Parité et périodicité : généralités

• Si $f$ est une fonction paire, alors ${\mathcal{C}}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
• Si $f$ est impaire, alors ${\mathcal{C}}_f$ est symétrique par rapport à l'origine du repère.
• Si $f$ est $\text{T}$‑périodique, alors ${\mathcal{C}}_f$ est invariante par translation de vecteur $\mathrm{T}\overrightarrow{i}$.

$\mathbb{R}$ est centré en $0$ et, pour tout réel $x$, $g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)$.
On en déduit que $g$ est paire.
Pour tout réel $x$, on a :
$h(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x)$.
On en déduit que $h$ est impaire.


Exercices

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• Si $f$ est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur ${\mathbb{R}}^{+}\cap {\mathcal{D}}_f$ ou ${\mathbb{R}}^{-}\cap {\mathcal{D}}_f$.
• Si $f$ est une fonction périodique de période $\text{T}$, alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude $\text{T}$ avec ${\mathcal{D}}_f.$

Comme $f$ est paire et strictement décroissante sur $[0,5;2]$, alors $f$ est strictement croissante sur $[-2;-0,5]$. Par ailleurs, $f$ étant périodique de période $5$, $f$ est strictement croissante sur $[-2+5;-0,5+5]$ donc sur $[3;4,5]$.

Exercice

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