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Rappels de première

Algèbre et géométrie

Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Analyse

Ch. 4
Suites

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Probabilités

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Annexes

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

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Chapitre 10

Entraînement 1

Équation différentielle $y^{'} = f$

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

106

Parcours 2 : exercices

;

101

115

Parcours 3 : exercices

;

116

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Flash

L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction

F

définie par

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x + 1

est une primitive sur

R

de la fonction

f

définie par

f (x) = x^{2} + x + 1

. »

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Flash

Déterminer une équation différentielle de la forme

y^{'} = f

dont la fonction

F

définie sur

R

par

F (x) = x e^{x}

est une solution.

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Flash

Soit

f

la fonction définie sur

R

par

f (x) = (x + 2) e^{x}

. Étudier le signe de

f (x)

puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de

f

.
Justifier la réponse.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 59

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Pour les exercices
61
à
68

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de

f

sur l'intervalle

I

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61
[Calculer.]

f : x \mapsto 2020

;

I = R

f : x \mapsto x - 1

;

I = R

f : x \mapsto x^{2} + 2

;

I = R

f : x \mapsto x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1

;

I = R

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62
[Calculer.]
1.

f : x \mapsto x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1

;

I = R

f : x \mapsto - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + 2

;

I = R

f : x \mapsto \frac{2}{3} x^{3} - \frac{3}{4} x^{2} + \frac{4}{5} x - \frac{5}{6}

;

I = R

f : x \mapsto x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{4}

;

I = R

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63
[Calculer.]

f : x \mapsto - \frac{3}{x}

;

I =] 0; + \infty [

f : x \mapsto \frac{2}{x ^{2}}

;

I =] - \infty; 0 [

f : x \mapsto x^{2} + x - \frac{1}{x ^{2}}

;

I =] - \infty; 0 [

f : x \mapsto \frac{3 x - 2}{x ^{3}}

;

I =] 0; + \infty [

Ressource affichée de l'autre côté.
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64
[Calculer.]

f : x \mapsto - \frac{1}{( x + 2 ) ^{2}}

;

I =] - \infty; - 2 [

f : x \mapsto \frac{2}{( x + 3 ) ^{2}}

;

I =] - 3; + \infty [

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65
[Calculer.]

f : x \mapsto \frac{x}{( x ^{2} + 2 ) ^{3}}

;

I = R

f : x \mapsto \frac{3 x ^{2}}{( x ^{3} - 1 ) ^{4}}

;

I =] 1; + \infty [

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66
[Calculer.]
1.

f : x \mapsto 2 e^{2 x}

;

I = R

f : x \mapsto e^{1 - 3 x}

;

I = R

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67
[Calculer.]
1.

f : x \mapsto - x e^{x^{2} - 1}

;

I = R

f : x \mapsto \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}

;

I = R

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68
[Calculer.]
1.

f : x \mapsto \frac{x}{x ^{2} + 1}

;

I = R

f : x \mapsto - \frac{3 x ^{2}}{x ^{3} + 1}

;

I =] - 1; + \infty [

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69
[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de

x \mapsto 3 e^{2 x}

Image : solution d'une équation mathématique ; résultat : (3/2)e^(2x) + C1

Expliquer la réponse obtenue.

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70
[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d'une fonction. Il obtient le résultat suivant.

Image d'équation : 4 multiplié par x puissance 5 sur racine carrée de x puissance 6 plus 2

Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.

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Pour les exercices
71
à
75

Déterminer la solution sur

I

de l'équation différentielle donnée qui prend la valeur

y_{0}

x_{0}

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71
[Calculer.]

y^{'} = x^{3} - 2 x

;

I = R

;

x_{0} = 0

;

y_{0} = 2

y^{'} = - \frac{2}{x ^{2}} + x - 1

;

I =] 0; + \infty [

;

x_{0} = 1

;

y_{0} = \frac{1}{2}

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72
[Calculer.]
1.

y^{'} = - x^{3} + x^{2} - x + 1

;

I = R

;

x_{0} = 1

;

y_{0} = \frac{1}{12}

y^{'} = - \frac{1}{x ^{3}} + \frac{1}{x ^{2}} - x + \frac{1}{2}

;

