On se place dans un repère orthogonal.
Soient x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x.
La fonction sinus est la fonction définie sur R qui, à tout réel x, associe le réel sin(x), où sin(x) désigne l’ordonnée du point M.
La fonction cosinus est la fonction définie sur R qui, à tout réel x, associe le réel cos(x), où cos(x) désigne l’abscisse du point M.
Remarque
Pour tracer les courbes représentatives des fonctions sin et cos sur [0;π], on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.
Propriétés
La fonction sinus est impaire et 2π‑périodique.
La fonction cosinus est paire et 2π‑périodique.
Remarque
Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur [0;π] s’obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.
Propriétés (admises)
Soient a et x deux nombres réels.
cos(x)=cos(a)⇔x=a+2kπ ou x=−a+2kπ avec k∈Z.
sin(x)=sin(a)⇔x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ avec k∈Z.
Remarque
On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.
Application et méthode - 3
Énoncé
1. Résoudre dans R l’équation (E):cos(x)=−0,5.
2. Résoudre sur [−π;π] l’inéquation (F):cos(x)⩽−0,5.
B
Dérivation
Propriété
La fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x∈R, on a sin′(x)=cos(x).
DÉMONSTRATION
Pour tout réel a, on a : hsin(a+h)−sin(a)=hsin(a)cos(h)+sin(h)cos(a)−sin(a) =hsin(a)(cos(h)−1)+hsin(h)cos(a) =sin(a)×h(cos(h)−1)+cos(a)×hsin(h).
On a démontré dans l’activité
de la page 267 que h→0limhcos(h)−1=0 et que h→0limhsin(h)=1.
Ainsi, h→0limhsin(a+h)−sin(a)=sin(a)×0+cos(a)×1=cos(a) et donc la fonction sinus est dérivable sur R et, pour tout x∈R, sin′(x)=cos(x).
, on a prouvé que, pour tous réels a et b : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).
Application et méthode - 4
Énoncé
Montrer que f:x↦sin2(x) a pour dérivée sur R la fonction f′:x↦2cos(x)sin(x) et que g:x↦xsin(x) a pour dérivée
sur R∗ la fonction g′:x↦x2xcos(x)−sin(x).
Propriété
La fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout x∈R, on a : cos′(x)=−sin(x).
DÉMONSTRATION
Pour tout réel x, cos(x)=sin(2π−x) donc cos est dérivable sur R et par composition cos′(x)=−1×sin′(2π−x)=−cos(2π−x)=−sin(x).
Remarque
On utilise ici la dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine.
Exemple
Pour tout réel x, cos(x)−2⩽−1 donc cos(x)−2=0 et la fonction x↦cos(x)−21 a pour dérivée sur R la fonction x↦(cos(x)−2)2sin(x).
Application et méthode - 5
Énoncé
On se place sur l’intervalle I=]2−π;2π[. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur I par tan(x)=cos(x)sin(x).
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