1

Équation différentielle $y^{\prime }=f$

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 61 ; 71 ; 94 ; 96 et 106
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 64 ; 73 ; 80 ; 87 ; 101 et 115
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 65 ; 75 ; 84 ; 90 ; et 116

L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.

« La fonction $\text{F}$ définie par $\mathrm{F}(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-x+1$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2+x+1$. »

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x+2){\mathrm{e}}^x$. Étudier le signe de $f(x)$ puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de $f$.
Justifier la réponse.

Déterminer une équation différentielle de la forme $y^{\prime }=f$ dont la fonction $\text{F}$ définie sur $\mathbb{R}$ par $\mathrm{F}(x)=x{\mathrm{e}}^x$ est une solution.

Pour les exercices

61

à 

68

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de $f$ sur l’intervalle $\text{I}$.

61

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f:x\mapsto 2020$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto x-1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


3. $f:x\mapsto x^2+2$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


4. $f:x\mapsto x^3-3x^2+3x-1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

62

[Calculer.]
1. $f:x\mapsto x^4-x^3+x^2-x+1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto -\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-x+2$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


3. $f:x\mapsto \frac{2}{3}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{4}{5}x-\frac{5}{6}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


4. $f:x\mapsto x^3-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

63

[Calculer.]
1. $f:x\mapsto -\frac{3}{\sqrt{x}}$ ; $\mathrm{I}=]0;+\infty [$


2. $f:x\mapsto \frac{2}{x^2}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;0[$


3. $f:x\mapsto x^2+x-\frac{1}{x^2}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;0[$


4. $f:x\mapsto \frac{3x-2}{x^3}$ ; $\mathrm{I}=]0;+\infty [$

64

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f:x\mapsto -\frac{1}{(x+2{)}^2}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;-2[$


2. $f:x\mapsto \frac{2}{(x+3{)}^2}$ ; $\mathrm{I}=]-3;+\infty [$

65

[Calculer.] ◉◉◉
1. $f:x\mapsto \frac{x}{{\left(x^2+2\right)}^3}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto \frac{3x^2}{{\left(x^3-1\right)}^4}$ ; $\mathrm{I}=]1;+\infty [$

66

[Calculer.]
1. $f:x\mapsto 2{\mathrm{e}}^{2x}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^{1-3x}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

67

[Calculer.]
1. $f:x\mapsto -x{\mathrm{e}}^{x^2-1}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto \frac{{\mathrm{e}}^x}{{\left({\mathrm{e}}^x+1\right)}^2}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$

68

[Calculer.]
1. $f:x\mapsto \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$


2. $f:x\mapsto -\frac{3x^2}{\sqrt{x^3+1}}$ ; $\mathrm{I}=]-1;+\infty [$

69

[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu’on lui demande de déterminer une primitive de $x\mapsto 3{\mathrm{e}}^{2x}$.

Expliquer la réponse obtenue.

70

[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d’une fonction. Il obtient le résultat suivant.

Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.

Pour les exercices

71

à 

75

Déterminer la solution sur $\text{I}$ de l’équation différentielle donnée qui prend la valeur $y_0$ en $x_0$.

71

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime }=x^3-2x$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=0$ ; $y_0=2$


2. $y^{\prime }=-\frac{2}{x^2}+x-1$ ; $\mathrm{I}=]0;+\infty [$ ; $x_0=1$ ; $y_0=\frac{1}{2}$

72

[Calculer.]
1. $y^{\prime }=-x^3+x^2-x+1$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=1$ ; $y_0=\frac{1}{12}$


2. $y^{\prime }=-\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}-x+\frac{1}{2}$ ; $\mathrm{I}=]-\infty ;0[$ ; $x_0=-1$ ; $y_0=-\frac{1}{2}$

73

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime }=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; $\mathrm{I}=]0;+\infty [$ ; $x_0=2$ ; $y_0=-\sqrt{2}$


2. $y^{\prime }=3{\mathrm{e}}^x$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=1$ ; $y_0=\mathrm{e}$

74

[Calculer.]
1. $y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x}+2{\mathrm{e}}^{-\frac{x}{2}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=0$ ; $y_0=\frac{1}{2}$


2. $y^{\prime }=2x{\left(x^2+1\right)}^3$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=-0$ ; $y_0=-\frac{3}{4}$

75

[Calculer.] ◉◉◉
1. $y^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^{2x}}{{\left({\mathrm{e}}^{2x}+1\right)}^3}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=0$ ; $y_0=-\frac{1}{16}$


2. $y^{\prime }=\frac{2x}{\sqrt{2x^2+1}}$ ; $\mathrm{I}=\mathbb{R}$ ; $x_0=2$ ; $y_0=2$

76

[Représenter.]
Parmi les fonctions $g$ et $h$ représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction $f$ ?

77

[Représenter.]
On a représenté deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l’autre.

78

[Représenter.]
On donne la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $\mathrm{I}=[-3;2]$ dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d’une primitive $\text{F}$ de $f$ sur $\text{I}$.

