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2. Équations différentielles y'=ay+b et y'=ay+f
P.290-292

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COURS 2


2
Équations différentielles et





Dans toute cette partie, et sont des réels et est une fonction définie et continue sur un intervalle de .

A
Résolution de l’équation différentielle


Définition

L’équation différentielle , qui peut aussi s’écrire , est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Remarque

On dit aussi « sans second membre » au lieu de « homogène ».

Exemple

Les équations différentielles et sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement et .

Théorèmes

1. Les solutions de sont les fonctions définies sur par , où est un réel.
2. Pour tous réels et , a une unique solution telle que .

DÉMONSTRATION

1. Soient un réel et la fonction définie sur par . Alors est dérivable sur (produit d’une constante par la composée d’une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout , .
Ainsi, est solution de .
Réciproquement, soient une solution de et la fonction définie sur par .
Alors est dérivable sur (produit et composée de fonctions dérivables sur ) et, pour tout , .
Donc est une fonction constante, c’est‑à‑dire qu’il existe un réel tel que, pour tout , soit c’est‑à‑dire .

2. Soit une solution de . D’après 1., il existe un réel tel que, pour tout 2., .
Par hypothèse, .
Donc, pour tout , et cette solution est unique.

LOGIQUE

On raisonne par double implication pour démontrer le premier théorème.

Exemple

Les fonctions définies sur par , où est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle .
L’allure des courbes représentatives de certaines solutions de est donnée ci‑contre.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - Résolution de l’équation différentielle y′=ay

Remarque

Les courbes situées au‑dessus de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel  ; celles en‑dessous de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.

Propriété

Soient et des solutions de et un réel.
Alors la somme et le produit sont aussi solutions de .

DÉMONSTRATION

Voir exercice
118
p. 305
.

Application et méthode - 4

Énoncé

Résoudre l’équation différentielle avec la condition initiale .

Solution

peut s’écrire donc les solutions de sont les fonctions est un nombre réel.
Or .
La solution cherchée est la fonction définie sur par .

Pour s'entraîner : exercices 43 et 44 p. 299

Méthode

  • On écrit sous la forme .
  • On utilise la forme générale des solutions avec réel.
  • On calcule à l’aide de la condition initiale.

B
Résolution de l’équation différentielle avec


Définition

L’équation différentielle , qui peut aussi s’écrire , est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété

Les solutions de sont les fonctions définies sur par est une constante réelle.

DÉMONSTRATION

Soit une équation différentielle avec .

1. On détermine une solution constante de est un réel. Alors et, pour tout , . Donc est solution de si, et seulement si, pour tout , donc .

2. Soit une fonction dérivable sur .
est solution de Pour tout , .
est dérivable sur et, pour tout , donc est solution de .
Réciproquement, est solution de Pour tout , donc est solution de .

3. Les solutions de sont les fonctions définies par sur , donc celles de sont les fonctions définies par sur .

Remarque

Autrement dit, les solutions de s’obtiennent en ajoutant une solution particulière constante de aux solutions de l’équation homogène associée .

Exemple

Les solutions de sont les fonctions définies sur par est un réel.

Application et méthode - 5

Énoncé

Déterminer la solution de l’équation différentielle telle que .

Solution

. On reconnaît la forme avec et donc . Les solutions de sont les fonctions est un réel.

La fonction cherchée est définie sur par .

Pour s'entraîner : exercice 45 et 46 p. 229

Méthode

  • On écrit sous la forme .
  • On utilise la forme générale des solutions avec réel.
  • On calcule à l’aide de la condition initiale.

C
Résolution de l’équation différentielle avec


Définition

L’équation différentielle , qui peut aussi s’écrire , est également appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.

Propriété

Soit une solution particulière de .
Alors est une solution de si, et seulement si, est une solution de l’équation homogène associée .

Remarque

La propriété est un cas particulier du principe de superposition.

Remarque

À l’aide d’une solution particulière de , on obtient toutes les solutions.

DÉMONSTRATION

Voir exercice
119
p. 305
.

Application et méthode - 6

Énoncé

Soit l’équation différentielle . On note une fonction affine qui est une solution particulière de . À l’aide de , résoudre .

Solution

1. On pose (où et sont réels). En tant que fonction affine, est dérivable sur et, pour tout , .
est solution de signifie que, pour tout ,
Donc est une solution particulière de .

2. L’équation homogène associée à est , soit , de solutions , où est un réel. Les solutions de sont donc les fonctions définies sur par , où est un réel.

Pour s'entraîner : exercices 47 et 48 p. 299

Méthode

  • En remplaçant et dans , on obtient un système d’équations d’inconnues et .
  • On écrit l’équation homogène associée et ses solutions est un réel.
  • Une solution de est la somme de et d’une solution de .

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