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1. Équation différentielle y'=f
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Entraînement


1
Équation différentielle y=fy'=f





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

58
FLASH

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction F\text{F} définie par F(x)=x33+x22x+1\mathrm{F}(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}-x+1 est une primitive sur R\R de la fonction ff définie par f(x)=x2+x+1f(x)=x^{2}+x+1. »
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59
FLASH

Soit ff la fonction définie sur R\R par f(x)=(x+2)exf(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x}. Étudier le signe de f(x)f(x) puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de ff.
Justifier la réponse.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 59

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60
FLASH

Déterminer une équation différentielle de la forme y=fy'=f dont la fonction F\text{F} définie sur R\R par F(x)=xex\mathrm{F}(x)=x \mathrm{e}^{x} est une solution.
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Pour les exercices
61
à 
68

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de ff sur l’intervalle I\text{I}.

61
[Calculer.] ◉◉
1. f:x2 020f: x \mapsto 2~020 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:xx1f: x \mapsto x-1 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


3. f:xx2+2f: x \mapsto x^{2}+2 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


4. f:xx33x2+3x1f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}+3 x-1 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}
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62
[Calculer.]
1. f:xx4x3+x2x+1f: x \mapsto x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:x13x3+12x2x+2f: x \mapsto-\dfrac{1}{3} x^{3}+\dfrac{1}{2} x^{2}-x+2 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


3. f:x23x334x2+45x56f: x \mapsto \dfrac{2}{3} x^{3}-\dfrac{3}{4} x^{2}+\dfrac{4}{5} x-\dfrac{5}{6} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


4. f:xx312x2+13x14f: x \mapsto x^{3}-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{3} x-\dfrac{1}{4} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}
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63
[Calculer.]
1. f:x3xf: x \mapsto-\dfrac{3}{\sqrt{x}} ; I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0~;+\infty[


2. f:x2x2f: x \mapsto \dfrac{2}{x^{2}} ; I=] ;0[\mathrm{I}=]-\infty~; 0[


3. f:xx2+x1x2f: x \mapsto x^{2}+x-\dfrac{1}{x^{2}} ; I=] ;0[\mathrm{I}=]-\infty~; 0[


4. f:x3x2x3f: x \mapsto \dfrac{3 x-2}{x^{3}} ; I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0~;+\infty[
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64
[Calculer.] ◉◉
1. f:x1(x+2)2f: x \mapsto-\dfrac{1}{(x+2)^{2}} ; I=] ;2[\mathrm{I}=]-\infty~;-2[


2. f:x2(x+3)2f: x \mapsto \dfrac{2}{(x+3)^{2}} ; I=]3 ;+[\mathrm{I}=]-3~;+\infty[
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65
[Calculer.] ◉◉◉
1. f:xx(x2+2)3f: x \mapsto \dfrac{x}{\left(x^{2}+2\right)^{3}} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:x3x2(x31)4f: x \mapsto \dfrac{3 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{4}} ; I=]1 ;+[\mathrm{I}=]1~;+\infty[
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66
[Calculer.]
1. f:x2e2xf: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{2 x} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:xe13xf: x \mapsto \mathrm{e}^{1-3 x} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}
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67
[Calculer.]
1. f:xxex21f: x \mapsto-x \mathrm{e}^{x^{2}-1} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:xex(ex+1)2f: x \mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}
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68
[Calculer.]
1. f:xxx2+1f: x \mapsto \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R}


2. f:x3x2x3+1f: x \mapsto-\dfrac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} ; I=]1 ;+[\mathrm{I}=]-1~;+\infty[
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69
[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu’on lui demande de déterminer une primitive de x3e2xx \mapsto 3 \mathrm{e}^{2 x}.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 69

Expliquer la réponse obtenue.
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70
[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d’une fonction. Il obtient le résultat suivant.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 70

Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.
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Pour les exercices
71
à 
75

Déterminer la solution sur I\text{I} de l’équation différentielle donnée qui prend la valeur y0y_0 en x0x_0.

