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Surréservation et profit

De nombreuses compagnies aériennes cherchent différentes méthodes pour offrir des tarifs attractifs, comme par exemple l’optimisation de l’utilisation des avions et du travail des équipages. Pour éviter de faire voler des avions avec des sièges passagers non occupés, deux stratégies sont possibles : vendre des billets non remboursables afin d’inciter les clients à ne pas rater leur vol, ou bien vendre plus de billets que de places dans l’avion. Cette dernière pratique, appelée surréservation, peut toutefois poser problème lorsque le nombre de clients se présentant à l’embarquement est supérieur au nombre de places disponibles. Dans ce cas, les passagers se voient offrir un surclassement ou une compensation financière mais la compagnie aérienne reste globalement gagnante.

Questions préliminaires :

L’avion considéré peut contenir $124$ passagers. Chaque passager se présente à l’embarquement, indépendamment des autres passagers, avec une probabilité égale à $0{,}91$. Le nombre de billets vendus par la compagnie aérienne est noté $n$. Cet entier est supérieur ou égal à $124$.

1. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
Quelle est la loi de probabilité suivie par $\text{X}$ ?


2. Dans cette question, on suppose que $126$ billets ont été vendus.
a. Quelle est la probabilité qu’un problème de surréservation survienne à l’embarquement ? Justifier.


b. Quel est le nombre moyen de passagers qui se présentent à l’embarquement ? Justifier.


L’entreprise cherche ici à optimiser ses profits. Chaque client qui se présente et qui peut embarquer rapporte $100$ € à la compagnie aérienne. En revanche, chaque client qui se présente mais qui se voit refuser la possibilité de monter à bord coûte $150$ € à la compagnie aérienne. Un client qui ne se présente pas peut se faire rembourser en partie son billet et permet un profit de $30$ € à la compagnie aérienne.