1

Équation différentielle $y'=f$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction $\text{F}$ définie par $\mathrm{F}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-x+1$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^{2}+x+1$. »

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x}$. Étudier le signe de $f(x)$ puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de $f$.
Justifier la réponse.

Déterminer une équation différentielle de la forme $y'=f$ dont la fonction $\text{F}$ définie sur $\R$ par $\mathrm{F}(x)=x \mathrm{e}^{x}$ est une solution.

Pour les exercices

61

à 

68

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de $f$ sur l’intervalle $\text{I}$.

61

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f: x \mapsto 2~020$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto x-1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


3. $f: x \mapsto x^{2}+2$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


4. $f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}+3 x-1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

62

[Calculer.]
1. $f: x \mapsto x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto-\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{2}-x+2$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


3. $f: x \mapsto \dfrac{2}{3} x^{3}-\dfrac{3}{4} x^{2}+\dfrac{4}{5} x-\dfrac{5}{6}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


4. $f: x \mapsto x^{3}-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{4}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

63

[Calculer.]
1. $f: x \mapsto-\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ ; $\mathrm{I}=]0~;+\infty[$


2. $f: x \mapsto \dfrac{2}{x^{2}}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty~; 0[$


3. $f: x \mapsto x^{2}+x-\dfrac{1}{x^{2}}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty~; 0[$


4. $f: x \mapsto \dfrac{3 x-2}{x^{3}}$ ; $\mathrm{I}=]0~;+\infty[$

64

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f: x \mapsto-\dfrac{1}{(x+2)^{2}}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty~;-2[$


2. $f: x \mapsto \dfrac{2}{(x+3)^{2}}$ ; $\mathrm{I}=]-3~;+\infty[$

65

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f: x \mapsto \dfrac{x}{\left(x^{2}+2\right)^{3}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto \dfrac{3 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{4}}$ ; $\mathrm{I}=]1~;+\infty[$

66

[Calculer.]
1. $f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{2 x}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto \mathrm{e}^{1-3 x}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

67

[Calculer.]
1. $f: x \mapsto-x \mathrm{e}^{x^{2}-1}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

68

[Calculer.]
1. $f: x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f: x \mapsto-\dfrac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}}$ ; $\mathrm{I}=]-1~;+\infty[$

69

[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu’on lui demande de déterminer une primitive de $x \mapsto 3 \mathrm{e}^{2 x}$.

Expliquer la réponse obtenue.

70

[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d’une fonction. Il obtient le résultat suivant.

Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.

Pour les exercices

71

à 

75

Déterminer la solution sur $\text{I}$ de l’équation différentielle donnée qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

71

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime}=x^{3}-2 x$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_{0}=0$ ; $y_{0}=2$


2. $y^{\prime}=-\dfrac{2}{x^{2}}+x-1$ ; $\mathrm{I}=]0~;+\infty[$ ; $x_{0}=1$ ; $y_{0}=\dfrac{1}{2}$

72

[Calculer.]
1. $y^{\prime}=-x^{3}+x^{2}-x+1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_{0}=1$ ; $y_{0}=\dfrac{1}{12}$


2. $y^{\prime}=-\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{2}}-x+\dfrac{1}{2}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty~; 0[$ ; $x_{0}=-1$ ; $y_{0}=-\dfrac{1}{2}$

73

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime}=1-\dfrac{1}{2 \sqrt{x}}$ ; $\mathrm{I}=]0~;+\infty[$ ; $x_{0}=2$ ; $y_{0}=-\sqrt{2}$


2. $y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{x}$ ; $\mathrm{I}=\R$ ; $x_{0}=1$ ; $y_{0}=\mathrm{e}$

74

[Calculer.]
1. $y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}+2 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_{0}=0$ ; $y_{0}=\dfrac{1}{2}$


2. $y^{\prime}=2 x\left(x^{2}+1\right)^{3}$ ; $\mathrm{I}=\R$ ; $x_{0}=-0$ ; $y_{0}=-\dfrac{3}{4}$

75

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime}=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x}}{\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)^{3}}$ ; $\mathrm{I}=\R$ ; $x_{0}=0$ ; $y_{0}=-\dfrac{1}{16}$


2. $y^{\prime}=\dfrac{2 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}}$ ; $\mathrm{I}=\R$ ; $x_{0}=2$ ; $y_{0}=2$

76

[Représenter.]
Parmi les fonctions $g$ et $h$ représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction $f$ ?