79

VRAI / FAUX

[Raisonner.]
$f$ et $\text{F}$ sont deux fonctions définies sur un intervalle $\text{I}$ de $\mathbb{R}$ et $k$ est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.

1. Si$\text{ F}$ est positive et dérivable sur $\text{I}$ avec ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$, alors $f$ est croissante sur $\text{I}$.


2. Si $\text{F}$ est décroissante et dérivable sur $\text{I}$ avec ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$, alors $f$ est négative sur $\text{I}$.


3. Si ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$, alors $f$ est une primitive de $\text{F}$ sur $\text{I}$.


4. Si ${\mathrm{F}}^{\prime }=f$, alors $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$.


5. Si $\text{F}$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$, alors $\mathrm{F}+k$ est une primitive de $f$ sur $\text{I}$.

80

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]0;1[$ par : $f(x)=\frac{2x-1}{x^2(x-1{)}^2}$.
1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \mathrm{I}$ : $f(x)=\frac{a}{x^2}+\frac{b}{(x-1{)}^2}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

81

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]1;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}$.
1. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \mathrm{I}$ : $f(x)=a+\frac{b}{(x-1{)}^2}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

82

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-2;+\infty [$ par : $f(x)=\frac{2x^3+9x^2+12x+2}{(x+2{)}^2}$.
1. Déterminer les réels $a$, $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\in \mathrm{I}$ : $f(x)=ax+b+\frac{c}{(x+2{)}^2}$.

2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

83

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-2;2[$ par : $f(x)=\frac{x}{{\left(x^2-4\right)}^2}$.
1. Factoriser l’expression ${\left(x^2-4\right)}^2$.


2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \mathrm{I}$ : $f(x)=\frac{a}{(x-2{)}^2}+\frac{b}{(x+2{)}^2}$.

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

84

[Calculer.] ◉◉◉
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-1;1[$ par : $f(x)=\frac{x\left(x^2+3\right)}{{\left(x^2-1\right)}^3}$.
1. Factoriser l’expression ${\left(x^2-1\right)}^3$.


2. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in \mathrm{I}$ : $f(x)=\frac{a}{(x-1{)}^3}+\frac{b}{(x+1{)}^3}$.

3. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

85

[Calculer.]
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathrm{I}=]-1;1[$ par : $f(x)=\frac{x^2+1}{{\left(x^2-1\right)}^2}$.
1. Démontrer que, pour tout $x\in \mathrm{I}$, $x^2+1=\frac{1}{2}\left((x+1{)}^2+(x-1{)}^2\right)$.


2. En déduire les solutions de l’équation différentielle $y^{\prime }=f$.

86

[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution $\text{F}$ de l’équation différentielle telle que $\mathrm{F}\left(x_0\right)=y_0$.

1. $y^{\prime }=|x|$ ; $x_0=y_0=0$

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2. $y^{\prime }=|x|+|x-1|$ ; $x_0=\frac{1}{2}$ ; $y_0=1$

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87

[Calculer.] ◉◉◉
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions.

1. $x^2{y}^{\prime }=-1$


2. $\sqrt{x}{y}^{\prime }+1=0$


3. $x^4{y}^{\prime }=3(x-1{)}^2$


4. ${\mathrm{e}}^{2x}{y}^{\prime }=-{\mathrm{e}}^x$

88

[Calculer.]
Soit $y$ une fonction dérivable sur un intervalle $\text{I}$ telle que $y^{\prime }$ est également dérivable sur $\text{I}$. On note $y^{\prime \prime }$ la dérivée de $y^{\prime }$. On souhaite résoudre l’équation différentielle $(\mathrm{E}):y^{\prime \prime }=-4x+3$.

1. On pose $z=y^{\prime }$. Déterminer une équation différentielle $({\mathrm{E}}^{\prime })$, d’inconnue $z$, équivalente à $(\mathrm{E})$.


2. Résoudre cette équation différentielle.


3. À partir des solutions $z$ de $({\mathrm{E}}^{\prime })$, déterminer toutes les solutions $y$ de $(\mathrm{E})$.

89

[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions. On rappelle que si $y$ et $y^{\prime }$ sont dérivables sur un intervalle $\text{I}$, on peut définir sur $\text{I}$ la fonction dérivée de $y^{\prime }$ que l’on note $y^{\prime \prime }$.



1. $y^{\prime \prime }=2x-1$


2. $y^{\prime \prime }={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$


3. $x^3{y}^{\prime \prime }=-2$


4. ${\mathrm{e}}^{2x}{y}^{\prime \prime }=4$

90

[Calculer.] ◉◉◉
1. Montrer que l’équation différentielle $y^{\prime }=\frac{x^3+x^2+x+1}{\sqrt{x-1}}$ admet sur $\mathrm{I}=]1;+\infty [$ une solution de la forme $x\mapsto \left(a{x}^3+b{x}^2+cx+d\right)\sqrt{x-1}$ où $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des réels que l’on déterminera.


2. En déduire les solutions sur $\text{I}$ de cette équation.