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2. Loi binomiale
P.356-358

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COURS 2


2
Loi binomiale




A
Définition de la loi binomiale


Définition

Soient nn un entier naturel non nul et pp un réel de l’intervalle [0 ;1][0~; 1].
On note X\text{X} la variable aléatoire comptant le nombre de succès obtenu lors de nn répétitions identiques et indépendantes d’un schéma de Bernoulli dont pp est la probabilité du succès.
On dit alors que X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres nn et pp.

NOTATION

La loi binomiale de paramètres nn et pp se note B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p).

Remarque

Pour une loi binomiale de nn épreuves, on peut formaliser l’univers par {0 ;1}n\{0~; 1\}^{n}.

Propriété

Soient kk un entier naturel inférieur ou égal à nn et X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres nn et pp. Alors P(X=k)=(nk)pk(1p)nk\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}.

Rappel

On a (nk)=n!(nk)!k!\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=\dfrac{n !}{(n-k) ! k !}.

DÉMONSTRATION

Dans un schéma de Bernoulli, chaque chemin permettant d’obtenir kk succès permet aussi d’obtenir nkn - k échecs. Chacun de ces chemins a donc pour probabilité pk(1p)nkp^{k}(1-p)^{n-k}.
Chaque chemin est déterminé par la donnée de ses kk succès : le nombre de chemins menant à kk succès est égal au nombre de combinaisons de kk parmi nn.
On en déduit P(X=k)=(nk)pk(1p)nk\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}.
Illustration avec n=3n = 3.
En rouge les chemins menant à k=2k = 2 succès.
Il y a (32)=3\left(\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right)=3 chemins permettant d’obtenir deux succès. Chacun d’eux correspond à une probabilité égale à p2×(1p)p^{2} \times(1-p).

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Définition de la loi binomiale

Remarque

Pour un entier kk vérifiant 0kn0 \leqslant k \leqslant n, (nk)\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) correspond au nombre de chemins passant par exactement kk succès.

Exemple

On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur puis on remet la boule dans l’urne. On répète dix fois l’expérience et on note X\text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de boules bleues obtenu à la fin des dix tirages. Le tirage de chaque boule est une épreuve de Bernoulli, de succès S\text{S} « La boule est bleue. » de probabilité 23\dfrac{2}{3}. Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants. X\text{X} comptant le nombre de succès, la variable X\text{X} suit donc la loi binomiale de paramètres n=10n = 10 et p=23p=\dfrac{2}{3}.
La probabilité d’obtenir exactement sept boules bleues (et donc trois boules vertes) est de P(X=7)=(107)(23)7(123)1070,260\mathrm{P}(\mathrm{X}=7)=\left(\begin{array}{c}10 \\ 7\end{array}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\left(1-\dfrac{2}{3}\right)^{10-7} \approx 0{,}260.

Remarque

Pour justifier qu’une variable aléatoire suit une loi binomiale, il faut justifier qu’elle compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.

Application et méthode - 2

Énoncé

On lance six fois une pièce de monnaie équilibrée. On note X\text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où l’on a obtenu face.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X\text{X}.
2. Déterminer P(X=0)\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) et P(X=1)\mathrm{P}(\mathrm{X}=1).
3. Déterminer P(X1)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 1) et P(X4)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 4).
4. Déterminer P(X5)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 5).

Solution

1. Chaque lancer de pièce est une épreuve de Bernoulli de succès S\text{S} « On obtient face. » dont la probabilité est p=0,5p = 0{,}5. La variable aléatoire X\text{X} compte le nombre de succès lors de la répétition de six épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=6n = 6 et p=0,5p = 0{,}5.

2. P(X=0)=(60)0,50(10,5)60=0,015625\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0\end{array}\right) 0{,}5^{0}(1-0{,}5)^{6-0}=0{,}015625
P(X=1)=(61)0,51(10,5)61=0,09375\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=\left(\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\right) 0{,}5^{1}(1-0{,}5)^{6-1}=0{,}09375

3. P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=0,109375\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 1)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)+\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0{,}109375
À l’aide de la calculatrice, on obtient P(X4)=0,890625\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 4)=0,890625.

4. L’événement contraire de {X5}\{\mathrm{X} \geqslant 5\} est {X4}\{\mathrm{X} \leqslant 4\}.
Donc P(X5)=1P(X4)=0,109375\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 5)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 4)=0,109375.

Pour s'entraîner : exercices 27, 28 et 29 p. 364

Méthode

1. Pour justifier qu’on est en présence d’une loi binomiale, il est essentiel de vérifier que les épreuves répétées sont identiques et indépendantes.

2. On utilise la formule du cours en remplaçant nn, pp et kk par les bonnes valeurs.

3. On peut décomposer l’événement {Xk}\{\mathrm{X} \leqslant k\}, à l’aide d’événements élémentaires ou bien obtenir ces résultats à l’aide d’une calculatrice ou de tout autre outil informatique.

