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2. Fonctions sinus et cosinus

P.269-270

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COURS 2

2
Fonctions sinus et cosinus

A
Généralités

Définitions

On se place dans un repère orthogonal.
Soient

x

un réel et

M

le point du cercle trigonométrique associé à

x

La fonction sinus est la fonction définie sur $R$ qui, à tout réel $x$ , associe le réel $sin (x)$ , où $sin (x)$ désigne l’ordonnée du point $M$ .
La fonction cosinus est la fonction définie sur $R$ qui, à tout réel $x$ , associe le réel $cos (x)$ , où $cos (x)$ désigne l’abscisse du point $M$ .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus

Remarque

Pour tracer les courbes représentatives des fonctions

sin

cos

sur

[0; π]

, on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

Propriétés

La fonction sinus est impaire et $2 π$ ‑périodique.
La fonction cosinus est paire et $2 π$ ‑périodique.

Remarque

Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur

[0; π]

s’obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.

Propriétés (admises)

Soient

a

x

deux nombres réels.

$cos (x) = cos (a) \Leftrightarrow x = a + 2 k π$ ou $x = - a + 2 k π$ avec $k \in Z$ .
$sin (x) = sin (a) \Leftrightarrow x = a + 2 k π$ ou $x = π - a + 2 k π$ avec $k \in Z$ .

Remarque

On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Résoudre dans

R

l’équation

(E) : cos (x) = - 0, 5

.
2. Résoudre sur

[- π; π]

l’inéquation

(F) : cos (x) ⩽ - 0, 5

Solution

Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :

1.

(E)

a pour solution

{\frac{- 2 π}{3} + 2 k π; \frac{2 π}{3} + 2 k π}

, avec

k \in Z

;

2.

(F)

a pour solution

[- π; \frac{- 2 π}{3}] \cup [\frac{2 π}{3}; π]

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 277

Méthode

On construit un cercle trigonométrique.
On positionne sur l’axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l’axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
Pour résoudre une inéquation sur l’intervalle $[a; b]$ , on part de $a$ pour arriver dans le sens direct à $b$ .
On peut également utiliser les propriétés précédentes.

B
Dérivation

Propriété

La fonction sinus est dérivable sur

R

et, pour tout

x \in R

, on a

sin^{'} (x) = cos (x)

DÉMONSTRATION

Pour tout réel

a

, on a :

\frac{sin ( a + h ) - sin ( a )}{h}

= \frac{sin ( a ) cos ( h ) + sin ( h ) cos ( a ) - sin ( a )}{h}

= \frac{sin ( a ) ( cos ( h ) - 1 )}{h} + \frac{sin ( h ) cos ( a )}{h}

= sin (a) \times \frac{( cos ( h ) - 1 )}{h} + cos (a) \times \frac{sin ( h )}{h}

.
On a démontré dans l’activité

de la page 267 que

h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - 1}{h} = 0

et que

h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} = 1

.
Ainsi,

h \to 0 lim \frac{sin ( a + h ) - sin ( a )}{h} = sin (a) \times 0 + cos (a) \times 1 = cos (a)

et donc la fonction sinus est dérivable sur

R

et, pour tout

x \in R

sin^{'} (x) = cos (x)

Remarque

Dans l’activité

, on a prouvé que, pour tous réels

a

b

sin (a + b) = sin (a) cos (b) + sin (b) cos (a)

Application et méthode - 4

Énoncé

Montrer que

f : x \mapsto sin^{2} (x)

a pour dérivée sur

R

la fonction

f^{'} : x \mapsto 2 cos (x) sin (x)

et que

g : x \mapsto \frac{sin ( x )}{x}

a pour dérivée sur

R^{*}

la fonction

g^{'} : x \mapsto \frac{x cos ( x ) - sin ( x )}{x ^{2}}

Solution

f

est dérivable sur

R

comme produit de fonctions dérivables sur

R

.
La dérivée de

u \times u

étant

u^{'} u + u u^{'} = 2 u^{'} u

, on a, pour tout réel

x

f^{'} (x) = 2 cos (x) sin (x)

g

est dérivable sur

R^{*}

comme quotient de fonctions dérivables sur

R^{*}

à dénominateur non nul.
La dérivée de

\frac{u}{v}

étant

\frac{u ^{'} v - v ^{'} u}{v ^{2}}

, on a donc :

g^{'} (x) = \frac{cos ( x ) \times x - 1 \times sin ( x )}{x ^{2}} = \frac{x cos ( x ) - sin ( x )}{x ^{2}}

Pour s'entraîner : exercices 42 et 43 p. 277

Méthode

On justifie que la fonction est bien dérivable sur l’ensemble donné.
On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.

Propriété

La fonction cosinus est dérivable sur

R

et pour tout

x \in R

, on a :

cos^{'} (x) = - sin (x)

DÉMONSTRATION

Pour tout réel

x

cos (x) = sin (\frac{π}{2} - x)

donc

cos

est dérivable sur

R

et par composition

cos^{'} (x) = - 1 \times sin^{'} (\frac{π}{2} - x) = - cos (\frac{π}{2} - x) = - sin (x)

Remarque

On utilise ici la dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine.

Exemple

Pour tout réel

x

cos (x) - 2 ⩽ - 1

donc

cos (x) - 2 \neq = 0

et la fonction

x \mapsto \frac{1}{cos ( x ) - 2}

a pour dérivée sur

R

la fonction

x \mapsto \frac{sin ( x )}{( cos ( x ) - 2 ) ^{2}}

Application et méthode - 5

Énoncé

On se place sur l’intervalle

I =] \frac{- π}{2}; \frac{π}{2} [

. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur

I

par

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Solution

tan

est dérivable sur

I =] \frac{- π}{2}; \frac{π}{2} [

en tant que quotient de fonctions dérivables sur

I

dont le dénominateur ne s’annule pas et, pour tout

x \in I

tan^{'} (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x ) + sin ( x ) sin ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Pour s'entraîner : exercices 44 et 45 p. 277

Méthode

On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d’un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.

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AGénéralités

Remarque

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Méthode

BDérivation

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Énoncé

Solution

Méthode

DÉMONSTRATION

Remarque

Application et méthode - 5

Énoncé

Solution

Méthode

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