Mathématiques Terminale Spécialité
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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
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Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 9
Cours 1

Parité et périodicité : généralités

Dans tout ce qui suit, on note une fonction définie sur un ensemble , sa courbe représentative dans un repère orthogonal et un réel strictement positif.

A
Définitions et interprétations graphiques

Définitions
  • est une fonction paire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .

  • est une fonction impaire lorsque est centré en et, pour tout réel de , .

  • est une fonction périodique de période lorsque, pour tout réel de , et . On dit aussi que est ‑périodique.

Rappel

Dire que est centré en signifie que si alors .

Remarque

Une fonction peut être périodique même si n'est pas centré en .
Propriétés (admises)
  • Si est une fonction paire, alors est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  • Si est impaire, alors est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  • Si est ‑périodique, alors est invariante par translation de vecteur .
Application et méthode - 1
Énoncé
Montrer que, pour toute fonction définie sur , la fonction définie sur par est paire et que la fonction définie sur par est impaire.

Méthode

Pour étudier la parité d'une fonction  :
  • on vérifie que son ensemble de définition est centré en  ;
  • on cherche à exprimer en fonction de , pour savoir si est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre.
Solution
est centré en et, pour tout réel , .
On en déduit que est paire.
Pour tout réel , on a :
.
On en déduit que est impaire.


Pour s'entraîner
Exercices et p. 276

B
Restriction du domaine d'étude

Propriétés (admises)
  • Si est une fonction paire ou impaire, alors il suffit de l'étudier sur ou .
  • Si est une fonction périodique de période , alors il suffit de l'étudier sur l'intersection de n'importe quel intervalle d'amplitude avec
Corollaire (admis)
Si une fonction définie sur est paire (ou impaire) et périodique de période , alors il suffit de l'étudier sur .

Remarque

L'étude de porte sur ses variations, son signe, sa convexité, etc.
Application et méthode - 2
Énoncé
Montrer que si est paire sur , périodique de période et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur .

Méthode

  • À partir des informations de l'énoncé sur et de l'imparité, on déduit des informations sur .
  • À partir des informations sur et de la périodicité, on déduit des informations sur .
Solution
Comme est paire et strictement décroissante sur , alors est strictement croissante sur . Par ailleurs, étant périodique de période , est strictement croissante sur donc sur .

Pour s'entraîner
Exercice et p. 276

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