I =] - \infty; 0 [

;

x_{0} = - 1

;

y_{0} = - \frac{1}{2}

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73
[Calculer.]

y^{'} = 1 - \frac{1}{2 x}

;

I =] 0; + \infty [

;

x_{0} = 2

;

y_{0} = - 2

y^{'} = 3 e^{x}

;

I = R

;

x_{0} = 1

;

y_{0} = e

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74
[Calculer.]
1.

y^{'} = e^{2 x} + 2 e^{- \frac{x}{2}}

;

I = R

;

x_{0} = 0

;

y_{0} = \frac{1}{2}

y^{'} = 2 x (x^{2} + 1)^{3}

;

I = R

;

x_{0} = - 0

;

y_{0} = - \frac{3}{4}

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75
[Calculer.]

y^{'} = \frac{e ^{2 x}}{( e ^{2 x} + 1 ) ^{3}}

;

I = R

;

x_{0} = 0

;

y_{0} = - \frac{1}{16}

y^{'} = \frac{2 x}{2 x ^{2} + 1}

;

I = R

;

x_{0} = 2

;

y_{0} = 2

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76
[Représenter.]
Parmi les fonctions

g

h

représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction

f

Graphique: trois courbes sinusoïdales (rouge, verte, bleue) se croisent sur un graphique.

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77
[Représenter.]
On a représenté deux fonctions

f

g

définies sur

R

dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l'autre.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 77

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78
[Représenter.]
On donne la représentation graphique d'une fonction

f

définie sur l'intervalle

I = [- 3; 2]

dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d'une primitive

F

f

sur

I

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 78

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79
Vrai / Faux
[Raisonner.]

f

F

sont deux fonctions définies sur un intervalle

I

R

k

est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si

F

est positive et dérivable sur

I

avec

F^{'} = f

, alors

f

est croissante sur

I

2. Si

F

est décroissante et dérivable sur

I

avec

F^{'} = f

, alors

f

est négative sur

I

3. Si

F^{'} = f

, alors

f

est une primitive de

F

sur

I

4. Si

F^{'} = f

, alors

F

est une primitive de

f

sur

I

5. Si

F

est une primitive de

f

sur

I

, alors

F + k

est une primitive de

f

sur

I

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80
[Calculer.]

Soit

f

la fonction définie sur

I =] 0; 1 [

par :

f (x) = \frac{2 x - 1}{x ^{2} ( x - 1 ) ^{2}}

1. Déterminer les réels

a

b

tels que, pour tout

x \in I

f (x) = \frac{a}{x ^{2}} + \frac{b}{( x - 1 ) ^{2}}

2. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

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81
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

I =] 1; + \infty [

par :

f (x) = \frac{x ^{2} - 2 x}{( x - 1 ) ^{2}}

1. Déterminer les réels

a

b

tels que, pour tout

x \in I

f (x) = a + \frac{b}{( x - 1 ) ^{2}}

2. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

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82
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

I =] - 2; + \infty [

par :

f (x) = \frac{2 x ^{3} + 9 x ^{2} + 12 x + 2}{( x + 2 ) ^{2}}

1. Déterminer les réels

a

b

c

tels que, pour tout

x \in I

f (x) = a x + b + \frac{c}{( x + 2 ) ^{2}}

2. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

Ressource affichée de l'autre côté.
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83
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

I =] - 2; 2 [

par :

f (x) = \frac{x}{( x ^{2} - 4 ) ^{2}}

1. Factoriser l'expression

(x^{2} - 4)^{2}

2. Déterminer les réels

a

b

tels que, pour tout

x \in I

f (x) = \frac{a}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{b}{( x + 2 ) ^{2}}

3. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

Ressource affichée de l'autre côté.
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84
[Calculer.]

