L'avion considéré peut contenir $124$ passagers. Chaque passager se présente à l'embarquement, indépendamment des autres passagers, avec une probabilité égale à $0,91$. Le nombre de billets vendus par la compagnie aérienne est noté $n$. Cet entier est supérieur ou égal à $124$.

1. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire correspondant au nombre de passagers se présentant à l'embarquement.
Quelle est la loi de probabilité suivie par $\text{X}$ ?

2. Dans cette question, on suppose que $126$ billets ont été vendus.
a. Quelle est la probabilité qu'un problème de surréservation survienne à l'embarquement ? Justifier.

b. Quel est le nombre moyen de passagers qui se présentent à l'embarquement ? Justifier.

L'entreprise cherche ici à optimiser ses profits. Chaque client qui se présente et qui peut embarquer rapporte $100$ € à la compagnie aérienne. En revanche, chaque client qui se présente mais qui se voit refuser la possibilité de monter à bord coûte $150$ € à la compagnie aérienne. Un client qui ne se présente pas peut se faire rembourser en partie son billet et permet un profit de $30$ € à la compagnie aérienne.

Optimiser le profit, dans un cas simple de surréservation, en choisissant le nombre de billets à vendre et en se fixant différentes contraintes.