Loi binomiale
P.351-352
Chapitre 12
Loi binomiale
La répétition de nombreuses expériences aléatoires rend la modélisation par un arbre pondéré peu pratique concrètement.
La loi binomiale permet de surmonter cette difficulté, en mettant en place des méthodes pour calculer, sous certaines conditions, les probabilités et les espérances.
La loi binomiale permet de surmonter cette difficulté, en mettant en place des méthodes pour calculer, sous certaines conditions, les probabilités et les espérances.
Capacités attendues - chapitre 12
1. Modéliser une situation par une succession d’épreuves indépendantes ou une succession de deux ou trois épreuves quelconques.
2. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
3. Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d’optimisation.
4. Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale , calculer numériquement une probabilité du type , , .
5. Chercher un intervalle pour lequel la probabilité est inférieure à une valeur donnée , ou supérieure à .
2. Modéliser une situation par un schéma de Bernoulli, par une loi binomiale.
3. Utiliser l’expression de la loi binomiale pour résoudre un problème de seuil, de comparaison ou d’optimisation.
4. Dans le cadre d’une résolution de problème modélisé par une variable binomiale , calculer numériquement une probabilité du type , , .
5. Chercher un intervalle pour lequel la probabilité est inférieure à une valeur donnée , ou supérieure à .
Avant de commencer
Prérequis
1. Modéliser une expérience aléatoire par un arbre pondéré.
2. Maîtriser la formule des probabilités totales.
3. Maîtriser la notion de probabilité conditionnelle.
4. Savoir calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire.
5. Savoir calculer des coefficients binomiaux.
6. Savoir simuler une expérience aléatoire avec l’outil informatique.
2. Maîtriser la formule des probabilités totales.
3. Maîtriser la notion de probabilité conditionnelle.
4. Savoir calculer l’espérance et la variance d’une variable aléatoire.
5. Savoir calculer des coefficients binomiaux.
6. Savoir simuler une expérience aléatoire avec l’outil informatique.
Pour les exercices
1
5
et désignent deux événements d’une expérience aléatoire modélisée par l’arbre pondéré ci‑dessous.
1Compléter un arbre pondéré
Compléter l’arbre ci‑dessus.
1
(Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.)
2Utiliser la formule des probabilités totales
Déterminer puis .2
3Utiliser les probabilités conditionnelles
Déterminer et .3
4Déterminer l’indépendance de deux
événements
et sont‑ils des événements indépendants ? Justifier la réponse.4
5Déterminer la probabilité d’une réunion
Calculer de deux manières différentes.5
6Calculer une espérance et une variance
est une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité présentée dans le tableau ci‑dessous.
6
Déterminer l’espérance et la variance de .
7Calculer des coefficients binomiaux
On s’intéresse au coefficient où .
7
1. Sans calculatrice, déterminer lorsque , , et .
2. À l’aide de la calculatrice, déterminer et .
8Réaliser une simulation avec Python
Écrire un script Python simulant le lancer de dés cubiques équilibrés et retournant le nombre d’obtention de la face numérotée .
8
9Problème
On considère une urne contenant deux boules rouges et trois boules noires.9
On procède au tirage successif de deux boules et on regarde leur couleur.
1. Le tirage se fait avec remise. On appelle la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu. Établir la loi de probabilité de et calculer son espérance.
2. Le tirage se fait sans remise. On appelle la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu. Établir la loi de probabilité de et calculer son espérance.
Anecdote
La loi binomiale, tirant son nom de la formule du binôme de Newton, fait partie des toutes premières lois de probabilités étudiées dans l’histoire, notamment par Jacob Bernoulli et son neveu Nicolas I, Leibniz, de Moivre, de Montmort. La loi est notamment discutée dans l’ouvrage inachevé de Jacob Bernoulli L’art de conjecturer, paru en 1713 huit ans après sa mort prématurée. Suite à une querelle de famille, sa veuve et son fils ont d’abord refusé que le frère ou le neveu ne l’éditent, avant de le faire paraître en l’état sans doute pour prouver que Jacob avait anticipé et inspiré la plupart des traités qui avaient été publiés sur le sujet entretemps !