Soit

f

la fonction définie sur

I =] - 1; 1 [

par :

f (x) = \frac{x ( x ^{2} + 3 )}{( x ^{2} - 1 ) ^{3}}

1. Factoriser l'expression

(x^{2} - 1)^{3}

2. Déterminer les réels

a

b

tels que, pour tout

x \in I

f (x) = \frac{a}{( x - 1 ) ^{3}} + \frac{b}{( x + 1 ) ^{3}}

3. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

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85
[Calculer.]
Soit

f

la fonction définie sur

I =] - 1; 1 [

par :

f (x) = \frac{x ^{2} + 1}{( x ^{2} - 1 ) ^{2}}

1. Démontrer que, pour tout

x \in I

x^{2} + 1 = \frac{1}{2} ((x + 1)^{2} + (x - 1)^{2})

2. En déduire les solutions de l'équation différentielle

y^{'} = f

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86
[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution

F

de l'équation différentielle telle que

F (x_{0}) = y_{0}

. 1.

y^{'} = ∣ x ∣

;

x_{0} = y_{0} = 0

GeoGebra

Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail

y^{'} = ∣ x ∣ + ∣ x - 1∣

;

x_{0} = \frac{1}{2}

;

y_{0} = 1

GeoGebra

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87
[Calculer.]

Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l'ensemble de définition des solutions.

x^{2} y^{'} = - 1

x y^{'} + 1 = 0

x^{4} y^{'} = 3 (x - 1)^{2}

e^{2 x} y^{'} = - e^{x}

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88
[Calculer.]
Soit

y

une fonction dérivable sur un intervalle

I

telle que

y^{'}

est également dérivable sur

I

. On note

y^{''}

la dérivée de

y^{'}

. On souhaite résoudre l'équation différentielle

(E) : y^{''} = - 4 x + 3

. 1. On pose

z = y^{'}

. Déterminer une équation différentielle

(E^{'})

, d'inconnue

z

, équivalente à

(E)

2. Résoudre cette équation différentielle.

3. À partir des solutions

z

(E^{'})

, déterminer toutes les solutions

y

(E)

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89
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l'ensemble de définition des solutions. On rappelle que si

y

y^{'}

sont dérivables sur un intervalle

I

, on peut définir sur

I

la fonction dérivée de

y^{'}

que l'on note

y^{''}

Aide

Poser

z = y^{'}

y^{''} = 2 x - 1

y^{''} = e^{x} + e^{- x}

x^{3} y^{''} = - 2

e^{2 x} y^{''} = 4

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90
[Calculer.]

1. Montrer que l'équation différentielle

y^{'} = \frac{x ^{3} + x ^{2} + x + 1}{x - 1}

admet sur

I =] 1; + \infty [

une solution de la forme

x \mapsto (a x^{3} + b x^{2} + c x + d) x - 1

où

a

b

c

d

sont des réels que l'on déterminera.

2. En déduire les solutions sur

I

de cette équation.

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Rappels de première

Ch. 1Combinatoire et dénombrement

Ch. 2 Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3 Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4 Suites

Ch. 5Limites de fonctions

Ch. 6Continuité

Ch. 7Compléments sur la dérivation

Ch. 8Logarithme népérien

Ch. 9Fonctions trigonométriques

Ch. 10Primitives - Équations différentielles

Ch. 11Calcul intégral

Ch. 12Loi binomiale

Ch. 13Sommes de variables aléatoires

Ch. 14Loi des grands nombres

Exercices transversaux

Grand Oral

Apprendre à démontrer

Cahier d'algorithmique et de programmation

Équation différentielle y′=f

Pour les exercices 61 à 68

Pour les exercices 71 à 75

GeoGebra

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Ch. 1
Combinatoire et dénombrement

Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace

Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace

Ch. 4
Suites

Ch. 5
Limites de fonctions

Ch. 6
Continuité

Ch. 7
Compléments sur la dérivation

Ch. 8
Logarithme népérien

Ch. 9
Fonctions trigonométriques

Ch. 10
Primitives - Équations différentielles

Ch. 11
Calcul intégral

Ch. 12
Loi binomiale

Ch. 13
Sommes de variables aléatoires

Ch. 14
Loi des grands nombres

Équation différentielle $y^{'} = f$

Pour les exercices
61
à
68

Pour les exercices
71
à
75