77

[Représenter.]
On a représenté deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l’autre.

78

[Représenter.]
On donne la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $\mathrm{I}=[-3~; 2]$ dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d’une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $\text{I}$.

79

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
$f$ et $\text{F}$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $\text{I}$ de $\R$ et $k$ est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si$\text{ F}$ est positive et dérivable sur $\text{I}$ avec $\mathrm{F}'=f$, alors $f$ est croissante sur $\text{I}$.


2. Si $\text{F}$ est décroissante et dérivable sur $\text{I}$ avec $\mathrm{F}^{\prime}=f$, alors $f$ est négative sur $\text{I}$.


3. Si $\mathrm{F}^{\prime}=f$, alors $f$ est une primitive de $\text{F}$ sur $\text{I}$.


4. Si $\mathrm{F}^{\prime}=f$, alors $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$.


5. Si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$, alors $\mathrm{F} + k$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

80

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]0~; 1[$ par : $f(x)=\dfrac{2 x-1}{x^{2}(x-1)^{2}}$.
1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \mathrm{I}$ : $f(x)=\dfrac{a}{x^{2}}+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

81

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]1~;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}$.
1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \mathrm{I}$ : $f(x)=a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

82

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-2~;+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{2 x^{3}+9 x^{2}+12 x+2}{(x+2)^{2}}$.
1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x \in \mathrm{I}$ : $f(x)=a x+b+\dfrac{c}{(x+2)^{2}}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

83

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-2~;2[$ par : $f(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}$.
1. Factoriser l’expression $\left(x^{2}-4\right)^{2}$.


2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \mathrm{I}$ : $f(x)=\dfrac{a}{(x-2)^{2}}+\dfrac{b}{(x+2)^{2}}$.

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

84

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-1~;1[$ par : $f(x)=\dfrac{x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}$.
1. Factoriser l’expression $\left(x^{2}-1\right)^{3}$.


2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in \mathrm{I}$ : $f(x)=\dfrac{a}{(x-1)^{3}}+\dfrac{b}{(x+1)^{3}}$.

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

85

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-1~;1[$ par : $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$.
1. Démontrer que, pour tout $x \in \mathrm{I}$, $x^{2}+1=\dfrac{1}{2}\left((x+1)^{2}+(x-1)^{2}\right)$.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y'=f$.

86

[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle telle que $\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}$.

1. $y^{\prime}=|x|$ ; $x_{0}=y_{0}=0$

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2. $y^{\prime}=|x|+|x-1|$ ; $x_{0}=\dfrac{1}{2}$ ; $y_{0}=1$

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87

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions.

1. $x^{2} y^{\prime}=-1$


2. $\sqrt{x} y^{\prime}+1=0$


3. $x^{4} y^{\prime}=3(x-1)^{2}$


4. $\mathrm{e}^{2 x} y^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}$

88

[Calculer.]
Soit $y$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ telle que $y'$ est également dérivable sur $\text{I}$. On note $y''$ la dérivée de $y'$. On souhaite résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}): y^{\prime \prime}=-4 x+3$.

1. On pose $z = y'$. Déterminer une équation différentielle $(\mathrm{E'})$, d’inconnue $z$, équivalente à $(\mathrm{E})$.


2. Résoudre cette équation différentielle.


3. À partir des solutions $z$ de $(\mathrm{E'})$, déterminer toutes les solutions $y$ de $(\mathrm{E})$.

89

[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions. On rappelle que si $y$ et $y'$ sont dérivables sur un intervalle $\text{I}$, on peut définir sur $\text{I}$ la fonction dérivée de $y'$ que l’on note $y''$.



1. $y^{\prime \prime}=2 x-1$


2. $y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}$


3. $x^{3} y^{\prime \prime}=-2$


4. $\mathrm{e}^{2 x} y^{\prime \prime}=4$

90

[Calculer.] ◉◉◉
1. Montrer que l’équation différentielle $y^{\prime}=\dfrac{x^{3}+x^{2}+x+1}{\sqrt{x-1}}$ admet sur $\mathrm{I}=]1~;+\infty[$ une solution de la forme $x \mapsto\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) \sqrt{x-1}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels que l’on déterminera.


2. En déduire les solutions sur $\text{I}$ de cette équation.