_2 des solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}) et kk un réel.
Alors la somme y1+y2y_{1}+y_{2} et le produit ky1ky_1 sont aussi solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}).

DÉMONSTRATION

Voir exercice
118
p. 305
.

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle (E0):2y+3y=0\left(\mathrm{E}_{0}\right): 2 y^{\prime}+3 y=0 avec la condition initiale y(2)=1y(2) = 1.

Solution

(E0)(\mathrm{E}_{0}) peut s’écrire y=32yy^{\prime}=-\dfrac{3}{2} y donc les solutions de (E0)(\mathrm{E}_{0}) sont les fonctions xCexp(32x)x \mapsto \operatorname{Cexp}\left(-\dfrac{3}{2} x\right)C\text{C} est un nombre réel.
Or y(2)=1Cexp(32×2)=1Ce3=1C=e3y(2)=1 \Leftrightarrow \operatorname{Cexp}\left(-\dfrac{3}{2} \times 2\right)=1 \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-3}=1 \Leftrightarrow \mathrm{C}=\mathrm{e}^{3}.
La solution cherchée est la fonction yy définie sur R\R par y(x)=exp(332x)y(x)=\exp \left(3-\dfrac{3}{2} x\right).

Pour s'entraîner : exercices 43 et 44 p. 299

Méthode

  • On écrit (E0)(\mathrm{E}_0) sous la forme y=ayy' = ay.
  • On utilise la forme générale des solutions xCeaxx \mapsto \mathrm{Ce}^{a x} avec C\text{C} réel.
  • On calcule C\text{ C} à l’aide de la condition initiale.

B
Résolution de l’équation différentielle y=ay+b\boldsymbol{y' = ay+b} avec a0\boldsymbol{a \neq 0}


Définition

L’équation différentielle (E):y=ay+b(\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+b, qui peut aussi s’écrire yay=by^{\prime}-a y=b, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété

Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont les fonctions définies sur R\R par xCeaxbax \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\dfrac{b}{a}C\text{C} est une constante réelle.

DÉMONSTRATION

Soit (E):y=ay+b(\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+b une équation différentielle avec a0a \neq 0.

1. On détermine une solution constante φ:xk\varphi : x \mapsto k de (E)(\mathrm{E})kk est un réel. Alors Dφ=R\mathrm{D}_{\varphi^{\prime}}=\mathbb{R} et, pour tout xRx \in \R, φ(x)=0\varphi^{\prime}(x)=0. Donc φ\varphi est solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, pour tout xRx \in \R, φ(x)=aφ(x)+b0=ak+bk=ba\varphi^{\prime}(x)=a \varphi(x)+b \Leftrightarrow 0=a k+b \Leftrightarrow k=-\dfrac{b}{a} donc φ(x)=ba\varphi(x)=-\dfrac{b}{a}.

2. Soit yy une fonction dérivable sur R\R.
yy est solution de (E)(\mathrm{E}) \Leftrightarrow Pour tout xRx \in \R, y(x)=ay(x)+by^{\prime}(x)=a y(x)+b.
yφy-\varphi est dérivable sur R\R et, pour tout xRx \in \R, (yφ)(x)=y(x)φ(x)=ay(x)+b0=ay(x)+b=a(y(x)+ba)=a(y(x)φ(x))(y-\varphi)^{\prime}(x)=y^{\prime}(x)-\varphi^{\prime}(x)=a y(x)+b-0=a y(x)+b=a\left(y(x)+\dfrac{b}{a}\right)=a(y(x)-\varphi(x)) donc yφy-\varphi est solution de (E0):y=ay\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}=a y.
Réciproquement, yφy-\varphi est solution de (E0)(yφ)=a(yφ)yφ=ayaφ\left(\mathrm{E}_{0}\right) \Leftrightarrow(y-\varphi)^{\prime}=a(y-\varphi) \Leftrightarrow y^{\prime}-\varphi^{\prime}=a y-a \varphi \Leftrightarrow Pour tout xRx \in \R, y(x)=ay(x)+by^{\prime}(x)=a y(x)+b donc yy est solution de (E)(\mathrm{E}).

3. Les solutions de (E0)\left(\mathrm{E}_{0}\right) sont les fonctions définies par xCeaxx \mapsto \mathrm{Ce}^{a x} sur R\RCR\mathrm{C} \in \R, donc celles de (E)(\mathrm{E}) sont les fonctions définies par xCeaxbax \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\dfrac{b}{a} sur R\RCR\mathrm{C} \in \R.

Remarque

Autrement dit, les solutions de (E)(\mathrm{E}) s’obtiennent en ajoutant une solution particulière constante φ\varphi de (E)(\mathrm{E}) aux solutions de l’équation homogène associée y=ayy' = ay.

