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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 10
Entraînement 1
Équation différentielle y'=f
14 professeurs ont participé à cette page
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58
Flash
L'affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« La fonction \text{F} définie par \mathrm{F}(x)=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}-x+1 est une primitive sur \R de la fonction f définie par f(x)=x^{2}+x+1. »
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59
Flash
Soit f la fonction définie sur \R par f(x)=(x+2) \mathrm{e}^{x}. Étudier le signe de f(x) puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de f.
Justifier la réponse.
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60
Flash
Déterminer une équation différentielle de la forme y'=f dont la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=x \mathrm{e}^{x} est une solution.
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Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de f sur l'intervalle \text{I}.
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61
[Calculer.]
1. f: x \mapsto 2~020 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto x-1 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. f: x \mapsto x^{2}+2 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
4. f: x \mapsto x^{3}-3 x^{2}+3 x-1 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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62
[Calculer.]
1. f: x \mapsto x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-x+2 ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. f: x \mapsto \frac{2}{3} x^{3}-\frac{3}{4} x^{2}+\frac{4}{5} x-\frac{5}{6} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
4. f: x \mapsto x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x-\frac{1}{4} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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63
[Calculer.]
1. f: x \mapsto-\frac{3}{\sqrt{x}} ; \mathrm{I}=]0~;+\infty[
2. f: x \mapsto \frac{2}{x^{2}} ; \mathrm{I}=]-\infty~; 0[
2. f: x \mapsto \frac{2}{x^{2}} ; \mathrm{I}=]-\infty~; 0[
3. f: x \mapsto x^{2}+x-\frac{1}{x^{2}} ; \mathrm{I}=]-\infty~; 0[
4. f: x \mapsto \frac{3 x-2}{x^{3}} ; \mathrm{I}=]0~;+\infty[
4. f: x \mapsto \frac{3 x-2}{x^{3}} ; \mathrm{I}=]0~;+\infty[
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64
[Calculer.]
1. f: x \mapsto-\frac{1}{(x+2)^{2}} ; \mathrm{I}=]-\infty~;-2[
2. f: x \mapsto \frac{2}{(x+3)^{2}} ; \mathrm{I}=]-3~;+\infty[
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65
[Calculer.]
1. f: x \mapsto \frac{x}{\left(x^{2}+2\right)^{3}} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto \frac{3 x^{2}}{\left(x^{3}-1\right)^{4}} ; \mathrm{I}=]1~;+\infty[
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66
[Calculer.]
1. f: x \mapsto 2 \mathrm{e}^{2 x} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto \mathrm{e}^{1-3 x} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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67
[Calculer.]
1. f: x \mapsto-x \mathrm{e}^{x^{2}-1} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{x}}{\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)^{2}} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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68
[Calculer.]
1. f: x \mapsto \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. f: x \mapsto-\frac{3 x^{2}}{\sqrt{x^{3}+1}} ; \mathrm{I}=]-1~;+\infty[
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69
[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de x \mapsto 3 \mathrm{e}^{2 x}.
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Expliquer la réponse obtenue.
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70
[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d'une fonction. Il obtient le résultat suivant.
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Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.
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Déterminer la solution sur \text{I} de l'équation différentielle donnée qui prend la valeur y_0 en x_0.
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71
[Calculer.]
1. y^{\prime}=x^{3}-2 x ; \mathrm{I}=\mathbb{R} ; x_{0}=0 ; y_{0}=2
2. y^{\prime}=-\frac{2}{x^{2}}+x-1 ; \mathrm{I}=]0~;+\infty[ ; x_{0}=1 ; y_{0}=\frac{1}{2}
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72
[Calculer.]
1. y^{\prime}=-x^{3}+x^{2}-x+1 ; \mathrm{I}=\mathbb{R} ; x_{0}=1 ; y_{0}=\frac{1}{12}
2. y^{\prime}=-\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{x^{2}}-x+\frac{1}{2} ; \mathrm{I}=]-\infty~; 0[ ; x_{0}=-1 ; y_{0}=-\frac{1}{2}
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73
[Calculer.]
1. y^{\prime}=1-\frac{1}{2 \sqrt{x}} ; \mathrm{I}=]0~;+\infty[ ; x_{0}=2 ; y_{0}=-\sqrt{2}
2. y^{\prime}=3 \mathrm{e}^{x} ; \mathrm{I}=\R ; x_{0}=1 ; y_{0}=\mathrm{e}
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74
[Calculer.]
1. y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x}+2 \mathrm{e}^{-\normalsize{\tfrac{x}{2}}} ; \mathrm{I}=\mathbb{R} ; x_{0}=0 ; y_{0}=\frac{1}{2}
2. y^{\prime}=2 x\left(x^{2}+1\right)^{3} ; \mathrm{I}=\R ; x_{0}=-0 ; y_{0}=-\frac{3}{4}
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75
[Calculer.]
1. y^{\prime}=\frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\left(\mathrm{e}^{2 x}+1\right)^{3}} ; \mathrm{I}=\R ; x_{0}=0 ; y_{0}=-\frac{1}{16}
2. y^{\prime}=\frac{2 x}{\sqrt{2 x^{2}+1}} ; \mathrm{I}=\R ; x_{0}=2 ; y_{0}=2
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76
[Représenter.]
Parmi les fonctions g et h représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction f ?
