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Fonctions trigonométriques
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Activitép. 266-267
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Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Cours 1

Parité et périodicité : généralités

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Dans tout ce qui suit, on note f une fonction définie sur un ensemble \mathcal{D}_f, \mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthogonal (\mathrm{O}\,;\overrightarrow{i}\,,\overrightarrow{j}) et \text{T} un réel strictement positif.
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A
Définitions et interprétations graphiques

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Définitions
  • f est une fonction paire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=f(x).

  • f est une fonction impaire lorsque \mathcal{D}_f est centré en 0 et, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, f(-x)=-f(x).

  • f est une fonction périodique de période \text{T} lorsque, pour tout réel x de \mathcal{D}_f, x+\mathrm{T} \in \mathcal{D}_{f} et f(x+\mathrm{T})=f(x). On dit aussi que f est \text{T}‑périodique.
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Rappel

Dire que \mathcal{D}_f est centré en 0 signifie que si x \in \mathcal{D}_{f} alors -x \in \mathcal{D}_{f}.
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Remarque

Une fonction peut être périodique même si \mathcal{D}_f n'est pas centré en 0.
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Propriétés (admises)
  • Si f est une fonction paire, alors \mathcal{C}_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Si f est impaire, alors \mathcal{C}_f est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  • Si f est \text{T}‑périodique, alors \mathcal{C}_f est invariante par translation de vecteur \mathrm{T} \overrightarrow{i}.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
Montrer que, pour toute fonction f définie sur \mathbb{R}, la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=f(x)+f(-x) est paire et que la fonction h définie sur \mathbb{R} par h(x)=f(x)-f(-x) est impaire.
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Méthode

Pour étudier la parité d'une fonction g :
  • on vérifie que son ensemble de définition est centré en 0 ;
  • on cherche à exprimer g(-x) en fonction de g(x), pour savoir si g est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
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Solution
\R est centré en 0 et, pour tout réel x, g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x).
On en déduit que g est paire.
Pour tout réel x, on a :
h(-x)=f(-x)-f(x)=-(f(x)-f(-x))=-h(x).
On en déduit que h est impaire.


Pour s'entraîner
Exercices
21
 et
22
 p. 276
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B
Restriction du domaine d'étude

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Propriétés (admises)
  • Si f est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur \mathbb{R}^{+} \cap \mathcal{D}_{f} ou \mathbb{R}^{-} \cap \mathcal{D}_{f}.
  • Si f est une fonction périodique de période \text{T}, alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude \text{T} avec \mathcal{D}_{f}.
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Corollaire (admis)
Si une fonction f définie sur \R est paire (ou impaire) et périodique de période \text{T}, alors il suffit de l'étudier sur \left[0~; \frac{\mathrm{T}}{2}\right].
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Remarque

L'étude de f porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.
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Application et méthode - 2
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Énoncé
Montrer que si f est paire sur \R, périodique de période 5 et strictement décroissante sur [0{,}5~; 2], alors f est strictement croissante sur [3~; 4{,}5].
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Méthode

  • À partir des informations de l'énoncé sur [0{,}5~; 2] et de l'imparité, on déduit des informations sur [-2~; - 0{,}5].
  • À partir des informations sur [-2~; - 0{,}5] et de la périodicité, on déduit des informations sur [3~; 4{,}5].
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Solution
Comme f est paire et strictement décroissante sur [0{,}5~; 2], alors f est strictement croissante sur [-2~; - 0{,}5]. Par ailleurs, f étant périodique de période 5, f est strictement croissante sur [-2+5~;-0{,}5+5] donc sur [3~; 4{,}5].

Pour s'entraîner
Exercice
23
 et
24
 p. 276

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