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Loi binomiale
P.351-352

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Chapitre 12


Loi binomiale





Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - ouverture - dés

La répétition de nombreuses expériences aléatoires rend la modélisation par un arbre pondéré peu pratique concrètement.
La loi binomiale permet de surmonter cette difficulté, en mettant en place des méthodes pour calculer, sous certaines conditions, les probabilités et les espérances.

Capacités attendues - chapitre 12

1. Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.

2. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.

3. Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d’optimisation.

4. Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale X\text{X}, calculer numériquement une probabilité du type P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k), P(Xk)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k), P(kXk)\mathrm{P}\left(k \leqslant \mathrm{X} \leqslant k^{\prime}\right).

5. Chercher un intervalle I\text{I} pour lequel la probabilité P(XI)\mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) est inférieure à une valeur donnée α\alpha, ou supérieure à 1α1 - \alpha.

Avant de commencer

Prérequis

1. Modéliser une expérience aléatoire par un arbre pondéré.
2. Maîtriser la formule des probabilités totales.
3. Maîtriser la notion de probabilité conditionnelle.
4. Savoir calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire.
5. Savoir calculer des coefficients binomiaux.
6. Savoir simuler une expérience aléatoire avec l’outil informatique.

Pour les exercices
1
à 
5

A\text{A} et B\text{B} désignent deux événements d’une expérience aléatoire modélisée par l’arbre pondéré ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 1 à 5 - arbre pondéré

1
Compléter un arbre pondéré

Compléter l’arbre ci‑dessus.
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)

2
Utiliser la formule des probabilités totales

Déterminer P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B}) puis P(B)\mathrm{P}(\mathrm{B}).
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3
Utiliser les probabilités conditionnelles

Déterminer PA(B)\mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) et PB(A)\mathrm{P}_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}).
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4
Déterminer l’indépendance de deux événements

A\text{A} et B\text{B} sont‑ils des événements indépendants ? Justifier la réponse.
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5
Déterminer la probabilité d’une réunion

Calculer P(AB)\mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B}) de deux manières différentes.
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6
Calculer une espérance et une variance

X\text{X} est une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité présentée dans le tableau ci‑dessous.

xi\boldsymbol{x_i} 1-1 00 11 55
P(X=xi)\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}}) 0,20{,}2 0,150{,}15 0,50{,}5 0,150{,}15

Déterminer l’espérance et la variance de X\text{X}.
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7
Calculer des coefficients binomiaux

On s’intéresse au coefficient Ck=(5k)\mathrm{C}_{k}=\left(\begin{array}{l}5 \\ k\end{array}\right)0k50 \leqslant k \leqslant 5.

1. Sans calculatrice, déterminer Ck\mathrm{C}_{k} lorsque k=0k = 0, k=1k = 1, k=4k = 4 et k=5k = 5.


2. À l’aide de la calculatrice, déterminer C2\mathrm{C}_{2} et C3\mathrm{C}_{3}.
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8
Réaliser une simulation avec Python

Écrire un script Python simulant le lancer de N\text{N} dés cubiques équilibrés et retournant le nombre d’obtention de la face numérotée 55.



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9
Problème

On considère une urne contenant deux boules rouges et trois boules noires.
On procède au tirage successif de deux boules et on regarde leur couleur.

1. Le tirage se fait avec remise. On appelle X\text{X} la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu. Établir la loi de probabilité de X\text{X} et calculer son espérance.


2. Le tirage se fait sans remise. On appelle Y\text{Y} la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu. Établir la loi de probabilité de Y\text{Y} et calculer son espérance.
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Anecdote

La loi binomiale, tirant son nom de la formule du binôme de Newton, fait partie des toutes premières lois de probabilités étudiées dans l’histoire, notamment par Jacob Bernoulli et son neveu Nicolas I, Leibniz, de Moivre, de Montmort. La loi est notamment discutée dans l’ouvrage inachevé de Jacob Bernoulli L’art de conjecturer, paru en 1713 huit ans après sa mort prématurée. Suite à une querelle de famille, sa veuve et son fils ont d’abord refusé que le frère ou le neveu ne l’éditent, avant de le faire paraître en l’état sans doute pour prouver que Jacob avait anticipé et inspiré la plupart des traités qui avaient été publiés sur le sujet entretemps !

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - ouverture - L’art de conjecturer de Jacob Bernoulli
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