71
[Calculer.] ◉◉
1. y=x32xy^{\prime}=x^{3}-2 x ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R} ; x0=0x_{0}=0 ; y0=2y_{0}=2


2. y=2x2+x1y^{\prime}=-\dfrac{2}{x^{2}}+x-1 ; I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0~;+\infty[ ; x0=1x_{0}=1 ; y0=12y_{0}=\dfrac{1}{2}
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72
[Calculer.]
1. y=x3+x2x+1y^{\prime}=-x^{3}+x^{2}-x+1 ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R} ; x0=1x_{0}=1 ; y0=112y_{0}=\dfrac{1}{12}


2. y=1x3+1x2x+12y^{\prime}=-\dfrac{1}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{2}}-x+\dfrac{1}{2} ; I=] ;0[\mathrm{I}=]-\infty~; 0[ ; x0=1x_{0}=-1 ; y0=12y_{0}=-\dfrac{1}{2}
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73
[Calculer.] ◉◉
1. y=112xy^{\prime}=1-\dfrac{1}{2 \sqrt{x}} ; I=]0 ;+[\mathrm{I}=]0~;+\infty[ ; x0=2x_{0}=2 ; y0=2y_{0}=-\sqrt{2}


2. y=3exy^{\prime}=3 \mathrm{e}^{x} ; I=R\mathrm{I}=\R ; x0=1x_{0}=1 ; y0=ey_{0}=\mathrm{e}
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74
[Calculer.]
1. y=e2x+2ex2y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}+2 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}} ; I=R\mathrm{I}=\mathbb{R} ; x0=0x_{0}=0 ; y0=12y_{0}=\dfrac{1}{2}


2. y=2x(x2+1)3y^{\prime}=2 x\left(x^{2}+1\right)^{3} ; I=R\mathrm{I}=\R ; x0=0x_{0}=-0 ; y0=34y_{0}=-\dfrac{3}{4}
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75
[Calculer.] ◉◉◉
1. y=e2x(e2x+1)3y^{\prime}=\dfrac{\mathrm{e}^{2 x}}{\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)^{3}} ; I=R\mathrm{I}=\R ; x0=0x_{0}=0 ; y0=116y_{0}=-\dfrac{1}{16}


2. y=2x2x2+1y^{\prime}=\dfrac{2 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} ; I=R\mathrm{I}=\R ; x0=2x_{0}=2 ; y0=2y_{0}=2
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76
[Représenter.]
Parmi les fonctions gg et hh représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction ff ?

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 76

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77
[Représenter.]
On a représenté deux fonctions ff et gg définies sur R\R dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l’autre.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 77

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78
[Représenter.]
On donne la représentation graphique d’une fonction ff définie sur l’intervalle I=[3 ;2]\mathrm{I}=[-3~; 2] dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d’une primitive F\text{F} de ff sur I\text{I}.

Maths spé - Chapitre 10 - Primitives - Équations différentielles - exercice 78

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79
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
ff et F\text{F} sont deux fonctions définies sur un intervalle I\text{I} de R\R et kk est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si F\text{ F} est positive et dérivable sur I\text{I} avec F=f\mathrm{F}'=f, alors ff est croissante sur I\text{I}.


2. Si F\text{F} est décroissante et dérivable sur I\text{I} avec F=f\mathrm{F}^{\prime}=f, alors ff est négative sur I\text{I}.


3. Si F=f\mathrm{F}^{\prime}=f, alors ff est une primitive de F\text{F} sur I\text{I}.


4. Si F=f\mathrm{F}^{\prime}=f, alors F\text{F} est une primitive de ff sur I\text{I}.


5. Si F\text{F} est une primitive de ff sur I\text{I}, alors F+k\mathrm{F} + k est une primitive de ff sur I\text{I}.
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80
[Calculer.] ◉◉
Soit ff la fonction définie sur I=]0 ;1[\mathrm{I}=]0~; 1[ par :
f(x)=2x1x2(x1)2f(x)=\dfrac{2 x-1}{x^{2}(x-1)^{2}}.

1. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout xIx \in \mathrm{I} :
f(x)=ax2+b(x1)2f(x)=\dfrac{a}{x^{2}}+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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81
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur I=]1 ;+[\mathrm{I}=]1~;+\infty[ par :
f(x)=x22x(x1)2f(x)=\dfrac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}.

1. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout xIx \in \mathrm{I} :
f(x)=a+b(x1)2f(x)=a+\dfrac{b}{(x-1)^{2}}.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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82
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur I=]2 ;+[\mathrm{I}=]-2~;+\infty[ par :
f(x)=2x3+9x2+12x+2(x+2)2f(x)=\dfrac{2 x^{3}+9 x^{2}+12 x+2}{(x+2)^{2}}.

