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1. Parité et périodicité : généralités

P.268-269

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COURS 1

1
Parité et périodicité : généralités

Dans tout ce qui suit, on note

f

une fonction définie sur un ensemble

D_{f}

C_{f}

sa courbe représentative dans un repère orthogonal

(O; i, j)

T

un réel strictement positif.

A
Définitions et interprétations graphiques

Rappel

Dire que

D_{f}

est centré en

0

signifie que si

x \in D_{f}

alors

- x \in D_{f}

Définitions

$f$ est une fonction paire lorsque $D_{f}$ est centré en $0$ et, pour tout réel $x$ de $D_{f}$ , $f (- x) = f (x)$ .
$f$ est une fonction impaire lorsque $D_{f}$ est centré en $0$ et, pour tout réel $x$ de $D_{f}$ , $f (- x) = - f (x)$ .
$f$ est une fonction périodique de période $T$ lorsque, pour tout réel $x$ de $D_{f}$ , $x + T \in D_{f}$ et $f (x + T) = f (x)$ . On dit aussi que $f$ est $T$ ‑périodique.

Remarque

Une fonction peut être périodique même si

D_{f}

n’est pas centré en

0

Propriétés (admises)

Si $f$ est une fonction paire, alors $C_{f}$ est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Si $f$ est impaire, alors $C_{f}$ est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Si $f$ est $T$ ‑périodique, alors $C_{f}$ est invariante par translation de vecteur $T i$ .

Application et méthode - 1

Énoncé

Montrer que, pour toute fonction

f

définie sur

R

, la fonction

g

définie sur

R

par

g (x) = f (x) + f (- x)

est paire et que la fonction

h

définie sur

R

par

h (x) = f (x) - f (- x)

est impaire.

Solution

R

est centré en

0

et, pour tout réel

x

g (- x) = f (- x) + f (x) = f (x) + f (- x) = g (x)

.
On en déduit que

g

est paire.
Pour tout réel

x

, on a :

h (- x) = f (- x) - f (x) = - (f (x) - f (- x)) = - h (x)

.
On en déduit que

h

est impaire.

Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 276

Méthode

Pour étudier la parité d’une fonction

g

on vérifie que son ensemble de définition est centré en $0$ ;
on cherche à exprimer $g (- x)$ en fonction de $g (x)$ , pour savoir si $g$ est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

B
Restriction du domaine d’étude

Propriétés (admises)

Si $f$ est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur $R^{+} \cap D_{f}$ ou $R^{-} \cap D_{f}$ .
Si $f$ est une fonction périodique de période $T$ , alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude $T$ avec $D_{f} .$

Corollaire (admis)

Si une fonction

f

définie sur

R

est paire (ou impaire) et périodique de période

T

, alors il suffit de l’étudier sur

[0; \frac{T}{2}]

Remarque

L’étude de

f

porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.

Application et méthode - 2

Énoncé

Montrer que si

f

est paire sur

R

, périodique de période

5

et strictement décroissante sur

[0, 5; 2]

, alors

f

est strictement croissante sur

[3; 4, 5]

Solution

Comme

f

est paire et strictement décroissante sur

[0, 5; 2]

, alors

f

est strictement croissante sur

[- 2; - 0, 5]

. Par ailleurs,

f

étant périodique de période

5

f

est strictement croissante sur

[- 2 + 5; - 0, 5 + 5]

donc sur

[3; 4, 5]

Pour s'entraîner : exercice 23 et 24 p. 276

Méthode

À partir des informations de l’énoncé sur $[0, 5; 2]$ et de l’imparité, on déduit des informations sur $[- 2; - 0, 5]$ .
À partir des informations sur $[- 2; - 0, 5]$ et de la périodicité, on déduit des informations sur $[3; 4, 5]$ .

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1Parité et périodicité : généralités

ADéfinitions et interprétations graphiques

Rappel

Remarque

Application et méthode - 1

Énoncé

Solution

Méthode

BRestriction du domaine d’étude

Remarque

Application et méthode - 2

Énoncé

Solution

Méthode

1
Parité et périodicité : généralités

A
Définitions et interprétations graphiques

B
Restriction du domaine d’étude