Dans tout ce qui suit, on note f une fonction définie sur un ensemble Df, Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i,j) et T un réel strictement positif.
A
Définitions et interprétations graphiques
Rappel
Dire que Df est centré en 0 signifie que si x∈Df alors −x∈Df.
Définitions
f est une fonction paire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=f(x).
f est une fonction impaire lorsque Df est centré en 0 et, pour tout réel x de Df, f(−x)=−f(x).
f est une fonction périodique de période T lorsque, pour tout réel x de Df, x+T∈Df et f(x+T)=f(x). On dit aussi que f est T‑périodique.
Remarque
Une fonction peut être périodique même si Df n’est pas centré en 0.
Propriétés (admises)
Si f est une fonction paire, alors Cf est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Si f est impaire, alors Cf est symétrique par rapport à l’origine du repère.
Si f est T‑périodique, alors Cf est invariante par translation de vecteur Ti.
Application et méthode - 1
Énoncé
Montrer que, pour toute fonction f définie sur R, la fonction g définie sur R par g(x)=f(x)+f(−x) est paire et que la fonction h définie sur R par h(x)=f(x)−f(−x) est impaire.
Solution
R est centré en 0 et, pour tout réel x, g(−x)=f(−x)+f(x)=f(x)+f(−x)=g(x).
On en déduit que g est paire.
Pour tout réel x, on a : h(−x)=f(−x)−f(x)=−(f(x)−f(−x))=−h(x).
On en déduit que h est impaire.
on vérifie que son ensemble de définition est centré en 0 ;
on cherche à exprimer g(−x) en fonction de g(x), pour savoir si g est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.
B
Restriction du domaine d’étude
Propriétés (admises)
Si f est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur R+∩Df ou R−∩Df.
Si f est une fonction périodique de période T, alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude T avec Df.
Corollaire (admis)
Si une fonction f définie sur R est paire (ou impaire) et périodique de période T, alors il suffit de l’étudier sur [0;2T].
Remarque
L’étude de f porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.
Application et méthode - 2
Énoncé
Montrer que si f est paire sur R, périodique de période 5 et strictement décroissante sur [0,5;2], alors f est strictement croissante sur [3;4,5].
Solution
Comme f est paire et strictement décroissante sur [0,5;2], alors f est strictement croissante sur [−2;−0,5]. Par ailleurs, f étant périodique de période 5, f est strictement croissante sur [−2+5;−0,5+5] donc sur [3;4,5].
À partir des informations de l’énoncé sur [0,5;2] et de l’imparité, on déduit des informations sur [−2;−0,5].
À partir des informations sur [−2;−0,5] et de la périodicité, on déduit des informations sur [3;4,5].
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