Dans le jeu Tales from the Loop, les épreuves consistent à lancer un dé classique non pipé à six faces $n$ fois de suite, $n$ désignant un nombre entier naturel non nul. On compte alors le nombre d'apparitions de la face $6$.
$\text{X}$ désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions de la face $6$.
On souhaite établir la loi de probabilité suivie par $\text{X}$. Pour tout entier $j\in \{1;\dots ;n\}$, on note ${\mathrm{S}}_j$ l'événement « Lors du $j$‑ième lancer, on obtient un $6$. ».

Partie B : Cas général

1

Reprendre les questions de la partie A pour $n=4$.

2

Conjecturer une généralisation dans le cas où $n$ est quelconque. Quelles valeurs peut prendre $\text{X}$ ? Comment calculer $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)$ lorsque $0⩽k⩽n$ ?

On justifiera que le nombre de chemins permettant d'obtenir $k$ fois le nombre 6 est égal à $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$.

Aide

On considère une expérience aléatoire, un événement $\mathbf{S}$ de probabilité $\mathbf{p}$ et son contraire $\overline{\mathbf{S}}$ de probabilité $1-\mathbf{p}$. Si $\mathbf{X}$ est la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions de l'événement $\mathbf{S}$ lors de $\mathbf{n}$ répétitions identiques et indépendantes de cette expérience, comment calculer $\mathbf{P}(\mathbf{X}=\mathbf{k})$ lorsque $0⩽\mathbf{k}⩽\mathbf{n}$ ? On dit que $\mathbf{X}$ suit une loi binomiale de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$.

Soit $n$ un entier naturel non nul. On tire $n$ fois de suite avec remise une carte choisie aléatoirement parmi les $32$ cartes ci‑contre.
On compte le nombre d'apparitions d'une carte de carreau.
$\text{X}$ désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions d'une carte de carreau à l'issue des $n$ tirages.
On souhaite calculer l'espérance de la variable aléatoire $\text{X}$.

Rappeler l'interprétation que l'on peut donner à l'espérance d'une variable aléatoire $\mathbf{X}$. Lorsque $\mathbf{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$, à quoi $\mathbf{E}(\mathbf{X})$ semble‑t‑il être égal ? Cela est‑il intuitif ?

Un QCM est composé de $60$ questions. Pour chacune des questions, il y a quatre propositions : une seule réponse est exacte et les trois autres sont fausses. Les étudiants choisissent, pour chaque question, une seule proposition.
La note obtenue est égale au nombre total de réponses exactes choisies.
Un étudiant a décidé de répondre complètement au hasard à chacune des questions du test.
On note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes.

Soit $\mathbf{X}$ une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $\mathbf{n}$ et $\mathbf{p}$. Décrire une méthode permettant de résoudre $\mathbf{P}(\mathbf{a}⩽\mathbf{X}⩽\mathbf{b})\approx \mathbf{\alpha }$ où $\mathbf{a}$ et $\mathbf{b}$ sont des entiers tels que $0⩽\mathbf{a}⩽\mathbf{b}⩽\mathbf{n}$ et $\mathbf{\alpha }$ est un réel appartenant à l'intervalle $[0;1]$.