Dans toute cette partie, a et b sont des réels et f est une fonction définie et continue sur un intervalle I de R.
A
Résolution de l’équation différentielle y′=ay
Définition
L’équation différentielle (E0):y′=ay, qui peut aussi s’écrire y′−ay=0, est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.
Remarque
On dit aussi « sans second membre » au lieu de « homogène ».
Exemple
Les équations différentielles y′=5y et 2y′+9y=0 sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement a=5 et a=−29.
Théorèmes
1. Les solutions de (E0):y′=ay sont les fonctions définies sur R par y(x)=Ceax, où C est un réel.
2. Pour tous réels x0 et y0, (E0) a une unique solution y telle que y(x0)=y0.
DÉMONSTRATION
1. Soient C un réel et y la fonction définie sur R par y(x)=Ceax. Alors y est dérivable sur R (produit d’une constante par la composée d’une fonction affine et de la fonction exponentielle) et, pour tout x∈R, y′(x)=Caeax=ay(x).
Ainsi, y est solution de (E0).
Réciproquement, soient y une solution de (E0) et la fonction g définie sur R par g(x)=y(x)e−ax.
Alors g est dérivable sur R (produit et composée de fonctions dérivables sur R) et, pour tout x∈R, g′(x)=y′(x)e−ax−ay(x)e−ax=ay(x)e−ax−ay(x)e−ax=0.
Donc g est une fonction constante, c’est‑à‑dire qu’il existe un réel C tel que, pour tout x∈R, g(x)=C soit y(x)e−ax=C c’est‑à‑dire y(x)=Ceax.
2. Soit y une solution de (E0). D’après 1., il existe un réel C tel que, pour tout 2., y(x)=Ceax.
Par hypothèse, y(x0)=y0⇔Ceax0=y0⇔C=y0e−ax0.
Donc, pour tout x∈R, y(x)=y0e−ax0×eax=y0ea(x−x0) et cette solution est unique.
LOGIQUE
On raisonne par double implication pour démontrer le premier théorème.
Exemple
Les fonctions définies sur R par x↦Ce2x, où C est un réel, sont les solutions de l’équation différentielle (E0):y′=2y.
L’allure des courbes représentatives
de certaines solutions de (E0) est donnée ci‑contre.
Remarque
Les courbes situées au‑dessus de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs positives du réel C ; celles en‑dessous de l’axe des abscisses correspondent à des valeurs négatives.
Propriété
Soient y1 et y2 des solutions de (E0) et k un réel.
Alors la somme y1+y2 et le produit ky1 sont aussi solutions de (E0).
Résoudre l’équation différentielle (E0):2y′+3y=0 avec la condition initiale y(2)=1.
Solution
(E0) peut s’écrire y′=−23y donc les solutions de (E0) sont les fonctions x↦Cexp(−23x) où C est un nombre réel.
Or y(2)=1⇔Cexp(−23×2)=1⇔Ce−3=1⇔C=e3.
La solution cherchée est la fonction y définie sur R par y(x)=exp(3−23x).
On utilise la forme générale des solutions x↦Ceax avec C réel.
On calcule C à l’aide de la condition initiale.
B
Résolution de l’équation différentielle y′=ay+b avec a=0
Définition
L’équation différentielle (E):y′=ay+b, qui peut aussi s’écrire y′−ay=b, est appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Propriété
Les solutions de (E) sont les fonctions définies sur R par x↦Ceax−ab où C est une constante réelle.
DÉMONSTRATION
Soit (E):y′=ay+b une équation différentielle avec a=0.
1. On détermine une solution constante φ:x↦k de (E) où k est un réel. Alors Dφ′=R et, pour tout x∈R, φ′(x)=0. Donc φ est solution de (E) si, et seulement si, pour tout x∈R, φ′(x)=aφ(x)+b⇔0=ak+b⇔k=−ab donc φ(x)=−ab.
2. Soit y une fonction dérivable sur R. y est solution de (E)⇔ Pour tout x∈R, y′(x)=ay(x)+b. y−φ est dérivable sur R et, pour tout x∈R, (y−φ)′(x)=y′(x)−φ′(x)=ay(x)+b−0=ay(x)+b=a(y(x)+ab)=a(y(x)−φ(x)) donc y−φ est solution de (E0):y′=ay.
Réciproquement, y−φ est solution de (E0)⇔(y−φ)′=a(y−φ)⇔y′−φ′=ay−aφ⇔ Pour tout x∈R, y′(x)=ay(x)+b donc y est solution de (E).
3. Les solutions de (E0) sont les fonctions définies par x↦Ceax sur R où C∈R, donc celles de (E) sont les fonctions définies par x↦Ceax−ab sur R où C∈R.
Remarque
Autrement dit, les solutions de (E) s’obtiennent en ajoutant une solution particulière constante φ de (E) aux solutions de l’équation homogène associée y′=ay.
Exemple
Les solutions de y′=2y+3 sont les fonctions définies sur R par y(x)=Ce2x−23 où C est un réel.
Application et méthode - 5
Énoncé
Déterminer la solution y de l’équation différentielle (E):2y′+3y=2 telle que y(2)=−31.
Solution
(E)⇔y′=−23y+1. On reconnaît la forme y′=ay+b avec a=−23 et b=1 donc −ab=32. Les solutions de (E) sont les fonctions x↦Ce−23x+32 où C est un réel. y(2)=−31⇔Ce−23×2+32=−31⇔Ce−3=−1⇔C=−e−31=−e3
La fonction y cherchée est définie sur R par y(x)=−e3−23x+32.
On utilise la forme générale des solutions x↦Ceax−ab avec C réel.
On calcule C à l’aide de la condition initiale.
C
Résolution de l’équation différentielle y′=ay+f avec a=0
Définition
L’équation différentielle (E):y′=ay+f, qui peut aussi s’écrire y′−ay=f, est également appelée équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec second membre.
Propriété
Soit φ une solution particulière de (E).
Alors y est une solution de (E) si, et seulement si, y−φ est une solution de l’équation homogène associée y′=ay.
Remarque
La propriété est un cas particulier du principe de superposition.
Remarque
À l’aide d’une solution particulière de (E), on obtient toutes les solutions.
Soit (E) l’équation différentielle 2y′+3y=6x+1. On note φ une fonction affine qui est une solution particulière de (E). À l’aide de φ, résoudre (E).
Solution
1. On pose φ(x)=mx+p (où m et p sont réels). En tant que fonction affine, φ est dérivable sur R et, pour tout x∈R, φ′(x)=m. φ est solution de (E) signifie que, pour tout x∈R, 2m+3(mx+p)=6x+1⇔2m+3mx+3p=6x+1⇔{2m+3p=13m=6⇔{p=−1m=2
Donc φ:x↦2x−1 est une solution particulière de (E).
2. L’équation homogène associée à (E) est 2y′+3y=0, soit y′=−23y, de solutions x↦Ce−23x, où C est un réel. Les solutions de (E) sont donc les fonctions définies sur R par x↦Ce−23x+2x−1, où C est un réel.
En remplaçant φ et φ′ dans (E), on obtient un système d’équations d’inconnues m et p.
On écrit l’équation homogène (E0):y′=ay associée et ses solutions x↦Ceax où C est un réel.
Une solution de (E) est la somme de φ et d’une solution de (E0).
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