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2. Fonctions sinus et cosinus
P.269-270

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COURS 2


2
Fonctions sinus et cosinus




A
Généralités


Définitions

On se place dans un repère orthogonal.
Soient xx un réel et M\text{M} le point du cercle trigonométrique associé à xx.
  • La fonction sinus est la fonction définie sur R\R qui, à tout réel xx, associe le réel sin(x)\sin(x), où sin(x)\sin(x) désigne l’ordonnée du point M\text{M}.
  • La fonction cosinus est la fonction définie sur R\R qui, à tout réel xx, associe le réel cos(x)\cos(x), où cos(x)\cos(x) désigne l’abscisse du point M\text{M}.
Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus

Remarque

Pour tracer les courbes représentatives des fonctions sin\sin et cos\cos sur [0 ;π][0~; \pi], on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

Propriétés

  • La fonction sinus est impaire et 2π2\pi‑périodique.
  • La fonction cosinus est paire et 2π2\pi‑périodique.

Remarque

Les tableaux de variations des fonctions sinus et cosinus sur [0 ;π][0~; \pi] s’obtiennent directement par lecture graphique sur le cercle trigonométrique.

Propriétés (admises)

Soient aa et xx deux nombres réels.
  • cos(x)=cos(a)x=a+2kπ\cos (x)=\cos (a) \Leftrightarrow x=a+2 k \pi ou x=a+2kπx=-a+2 k \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.
  • sin(x)=sin(a)x=a+2kπ\sin (x)=\sin (a) \Leftrightarrow x=a+2 k \pi ou x=πa+2kπx=\pi-a+2 k \pi avec kZk \in \mathbb{Z}.

Remarque

On retrouve ce résultat en observant le cercle trigonométrique. On peut également résoudre des équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique.

Application et méthode - 3

Énoncé

1. Résoudre dans R\R l’équation (E):cos(x)=0,5(\mathrm{E}): \cos (x)=-0{,}5.
2. Résoudre sur [π ;π][-\pi~; \pi] l’inéquation (F):cos(x)0,5(\mathrm{F}): \cos (x) \leqslant-0,5.

Solution

Par lecture graphique sur le cercle trigonométrique :

1. (E)(\mathrm{E}) a pour solution {2π3+2kπ ;2π3+2kπ}\left\{\dfrac{-2 \pi}{3}+2 k \pi~; \dfrac{2 \pi}{3}+2 k \pi\right\}, avec kZk \in \mathbb{Z} ;

2. (F)(\mathrm{F}) a pour solution [π ;2π3][2π3 ;π]\left[-\pi~; \dfrac{-2 \pi}{3}\right] \cup\left[\dfrac{2 \pi}{3}~; \pi\right].

Maths spé - Chapitre 9 - Fonctions trigonométriques - Fonctions sinus et cosinus

Pour s'entraîner : exercices 30 et 31 p. 277

Méthode

  • On construit un cercle trigonométrique.
  • On positionne sur l’axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l’axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
  • Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
  • Pour résoudre une inéquation sur l’intervalle [a ;b][a~; b], on part de aa pour arriver dans le sens direct à bb.
  • On peut également utiliser les propriétés précédentes.

B
Dérivation


Propriété

La fonction sinus est dérivable sur R\R et, pour tout xRx \in \R, on a sin(x)=cos(x)\sin ^{\prime}(x)=\cos (x).

DÉMONSTRATION

Pour tout réel aa, on a :
sin(a+h)sin(a)h\dfrac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h} =sin(a)cos(h)+sin(h)cos(a)sin(a)h=\dfrac{\sin (a) \cos (h)+\sin (h) \cos (a)-\sin (a)}{h}
=sin(a)(cos(h)1)h+sin(h)cos(a)h=\dfrac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\dfrac{\sin (h) \cos (a)}{h}
=sin(a)×(cos(h)1)h+cos(a)×sin(h)h=\sin (a) \times \dfrac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a) \times \dfrac{\sin (h)}{h}.
On a démontré dans l’activité 
C
de la page 267
que limh0cos(h)1h=0\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \dfrac{\cos (h)-1}{h}=0 et que limh0sin(h)h=1\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \dfrac{\sin (h)}{h}=1.
Ainsi, limh0sin(a+h)sin(a)h=sin(a)×0+cos(a)×1=cos(a)\lim\limits_{\substack{h \rightarrow 0}} \dfrac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a) \times 0+\cos (a) \times 1=\cos (a) et donc la fonction sinus est dérivable sur R\R et, pour tout xRx \in \R, sin(x)=cos(x)\sin ^{\prime}(x)=\cos (x).

