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Travailler les automatismes
P.364-365

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Travailler les automatismes




À L'ORAL

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19

On considère une urne contenant cinq boules numérotées de 11 à 55. Définir deux expériences qui sont des épreuves de Bernoulli, puis deux autres qui n’en sont pas.
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20

On tire de manière équiprobable une carte dans un paquet de 5252 cartes. On note S\text{S} l’événement : « La carte est un 77. » Justifier qu’il s’agit bien d’une épreuve de Bernoulli et calculer la probabilité du succès S\text{S}.
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21

Décrire une situation concrète que l’on peut modéliser par une épreuve de Bernoulli dont le succès a pour probabilité p=0,13p=0{,}13.
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22

Soit X\text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de 77 obtenu en répétant dix fois l’expérience aléatoire de l’exercice
20
.
Quelle information manque‑t‑il à cet énoncé si on veut pouvoir conclure que X\text{X} suit une loi binomiale ?
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23

On effectue dix jets successifs d’un même dé équilibré à six faces. On nomme Y\text{Y} la variable aléatoire égale au plus petit résultat obtenu.
La variable Y\text{Y} suit‑elle une loi binomiale ?
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24

Soit T\text{T} la variable aléatoire égale au nombre de lancers d’une pièce nécessaires pour obtenir cinq fois le côté pile.
La variable T\text{T} suit‑elle une loi binomiale ?
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25

Soit Y\text{Y} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(3 ;0,1)\mathcal{B}(3~; 0{,}1). Déterminer E(Y)\mathrm{E}(\mathrm{Y}), V(Y)\mathrm{V}(\mathrm{Y}) et σ(Y)\sigma(\mathrm{Y}).
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26

Déterminer l’espérance de la variable X\text{X} dont la distribution est représentée ci‑dessous. Justifier que X\text{X} ne suit pas une loi binomiale.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 26

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Loi binomiale et calculs de probabilités


27

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=3n=3 et p=0,95p=0{,}95.

1. Construire l’arbre pondéré correspondant.

Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. En déduire P(X=1)\mathrm{P}(\mathrm{X}=1).
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28

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=4n=4 et p=23p=\dfrac{2}{3}.
Sans utiliser de calculatrice, calculer P(X=0)\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) et P(X=2)\mathrm{P}(\mathrm{X}=2).
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29

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=3n=3 et p=910p=\dfrac{9}{10}.

1. Sans utiliser de calculatrice, calculer P(X1)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 1).


2. En déduire P(X2)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 2).
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30

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=4n=4 et p=cos(π4)p=\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right).
Sans utiliser de calculatrice, calculer P(X=3)\mathrm{P}(\mathrm{X}=3).
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31

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=100n=100 et p=0,15p=0{,}15.
Calculer P(X=16)\mathrm{P}(\mathrm{X}=16), P(X16)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 16) et P(X>16)\mathrm{P}(\mathrm{X}>16).
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32

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,7p=0{,}7.
Déterminer P(X=6)\mathrm{P}(\mathrm{X}=6), P(X7)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 7) et P(X5)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 5).
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33

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=23n=23 et p=0,42p=0{,}42.
Calculer P(X>9)\mathrm{P}(\mathrm{X}>9), P(X<13)\mathrm{P}(\mathrm{X} \lt 13) et P(7X10)\mathrm{P}(7 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 10).
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34

Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et p=a100p=\dfrac{a}{100}, où aa et nn sont des entiers naturels.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 34

À partir de la représentation graphique de la loi de probabilité de X\text{X}, déterminer nn et aa.
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35

On considère une variable aléatoire X\text{X} qui suit la loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,7p=0{,}7.
La fonction loiDeProbabilite ci‑dessous renvoie une liste bino telle que, pour tout entier naturel kk, la valeur bino[k] est égale à P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k). La compléter.

Aide
La fonction factorial(n) permet d’obtenir n!n!.


from math import factorial

def LoiDeProbabilite():
	bino = 11*[0]
  for k in range(...)
return bino
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36

La fonction python binomFRep ci‑dessous permet de calculer P(Xk)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) lorsque X\text{X} suit une loi binomiale de paramètres nn et pp. La compléter.

from math import factorial
 
def binomFRep(n, p, k):
	""" Si la v.a. suit une loi B(n,p),
  renvoie P(X <= k)"""
	s = 0
	for i in range(...):
		s = s + factorial(n)/(factorial(i)*factorial(n-i))*...
	return s
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Espérance, variance et écart type


37

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=35n=35 et p=37p=\dfrac{3}{7}.
Sans utiliser de calculatrice, calculer et interpréter l’espérance de X\text{X}.
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38

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=75n=75 et p=35p=\dfrac{3}{5}.
Sans utiliser de calculatrice, calculer la variance et l’écart type de X\text{X}.
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39

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=31n=31 et p=0,23p=0{,}23.
Calculer l’espérance et la variance de X\text{X}.
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40

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=71n=71 et p=79p=\dfrac{7}{9}.
Calculer l’espérance et la variance de X\text{X}.
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41

La variable aléatoire X\text{X} suit une loi binomiale de paramètres n=5n = 5 et pp inconnu.
Sachant que E(X)=3,7\mathrm{E}(\mathrm{X})=3,7, déterminer pp.
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Introduction à l’échantillonnage


42

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=30n=30 et p=0,23p=0{,}23.
Déterminer le plus petit entier aa tel que P(Xa)0,8\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}8.
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43

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=30n=30 et p=0,55p=0{,}55.
Déterminer le plus grand entier aa tel que P(Xa)0,8\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) \geqslant 0{,}8.
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44

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=60n=60 et p=0,45p=0{,}45.

1. Déterminer deux entiers aa et bb tels que P(Xa)0,025\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}025 et P(Xb)0,975\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}975.


2. Que peut‑on alors dire de P(aXb)\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) ?
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45

La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=200n=200 et p=0,5p=0{,}5.

1. Déterminer deux entiers aa et bb tels que P(Xa)0,05\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}05 et P(Xb)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}95.


2. Que peut‑on alors dire de P(a<Xb)\mathrm{P}(a \lt \mathrm{X} \leqslant b) ?
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46

Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=5n=5 et p=0,4p=0{,}4. On considère la feuille de calcul suivante.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 46 - tableur

1. Quelle formule peut être entrée dans la cellule B2 puis étirée ?


2. Indiquer deux formules possibles pour obtenir le contenu de la cellule C4.
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47

Déterminer le plus grand entier nn tel que si X\text{X} suit une loi binomiale de paramètres nn et p=0,4p=0{,}4, alors P(X5)0,05\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 5) \geqslant 0{,}05.
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Exercices inversés


48

Décrire une situation de la vie courante pouvant être modélisée par un schéma de Bernoulli de paramètres n=35n=35 et p=0,83p=0{,}83.
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49

Écrire une situation faisant intervenir la loi binomiale de paramètres n=35n=35 et p=0,18p=0{,}18.
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