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1. Parité et périodicité : généralités
P.268-269
COURS 1


1
Parité et périodicité : généralités





Dans tout ce qui suit, on note une fonction définie sur un ensemble , sa courbe représentative dans un repère orthogonal et un réel strictement positif.

A
Définitions et interprétations graphiques

Rappel

Dire que est centré en signifie que si alors .

Définitions
  • est une fonction paire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
  • est une fonction impaire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .
  • est une fonction périodique de période lorsque, pour tout réel de , et . On dit aussi que est ‑périodique.

Remarque

Une fonction peut être périodique même si n’est pas centré en .

Propriétés (admises)
  • Si est une fonction paire, alors est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  • Si est impaire, alors est symétrique par rapport à l’origine du repère.
  • Si est ‑périodique, alors est invariante par translation de vecteur .

Application et méthode - 1

Énoncé

Montrer que, pour toute fonction définie sur , la fonction définie sur par est paire et que la fonction définie sur par est impaire.

B
Restriction du domaine d’étude


Propriétés (admises)
  • Si est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l’étudier sur ou .
  • Si est une fonction périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur l'intersection de n’importe quel intervalle d’amplitude avec

Corollaire (admis)
Si une fonction définie sur est paire (ou impaire) et périodique de période , alors il suffit de l’étudier sur .

Remarque

L’étude de porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.

Application et méthode - 2

Énoncé

Montrer que si est paire sur , périodique de période et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur .
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