Auto-évaluation

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$ admet comme primitive sur $\mathbb{R}$ la fonction $\text{F}$ définie par :
a. $\mathrm{F}(x)=x^3+x^2+x$
b. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2-x$
c. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2+x$
d. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2$

La solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime }=3{\mathrm{e}}^{3x}$ telle que $\mathrm{F}(0)=-1$ est la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
a. $\mathrm{F}(x)=3{\mathrm{e}}^x$
b. $\mathrm{F}(x)={\mathrm{e}}^{3x}-2$
c. $\mathrm{F}(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}-2$
d. $\mathrm{F}(x)={\mathrm{e}}^{3x}+1$

L’équation différentielle $y^{\prime }+3y=0$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
a. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{-3x}$ où $\text{C}$ est un réel.
b. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{3x}$ où $\text{C}$ est un réel.
c. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^x$ où $\text{C}$ est un réel.
d. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{-x}$ où $\text{C}$ est un réel.

L’équation différentielle $y^{\prime }=2y+3$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
a. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{2x}$ où $\text{C}$ est un réel.
b. $y(x)={\mathrm{e}}^{2x}+\mathrm{C}$ où $\text{C}$ est un réel.
c. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{2x}-\frac{3}{2}$ où $\text{C}$ est un réel.
d. $y(x)={\mathrm{C}\mathrm{e}}^{2x}+3$ où $\text{C}$ est un réel.

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=2x{\left(x^2+1\right)}^2$ ?

×

a. $x\mapsto {\left(x^2+1\right)}^3$

×

b. $x\mapsto \frac{1}{3}{\left(x^2+1\right)}^3$

×

c. $x\mapsto {\left(x^2+1\right)}^3+1$

×

d. $x\mapsto \frac{1}{3}{\left(x^2+1\right)}^3+1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=\mathrm{e}\times y$ ?

×

a. $x\mapsto 0$

×

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\times x}$

×

c. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}$

×

d. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x+1}$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }-\mathrm{e}\times y=\mathrm{e}$ ?

×

a. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

×

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}$

×

c. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

×

d. $x\mapsto -{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle  ?

×

a. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-2x}$

×

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$

×

c. $x\mapsto \left(x^2-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$

×

d. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-2x}+\left(x^2-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$

18

Soit $(\mathrm{E})$ l’équation différentielle $y^{\prime }-3y={\mathrm{e}}^{3x}$.

1. Vérifier que la fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=x{\mathrm{e}}^{3x}$ est une solution particulière de $(\mathrm{E})$.


2. Résoudre l’équation homogène associée $\left({\mathrm{E}}_0\right):y^{\prime }-3y=0$.


3. Démontrer que $y$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $y-\phi$ est solution de $({\mathrm{E}}_0)$.


4. En déduire la forme générale des solutions de $(\mathrm{E})$.


5. Déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}\left(\frac{1}{3}\right)=\mathrm{e}$.

A

Parmi les quatre fonctions suivantes, déterminer laquelle est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)=x^2-x+1-\frac{1}{x}$.

a. $\text{F}(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+\mathrm{l}\mathrm{n}(x)$

b. $\text{F}(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+x-\mathrm{l}\mathrm{n}(x)$

c. $\text{F}(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x+\mathrm{l}\mathrm{n}(x)$

d. $\text{F}(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x-\mathrm{l}\mathrm{n}(x)$

B

Soit $a$ un réel non nul. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=ay$ est l’ensemble des fonctions $x\mapsto {\mathrm{e}}^{ax}+k$ définies sur $\mathbb{R}$ où $k$ est un réel.

a. Vrai
b. Faux

C

La fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=-2x-2$ est une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{y}{2}+x-1$.

a. Vrai
b. Faux

D

Parmi les courbes ci-dessous, laquelle peut être la courbe représentative d’une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }={\text{e}}^x-1$ ?

a. La courbe verte.
b. La courbe rouge.

E

La fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)={\text{e}}^x\sqrt{x}$ est solution de l’équation différentielle :

×

a. $y^{\prime }=y+\frac{{\text{e}}^x}{2\sqrt{x}}$

b. $y^{\prime }=\frac{2x+1}{2x}\times y$

×

c. $y^{\prime }=\frac{{\text{e}}^x}{2\sqrt{x}}$

d. $y^{\prime }-\frac{1}{2}y={\text{e}}^x$

F

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}$. Alors :

a. $f$ admet une unique primitive sur $\text{I}$.

×

b. $f$ admet une infinité de primitives sur $\text{I}$.

×

c. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $\text{F}+k$, où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

d. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $k\times \text{F}$ , où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

G

Soit $f$ une solution de l’équation différentielle $y^{\prime }+3y=0$. Alors $f$ est aussi solution de l’équation différentielle :

×

a. $2y^{\prime }=-6y$.

b. $y^{\prime }=-\frac{1}{3}y$.

×

c. $y^{\prime \prime }=9y$.

d. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-6y=0$.

H

Soit l'équation différentielle $(\text{E}):3y^{\prime }+3y=y^{\prime }+2y$. Alors :

×

a. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)={\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(0)=1$.

×

b. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=-{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(0)=-1$.

c. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=2{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(-1)=2{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$.

×

d. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=-3{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(1)=-\frac{3}{\sqrt{\mathrm{e}}}$.