Exemple

Les solutions de y=2y+3y^{\prime}=2 y+3 sont les fonctions définies sur R\R par y(x)=Ce2x32y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}-\dfrac{3}{2}C\text{C} est un réel.

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la solution yy de l’équation différentielle (E):2y+3y=2(\mathrm{E}): 2 y^{\prime}+3 y=2 telle que y(2)=13y(2)=-\dfrac{1}{3}.

Solution

(E)y=32y+1(\mathrm{E}) \Leftrightarrow y^{\prime}=-\dfrac{3}{2} y+1. On reconnaît la forme y=ay+by' = ay + b avec a=32a=-\dfrac{3}{2} et b=1b=1 donc ba=23-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{3}. Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont les fonctions xCe32x+23x \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+\dfrac{2}{3}C\text{C} est un réel.
y(2)=13Ce32×2+23=13Ce3=1C=1e3=e3y(2)=-\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} \times 2}}+\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3} \Leftrightarrow \mathrm{Ce}^{-3}=-1 \Leftrightarrow \mathrm{C}=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^{-3}}=-\mathrm{e}^{3}
La fonction yy cherchée est définie sur R\R par y(x)=e332x+23y(x)=-\mathrm{e}^{3-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+\dfrac{2}{3}.

Pour s'entraîner : exercice 45 et 46 p. 229

Méthode

  • On écrit (E)(\mathrm{E}) sous la forme y=ay+by' = ay + b.
  • On utilise la forme générale des solutions xCeaxbax \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}-\dfrac{b}{a} avec C\text{C} réel.
  • On calcule C\text{C} à l’aide de la condition initiale.

C
Résolution de l’équation différentielle y=ay+f\boldsymbol{y' = ay+f} avec a0\boldsymbol{a \neq 0}


Définition

L’équation différentielle (E):y=ay+f(\mathrm{E}): y^{\prime}=a y+f, qui peut aussi s’écrire yay=fy^{\prime}-a y=f, est également appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété

Soit φ\varphi une solution particulière de (E)(\mathrm{E}).
Alors yy est une solution de (E)(\mathrm{E}) si, et seulement si, yφy-\varphi est une solution de l’équation homogène associée y=ayy' = ay.

Remarque

La propriété est un cas particulier du principe de superposition.

Remarque

À l’aide d’une solution particulière de (E)(\mathrm{E}), on obtient toutes les solutions.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
119
p. 305
.

Application et méthode - 6

Énoncé

Soit (E)(\mathrm{E}) l’équation différentielle 2y+3y=6x+12 y^{\prime}+3 y=6 x+1. On note φ\varphi une fonction affine qui est une solution particulière de (E)(\mathrm{E}). À l’aide de φ\varphi, résoudre (E)(\mathrm{E}).

Solution

1. On pose φ(x)=mx+p\varphi(x)=m x+p (où mm et pp sont réels). En tant que fonction affine, φ\varphi est dérivable sur R\R et, pour tout xRx \in \R, φ(x)=m\varphi^{\prime}(x)=m.
φ\varphi est solution de (E)(\mathrm{E}) signifie que, pour tout xRx \in \R, 2m+3(mx+p)=6x+12m+3mx+3p=6x+1{2m+3p=13m=6{p=1m=22 m+3(m x+p)=6 x+1\Leftrightarrow 2 m+3 m x+3 p=6 x+1 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}2 m+3 p=1 \\ 3 m=6\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}p=-1 \\ m=2\end{array}\right.\right.
Donc φ:x2x1\varphi: x \mapsto 2 x-1 est une solution particulière de (E)(\mathrm{E}).

2. L’équation homogène associée à (E)(\mathrm{E}) est 2y+3y=02 y^{\prime}+3 y=0, soit y=32yy^{\prime}=-\dfrac{3}{2} y, de solutions xCe32xx \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}, où C\text{C} est un réel. Les solutions de (E)(\mathrm{E}) sont donc les fonctions définies sur R\R par xCe32x+2x1x \mapsto \mathrm{Ce}^{-\normalsize{\tfrac{3}{2} x}}+2 x-1, où C\text{C} est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 47 et 48 p. 299

Méthode

  • En remplaçant φ\varphi et φ\varphi ' dans (E)(\mathrm{E}), on obtient un système d’équations d’inconnues mm et pp.
  • On écrit l’équation homogène (E0):y=ay(\mathrm{E}_{0}): y^{\prime}=a y associée et ses solutions xCeaxx \mapsto \mathrm{Ce}^{a x}C\text{C} est un réel.
  • Une solution de (E)(\mathrm{E}) est la somme de φ\varphi et d’une solution de (E0)(\mathrm{E}_{0}).

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