Loi binomiale

Définition

Soient n un entier naturel non nul et p un réel de l'intervalle [0~; 1].
On note \text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenu lors de n répétitions identiques et indépendantes d'un schéma de Bernoulli dont p est la probabilité du succès.
On dit alors que \text{X} suit la loi binomiale de paramètres n et p.

La loi binomiale de paramètres n et p se note \mathcal{B}(n~; p).

Pour une loi binomiale de n épreuves, on peut formaliser l'univers par \{0~; 1\}^{n}.

Soient k un entier naturel inférieur ou égal à n et \text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p. Alors \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}.

On a \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\frac{n !}{(n-k) ! k !}.

On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur puis on remet la boule dans l'urne. On répète dix fois l'expérience et on note \text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de boules bleues obtenu à la fin des dix tirages. Le tirage de chaque boule est une épreuve de Bernoulli, de succès \text{S} « La boule est bleue. » de probabilité \frac{2}{3}. Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants. \text{X} comptant le nombre de succès, la variable \text{X} suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p=\frac{2}{3}.
La probabilité d'obtenir exactement sept boules bleues (et donc trois boules vertes) est de \mathrm{P}(\mathrm{X}=7)=\left(\begin{array}{c}10 \\ 7\end{array}\right)\left(\frac{2}{3}\right)^{7}\left(1-\frac{2}{3}\right)^{10-7} \approx 0{,}260.

Pour justifier qu'une variable aléatoire suit une loi binomiale, il faut justifier qu'elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.

Énoncé

On lance six fois une pièce de monnaie équilibrée. On note \text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l'on a obtenu face.
1. Déterminer la loi de probabilité suivie par \text{X}.
2. Déterminer \mathrm{P}(\mathrm{X}=0) et \mathrm{P}(\mathrm{X}=1).
3. Déterminer \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 1) et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 4).
4. Déterminer \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 5).

1. Pour justifier qu'on est en présence d'une loi binomiale, il est essentiel de vérifier que les épreuves répétées sont identiques et indépendantes.

2. On utilise la formule du cours en remplaçant n, p et k par les bonnes valeurs.

3. On peut décomposer l'événement \{\mathrm{X} \leqslant k\}, à l'aide d'événements élémentaires ou bien obtenir ces résultats à l'aide d'une calculatrice ou de tout autre outil informatique.

4. Certains modèles de calculatrice ne permettent d'obtenir que des probabilités du type \mathrm{P}(\mathrm{X}=k) et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k). Il faut donc savoir s'y ramener, en utilisant en particulier des événements contraires et la formule \mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}) où \text{A} et \overline{\mathrm{A}} désignent deux événements contraires.

Les calculatrices ou les tableurs permettent de retrouver ces diagrammes. L'utilisation d'une calculatrice pour les calculs liés à une loi binomiale est présenté dans les rabats.

Soient n un entier naturel strictement positif et p un nombre réel de l'intervalle [0~; 1].
On note \text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n et p.
1. L'espérance de \text{X} est \mathrm{E}(\mathrm{X})=n p.
2. La variance de \text{X} est \mathrm{V}(\mathrm{X})=n p(1-p).
3. L'écart type de \text{X} est \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{n p(1-p)}.

Attention de n'utiliser ces formules que pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

1. Voir exercice

88 p. 370

.

2. La démonstration de la variance est faite dans le

chapitre 13 p. 387

.

3. On sait que, pour toute variable aléatoire \text{X}, \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}. Cela reste vrai si \text{X} suit une loi binomiale d'où, dans le cas présent, \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{n p(1-p)}.

Une deuxième démonstration de la formule de l'espérance utilise les sommes de variables aléatoires (chapitre 13).

On considère une situation où la probabilité de réussir un entretien d'embauche est égale à 0{,}12. On interroge dix candidats et on suppose leur embauche indépendante de celle des autres candidats. On note \text{X} la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont réussi leur entretien parmi les dix.

1. Calculer \mathrm{E}(\mathrm{X}) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
2. Calculer \mathrm{V}(\mathrm{X}) et \sigma(\mathrm{X}).

1. Après avoir identifié la variable aléatoire \text{X} qui suit une loi binomiale, la propriété \mathrm{E}(\mathrm{X})=n p est utilisée pour calculer l'espérance de \text{X}. L'interprétation de l'espérance de \text{X} est celle de toute variable aléatoire. Il est important de l'interpréter comme une moyenne qui n'est vraie que pour un très grand nombre de répétitions de l'expérience.

2. On calcule la variance et l'écart type de \text{X} en utilisant les formules appropriées.