Mathématiques Terminale Spécialité
Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Cours 2

Fonctions sinus et cosinus

A
Généralités

Définitions
On se place dans un repère orthogonal.
Soient un réel et le point du cercle trigonométrique associé à .
  • La fonction sinus est la fonction définie sur qui, à tout réel associe le réel , où désigne l'ordonnée du point .
  • La fonction cosinus est la fonction définie sur qui, à tout réel , associe le réel , où désigne l'abscisse du point .
Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque

Pour tracer les courbes représentatives des fonctions et sur , on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.
Propriétés
  • La fonction sinus est impaire et ‑périodique.
  • La fonction cosinus est paire et ‑périodique.

Remarque

Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur s'obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.
Propriétés (admises)
Soient et deux nombres réels.
  • ou avec .
  • ou avec .

Remarque

On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.
Application et méthode - 3
Énoncé
1. Résoudre dans l'équation .
2. Résoudre sur l'inéquation .

Méthode

  • On construit un cercle trigonométrique.
  • On positionne sur l'axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l'axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
  • Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
  • Pour résoudre une inéquation sur l'intervalle , on part de pour arriver dans le sens direct à .
  • On peut également utiliser les propriétés précédentes.
Solution
Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :

1. a pour solution , avec  ;

2. a pour solution .

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus
Le zoom est accessible dans la version Premium.


Pour s'entraîner
Exercices et p. 277

B
Dérivation

Propriété
La fonction sinus est dérivable sur et, pour tout , on a .
Démonstration
Pour tout réel , on a :

.
On a démontré dans l' de la page 267 que et que .
Ainsi, et donc la fonction sinus est dérivable sur et, pour tout , .

Remarque

Dans l', on a prouvé que, pour tous réels et  : .
Application et méthode - 4
Énoncé
Montrer que a pour dérivée sur la fonction et que a pour dérivée sur la fonction .

Méthode

  • On justifie que la fonction est bien dérivable sur l'ensemble donné.
  • On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.
Solution
est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur .

La dérivée de étant , on a, pour tout réel  : .

est dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur à dénominateur non nul.

La dérivée de étant , on a donc : .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 277

Propriété
La fonction cosinus est dérivable sur et pour tout , on a : .
Démonstration
Pour tout réel , donc est dérivable sur et par composition .

Remarque

On utilise ici la dérivée d'une fonction composée avec une fonction affine.
Exemple
Pour tout réel , donc et la fonction a pour dérivée sur la fonction .
Application et méthode - 5
Énoncé
On se place sur l'intervalle . Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur par .

Méthode

On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d'un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.
Solution
est dérivable sur en tant que quotient de fonctions dérivables sur dont le dénominateur ne s'annule pas et, pour tout , .

Pour s'entraîner
Exercices et p. 277

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah

Premium activé


5
essais restants
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.