1. Déterminer les réels aa, bb et cc tels que, pour tout xIx \in \mathrm{I} :
f(x)=ax+b+c(x+2)2f(x)=a x+b+\dfrac{c}{(x+2)^{2}}.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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83
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur I=]2 ;2[\mathrm{I}=]-2~;2[ par :
f(x)=x(x24)2f(x)=\dfrac{x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}.

1. Factoriser l’expression (x24)2\left(x^{2}-4\right)^{2}.


2. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout xIx \in \mathrm{I} :
f(x)=a(x2)2+b(x+2)2f(x)=\dfrac{a}{(x-2)^{2}}+\dfrac{b}{(x+2)^{2}}.


3. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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84
[Calculer.] ◉◉◉
Soit ff la fonction définie sur I=]1 ;1[\mathrm{I}=]-1~;1[ par :
f(x)=x(x2+3)(x21)3f(x)=\dfrac{x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}.

1. Factoriser l’expression (x21)3\left(x^{2}-1\right)^{3}.


2. Déterminer les réels aa et bb tels que, pour tout xIx \in \mathrm{I} :
f(x)=a(x1)3+b(x+1)3f(x)=\dfrac{a}{(x-1)^{3}}+\dfrac{b}{(x+1)^{3}}.


3. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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85
[Calculer.]
Soit ff la fonction définie sur I=]1 ;1[\mathrm{I}=]-1~;1[ par :
f(x)=x2+1(x21)2f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}.

1. Démontrer que, pour tout xIx \in \mathrm{I}, x2+1=12((x+1)2+(x1)2)x^{2}+1=\dfrac{1}{2}\left((x+1)^{2}+(x-1)^{2}\right).


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y=fy'=f.
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86
[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution F\text{F} de l’équation différentielle telle que F(x0)=y0\mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}.

1. y=xy^{\prime}=|x| ; x0=y0=0x_{0}=y_{0}=0


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2. y=x+x1y^{\prime}=|x|+|x-1| ; x0=12x_{0}=\dfrac{1}{2} ; y0=1y_{0}=1


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87
[Calculer.] ◉◉
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions.

1. x2y=1x^{2} y^{\prime}=-1


2. xy+1=0\sqrt{x} y^{\prime}+1=0


3. x4y=3(x1)2x^{4} y^{\prime}=3(x-1)^{2}


4. e2xy=ex\mathrm{e}^{2 x} y^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}
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88
[Calculer.]
Soit yy une fonction dérivable sur un intervalle I\text{I} telle que yy' est également dérivable sur I\text{I}. On note yy'' la dérivée de yy'. On souhaite résoudre l’équation différentielle (E):y=4x+3(\mathrm{E}): y^{\prime \prime}=-4 x+3.

1. On pose z=yz = y'. Déterminer une équation différentielle (E)(\mathrm{E'}), d’inconnue zz, équivalente à (E)(\mathrm{E}).


2. Résoudre cette équation différentielle.


3. À partir des solutions zz de (E)(\mathrm{E'}), déterminer toutes les solutions yy de (E)(\mathrm{E}).
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89
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions. On rappelle que si yy et yy' sont dérivables sur un intervalle I\text{I}, on peut définir sur I\text{I} la fonction dérivée de yy' que l’on note yy''.

Aide
Poser z=yz = y'.


1. y=2x1y^{\prime \prime}=2 x-1


2. y=ex+exy^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}


3. x3y=2x^{3} y^{\prime \prime}=-2


4. e2xy=4\mathrm{e}^{2 x} y^{\prime \prime}=4
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90
[Calculer.] ◉◉◉
1. Montrer que l’équation différentielle y=x3+x2+x+1x1y^{\prime}=\dfrac{x^{3}+x^{2}+x+1}{\sqrt{x-1}} admet sur I=]1 ;+[\mathrm{I}=]1~;+\infty[ une solution de la forme x(ax3+bx2+cx+d)x1x \mapsto\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) \sqrt{x-1}aa, bb, cc et dd sont des réels que l’on déterminera.


2. En déduire les solutions sur I\text{I} de cette équation.
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