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1. Parité et périodicité : généralités
P.268-269

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COURS 1


1
Parité et périodicité : généralités





Dans tout ce qui suit, on note une fonction définie sur un ensemble , sa courbe représentative dans un repère orthogonal et un réel strictement positif.

A
Définitions et interprétations graphiques

Rappel

Dire que est centré en signifie que si alors .

Définitions
  • est une fonction paire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
  • est une fonction impaire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
  • est une fonction périodique de période lorsque, pour tout réel de , et . On dit aussi que est ‑périodique.

Remarque

Une fonction peut être périodique même si n’est pas centré en .

Propriétés (admises)
  • Si est une fonction paire, alors est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Si est impaire, alors est symétrique par rapport à l’origine du repère.
  • Si est ‑périodique, alors est invariante par translation de vecteur .

Application et méthode - 1

Énoncé

Montrer que, pour toute fonction définie sur , la fonction définie sur par est paire et que la fonction définie sur par est impaire.

Solution

est centré en et, pour tout réel , .
On en déduit que est paire.
Pour tout réel , on a :
.
On en déduit que est impaire.

Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 276

Méthode

Pour étudier la parité d’une fonction  :
  • on vérifie que son ensemble de définition est centré en  ;
  • on cherche à exprimer en fonction de , pour savoir si est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

B
Restriction du domaine d’étude


Propriétés (admises)

  • Si est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur ou .
  • Si est une fonction périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude avec

Corollaire (admis)

Si une fonction définie sur est paire (ou impaire) et périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur .

Remarque

L’étude de porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.

Application et méthode - 2

Énoncé

Montrer que si est paire sur , périodique de période et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur .

Solution

Comme est paire et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur . Par ailleurs, étant périodique de période , est strictement croissante sur donc sur .

Pour s'entraîner : exercice 23 et 24 p. 276

Méthode

  • À partir des informations de l’énoncé sur et de l’imparité, on déduit des informations sur .
  • À partir des informations sur et de la périodicité, on déduit des informations sur .

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