Dans le jeu Tales from the Loop, les épreuves consistent à lancer un dé classique non pipé à six faces n fois de suite, n désignant un nombre entier naturel non nul. On compte alors le nombre d'apparitions de la face 6.
\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions de la face 6.
On souhaite établir la loi de probabilité suivie par \text{X}. Pour tout entier j \in\{1 ; \ldots ; n\}, on note \mathrm{S}_j l'événement « Lors du j‑ième lancer, on obtient un 6. ».

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Illustration : trois adolescents marchent vers des tours mystérieuses dans un paysage brumeux des années 80. Jeu de rôle Tales from the Loop.

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Partie A : Cas où \boldsymbol{n=3}

Justifier que les lancers sont indépendants les uns des autres et identiques.

Modéliser cette expérience par un arbre pondéré.

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Quelles valeurs la variable aléatoire \text{X} peut‑elle prendre ?

Combien de chemins permettent d'obtenir \mathrm{X}=0 ? En déduire \mathrm{P}(\mathrm{X}=0).

a) Combien y a‑t‑il de chemins permettant d'obtenir \mathrm{X}=1 ?

b) En parcourant un de ces chemins, quelles sont les probabilités parcourues ?

c) En déduire alors la probabilité correspondant à un chemin permettant d'obtenir \mathrm{X}=1. En déduire \mathrm{P}(\mathrm{X}=1).

Déterminer complètement la loi de probabilité suivie par \text{X}.

Partie B : Cas général

Reprendre les questions de la partie A pour n = 4.

Conjecturer une généralisation dans le cas où n est quelconque. Quelles valeurs peut prendre \text{X} ? Comment calculer \mathrm{P}(\mathrm{X}=k) lorsque 0 \leqslant k \leqslant n ?

Aide

On justifiera que le nombre de chemins permettant d'obtenir k fois le nombre 6 est égal à \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right).

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Bilan

On considère une expérience aléatoire, un événement \mathbf{S} de probabilité \boldsymbol{p} et son contraire \overline{\mathbf{S}} de probabilité \boldsymbol{1-p}. Si \mathbf{X} est la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions de l'événement \mathbf{S} lors de \boldsymbol{n} répétitions identiques et indépendantes de cette expérience, comment calculer \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{k}) lorsque \boldsymbol{0 \leqslant k \leqslant n} ? On dit que \mathbf{X} suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}.

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B
Espérance d'une loi binomiale

Objectif : Exprimer l'espérance d'une expérience aléatoire suivant une loi binomiale en fonction des paramètres de cette loi.

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Soit n un entier naturel non nul. On tire n fois de suite avec remise une carte choisie aléatoirement parmi les 32 cartes ci‑contre.
On compte le nombre d'apparitions d'une carte de carreau.
\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions d'une carte de carreau à l'issue des n tirages.
On souhaite calculer l'espérance de la variable aléatoire \text{X}.

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Illustration : jeu de 32 cartes complet, par couleur et par valeur.

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Partie A : Cas \boldsymbol{n=3}

Justifier que \text{X} suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p) de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4}.

Compléter le tableau ci‑dessous avec des valeurs exactes.

\boldsymbol{x_i}	0	1	2	3	Total
\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}})

Donner l'espérance de \text{X} sous forme d'une fraction irréductible.

Conjecturer une expression, en fonction de n et p, de l'espérance de \text{X}.

Partie B : Simulation informatique avec \boldsymbol{n=100}

Écrire un algorithme qui compte le nombre d'apparitions d'une carte de carreau sur 100 tirages avec remise.

À l'aide d'un script Python ou d'une feuille de calcul, simuler 1 000 parties de 100 tirages avec remise, puis calculer une valeur approchée de l'espérance de \text{X}.

Les résultats obtenus ici semblent‑ils conforter la formule conjecturée dans la partie \text{A} ?

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Bilan

Rappeler l'interprétation que l'on peut donner à l'espérance d'une variable aléatoire \mathbf{X}. Lorsque \mathbf{X} suit la loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}, à quoi \mathbf{E(\mathbf{X})} semble‑t‑il être égal ? Cela est‑il intuitif ?

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C
Fluctuation d'échantillonnage

Objectif : Prévoir un intervalle de fluctuation, à un seuil donné, du nombre de succès.

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Un QCM est composé de 60 questions. Pour chacune des questions, il y a quatre propositions : une seule réponse est exacte et les trois autres sont fausses. Les étudiants choisissent, pour chaque question, une seule proposition.
La note obtenue est égale au nombre total de réponses exactes choisies.
Un étudiant a décidé de répondre complètement au hasard à chacune des questions du test.
On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes.

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Déterminer la loi de probabilité suivie par \text{X}.

Quelle est l'espérance de \text{X} ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la question.

a) À l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, afficher \mathrm{P}(\mathrm{X}=k) où k est un entier compris entre 0 et 60.

b) Déterminer un entier a tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}95 puis b tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}95.

c) Déterminer enfin deux entiers c et d tels que \mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95. Ces entiers sont‑ils uniques ?

d) Interpréter l'expression \mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95 dans le contexte de l'exercice.

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Bilan

Soit \mathbf{X} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}. Décrire une méthode permettant de résoudre \mathbf{P}(\boldsymbol{a} \leqslant \mathbf{X} \leqslant \boldsymbol{b}) \approx \boldsymbol{\alpha} où \boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont des entiers tels que \boldsymbol{0 \leqslant a \leqslant b \leqslant n} et \boldsymbol{\alpha} est un réel appartenant à l'intervalle \mathbf{[0~; 1]}.

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Loi binomiale

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