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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Cours 2
Fonctions sinus et cosinus
A
Généralités
Définitions
On se place dans un repère orthogonal.
Soient x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x.
La fonction sinus est la fonction définie sur R qui, à tout réel x, associe le réel sin(x), où sin(x) désigne l'ordonnée du point M.
La fonction cosinus est la fonction définie sur R qui, à tout réel x, associe le réel cos(x), où cos(x) désigne l'abscisse du point M.
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Remarque
Pour tracer les courbes représentatives des fonctions sin et cos sur [0;π], on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.
Propriétés
La fonction sinus est impaire et 2π‑périodique.
La fonction cosinus est paire et 2π‑périodique.
Remarque
Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur [0;π] s'obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.
Propriétés (admises)
Soient a et x deux nombres réels.
cos(x)=cos(a)⇔x=a+2kπ ou x=−a+2kπ avec k∈Z.
sin(x)=sin(a)⇔x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ avec k∈Z.
Remarque
On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.
Application et méthode - 3
Énoncé
1. Résoudre dans R l'équation (E):cos(x)=−0,5.
2. Résoudre sur [−π;π] l'inéquation (F):cos(x)⩽−0,5.
Méthode
On construit un cercle trigonométrique.
On positionne sur l'axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l'axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
Pour résoudre une inéquation sur l'intervalle [a;b], on part de a pour arriver dans le sens direct à b.
On peut également utiliser les propriétés précédentes.
Solution
Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :
1.(E) a pour solution {3−2π+2kπ;32π+2kπ}, avec k∈Z ;
La fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x∈R, on a sin′(x)=cos(x).
Démonstration
Pour tout réel a, on a :
hsin(a+h)−sin(a)=hsin(a)cos(h)+sin(h)cos(a)−sin(a) =hsin(a)(cos(h)−1)+hsin(h)cos(a) =sin(a)×h(cos(h)−1)+cos(a)×hsin(h).
On a démontré dans l'
de la page 267 que h→0limhcos(h)−1=0 et que h→0limhsin(h)=1.
Ainsi, h→0limhsin(a+h)−sin(a)=sin(a)×0+cos(a)×1=cos(a) et donc la fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x∈R, sin′(x)=cos(x).
, on a prouvé que, pour tous réels a et b : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).
Application et méthode - 4
Énoncé
Montrer que f:x↦sin2(x) a pour dérivée sur R la fonction f′:x↦2cos(x)sin(x) et que g:x↦xsin(x) a pour dérivée
sur R∗ la fonction g′:x↦x2xcos(x)−sin(x).
Méthode
On justifie que la fonction est bien dérivable sur l'ensemble donné.
On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.
Solution
f est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R.
La dérivée de u×u étant u′u+uu′=2u′u, on a, pour tout réel x :
f′(x)=2cos(x)sin(x).
g est dérivable sur R∗ comme quotient de fonctions dérivables sur R∗ à dénominateur non nul.
La dérivée de vu étant v2u′v−v′u, on a donc :
g′(x)=x2cos(x)×x−1×sin(x)=x2xcos(x)−sin(x).
La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout x∈R, on a : cos′(x)=−sin(x).
Démonstration
Pour tout réel x, cos(x)=sin(2π−x) donc cos est dérivable sur R et par composition cos′(x)=−1×sin′(2π−x)=−cos(2π−x)=−sin(x).
Remarque
On utilise ici la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.
Exemple
Pour tout réel x, cos(x)−2⩽−1 donc cos(x)−2=0 et la fonction x↦cos(x)−21 a pour dérivée sur R la fonction x↦(cos(x)−2)2sin(x).
Application et méthode - 5
Énoncé
On se place sur l'intervalle I=]2−π;2π[. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur I par tan(x)=cos(x)sin(x).
Méthode
On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d'un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.
Solution
tan est dérivable sur I=]2−π;2π[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur I dont le dénominateur ne s'annule pas et, pour tout x∈I, tan′(x)=cos2(x)cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)=cos2(x)1.