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Fonctions sinus et cosinus

Pour tracer les courbes représentatives des fonctions $\sin$ et $\cos$ sur $[0;\pi ]$, on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur $[0;\pi ]$ s’obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.

On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation $(\mathrm{E}):\cos (x)=-0,5$.
2. Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l’inéquation $(\mathrm{F}):\cos (x)⩽-0,5$.

DÉMONSTRATION

Pour tout réel $a$, on a :
$\frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}$ $=\frac{\sin (a)\cos (h)+\sin (h)\cos (a)-\sin (a)}{h}$
$=\frac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\frac{\sin (h)\cos (a)}{h}$
$=\sin (a)\times \frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a)\times \frac{\sin (h)}{h}$.
On a démontré dans l’activité 

C

de la page 267 que $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}=0$ et que $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}=1$.
Ainsi, $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a)\times 0+\cos (a)\times 1=\cos (a)$ et donc la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$, ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$.

Dans l’activité

B

, on a prouvé que, pour tous réels $a$ et $b$ : $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)$.

Montrer que $f:x\mapsto {\sin }^2(x)$ a pour dérivée sur $\mathbb{R}$ la fonction $f^{\prime }:x\mapsto 2\cos (x)\sin (x)$ et que $g:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}$ a pour dérivée sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ la fonction $g^{\prime }:x\mapsto \frac{x\cos (x)-\sin (x)}{x^2}$.

DÉMONSTRATION

Pour tout réel $x$, $\cos (x)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ donc $\cos$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et par composition ${\cos }^{\prime }(x)=-1\times {\sin }^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin (x)$.

On utilise ici la dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine.

Exemple

Pour tout réel $x$, $\cos (x)-2⩽-1$ donc $\cos (x)-2\ne 0$ et la fonction $x\mapsto \frac{1}{\cos (x)-2}$ a pour dérivée sur $\mathbb{R}$ la fonction $x\mapsto \frac{\sin (x)}{(\cos (x)-2{)}^2}$.

On se place sur l’intervalle $\mathrm{I}=\left]\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur $\text{I}$ par $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$.