Auto-évaluation

La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3 x^{2}-2 x+1$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $\text{F}$ définie par :
a. $\mathrm{F}(x)=x^{3}+x^{2}+x$
b. $\mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}-x$
c. $\mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}+x$
d. $\mathrm{F}(x)=x^{3}-x^{2}$

La solution $\text{F}$ de l’équation différentielle $y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{3 x}$ telle que $\mathrm{F}(0)=-1$ est la fonction $\text{F}$ définie sur $\R$ par :
a. $\mathrm{F}(x)=3 \mathrm{e}^{x}$
b. $\mathrm{F}(x)=\mathrm{e}^{3 x}-2$
c. $\mathrm{F}(x)=3 \mathrm{e}^{3 x}-2$
d. $\mathrm{F}(x)=\mathrm{e}^{3 x}+1$

L’équation différentielle $y^{\prime}+3 y=0$ a pour solutions les fonctions définies sur $\R$ par :
a. $y(x)=\mathrm{Ce}^{-3 x}$ où $\text{C}$ est un réel.
b. $y(x)=\mathrm{Ce}^{3 x}$ où $\text{C}$ est un réel.
c. $y(x)=\mathrm{Ce}^{x}$ où $\text{C}$ est un réel.
d. $y(x)=\mathrm{Ce}^{-x}$ où $\text{C}$ est un réel.

L’équation différentielle $y^{\prime}=2 y+3$ a pour solutions les fonctions définies sur $\R$ par :
a. $y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}$ où $\text{C}$ est un réel.
b. $y(x)=\mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{C}$ où $\text{C}$ est un réel.
c. $y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}-\dfrac{3}{2}$ où $\text{C}$ est un réel.
d. $y(x)=\mathrm{Ce}^{2 x}+3$ où $\text{C}$ est un réel.

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\R$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime}=2 x\left(x^{2}+1\right)^{2}$ ?

×

a. $x \mapsto\left(x^{2}+1\right)^{3}$

×

b. $x \mapsto \dfrac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}$

×

c. $x \mapsto\left(x^{2}+1\right)^{3}+1$

×

d. $x \mapsto \dfrac{1}{3}\left(x^{2}+1\right)^{3}+1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\R$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime}=\mathrm{e} \times y$ ?

×

a. $x \mapsto 0$

×

b. $x \mapsto \mathrm{e}^{ \mathrm{e} \times x}$

×

c. $x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e}x}$

×

d. $x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e} x+1}$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\R$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $y^{\prime}-\mathrm{e} \times y=\mathrm{e}$ ?

×

a. $x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{e} x}-1$

×

b. $x \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{e} x}$

×

c. $x \mapsto 2 \mathrm{e}^{\mathrm{e}x}-1$

×

d. $x \mapsto-\mathrm{e}^{\mathrm{e}x}-1$

Parmi les fonctions suivantes définies sur $\R$, quelles sont celles qui sont une solution de l’équation différentielle $$ ?

×

a. $x \mapsto \mathrm{e}^{-2 x}$

×

b. $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$

×

c. $x \mapsto\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{-x}$

×

d. $x \mapsto \mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}-1\right) \mathrm{e}^{-x}$

18

Soit $(\mathrm{E})$ l’équation différentielle $y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^{3 x}$.

1. Vérifier que la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x)=x \mathrm{e}^{3 x}$ est une solution particulière de $(\mathrm{E})$.


2. Résoudre l’équation homogène associée $\left(\mathrm{E}_{0}\right): y^{\prime}-3 y=0$.


3. Démontrer que $y$ est solution de $(\mathrm{E})$ si, et seulement si, $y-\varphi$ est solution de $(\mathrm{E}_{0})$.


4. En déduire la forme générale des solutions de $(\mathrm{E})$.


5. Déterminer la solution $\text{F}$ de $(\mathrm{E})$ telle que $\mathrm{F}\left(\dfrac{1}{3}\right)=\mathrm{e}$.

A

Parmi les quatre fonctions suivantes, déterminer laquelle est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\left] 0 \,; + \infty \right[$ par $f(x)=x^2-x+1-\dfrac{1}{x}$.

a. $\text{F}(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-x+\mathrm{ln}(x)$

b. $\text{F}(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x-\mathrm{ln}(x)$

c. $\text{F}(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}+x+\mathrm{ln}(x)$

d. $\text{F}(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}-x-\mathrm{ln}(x)$

B

Soit $a$ un réel non nul. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle $y'=ay$ est l’ensemble des fonctions $x \mapsto \mathrm{e}^{ax}+k$ définies sur $\mathbb{R}$ où $k$ est un réel.

a. Vrai
b. Faux

C

La fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\varphi(x)=-2x-2$ est une solution de l’équation différentielle $y '=\dfrac{y}{2}+x-1$.

a. Vrai
b. Faux

D

Parmi les courbes ci-dessous, laquelle peut être la courbe représentative d’une solution de l’équation différentielle $y' = \text{e}^x - 1$ ?

a. La courbe verte.
b. La courbe rouge.

E

La fonction $f$ définie sur $\left]0 \: ; + \infty \right[$ par $f(x) = \text{e}^{x} \sqrt{x}$ est solution de l’équation différentielle :

×

a. $y' = y + \dfrac{\text{e}^{x}}{2 \sqrt{x}}$

b. $y' = \dfrac{2x+1}{2x} \times y$

×

c. $y' = \dfrac{\text{e}^x}{2 \sqrt{x}}$

d. $y' - \dfrac{1}{2}y = \text{e}^x$

F

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\text{I}$. Alors :

a. $f$ admet une unique primitive sur $\text{I}$.

×

b. $f$ admet une infinité de primitives sur $\text{I}$.

×

c. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $\text{F}+k$, où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

d. si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$ alors $k \times \text{F}$ , où $k$ est un réel, est aussi une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

G

Soit $f$ une solution de l’équation différentielle $y' + 3y = 0$. Alors $f$ est aussi solution de l’équation différentielle :

×

a. $2y' = -6y$.

b. $y' = -\dfrac{1}{3}y$.

×

c. $y'' = 9y$.

d. $y'' + y' - 6y = 0$.

H

Soit l'équation différentielle $(\text{E}) : 3y ' +3y=y ' +2y$. Alors :

×

a. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(0)=1$.

×

b. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=-\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(0)=-1$.

c. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=2\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(-1)=2\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{1}{2}}}$.

×

d. la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\text{F}(x)=-3\mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ est la solution de $(\text{E})$ telle que $\text{F}(1)=-\dfrac{3}{\sqrt{\mathrm{e}}}$.