Pour tracer les courbes représentatives des fonctions $\sin$ et $\cos$ sur $[0;\pi ]$, on utilisera les valeurs du sinus et du cosinus des angles remarquables.

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(\mathrm{E}):\cos (x)=-0,5$.
2. Résoudre sur $[-\pi ;\pi ]$ l'inéquation $(\mathrm{F}):\cos (x)⩽-0,5$.

• On construit un cercle trigonométrique.
• On positionne sur l'axe des abscisses la valeur du cosinus, ou sur l'axe des ordonnées celle du sinus puis les solutions sur le cercle.
• Par simple lecture graphique, on détermine les solutions.
• Pour résoudre une inéquation sur l'intervalle $[a;b]$, on part de $a$ pour arriver dans le sens direct à $b$.
• On peut également utiliser les propriétés précédentes.

La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$.

Pour tout réel $a$, on a : $\frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}$ $=\frac{\sin (a)\cos (h)+\sin (h)\cos (a)-\sin (a)}{h}$
$=\frac{\sin (a)(\cos (h)-1)}{h}+\frac{\sin (h)\cos (a)}{h}$
$=\sin (a)\times \frac{(\cos (h)-1)}{h}+\cos (a)\times \frac{\sin (h)}{h}$.
On a démontré dans l'

activité C

de la page 267 que $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\cos (h)-1}{h}=0$ et que $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (h)}{h}=1$.
Ainsi, $\underset{\begin{array}{c}h\to 0\end{array}}{\lim }\frac{\sin (a+h)-\sin (a)}{h}=\sin (a)\times 0+\cos (a)\times 1=\cos (a)$ et donc la fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et, pour tout $x\in \mathbb{R}$, ${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x)$.

Dans l'

activité B

, on a prouvé que, pour tous réels $a$ et $b$ : $\sin (a+b)=\sin (a)\cos (b)+\sin (b)\cos (a)$.

Montrer que $f:x\mapsto {\sin }^2(x)$ a pour dérivée sur $\mathbb{R}$ la fonction $f^{\prime }:x\mapsto 2\cos (x)\sin (x)$ et que $g:x\mapsto \frac{\sin (x)}{x}$ a pour dérivée sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ la fonction $g^{\prime }:x\mapsto \frac{x\cos (x)-\sin (x)}{x^2}$.

• On justifie que la fonction est bien dérivable sur l'ensemble donné.
• On utilise la dérivée des fonctions trigonométriques, ainsi que les formules de dérivation usuelles, pour calculer les expressions des dérivées demandées.

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

La dérivée de $u\times u$ étant $u^{\prime }u+u{u}^{\prime }=2u^{\prime }u$, on a, pour tout réel $x$ : $f^{\prime }(x)=2\cos (x)\sin (x)$.

$g$ est dérivable sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ comme quotient de fonctions dérivables sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$ à dénominateur non nul.

La dérivée de $\frac{u}{v}$ étant $\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2}$, on a donc : $g^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\times x-1\times \sin (x)}{x^2}=\frac{x\cos (x)-\sin (x)}{x^2}$.

Exercices

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La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout $x\in \mathbb{R}$, on a : ${\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$.

Pour tout réel $x$, $\cos (x)-2⩽-1$ donc $\cos (x)-2\ne 0$ et la fonction $x\mapsto \frac{1}{\cos (x)-2}$ a pour dérivée sur $\mathbb{R}$ la fonction $x\mapsto \frac{\sin (x)}{(\cos (x)-2{)}^2}$.

$\tan$ est dérivable sur $\mathrm{I}=\left]\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\text{I}$ dont le dénominateur ne s'annule pas et, pour tout $x\in \mathrm{I}$, ${\tan }^{\prime }(x)=\frac{\cos (x)\cos (x)+\sin (x)\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$.

Exercices

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p. 277