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2. Fonctions sinus et cosinus
P.269-270

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COURS 2


2
Fonctions sinus et cosinus




A
Généralités


Définitions

On se place dans un repère orthogonal.
Soient un réel et le point du cercle trigonométrique associé à .
  • La fonction sinus est la fonction définie sur qui, à tout réel , associe le réel , où désigne l’ordonnée du point .
  • La fonction cosinus est la fonction définie sur qui, à tout réel , associe le réel , où désigne l’abscisse du point .
Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus

Remarque

Pour tracer les courbes représentatives des fonctions et sur , on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

Propriétés

  • La fonction sinus est impaire et ‑périodique.
  • La fonction cosinus est paire et ‑périodique.

Remarque

Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur s’obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.

Propriétés (admises)

Soient et deux nombres réels.
  • ou avec .
  • ou avec .

Remarque

On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Résoudre dans l’équation .
2. Résoudre sur l’inéquation .

Solution

Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :

1. a pour solution , avec  ;

2. a pour solution .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 277

Méthode

  • On construit un cercle trigonométrique.
  • On positionne sur l’axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l’axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
  • Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
  • Pour résoudre une inéquation sur l’intervalle , on part de pour arriver dans le sens direct à .
  • On peut également utiliser les propriétés précédentes.

B
Dérivation


Propriété

La fonction sinus est dérivable sur et, pour tout , on a .

DÉMONSTRATION

Pour tout réel , on a :


.
On a démontré dans l’activité 
C
de la page 267
que et que .
Ainsi, et donc la fonction sinus est dérivable sur et, pour tout , .

Remarque

Dans l’activité
B
, on a prouvé que, pour tous réels et  : .

Application et méthode - 4

Énoncé

Montrer que a pour dérivée sur la fonction et que a pour dérivée sur la fonction .

Solution

est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur .
La dérivée de étant , on a, pour tout réel  :
.
est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur à dénominateur non nul.
La dérivée de étant , on a donc :
.

Pour s'entraîner : exercices 42 et 43 p. 277

Méthode

  • On justifie que la fonction est bien dérivable sur l’ensemble donné.
  • On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.


Propriété

La fonction cosinus est dérivable sur et pour tout , on a : .

DÉMONSTRATION

Pour tout réel , donc est dérivable sur et par composition .

Remarque

On utilise ici la dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine.

Exemple

Pour tout réel , donc et la fonction a pour dérivée sur la fonction .

Application et méthode - 5

Énoncé

On se place sur l’intervalle . Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur par .

Solution

est dérivable sur en tant que quotient de fonctions dérivables sur dont le dénominateur ne s’annule pas et, pour tout , .

Pour s'entraîner : exercices 44 et 45 p. 277

Méthode

On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d’un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.

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