4. Certains modèles de calculatrice ne permettent d’obtenir que des probabilités du type P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k) et P(Xk)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k). Il faut donc savoir s’y ramener, en utilisant en particulier des événements contraires et la formule P(A)=1P(A)\mathrm{P}(\overline{\mathrm{A}})=1-\mathrm{P}(\mathrm{A})A\text{A} et A\overline{\mathrm{A}} désignent deux événements contraires.

B
Représentation graphique de la loi binomiale


La représentation de la distribution correspondant à une loi binomiale dépend du paramètre pp : plus pp est proche de 00 et plus la probabilité d’obtenir un succès sera faible. Si pp devient proche de 11 alors la probabilité d’obtenir un grand nombre de succès sera élevée. Ci‑dessous, on voit ce qu’il se passe avec n=8n = 8 et différentes valeurs de pp.
La hauteur de chaque bâton au niveau de l’abscisse kk correspond à P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k).

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Représentation graphique de la loi binomiale

Remarque

Les calculatrices ou les tableurs permettent de retrouver ces diagrammes.
L’utilisation d’une calculatrice pour les calculs liés à une loi binomiale est présenté dans les rabats.

C
Espérance, variance et écart type


Propriétés

Soient nn un entier naturel strictement positif et pp un nombre réel de l’intervalle [0 ;1][0~; 1].
On note X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres nn et pp.
1. L’espérance de X\text{X} est E(X)=np\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p.
2. La variance de X\text{X} est V(X)=np(1p)\mathrm{V}(\mathrm{X})=n p(1-p).
3. L’écart type de X\text{X} est σ(X)=np(1p)\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{n p(1-p)}.

Remarque

Attention de n’utiliser ces formules que pour une variable aléatoire qui suit une loi binomiale.

DÉMONSTRATION

1. Voir exercice
88
p. 370
.

2. La démonstration de la variance est faite dans le chapitre 13 p. 387.

3. On sait que, pour toute variable aléatoire X\text{X}, σ(X)=V(X)\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\mathrm{V}(\mathrm{X})}. Cela reste vrai si X\text{X} suit une loi binomiale d’où, dans le cas présent, σ(X)=np(1p)\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{n p(1-p)}.

Remarque

Une deuxième démonstration de la formule de l’espérance utilise les sommes de variables aléatoires (chapitre 13).

Exemple

On reprend l’exemple de la page 356. La variable X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=10n = 10 et p=23p=\dfrac{2}{3}. On a E(X)=np=10×23=203\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p=10 \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{3}.
Lorsque l’on répète un très grand nombre de fois cette expérience de dix tirages, alors le nombre moyen de boules bleues tirées est environ égal à 203\dfrac{20}{3}.
On obtient alors V(X)=np(1p)=10×23×13=209\mathrm{V}(\mathrm{X})=n p(1-p)=10 \times \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{20}{9} et σ(X)=2091,49\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{\dfrac{20}{9}} \approx 1{,}49.

Application et méthode - 3

Énoncé

On considère une situation où la probabilité de réussir un entretien d’embauche est égale à 0,120{,}12. On interroge dix candidats et on suppose leur embauche indépendante de celle des autres candidats. On note X\text{X} la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont réussi leur entretien parmi les dix.

1. Calculer E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
2. Calculer V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) et σ(X)\sigma(\mathrm{X}).

Solution

L’entretien d’un candidat est une épreuve de Bernoulli de succès S\text{S} « La personne a réussi son entretien d’embauche. » et de paramètre p=0,12p = 0{,}12.
X\text{X} compte le nombre de succès lors de la répétition de dix épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Ainsi, X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=10n = 10 et p=0,12p = 0{,}12.

1. On a E(X)=np=10×0,12=1,2\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p=10 \times 0{,}12=1{,}2. Sur un très grand nombre d’expériences réalisées, pour chaque groupe de dix candidats, le nombre moyen de candidats embauchés sera proche de 1,21{,}2.

2. On obtient la variance et l’écart type en appliquant les formules appropriées V(X)=np(1p)=10×0,12×(10,12)=1,056\mathrm{V}(\mathrm{X})=n p(1-p)=10 \times 0{,}12 \times(1-0{,}12)=1{,}056 et σ(X)=1,0561,028\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{1{,}056} \approx 1{,}028.

Pour s'entraîner : exercices 37, 38 et 39 p. 365

Méthode

1. Après avoir identifié la variable aléatoire X\text{X} qui suit une loi binomiale, la propriété E(X)=np\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p est utilisée pour calculer l’espérance de X\text{X}. L’interprétation de l’espérance de X\text{X} est celle de toute variable aléatoire. Il est important de l’interpréter comme une moyenne qui n’est vraie que pour un très grand nombre de répétitions de l’expérience.

2. On calcule la variance et l’écart type de X\text{X} en utilisant les formules appropriées.

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