Pour une loi binomiale de $n$ épreuves, on peut formaliser l’univers par $\{0;1{\}}^n$.

On a $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{(n-k)!k!}$.

DÉMONSTRATION

Dans un schéma de Bernoulli, chaque chemin permettant d’obtenir $k$ succès permet aussi d’obtenir $n-k$ échecs. Chacun de ces chemins a donc pour probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$.
Chaque chemin est déterminé par la donnée de ses $k$ succès : le nombre de chemins menant à $k$ succès est égal au nombre de combinaisons de $k$ parmi $n$.
On en déduit $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$.
Illustration avec $n=3$.
En rouge les chemins menant à $k=2$succès.
Il y a $\left(\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right)=3$ chemins permettant d’obtenir deux succès. Chacun d’eux correspond à une probabilité égale à $p^2\times (1-p)$.

Pour un entier $k$ vérifiant $0⩽k⩽n$, $\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)$ correspond au nombre de chemins passant par exactement $k$ succès.

Exemple

On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne. On répète dix fois l’expérience et on note $\text{X}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de boules bleues obtenu à la fin des dix tirages. Le tirage de chaque boule est une épreuve de Bernoulli, de succès $\text{S}$ « La boule est bleue. » de probabilité $\frac{2}{3}$. Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants. $\text{X}$ comptant le nombre de succès, la variable $\text{X}$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\frac{2}{3}$.
La probabilité d’obtenir exactement sept boules bleues (et donc trois boules vertes) est de $\mathrm{P}(\mathrm{X}=7)=\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^7{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^{10-7}\approx 0,260$.

Pour justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale, il faut justifier qu’elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.

On lance six fois une pièce de monnaie équilibrée. On note $\text{X}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’on a obtenu face.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par $\text{X}$.
2. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)$ et $\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)$.
3. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽1)$ et $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽4)$.
4. Déterminer $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾5)$.

La représentation de la distribution correspondant à une loi binomiale dépend du paramètre $p$ : plus $p$ est proche de $0$ et plus la probabilité d’obtenir un succès sera faible. Si $p$ devient proche de $1$ alors la probabilité d’obtenir un grand nombre de succès sera élevée. Ci‑dessous, on voit ce qu’il se passe avec $n=8$ et différentes valeurs de $p$.
La hauteur de chaque bâton au niveau de l’abscisse $k$ correspond à $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)$.

Les calculatrices ou les tableurs permettent de retrouver ces diagrammes.
L’utilisation d’une calculatrice pour les calculs liés à une loi binomiale est présenté dans les rabats.

Attention de n’utiliser ces formules que pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

DÉMONSTRATION

1. Voir exercice

88

p. 370.

2. La démonstration de la variance est faite dans le chapitre 13 p. 387.

3. On sait que, pour toute variable aléatoire $\text{X}$, $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}$. Cela reste vrai si $\text{X}$ suit une loi binomiale d’où, dans le cas présent, $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{np(1-p)}$.

Une deuxième démonstration de la formule de l’espérance utilise les sommes de variables aléatoires (chapitre 13).

Exemple

On reprend l’exemple de la page 356. La variable $\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\frac{2}{3}$. On a $\mathrm{E}(\mathrm{X})=np=10\times \frac{2}{3}=\frac{20}{3}$.
Lorsque l’on répète un très grand nombre de fois cette expérience de dix tirages, alors le nombre moyen de boules bleues tirées est environ égal à $\frac{20}{3}$.
On obtient alors $\mathrm{V}(\mathrm{X})=np(1-p)=10\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{20}{9}$ et $\sigma (\mathrm{X})=\sqrt{\frac{20}{9}}\approx 1,49$.

On considère une situation où la probabilité de réussir un entretien d’embauche est égale à $0,12$. On interroge dix candidats et on suppose leur embauche indépendante de celle des autres candidats. On note $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont réussi leur entretien parmi les dix.

1. Calculer $\mathrm{E}(\mathrm{X})$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
2. Calculer $\mathrm{V}(\mathrm{X})$ et $\sigma (\mathrm{X})$.