Remarque

Dans l’activité
B
, on a prouvé que, pour tous réels aa et bb : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)\sin (a+b)=\sin (a) \cos (b)+\sin (b) \cos (a).

Application et méthode - 4

Énoncé

Montrer que f:xsin2(x)f: x \mapsto \sin ^{2}(x) a pour dérivée sur R\R la fonction f:x2cos(x)sin(x)f^{\prime}: x \mapsto 2 \cos (x) \sin (x) et que g:xsin(x)xg: x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{x} a pour dérivée sur R\mathbb{R}^{*} la fonction g:xxcos(x)sin(x)x2g^{\prime}: x \mapsto \dfrac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.

Solution

ff est dérivable sur R\R comme produit de fonctions dérivables sur R\R.
La dérivée de u×uu \times u étant uu+uu=2uuu^{\prime} u+u u^{\prime}=2 u^{\prime} u, on a, pour tout réel xx :
f(x)=2cos(x)sin(x)f^{\prime}(x)=2 \cos (x) \sin (x).
gg est dérivable sur R\R^* comme quotient de fonctions dérivables sur R\R^* à dénominateur non nul.
La dérivée de uv\dfrac{u}{v} étant uvvuv2\dfrac{u^{\prime} v-v^{\prime} u}{v^{2}}, on a donc :
g(x)=cos(x)×x1×sin(x)x2=xcos(x)sin(x)x2g^{\prime}(x)=\dfrac{\cos (x) \times x-1 \times \sin (x)}{x^{2}}=\dfrac{x \cos (x)-\sin (x)}{x^{2}}.

Pour s'entraîner : exercices 42 et 43 p. 277

Méthode

  • On justifie que la fonction est bien dérivable sur l’ensemble donné.
  • On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.


Propriété

La fonction cosinus est dérivable sur R\R et pour tout xRx \in \R, on a : cos(x)=sin(x)\cos ^{\prime}(x)=-\sin (x).

DÉMONSTRATION

Pour tout réel xx, cos(x)=sin(π2x)\cos (x)=\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right) donc cos\cos est dérivable sur R\R et par composition cos(x)=1×sin(π2x)=cos(π2x)=sin(x)\cos ^{\prime}(x)=-1 \times \sin ^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-\sin (x).

Remarque

On utilise ici la dérivée d’une fonction composée avec une fonction affine.

Exemple

Pour tout réel xx, cos(x)21\cos (x)-2 \leqslant-1 donc cos(x)20 \cos (x)-2 \neq 0 et la fonction x1cos(x)2x \mapsto \dfrac{1}{\cos (x)-2} a pour dérivée sur R\R la fonction xsin(x)(cos(x)2)2x \mapsto \dfrac{\sin (x)}{(\cos (x)-2)^{2}}.

Application et méthode - 5

Énoncé

On se place sur l’intervalle I=]π2 ;π2[\mathrm{I}=\left] \dfrac{-\pi}{2}~; \dfrac{\pi}{2}\right[. Déterminer la dérivée de la fonction tangente dérivable et définie sur I\text{I} par tan(x)=sin(x)cos(x)\tan (x)=\dfrac{\sin (x)}{\cos (x)}.

Solution

tan\tan est dérivable sur I=]π2 ;π2[\mathrm{I}=\left] \dfrac{-\pi}{2}~; \dfrac{\pi}{2}\right[ en tant que quotient de fonctions dérivables sur I\text{I} dont le dénominateur ne s’annule pas et, pour tout xIx \in \mathrm{I}, tan(x)=cos(x)cos(x)+sin(x)sin(x)cos2(x)=1cos2(x)\tan ^{\prime}(x)=\dfrac{\cos (x) \cos (x)+\sin (x) \sin (x)}{\cos ^{2}(x)}=\dfrac{1}{\cos ^{2}(x)}.

Pour s'entraîner : exercices 44 et 45 p. 277

Méthode

On utilise les formules adéquates qui sont, dans ce cas, celles de la dérivée d’un quotient et de la dérivée des fonctions trigonométriques.

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