L’affirmation suivante est‑elle vraie ou fausse ? Justifier.
« La fonction F définie par F(x)=3x3+2x2−x+1 est une primitive sur R de la fonction f définie par f(x)=x2+x+1. »
Voir les réponses
59
FLASH
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=(x+2)ex. Étudier le signe de f(x) puis, parmi les trois représentations graphiques proposées, indiquer celle qui correspond à une primitive de f.
Justifier la réponse.
Voir les réponses
60
FLASH
Déterminer une équation différentielle de la forme y′=f dont la fonction F définie sur R par F(x)=xex est une solution.
Voir les réponses
Pour les exercices
61
à
68
Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de f sur l’intervalle I.
61
[Calculer.]
◉◉◉ 1.f:x↦2020 ; I=R
2.f:x↦x−1 ; I=R
3.f:x↦x2+2 ; I=R
4.f:x↦x3−3x2+3x−1 ; I=R
Voir les réponses
62
[Calculer.]
1.f:x↦x4−x3+x2−x+1 ; I=R
2.f:x↦−31x3+21x2−x+2 ; I=R
3.f:x↦32x3−43x2+54x−65 ; I=R
4.f:x↦x3−21x2+31x−41 ; I=R
Voir les réponses
63
[Calculer.]
1.f:x↦−x3 ; I=]0;+∞[
2.f:x↦x22 ; I=]−∞;0[
3.f:x↦x2+x−x21 ; I=]−∞;0[
4.f:x↦x33x−2 ; I=]0;+∞[
Voir les réponses
64
[Calculer.]
◉◉◉ 1.f:x↦−(x+2)21 ; I=]−∞;−2[
2.f:x↦(x+3)22 ; I=]−3;+∞[
Voir les réponses
65
[Calculer.]
◉◉◉ 1.f:x↦(x2+2)3x ; I=R
2.f:x↦(x3−1)43x2 ; I=]1;+∞[
Voir les réponses
66
[Calculer.]
1.f:x↦2e2x ; I=R
2.f:x↦e1−3x ; I=R
Voir les réponses
67
[Calculer.]
1.f:x↦−xex2−1 ; I=R
2.f:x↦(ex+1)2ex ; I=R
Voir les réponses
68
[Calculer.]
1.f:x↦x2+1x ; I=R
2.f:x↦−x3+13x2 ; I=]−1;+∞[
Voir les réponses
69
[Communiquer.]
Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu’on lui demande de déterminer une primitive de x↦3e2x.
Expliquer la réponse obtenue.
Voir les réponses
70
[Communiquer.]
Guillaume a demandé à un logiciel de calcul formel de déterminer la dérivée d’une fonction. Il obtient le résultat suivant.
Déterminer une fonction qui aurait pu être utilisée par Guillaume.
Voir les réponses
Pour les exercices
71
à
75
Déterminer la solution sur I de l’équation différentielle donnée qui prend la valeur y0 en x0.
[Représenter.]
Parmi les fonctions g et h représentées ci‑dessous, quelle est celle qui correspond à une primitive de la fonction f ?
Voir les réponses
77
[Représenter.]
On a représenté deux fonctions f et g définies sur R dans un repère du plan. Déterminer laquelle des deux est une primitive de l’autre.
Voir les réponses
78
[Représenter.]
On donne la représentation graphique d’une fonction f définie sur l’intervalle I=[−3;2] dans un repère du plan. Déterminer, en justifiant, les variations d’une primitive F de f sur I.
Voir les réponses
79
VRAI / FAUX
[Raisonner.]
f et F sont deux fonctions définies sur un intervalle I de R et k est un réel.
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
1. Si F est positive et dérivable sur I avec F′=f, alors f est croissante sur I.
2. Si F est décroissante et dérivable sur I avec F′=f, alors f est négative sur I.
3. Si F′=f, alors f est une primitive de F sur I.
4. Si F′=f, alors F est une primitive de f sur I.
5. Si F est une primitive de f sur I, alors F+k est une primitive de f sur I.
Voir les réponses
80
[Calculer.]
◉◉◉
Soit f la fonction définie sur I=]0;1[ par :
f(x)=x2(x−1)22x−1.
1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x∈I :
f(x)=x2a+(x−1)2b.
2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
81
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur I=]1;+∞[ par :
f(x)=(x−1)2x2−2x.
1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x∈I :
f(x)=a+(x−1)2b.
2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
82
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur I=]−2;+∞[ par :
f(x)=(x+2)22x3+9x2+12x+2.
1. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x∈I :
f(x)=ax+b+(x+2)2c.
2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
83
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur I=]−2;2[ par :
f(x)=(x2−4)2x.
1. Factoriser l’expression (x2−4)2.
2. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x∈I :
f(x)=(x−2)2a+(x+2)2b.
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
84
[Calculer.]
◉◉◉
Soit f la fonction définie sur I=]−1;1[ par :
f(x)=(x2−1)3x(x2+3).
1. Factoriser l’expression (x2−1)3.
2. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout x∈I :
f(x)=(x−1)3a+(x+1)3b.
3. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
85
[Calculer.]
Soit f la fonction définie sur I=]−1;1[ par :
f(x)=(x2−1)2x2+1.
1. Démontrer que, pour tout x∈I, x2+1=21((x+1)2+(x−1)2).
2. En déduire les solutions de l’équation différentielle y′=f.
Voir les réponses
86
[Représenter.]
Dans chaque cas, représenter dans un repère orthogonal la solution F de l’équation différentielle telle que F(x0)=y0.
1.y′=∣x∣ ; x0=y0=0
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
2.y′=∣x∣+∣x−1∣ ; x0=21 ; y0=1
Lancer le module Geogebra
Vous devez vous connecter sur GeoGebra afin de sauvegarder votre travail
Voir les réponses
87
[Calculer.]
◉◉◉
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions.
1.x2y′=−1
2.xy′+1=0
3.x4y′=3(x−1)2
4.e2xy′=−ex
Voir les réponses
88
[Calculer.]
Soit y une fonction dérivable sur un intervalle I telle que y′ est également dérivable sur I. On note y′′ la dérivée de y′. On souhaite résoudre l’équation différentielle (E):y′′=−4x+3.
1. On pose z=y′. Déterminer une équation différentielle (E′), d’inconnue z, équivalente à (E).
2. Résoudre cette équation différentielle.
3. À partir des solutions z de (E′), déterminer toutes les solutions y de (E).
Voir les réponses
89
[Calculer.]
Résoudre les équations différentielles après les avoir transformées, en précisant l’ensemble de définition des solutions. On rappelle que si y et y′ sont dérivables sur un intervalle I, on peut définir sur I la fonction dérivée de y′ que l’on note y′′.
Aide
Poser z=y′.
1.y′′=2x−1
2.y′′=ex+e−x
3.x3y′′=−2
4.e2xy′′=4
Voir les réponses
90
[Calculer.]
◉◉◉ 1. Montrer que l’équation différentielle y′=x−1x3+x2+x+1 admet sur I=]1;+∞[ une solution de la forme x↦(ax3+bx2+cx+d)x−1 où a, b, c et d sont des réels que l’on déterminera.
2. En déduire les solutions sur I de cette équation.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.