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1. Parité et périodicité : généralités
P.268-269

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COURS 1


1
Parité et périodicité : généralités





Dans tout ce qui suit, on note ff une fonction définie sur un ensemble Df\mathcal{D}_f, Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;i,j)(\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}) et T\text{T} un réel strictement positif.

A
Définitions et interprétations graphiques

Rappel

Dire que Df\mathcal{D}_f est centré en 00 signifie que si xDfx \in \mathcal{D}_{f} alors xDf-x \in \mathcal{D}_{f}.

Définitions
  • ff est une fonction paire lorsque Df\mathcal{D}_f est centré en 00 et, pour tout réel xx de Df\mathcal{D}_f, f(x)=f(x)f(-x)=f(x).
  • ff est une fonction impaire lorsque Df\mathcal{D}_f est centré en 00 et, pour tout réel xx de Df\mathcal{D}_f, f(x)=f(x)f(-x)=-f(x).
  • ff est une fonction périodique de période T\text{T} lorsque, pour tout réel xx de Df\mathcal{D}_f, x+TDfx+\mathrm{T} \in \mathcal{D}_{f} et f(x+T)=f(x)f(x+\mathrm{T})=f(x). On dit aussi que ff est T\text{T}‑périodique.

Remarque

Une fonction peut être périodique même si Df\mathcal{D}_f n’est pas centré en 00.

Propriétés (admises)
  • Si ff est une fonction paire, alors Cf\mathcal{C}_f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Si ff est impaire, alors Cf\mathcal{C}_f est symétrique par rapport à l’origine du repère.
  • Si ff est T\text{T}‑périodique, alors Cf\mathcal{C}_f est invariante par translation de vecteur Ti\mathrm{T} \overrightarrow{i}.

Application et méthode - 1

Énoncé

Montrer que, pour toute fonction ff définie sur R\mathbb{R}, la fonction gg définie sur R\mathbb{R} par g(x)=f(x)+f(x)g(x)=f(x)+f(-x) est paire et que la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=f(x)f(x)h(x)=f(x)-f(-x) est impaire.

Solution

R\R est centré en 00 et, pour tout réel xx, g(x)=f(x)+f(x)=f(x)+f(x)=g(x)g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x).
On en déduit que gg est paire.
Pour tout réel xx, on a :
h(x)=f(x)f(x)=(f(x)f(x))=h(x)h(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x).
On en déduit que hh est impaire.

Pour s'entraîner : exercices 21 et 22 p. 276

Méthode

Pour étudier la parité d’une fonction gg :
  • on vérifie que son ensemble de définition est centré en 00 ;
  • on cherche à exprimer g(x)g(-x) en fonction de g(x)g(x), pour savoir si gg est paire, impaire ou ni l’un ni l’autre.

B
Restriction du domaine d’étude


Propriétés (admises)

  • Si ff est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur R+Df\mathbb{R}^{+} \cap \mathcal{D}_{f} ou RDf\mathbb{R}^{-} \cap \mathcal{D}_{f}.
  • Si ff est une fonction périodique de période T\text{T}, alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude T\text{T} avec Df.\mathcal{D}_{f}.

Corollaire (admis)

Si une fonction ff définie sur R\R est paire (ou impaire) et périodique de période T\text{T}, alors il suffit de l’étudier sur [0 ;T2]\left[0~; \dfrac{\mathrm{T}}{2}\right].

Remarque

L’étude de ff porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.

Application et méthode - 2

Énoncé

Montrer que si ff est paire sur R\R, périodique de période 55 et strictement décroissante sur [0,5 ;2][0{,}5~; 2], alors ff est strictement croissante sur [3 ;4,5][3~; 4{,}5].

Solution

Comme ff est paire et strictement décroissante sur [0,5 ;2][0{,}5~; 2], alors ff est strictement croissante sur [2 ;0,5][-2~; - 0{,}5]. Par ailleurs, ff étant périodique de période 55, ff est strictement croissante sur [2+5 ;0,5+5][-2+5~;-0{,}5+5] donc sur [3 ;4,5][3~; 4{,}5].

Pour s'entraîner : exercice 23 et 24 p. 276

Méthode

  • À partir des informations de l’énoncé sur [0,5 ;2][0{,}5~; 2] et de l’imparité, on déduit des informations sur [2 ;0,5][-2~; - 0{,}5].
  • À partir des informations sur [2 ;0,5][-2~; - 0{,}5] et de la périodicité, on déduit des informations sur [3 ;4,5][3~; 4{,}5].

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