Mathématiques Terminale Spécialité

Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 12
Activité

Loi binomiale

18 professeurs ont participé à cette page
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

A
Loi binomiale


Objectif : Définir une nouvelle loi de probabilité : la loi binomiale.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Dans le jeu Tales from the Loop, les épreuves consistent à lancer un dé classique non pipé à six faces n fois de suite, n désignant un nombre entier naturel non nul. On compte alors le nombre d'apparitions de la face 6.
\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions de la face 6.
On souhaite établir la loi de probabilité suivie par \text{X}. Pour tout entier j \in\{1 ; \ldots ; n\}, on note \mathrm{S}_j l'événement « Lors du j‑ième lancer, on obtient un 6. ».
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Placeholder pour Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Activité A - Jeu Tales from the loopMaths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Activité A - Jeu Tales from the loop
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie A : Cas où \boldsymbol{n=3}

1
Justifier que les lancers sont indépendants les uns des autres et identiques.

2
Modéliser cette expérience par un arbre pondéré.
Cliquez pour accéder à une zone de dessin
Cette fonctionnalité est accessible dans la version Premium.

3
Quelles valeurs la variable aléatoire \text{X} peut‑elle prendre ?

4
Combien de chemins permettent d'obtenir \mathrm{X}=0 ? En déduire \mathrm{P}(\mathrm{X}=0).

5
a) Combien y a‑t‑il de chemins permettant d'obtenir \mathrm{X}=1 ?

b) En parcourant un de ces chemins, quelles sont les probabilités parcourues ?

c) En déduire alors la probabilité correspondant à un chemin permettant d'obtenir \mathrm{X}=1. En déduire \mathrm{P}(\mathrm{X}=1).

6
Déterminer complètement la loi de probabilité suivie par \text{X}.

Partie B : Cas général

1
Reprendre les questions de la partie A pour n = 4.

2
Conjecturer une généralisation dans le cas où n est quelconque. Quelles valeurs peut prendre \text{X} ? Comment calculer \mathrm{P}(\mathrm{X}=k) lorsque 0 \leqslant k \leqslant n ?
Aide
On justifiera que le nombre de chemins permettant d'obtenir k fois le nombre 6 est égal à \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
On considère une expérience aléatoire, un événement \mathbf{S} de probabilité \boldsymbol{p} et son contraire \overline{\mathbf{S}} de probabilité \boldsymbol{1-p}. Si \mathbf{X} est la variable aléatoire comptant le nombre d'apparitions de l'événement \mathbf{S} lors de \boldsymbol{n} répétitions identiques et indépendantes de cette expérience, comment calculer \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{k}) lorsque \boldsymbol{0 \leqslant k \leqslant n} ? On dit que \mathbf{X} suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

B
Espérance d'une loi binomiale


Objectif : Exprimer l'espérance d'une expérience aléatoire suivant une loi binomiale en fonction des paramètres de cette loi.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Soit n un entier naturel non nul. On tire n fois de suite avec remise une carte choisie aléatoirement parmi les 32 cartes ci‑contre.
On compte le nombre d'apparitions d'une carte de carreau.
\text{X} désigne la variable aléatoire égale au nombre d'apparitions d'une carte de carreau à l'issue des n tirages.
On souhaite calculer l'espérance de la variable aléatoire \text{X}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Placeholder pour Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - activité B - jeu de 32 cartesMaths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - activité B - jeu de 32 cartes
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

Partie A : Cas \boldsymbol{n=3}

1
Justifier que \text{X} suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p) de paramètres n=3 et p=\frac{1}{4}.

2
Compléter le tableau ci‑dessous avec des valeurs exactes.
\boldsymbol{x_i}0123Total
\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}})

3
Donner l'espérance de \text{X} sous forme d'une fraction irréductible.

4
Conjecturer une expression, en fonction de n et p, de l'espérance de \text{X}.

Partie B : Simulation informatique avec \boldsymbol{n=100}

1
Écrire un algorithme qui compte le nombre d'apparitions d'une carte de carreau sur 100 tirages avec remise.


2
À l'aide d'un script Python ou d'une feuille de calcul, simuler 1 000 parties de 100 tirages avec remise, puis calculer une valeur approchée de l'espérance de \text{X}.

3
Les résultats obtenus ici semblent‑ils conforter la formule conjecturée dans la partie \text{A} ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
Rappeler l'interprétation que l'on peut donner à l'espérance d'une variable aléatoire \mathbf{X}. Lorsque \mathbf{X} suit la loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}, à quoi \mathbf{E(\mathbf{X})} semble‑t‑il être égal ? Cela est‑il intuitif ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.

C
Fluctuation d'échantillonnage


Objectif : Prévoir un intervalle de fluctuation, à un seuil donné, du nombre de succès.

Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Un QCM est composé de 60 questions. Pour chacune des questions, il y a quatre propositions : une seule réponse est exacte et les trois autres sont fausses. Les étudiants choisissent, pour chaque question, une seule proposition.
La note obtenue est égale au nombre total de réponses exactes choisies.
Un étudiant a décidé de répondre complètement au hasard à chacune des questions du test.
On note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de réponses exactes.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
1
Déterminer la loi de probabilité suivie par \text{X}.

2
Quelle est l'espérance de \text{X} ? Interpréter ce résultat dans le contexte de la question.

3
a) À l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice, afficher \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)k est un entier compris entre 0 et 60.

b) Déterminer un entier a tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}95 puis b tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}95.

c) Déterminer enfin deux entiers c et d tels que \mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95. Ces entiers sont‑ils uniques ?

d) Interpréter l'expression \mathrm{P}(c \leqslant \mathrm{X} \leqslant d) \approx 0{,}95 dans le contexte de l'exercice.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Bilan
Soit \mathbf{X} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres \boldsymbol{n} et \boldsymbol{p}. Décrire une méthode permettant de résoudre \mathbf{P}(\boldsymbol{a} \leqslant \mathbf{X} \leqslant \boldsymbol{b}) \approx \boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{a} et \boldsymbol{b} sont des entiers tels que \boldsymbol{0 \leqslant a \leqslant b \leqslant n} et \boldsymbol{\alpha} est un réel appartenant à l'intervalle \mathbf{[0~; 1]}.
Afficher la correction

Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?

Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.

Oups, une coquille

j'ai une idée !

Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
collaborateur

collaborateurYolène
collaborateurÉmilie
collaborateurJean-Paul
collaborateurFatima
collaborateurSarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.