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1. Équation différentielle y'=f
P.300-302

Entraînement


1
Équation différentielle





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

58
FLASH

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction définie par est une primitive sur de la fonction définie par . »
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59
FLASH

Soit la fonction définie sur par . Étudier le signe de puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de .
Justifier la réponse.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 59

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60
FLASH

Déterminer une équation différentielle de la forme dont la fonction définie sur par est une solution.
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Pour les exercices
61
à 
68

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de sur l’intervalle .

61
[Calculer.] ◉◉
1.  ;


2.  ;


3.  ;


4.  ;
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62
[Calculer.]
1.  ;


2.  ;


3.  ;


4.  ;
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63
[Calculer.]
1.  ;


2.  ;


3.  ;


4.  ;
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64
[Calculer.] ◉◉
1.  ;


2.  ;
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65
[Calculer.] ◉◉◉
1.  ;


2.  ;
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66
[Calculer.]
1.  ;


2.  ;
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67
[Calculer.]
1.  ;


2.  ;
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68
[Calculer.]
1.  ;


2.  ;
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69
[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu’on lui demande de déterminer une primitive de .

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 69

Expliquer la réponse obtenue.
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70
[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d’une fonction. Il obtient le résultat suivant.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 70

Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.
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Pour les exercices
71
à 
75

Déterminer la solution sur de l’équation différentielle donnée qui prend la valeur en .

71
[Calculer.] ◉◉
1.  ;  ;  ;


2.  ;  ;  ;
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72
[Calculer.]
1.  ;  ;  ;


2.  ;  ;  ;
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73
[Calculer.] ◉◉
1.  ;  ;  ;


2.  ;  ;  ;
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74
[Calculer.]
1.  ;  ;  ;


2.  ;  ;  ;
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75
[Calculer.] ◉◉◉
1.  ;  ;  ;


2.  ;  ;  ;
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76
[Représenter.]
Parmi les fonctions et représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction  ?

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 76

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77
[Représenter.]
On a représenté deux fonctions et définies sur dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l’autre.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 77

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78
[Représenter.]
On donne la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d’une primitive de sur .

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 78

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79
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
et sont deux fonctions définies sur un intervalle de et est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si est positive et dérivable sur avec , alors est croissante sur .


2. Si est décroissante et dérivable sur avec , alors est négative sur .


3. Si , alors est une primitive de sur .


4. Si , alors est une primitive de sur .


5. Si est une primitive de sur , alors est une primitive de sur .
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80
[Calculer.] ◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer les réels et tels que, pour tout  :
.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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81
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer les réels et tels que, pour tout  :
.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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82
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Déterminer les réels , et tels que, pour tout  :
.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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83
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Factoriser l’expression .


2. Déterminer les réels et tels que, pour tout  :
.


3. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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84
[Calculer.] ◉◉◉
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Factoriser l’expression .


2. Déterminer les réels et tels que, pour tout  :
.


3. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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85
[Calculer.]
Soit la fonction définie sur par :
.

1. Démontrer que, pour tout , .


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle .
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86
[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution de l’équation différentielle telle que .

1.  ;


Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2.  ;  ;


Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
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87
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions.

1.


2.


3.


4.
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88
[Calculer.]
Soit une fonction dérivable sur un intervalle telle que est également dérivable sur . On note la dérivée de . On souhaite résoudre l’équation différentielle .

1. On pose . Déterminer une équation différentielle , d’inconnue , équivalente à .


2. Résoudre cette équation différentielle.


3. À partir des solutions de , déterminer toutes les solutions de .
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89
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions. On rappelle que si et sont dérivables sur un intervalle , on peut définir sur la fonction dérivée de que l’on note .

Aide
Poser .


1.


2.


3.


4.
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90
[Calculer.] ◉◉◉
1. Montrer que l’équation différentielle admet sur une solution de la forme , , et sont des réels que l’on déterminera.


2. En déduire les solutions sur de cette équation.
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