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2. Loi binomiale
P.356-358

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COURS 2


2
Loi binomiale




A
Définition de la loi binomiale


Définition

Soient un entier naturel non nul et un réel de l’intervalle .
On note la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenu lors de répétitions identiques et indépendantes d’un schéma de Bernoulli dont est la probabilité du succès.
On dit alors que suit la loi binomiale de paramètres et .

NOTATION

La loi binomiale de paramètres et se note .

Remarque

Pour une loi binomiale de épreuves, on peut formaliser l’univers par .

Propriété

Soient un entier naturel inférieur ou égal à et une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et . Alors .

Rappel

On a .

DÉMONSTRATION

Dans un schéma de Bernoulli, chaque chemin permettant d’obtenir succès permet aussi d’obtenir échecs. Chacun de ces chemins a donc pour probabilité .
Chaque chemin est déterminé par la donnée de ses succès : le nombre de chemins menant à succès est égal au nombre de combinaisons de parmi .
On en déduit .
Illustration avec .
En rouge les chemins menant à succès.
Il y a chemins permettant d’obtenir deux succès. Chacun d’eux correspond à une probabilité égale à .

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Définition de la loi binomiale

Remarque

Pour un entier vérifiant , correspond au nombre de chemins passant par exactement succès.

Exemple

On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne. On répète dix fois l’expérience et on note la variable aléatoire qui compte le nombre de boules bleues obtenu à la fin des dix tirages. Le tirage de chaque boule est une épreuve de Bernoulli, de succès « La boule est bleue. » de probabilité . Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants. comptant le nombre de succès, la variable suit donc la loi binomiale de paramètres et .
La probabilité d’obtenir exactement sept boules bleues (et donc trois boules vertes) est de .

Remarque

Pour justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale, il faut justifier qu’elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.

Application et méthode - 2

Énoncé

On lance six fois une pièce de monnaie équilibrée. On note la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’on a obtenu face.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par .
2. Déterminer et .
3. Déterminer et .
4. Déterminer .

Solution

1. Chaque lancer de pièce est une épreuve de Bernoulli de succès « On obtient face. » dont la probabilité est . La variable aléatoire compte le nombre de succès lors de la répétition de six épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc suit la loi binomiale de paramètres et .

2.


3.
À l’aide de la calculatrice, on obtient .

4. L’événement contraire de est .
Donc .

Pour s'entraîner : exercices 27, 28 et 29 p. 364

Méthode

1. Pour justifier qu’on est en présence d’une loi binomiale, il est essentiel de vérifier que les épreuves répétées sont identiques et indépendantes.

2. On utilise la formule du cours en remplaçant , et par les bonnes valeurs.

3. On peut décomposer l’événement , à l’aide d’événements élémentaires ou bien obtenir ces résultats à l’aide d’une calculatrice ou de tout autre outil informatique.

4. Certains modèles de calculatrice ne permettent d’obtenir que des probabilités du type et . Il faut donc savoir s’y ramener, en utilisant en particulier des événements contraires et la formule et désignent deux événements contraires.

B
Représentation graphique de la loi binomiale


La représentation de la distribution correspondant à une loi binomiale dépend du paramètre  : plus est proche de et plus la probabilité d’obtenir un succès sera faible. Si devient proche de alors la probabilité d’obtenir un grand nombre de succès sera élevée. Ci‑dessous, on voit ce qu’il se passe avec et différentes valeurs de .
La hauteur de chaque bâton au niveau de l’abscisse correspond à .

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Représentation graphique de la loi binomiale

Remarque

Les calculatrices ou les tableurs permettent de retrouver ces diagrammes.
L’utilisation d’une calculatrice pour les calculs liés à une loi binomiale est présenté dans les rabats.

C
Espérance, variance et écart type


Propriétés

Soient un entier naturel strictement positif et un nombre réel de l’intervalle .
On note une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et .
1. L’espérance de est .
2. La variance de est .
3. L’écart type de est .

Remarque

Attention de n’utiliser ces formules que pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

DÉMONSTRATION

1. Voir exercice
88
p. 370
.

2. La démonstration de la variance est faite dans le chapitre 13 p. 387.

3. On sait que, pour toute variable aléatoire , . Cela reste vrai si suit une loi binomiale d’où, dans le cas présent, .

Remarque

Une deuxième démonstration de la formule de l’espérance utilise les sommes de variables aléatoires (chapitre 13).

Exemple

On reprend l’exemple de la page 356. La variable suit la loi binomiale de paramètres et . On a .
Lorsque l’on répète un très grand nombre de fois cette expérience de dix tirages, alors le nombre moyen de boules bleues tirées est environ égal à .
On obtient alors et .

Application et méthode - 3

Énoncé

On considère une situation où la probabilité de réussir un entretien d’embauche est égale à . On interroge dix candidats et on suppose leur embauche indépendante de celle des autres candidats. On note la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont réussi leur entretien parmi les dix.

1. Calculer et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
2. Calculer et .

Solution

L’entretien d’un candidat est une épreuve de Bernoulli de succès « La personne a réussi son entretien d’embauche. » et de paramètre .
compte le nombre de succès lors de la répétition de dix épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Ainsi, suit la loi binomiale de paramètres et .

1. On a . Sur un très grand nombre d’expériences réalisées, pour chaque groupe de dix candidats, le nombre moyen de candidats embauchés sera proche de .

2. On obtient la variance et l’écart type en appliquant les formules appropriées et .

Pour s'entraîner : exercices 37, 38 et 39 p. 365

Méthode

1. Après avoir identifié la variable aléatoire qui suit une loi binomiale, la propriété est utilisée pour calculer l’espérance de . L’interprétation de l’espérance de est celle de toute variable aléatoire. Il est important de l’interpréter comme une moyenne qui n’est vraie que pour un très grand nombre de répétitions de l’expérience.

2. On calcule la variance et l’écart type de en utilisant les formules appropriées.

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