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Chapitre 9
Cours 2
Fonctions sinus et cosinus
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AGénéralités
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Définitions
On se place dans un repère orthogonal.
Soient x un réel et \text{M} le point du cercle trigonométrique associé à x.
Soient x un réel et \text{M} le point du cercle trigonométrique associé à x.
- La fonction sinus est la fonction définie sur \R qui, à tout réel x, associe le réel \sin(x), où \sin(x) désigne l'ordonnée du point \text{M}.
- La fonction cosinus est la fonction définie sur \R qui, à tout réel x, associe le réel \cos(x), où \cos(x) désigne l'abscisse du point \text{M}.
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Pour tracer les courbes représentatives des fonctions \sin et \cos sur [0~; \pi], on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.
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Propriétés
- La fonction sinus est impaire et 2\pi‑périodique.
- La fonction cosinus est paire et 2\pi‑périodique.
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Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur [0~; \pi] s'obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.
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Propriétés (admises)
Soient a et x deux nombres réels.
- \cos (x)=\cos (a) \Leftrightarrow x=a+2 k \pi ou x=-a+2 k \pi avec k \in \mathbb{Z}.
- \sin (x)=\sin (a) \Leftrightarrow x=a+2 k \pi ou x=\pi-a+2 k \pi avec k \in \mathbb{Z}.
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On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.
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Application et méthode - 3
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Énoncé
1. Résoudre dans \R l'équation (\mathrm{E}): \cos (x)=-0{,}5.
2. Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'inéquation (\mathrm{F}): \cos (x) \leqslant-0,5.
2. Résoudre sur [-\pi~; \pi] l'inéquation (\mathrm{F}): \cos (x) \leqslant-0,5.
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- On construit un cercle trigonométrique.
- On positionne sur l'axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l'axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
- Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
- Pour résoudre une inéquation sur l'intervalle [a~; b], on part de a pour arriver dans le sens direct à b.
- On peut également utiliser les propriétés précédentes.
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Solution
Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :
1. (\mathrm{E}) a pour solution \left\{\frac{-2 \pi}{3}+2 k \pi~; \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right\}, avec k \in \mathbb{Z} ;
2. (\mathrm{F}) a pour solution \left[-\pi~; \frac{-2 \pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2 \pi}{3}~; \pi\right].
1. (\mathrm{E}) a pour solution \left\{\frac{-2 \pi}{3}+2 k \pi~; \frac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right\}, avec k \in \mathbb{Z} ;
2. (\mathrm{F}) a pour solution \left[-\pi~; \frac{-2 \pi}{3}\right] \cup\left[\frac{2 \pi}{3}~; \pi\right].
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BDérivation
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Propriété
La fonction sinus est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, on a \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).
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Démonstration
Pour tout réel a, on a :
\frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h} =\frac{\sin (a) \cos (h)+\sin (h) \cos (a)-\sin (a)}{h}
=\frac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\frac{\sin (h) \cos (a)}{h}
=\sin (a) \times \frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a) \times \frac{\sin (h)}{h}.
On a démontré dans l' de la page 267 que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\cos (h)-1}{h}=0 et que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (h)}{h}=1.
Ainsi, \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a) \times 0+\cos (a) \times 1=\cos (a) et donc la fonction sinus est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).
=\frac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\frac{\sin (h) \cos (a)}{h}
=\sin (a) \times \frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a) \times \frac{\sin (h)}{h}.
On a démontré dans l' de la page 267 que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\cos (h)-1}{h}=0 et que \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (h)}{h}=1.
Ainsi, \lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a) \times 0+\cos (a) \times 1=\cos (a) et donc la fonction sinus est dérivable sur \R et, pour tout x \in \R, \sin ^{\prime}(x)=\cos (x).
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Dans l', on a prouvé que, pour tous réels a et b : \sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\sin (b) \cos (a).
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Application et méthode - 4
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Énoncé
Montrer que f: x \mapsto \sin ^{2}(x) a pour dérivée sur \R la fonction f^{\prime}: x \mapsto 2 \cos (x) \sin (x) et que g: x \mapsto \frac{\sin (x)}{x} a pour dérivée
sur \mathbb{R}^{*} la fonction g^{\prime}: x \mapsto \frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.
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- On justifie que la fonction est bien dérivable sur l'ensemble donné.
- On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.
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Solution
f est dérivable sur \R comme produit de fonctions dérivables sur \R.
La dérivée de u \times u étant u^{\prime} u+u u^{\prime}=2 u^{\prime} u, on a, pour tout réel x : f^{\prime}(x)=2 \cos (x) \sin (x).
g est dérivable sur \R^* comme quotient de fonctions dérivables sur \R^* à dénominateur non nul.
La dérivée de \frac{u}{v} étant \frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, on a donc : g^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \times x-1 \times \sin (x)}{x^{2}}=\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.
La dérivée de u \times u étant u^{\prime} u+u u^{\prime}=2 u^{\prime} u, on a, pour tout réel x : f^{\prime}(x)=2 \cos (x) \sin (x).
g est dérivable sur \R^* comme quotient de fonctions dérivables sur \R^* à dénominateur non nul.
La dérivée de \frac{u}{v} étant \frac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, on a donc : g^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \times x-1 \times \sin (x)}{x^{2}}=\frac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 277
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Propriété
La fonction cosinus est dérivable sur \R et pour tout x \in \R, on a : \cos ^{\prime}(x)=-\sin (x).
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Démonstration
Pour tout réel x, \cos (x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) donc \cos est dérivable sur \R et par composition \cos ^{\prime}(x)=-1 \times \sin ^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin (x).
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On utilise ici la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.
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Exemple
Pour tout réel x, \cos (x)-2 \leqslant-1 donc \cos (x)-2 \neq 0 et la fonction x \mapsto \frac{1}{\cos (x)-2} a pour dérivée sur \R la fonction x \mapsto \frac{\sin (x)}{(\cos (x)-2)^{2}}.
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Application et méthode - 5
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Énoncé
On se place sur l'intervalle \mathrm{I}=\left] \frac{-\pi}{2}~; \frac{\pi}{2}\right[. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur \text{I} par \tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}.
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On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d'un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.
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Solution
\tan est dérivable sur \mathrm{I}=\left] \frac{-\pi}{2}~; \frac{\pi}{2}\right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur \text{I} dont le dénominateur ne s'annule pas et, pour tout x \in \mathrm{I}, \tan ^{\prime}(x)=\frac{\cos (x) \cos (x)+\sin (x) \sin (x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 277
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