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A
Loi binomiale


Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Activité A - Jeu Tales from the loop

Dans le jeu Tales from the Loop, les épreuves consistent à lancer un dé classique non pipé à six faces nn fois de suite, nn désignant un nombre entier naturel non nul. On compte alors le nombre d’apparitions de la face 66.
X\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions de la face 66.
On souhaite établir la loi de probabilité suivie par X\text{X}. Pour tout entier j{1;;n}j \in\{1 ; \ldots ; n\}, on note Sj\mathrm{S}_j l’événement « Lors du jj‑ième lancer, on obtient un 66. ».

Objectif

Définir une nouvelle loi de probabilité : la loi binomiale.

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Partie A : Cas où n=3\boldsymbol{n=3}

1
Justifier que les lancers sont indépendants les uns des autres et identiques.


2
Modéliser cette expérience par un arbre pondéré.
Couleurs
Formes
Dessinez ici

3
Quelles valeurs la variable aléatoire X\text{X} peut‑elle prendre ?


4
Combien de chemins permettent d’obtenir X=0\mathrm{X}=0 ? En déduire P(X=0)\mathrm{P}(\mathrm{X}=0).


5
a) Combien y a‑t‑il de chemins permettant d’obtenir X=1\mathrm{X}=1 ?


b) En parcourant un de ces chemins, quelles sont les probabilités parcourues ?


c) En déduire alors la probabilité correspondant à un chemin permettant d’obtenir X=1\mathrm{X}=1. En déduire P(X=1)\mathrm{P}(\mathrm{X}=1).


6
Déterminer complètement la loi de probabilité suivie par X\text{X}.


Partie B : Cas général

1
Reprendre les questions de la partie A pour n=4n = 4.


2
Conjecturer une généralisation dans le cas où nn est quelconque. Quelles valeurs peut prendre X\text{X} ? Comment calculer P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k) lorsque 0kn0 \leqslant k \leqslant n ?


Aide
On justifiera que le nombre de chemins permettant d’obtenir kk fois le nombre 6 est égal à (nk)\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right).
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Bilan

On considère une expérience aléatoire, un événement S\mathbf{S} de probabilité p\boldsymbol{p} et son contraire S\overline{\mathbf{S}} de probabilité 1p\boldsymbol{1-p}.
Si X\mathbf{X} est la variable aléatoire comptant le nombre d’apparitions de l’événement S\mathbf{S} lors de n\boldsymbol{n} répétitions identiques et indépendantes de cette expérience, comment calculer P(X=k)\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{k}) lorsque 0kn\boldsymbol{0 \leqslant k \leqslant n} ?
On dit que X\mathbf{X} suit une loi binomiale de paramètres n\boldsymbol{n} et p\boldsymbol{p}.

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B
Espérance d’une loi binomiale


Objectif

Exprimer l’espérance d’une expérience aléatoire suivant une loi binomiale en fonction des paramètres de cette loi.


Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - activité B - jeu de 32 cartes
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Soit nn un entier naturel non nul. On tire nn fois de suite avec remise une carte choisie aléatoirement parmi les 3232 cartes ci‑contre.
On compte le nombre d’apparitions d’une carte de carreau.
X\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d’apparitions d’une carte de carreau à l’issue des nn tirages.
On souhaite calculer l’espérance de la variable aléatoire X\text{X}.

Partie A : Cas n=3\boldsymbol{n=3}

1
Justifier que X\text{X} suit la loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p) de paramètres n=3n=3 et p=14p=\dfrac{1}{4}.


2
Compléter le tableau ci‑dessous avec des valeurs exactes.
xi\boldsymbol{x_i} 00 11 22 33 Total
P(X=xi)\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}})

1
Donner l’espérance de X\text{X} sous forme d’une fraction irréductible.


4
Conjecturer une expression, en fonction de nn et pp, de l’espérance de X\text{X}.


Partie B : Simulation informatique avec n=100\boldsymbol{n=100}

1
Écrire un algorithme qui compte le nombre d’apparitions d’une carte de carreau sur 100100 tirages avec remise.



2
À l’aide d’un script Python ou d’une feuille de calcul, simuler 1 0001 000 parties de 100100 tirages avec remise, puis calculer une valeur approchée de l’espérance de X\text{X}.


3
Les résultats obtenus ici semblent‑ils conforter la formule conjecturée dans la partie A\text{A} ?
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Bilan

Rappeler l’interprétation que l’on peut donner à l’espérance d’une variable aléatoire X\mathbf{X}. Lorsque X\mathbf{X} suit la loi binomiale de paramètres n\boldsymbol{n} et p\boldsymbol{p}, à quoi E(X)\mathbf{E(\mathbf{X})} semble‑t‑il être égal ? Cela est‑il intuitif ?
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C
Fluctuation d’échantillonnage


Objectif

Prévoir un intervalle de fluctuation, à un seuil donné, du nombre de succès.

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Un QCM est composé de 6060 questions. Pour chacune des questions, il y a quatre propositions : une seule réponse est exacte et les trois autres sont fausses. Les étudiants choisissent, pour chaque question, une seule proposition.
La note obtenue est égale au nombre total de réponses exactes choisies.
Un étudiant a décidé de répondre complètement au hasard à chacune des questions du test.
On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes.

1
Déterminer la loi de probabilité suivie par X\text{X}.


2
Quelle est l’espérance de X\text{X} ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la question.


3
a) À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, afficher P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)kk est un entier compris entre 00 et 6060.

b) Déterminer un entier aa tel que P(Xa)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}95 puis bb tel que P(Xb)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}95.


c) Déterminer enfin deux entiers cc et dd tels que P(cXd)0,95\mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95. Ces entiers sont‑ils uniques ?


d) Interpréter l’expression P(cXd)0,95\mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95 dans le contexte de l’exercice.
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Bilan

Soit X\mathbf{X} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n\boldsymbol{n} et p\boldsymbol{p}.
Décrire une méthode permettant de résoudre P(aXb)α\mathbf{P}(\boldsymbol{a} \leqslant \mathbf{X} \leqslant \boldsymbol{b}) \approx \boldsymbol{\alpha}a\boldsymbol{a} et b\boldsymbol{b} sont des entiers tels que 0abn\boldsymbol{0 \leqslant a \leqslant b \leqslant n} et α\boldsymbol{\alpha} est un réel appartenant à l’intervalle [0 ;1]\mathbf{[0~; 1]}.

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