Exercices d'auto‑évaluation

La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^2-2x+1$ admet comme primitive sur $\mathbb{R}$ la fonction $\text{F}$ définie par :

a. $\mathrm{F}(x)=x^3+x^2+x$

b. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2-x$

c. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2+x$

d. $\mathrm{F}(x)=x^3-x^2$

La solution $\text{F}$ de l'équation différentielle $y^{\prime }=3{\mathrm{e}}^{3x}$ telle que $\mathrm{F}(0)=-1$ est la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

a. $\mathrm{F}(x)=3{\mathrm{e}}^x$

b. $\mathrm{F}(x)={\mathrm{e}}^{3x}-2$

c. $\mathrm{F}(x)=3{\mathrm{e}}^{3x}-2$

d. $\mathrm{F}(x)={\mathrm{e}}^{3x}+1$

L'équation différentielle $y^{\prime }+3y=0$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

a. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{-3x}$ où $\text{C}$ est un réel.

b. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{3x}$ où $\text{C}$ est un réel.

c. $y(x)={\mathrm{Ce}}^x$ où $\text{C}$ est un réel.

d. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{-x}$ où $\text{C}$ est un réel.

L'équation différentielle $y^{\prime }=2y+3$ a pour solutions les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

a. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{2x}$ où $\text{C}$ est un réel.

b. $y(x)={\mathrm{e}}^{2x}+\mathrm{C}$ où $\text{C}$ est un réel.

c. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{2x}-\frac{3}{2}$ où $\text{C}$ est un réel.

d. $y(x)={\mathrm{Ce}}^{2x}+3$ où $\text{C}$ est un réel.

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=2x{\left(x^2+1\right)}^2$ ?

a. $x\mapsto {\left(x^2+1\right)}^3$

b. $x\mapsto \frac{1}{3}{\left(x^2+1\right)}^3$

c. $x\mapsto {\left(x^2+1\right)}^3+1$

d. $x\mapsto \frac{1}{3}{\left(x^2+1\right)}^3+1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=\mathrm{e}\times y$ ?

a. $x\mapsto 0$

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}\times x}$

c. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}$

d. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x+1}$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }-\mathrm{e}\times y=\mathrm{e}$ ?

a. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}$

c. $x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

d. $x\mapsto -{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}x}-1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\mathbb{R}$, quelles sont celles qui sont une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }+2y=(x^2+2x-1){\mathrm{e}}^{-x}$ ?

a. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-2x}$

b. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-x}$

c. $x\mapsto \left(x^2-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$

d. $x\mapsto {\mathrm{e}}^{-2x}+\left(x^2-1\right){\mathrm{e}}^{-x}$

B

Soit $a$ un réel non nul. L'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y^{\prime }=ay$ est l'ensemble des fonctions $x\mapsto {\mathrm{e}}^{ax}+k$ définies sur $\mathbb{R}$ où $k$ est un réel.

a. Vrai

b. Faux

C

La fonction $\phi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\phi (x)=-2x-2$ est une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }=\frac{y}{2}+x-1$.

a. Vrai

b. Faux

D

Parmi les courbes ci-dessous, laquelle peut être la courbe représentative d'une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }={\text{e}}^x-1$ ?

a. La courbe verte.

b. La courbe rouge.

E

La fonction $f$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f(x)={\text{e}}^x\sqrt{x}$ est solution de l'équation différentielle :

a. $y^{\prime }=y+\frac{{\text{e}}^x}{2\sqrt{x}}$

b. $y^{\prime }=\frac{2x+1}{2x}\times y$

c. $y^{\prime }=\frac{{\text{e}}^x}{2\sqrt{x}}$

d. $y^{\prime }-\frac{1}{2}y={\text{e}}^x$

F

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}$. Alors :

a. $f$ admet une unique primitive sur $\text{I}$.

b. $f$ admet une infinité de primitives sur $\text{I}$.

c. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $\text{F}+k$, où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

d. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $k\times \text{F}$ , où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

G

Soit $f$ une solution de l'équation différentielle $y^{\prime }+3y=0$. Alors $f$ est aussi solution de l'équation différentielle :

a. $2y^{\prime }=-6y$.

b. $y^{\prime }=-\frac{1}{3}y$.

c. $y^{\prime \prime }=9y$.

d. $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-6y=0$.