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77
[Représenter.]
On a représenté deux fonctions f et g définies sur \R dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l'autre.
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78
[Représenter.]
On donne la représentation graphique d'une fonction f définie sur l'intervalle \mathrm{I}=[-3~; 2] dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d'une primitive \text{F} de f sur \text{I}.
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79
Vrai / Faux
[Raisonner.]
f et \text{F} sont deux fonctions définies sur un intervalle \text{I} de \R et k est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
1. Si\text{ F} est positive et dérivable sur \text{I} avec \mathrm{F}'=f, alors f est croissante sur \text{I}.
2. Si \text{F} est décroissante et dérivable sur \text{I} avec \mathrm{F}^{\prime}=f, alors f est négative sur \text{I}.
3. Si \mathrm{F}^{\prime}=f, alors f est une primitive de \text{F} sur \text{I}.
2. Si \text{F} est décroissante et dérivable sur \text{I} avec \mathrm{F}^{\prime}=f, alors f est négative sur \text{I}.
3. Si \mathrm{F}^{\prime}=f, alors f est une primitive de \text{F} sur \text{I}.
4. Si \mathrm{F}^{\prime}=f, alors \text{F} est une primitive de f sur \text{I}.
5. Si \text{F} est une primitive de f sur \text{I}, alors \mathrm{F} + k est une primitive de f sur \text{I}.
5. Si \text{F} est une primitive de f sur \text{I}, alors \mathrm{F} + k est une primitive de f sur \text{I}.
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80
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]0~; 1[ par :
f(x)=\frac{2 x-1}{x^{2}(x-1)^{2}}.
1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x \in \mathrm{I} :
f(x)=\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{(x-1)^{2}}.
2. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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81
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]1~;+\infty[ par :
f(x)=\frac{x^{2}-2 x}{(x-1)^{2}}.
1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x \in \mathrm{I} :
f(x)=a+\frac{b}{(x-1)^{2}}.
2. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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82
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]-2~;+\infty[ par :
f(x)=\frac{2 x^{3}+9 x^{2}+12 x+2}{(x+2)^{2}}.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x \in \mathrm{I} :
f(x)=a x+b+\frac{c}{(x+2)^{2}}.
2. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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83
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]-2~;2[ par :
f(x)=\frac{x}{\left(x^{2}-4\right)^{2}}.
1. Factoriser l'expression \left(x^{2}-4\right)^{2}.2. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x \in \mathrm{I} :
f(x)=\frac{a}{(x-2)^{2}}+\frac{b}{(x+2)^{2}}.
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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84
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]-1~;1[ par :
f(x)=\frac{x\left(x^{2}+3\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{3}}.
1. Factoriser l'expression \left(x^{2}-1\right)^{3}.2. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x \in \mathrm{I} :
f(x)=\frac{a}{(x-1)^{3}}+\frac{b}{(x+1)^{3}}.
3. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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85
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur \mathrm{I}=]-1~;1[ par :
f(x)=\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}.
1. Démontrer que, pour tout x \in \mathrm{I}, x^{2}+1=\frac{1}{2}\left((x+1)^{2}+(x-1)^{2}\right).2. En déduire les solutions de l'équation différentielle y'=f.
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86
[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution \text{F} de l'équation différentielle telle que \mathrm{F}\left(x_{0}\right)=y_{0}. 1. y^{\prime}=|x| ; x_{0}=y_{0}=0
GeoGebra
2. y^{\prime}=|x|+|x-1| ; x_{0}=\frac{1}{2} ; y_{0}=1
GeoGebra
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87
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l'ensemble de définition des solutions.
1. x^{2} y^{\prime}=-1
2. \sqrt{x} y^{\prime}+1=0
2. \sqrt{x} y^{\prime}+1=0
3. x^{4} y^{\prime}=3(x-1)^{2}
4. \mathrm{e}^{2 x} y^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}
4. \mathrm{e}^{2 x} y^{\prime}=-\mathrm{e}^{x}
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88
[Calculer.]
Soit y une fonction dérivable sur un intervalle \text{I} telle que y' est également dérivable sur \text{I}. On note y'' la dérivée de y'. On souhaite résoudre l'équation différentielle (\mathrm{E}): y^{\prime \prime}=-4 x+3. 1. On pose z = y'. Déterminer une équation différentielle (\mathrm{E'}), d'inconnue z, équivalente à (\mathrm{E}).
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. À partir des solutions z de (\mathrm{E'}), déterminer toutes les solutions y de (\mathrm{E}).
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89
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l'ensemble de définition des solutions. On rappelle que si y et y' sont dérivables sur un intervalle \text{I}, on peut définir sur \text{I} la fonction dérivée de y' que l'on note y''.
Aide
Poser z = y'.
2. y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}
3. x^{3} y^{\prime \prime}=-2
4. \mathrm{e}^{2 x} y^{\prime \prime}=4
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90
[Calculer.]
1. Montrer que l'équation différentielle y^{\prime}=\frac{x^{3}+x^{2}+x+1}{\sqrt{x-1}} admet sur \mathrm{I}=]1~;+\infty[ une solution de la forme x \mapsto\left(a x^{3}+b x^{2}+c x+d\right) \sqrt{x-1} où a, b, c et d sont des réels que l'on déterminera.
2. En déduire les solutions sur \text{I} de cette équation.
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