1. Parité et périodicité : généralités
P.268-269
COURS 1
1Parité et périodicité : généralités
1
Dans tout ce qui suit, on note une fonction définie sur un ensemble , sa courbe représentative dans un repère orthogonal et un réel strictement positif.
ADéfinitions et interprétations graphiques
A
Rappel
Dire que est centré en signifie que si alors .
Définitions
- est une fonction paire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
- est une fonction impaire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
- est une fonction périodique de période lorsque, pour tout réel de , et . On dit aussi que est ‑périodique.
Remarque
Une fonction peut être périodique même si n’est pas centré en .
Propriétés (admises)
- Si est une fonction paire, alors est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
- Si est impaire, alors est symétrique par rapport à l’origine du repère.
- Si est ‑périodique, alors est invariante par translation de vecteur .
Application et méthode - 1
Énoncé
Montrer que, pour toute fonction définie sur , la fonction définie sur par est paire et que la fonction définie sur par est impaire.
BRestriction du domaine d’étude
B
Propriétés (admises)
- Si est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur ou .
- Si est une fonction périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude avec
Corollaire (admis)
Si une fonction définie sur est paire (ou impaire) et périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur .
Remarque
L’étude de porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.
Application et méthode - 2
Énoncé
Montrer que si est paire sur , périodique de période et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur .
