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2. Loi binomiale
P.367-370

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Entraînement


2
Loi binomiale





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 54 ; 56 ; 64 ; 74 ; 80 et 97
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 65 ; 68 ; 76 ; 81 ; 86 et 98
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 70 ; 73 et 88

59
FLASH

Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=10n=10 et p=0,6p=0{,}6. Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Préciser laquelle en justifiant.

1. La probabilité P(X=1)\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) est égale à :
a. 10×0,6×0,4910 \times 0{,}6 \times 0{,}4^{9} b. (101)×0,6×0,4\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right) \times 0{,}6 \times 0{,}4
c. 0,6×100{,}6 \times 10 d. (101)\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right)


2. La probabilité P(X1)\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 1) est égale à :
a. (101)×0,6×0,49\left(\begin{array}{c}10 \\ 1\end{array}\right) \times 0{,}6 \times 0{,}4^{9} b. (10,6)10(1-0{,}6)^{10}
c. 10,6101-0{,}6^{10} d. 10,4101-0{,}4^{10}
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60
FLASH

Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=25n=25 et p=0,17p=0{,}17.
En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée au millième des valeurs suivantes.

1. P(X=5)\mathrm{P}(\mathrm{X}=5)


2. P(X5)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 5)


3. E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X})


4. V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X})
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61
FLASH

Soit X\text{X} une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres n=12n=12 et p=0,39p=0{,}39.
Déterminer l’entier kk pour lequel la probabilité P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k) est maximale.
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62
FLASH

Soient nn un entier naturel non nul, pp un réel appartenant à [0 ;1][0~; 1] et X\text{X} une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres nn et pp.
Parmi les propositions suivantes, préciser, en justifiant, celles qui sont toujours vraies.

1. P(X=n)=P(Xn)\mathrm{P}(\mathrm{X}=n)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant n)


2. P(X=0)=P(X0)\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 0)


3. À pp fixé, plus nn est grand, plus E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) est grande.


4. À nn fixé, plus pp est grand, plus E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) est grande.


5. À pp fixé, plus nn est grand, plus V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) est grande.


6. À nn fixé, plus pp est grand, plus V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) est grande.
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63
[Chercher.]
Un dé à six faces non pipé est jeté sept fois de suite. La variable aléatoire X\text{X} compte le nombre d’apparitions de la face 11. Quelle est la probabilité d’avoir X=7\mathrm{X} = 7 sachant que la face 11 est apparue à chacun des six premiers jets ?
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64
[Raisonner.] ◉◉
Pour se rendre de son domicile au lycée, Kyllian doit traverser quatre passages piétons équipés d’une signalisation lumineuse. Il estime que les signalisations ne sont pas synchronisées et que la probabilité d’arriver à un passage avec un feu rouge est égale à 0,60{,}6.

1. En termes d’événements de probabilité, comment traduire le fait que les signalisations ne soient pas synchronisées ?


2. Aujourd’hui, à l’aller, tous les feux étaient verts. Quelle est la probabilité d’un tel événement ?


3. Lors de ce trajet, est‑il plus probable d’avoir un seul ou deux feux verts ?
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65
[Communiquer.] ◉◉
Pendant une partie de jeu de rôle, l’elfe joué par Delphine combat un troll. Deux stratégies sont possibles : une attaque normale ou une attaque spéciale.

1. Avec son attaque normale, elle doit lancer cinq dés à six faces. Pour vaincre le troll, elle doit obtenir au moins trois faces d’une valeur de 5 ou plus.
Quelle est la probabilité de le vaincre durant cette phase à l’aide d’une attaque normale ?


2. Avec une attaque spéciale, elle lance deux dés. Si elle obtient au moins un 6, l’ennemi est tué.
Quelle est la probabilité de vaincre le troll durant cette phase à l’aide d’une attaque spéciale ?


3. Quelle est l’attaque la plus efficace ?
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66
[Raisonner.]
Tatiana participe à un jeu pour lequel elle doit payer 55 €. Dans un jeu de 3232 cartes, elle doit tirer quatre cartes avec remise. Si elle obtient quatre as, elle gagne mm €. Si elle tire un, deux ou trois as, elle gagne 1010 €. Sinon, elle perd sa mise.

1. Si m=50m=50, ce jeu est‑il équitable ? Justifier.


2. À partir de quelle valeur de mm ce jeu devient‑il favorable à Tatiana ?
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67
[Calculer.] ◉◉◉
La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=56n=56 et p=0,13p=0{,}13.
En détaillant la démarche, calculer les valeurs suivantes.

1. PX10(X=9)\mathrm{P}_{\mathrm{X} \leqslant 10}(\mathrm{X}=9)


2. PX>5(X<15)\mathrm{P}_{\mathrm{X}>5}(\mathrm{X} \lt 15)
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68
[Calculer.] ◉◉
La variable aléatoire X\text{X} suit la loi binomiale de paramètres n=20n=20 et p=0,65p=0{,}65.
En utilisant éventuellement la calculatrice, calculer les valeurs suivantes.

1. P(X=13)\mathrm{P}(\mathrm{X}=13)


2. P(X<15)\mathrm{P}(\mathrm{X} \lt 15)


3. P(7X14)\mathrm{P}(7 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 14)


4. PX<15(X=13)\mathrm{P}_{\mathrm{X} \lt 15}(\mathrm{X}=13)


5. P7X14(X<15)\mathrm{P}_{7 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 14}(\mathrm{X} \lt 15)


6. PX<15(7X14)\mathrm{P}_{\mathrm{X} \lt 15}(7 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 14)
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69
ALGO
[Modéliser.]
Soit nn un entier naturel non nul fixé. On lance nn fois une pièce supposée équilibrée et on note, pour chaque lancer, le côté face (F\text{F}) ou pile (F\overline{\mathrm{F}}) obtenu.

1. Exprimer, en fonction de nn, la probabilité pnp_n d’avoir au moins un « face » lors des nn lancers.


2. Écrire un algorithme qui détermine la plus petite valeur de nn telle que pn0,9999p_{n} \geqslant 0{,}9999.

3. Programmer cet algorithme avec Python.



  

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70
[Raisonner.] ◉◉◉
On suppose que nn touristes (n3n \geqslant 3) se retrouvent en haut de la falaise où se trouvent seulement deux chemins menant vers deux plages. Ces nn touristes veulent tous se baigner et chacun d’eux choisit au hasard, de façon équiprobable et indépendamment des autres, l’une des deux directions suivantes : la plage à l’est ou la plage à l’ouest. On note X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l’est.

1. Déterminer la loi de probabilité suivie par X\text{X}.


2. On suppose ici que les deux plages sont désertes au départ. On considère qu’un touriste est heureux s’il se retrouve seul sur une plage.
a. Peut‑il y avoir deux touristes heureux ?


b. Lorsque n=3n=3, quelle est la probabilité d’avoir un touriste heureux ?


c. De façon générale, démontrer que la probabilité pp qu’il y ait un touriste heureux parmi nn touristes est p=n2n1p=\dfrac{n}{2^{n-1}}.


d. En déduire la probabilité, arrondie au centième, qu’il y ait un touriste heureux sur un groupe de dix touristes.


Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 70 - plage
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Pour les exercices
71
et 
72

Préciser pourquoi la variable aléatoire ne suit pas une loi binomiale en utilisant l’urne ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 71 et 72

71
[Modéliser.]
On procède au tirage sans remise de quatre boules.
X\text{X} est la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu.
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72
[Modéliser.]
On procède au tirage avec remise de quatre boules.
Y\text{Y} est la variable aléatoire égale au minimum des numéros obtenu.
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73
[Communiquer.] ◉◉◉
Dans chacun des cas suivants, déterminer si la variable aléatoire X\text{X} suit ou non une loi binomiale en précisant les paramètres lorsque c’est le cas.

1. On lance quatre fois une pièce équilibrée.
La variable aléatoire X\text{X} est égale à 11 si la même face est apparue 44 fois et à 00 sinon.


2. On lance dix fois un dé équilibré à six faces.
X\text{X} est la variable aléatoire égale au plus grand résultat obtenu.


3. On lance sept fois une pièce non équilibrée telle que la probabilité d’apparition de face est le double de celle de pile. X\text{X} compte le nombre d’apparitions de face.


4. On tire au hasard des cartes dans un jeu de 5252 cartes.
X\text{X} est la variable aléatoire donnant le nombre de cartes tirées avec remise avant d’obtenir l’as de coeur.


5. On lance un dé équilibré à six faces et on recommence tant que la face 11 n’est pas apparue.
La variable aléatoire X\text{X} est égale au nombre d’apparitions de la face 44.


6. Une urne contient deux boules vertes, une boule rouge et une boule bleue. On tire avec remise quatre boules. La variable aléatoire X\text{X} est égale au nombre de boules rouges obtenu.


7. Dans une urne contenant trois boules rouges et une boule noire, on prélève deux boules sans remise.
La variable aléatoire X\text{X} est égale au nombre de boules rouges obtenu.


8. Dans un cinéma, lors de la projection d’un film, les personnes ayant réservé se présentent avec une probabilité égale à p=0,93p=0{,}93. Il y a eu des réservations pour 100100 personnes. Soit X\text{X} la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant réservé qui se présentent lors de la projection.


9. On lance trois dés équilibrés à six faces. Soit X\text{X} la variable aléatoire correspondant à la somme des trois faces.


10. Dans une urne contenant sept boules numérotées 00, et quatre boules numérotées 11, on prélève, avec remise, trois boules. La variable aléatoire X\text{X} correspond à la somme des nombres inscrits sur les boules prélevées.


11. On prélève trois pièces, sans remise, dans un lot de 100 000100 000 pièces contenant 1 0001 000 pièces défectueuses.
La qualité de chaque pièce est supposée indépendante de celle des autres. La variable aléatoire X\text{X} compte le nombre de pièces défectueuses obtenu.
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74
[Calculer.] ◉◉
Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=40n=40 et p=0,31p=0{,}31.

1. Calculer, si possible, P(X=11)\mathrm{P}(\mathrm{X}=11), P(X=13,5)\mathrm{P}(\mathrm{X}=13{,}5) et P(X=1)\mathrm{P}(\mathrm{X}=-1).


2. Calculer P(X12)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 12) et P(X>17)\mathrm{P}(\mathrm{X}>17).


3. Calculer P(10<X20)\mathrm{P}(10 \lt \mathrm{X} \leqslant 20) et P(7,8X<9)\mathrm{P}(7,8 \leqslant \mathrm{X} \lt 9).


4. Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de X\text{X}.
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75
[Modéliser.]
Dans une course de 2020 chevaux où tous les chevaux sont de même niveau, la probabilité qu’un parieur devine l’arrivée des quatre premiers chevaux dans l’ordre est 1116 280\dfrac{1}{116~280}.
Pour une course, 80 00080 000 parieurs jouent de manière indépendante et essaient de donner l’ordre d’arrivée des quatre premiers chevaux.
En utilisant une variable aléatoire suivant une loi binomiale à définir, calculer le nombre moyen, sur un très grand nombre de courses, de gagnants parmi les joueurs. On arrondira au centième.
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76
[Chercher.] ◉◉
Soit X\text{X} une variable aléatoire réelle qui suit une loi binomiale de paramètres nn et pp résumée dans le tableau ci‑dessous.

xi\boldsymbol{x_i} 00 11 22 33 44 55 66
P(X=xi)\mathbf{P}\left(\mathbf{X}=\boldsymbol{x}_{i}\right) 6415 625\dfrac{64}{15~625} 57615 625\dfrac{576}{15~625} 4323 125\dfrac{432}{3~125} 8643 125\dfrac{864}{3~125} 9723 125\dfrac{972}{3~125} 2 91615 625\dfrac{2~916}{15~625} 72915 625\dfrac{729}{15~625}

Déterminer les valeurs des deux paramètres nn et pp de la loi binomiale.
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77
[Communiquer.]
Yasmine aime jouer à la roulette. Pendant une soirée, elle joue 4040 fois la couleur rouge. Chaque coup, pour une mise de 11 €, elle gagne le triple de sa mise avec une probabilité égale à 1837\dfrac{18}{37} et perd sa mise avec une probabilité égale à 1937\dfrac{19}{37}.
Soient X\text{X} et G\text{G} les variables aléatoires égales respectivement au nombre de fois où Yasmine gagne et au gain algébrique (ce gain peut donc être négatif si Yasmine perd plus d’argent qu’elle n’en gagne).
Déterminer les gains maximaux, minimaux et moyens de Yasmine.
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78
[Chercher.]
Soit X\text{X} une variable aléatoire.
Sachant que son espérance vaut 19,219{,}2 et que sa variance vaut 3,843{,}84, X\text{X} peut‑elle suivre une loi binomiale ?
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79
[Chercher.]
Soit X\text{X} une variable aléatoire.
Sachant que son espérance vaut 18,7218{,}72 et que sa variance vaut 13,10413{,}104, X\text{X} peut‑elle suivre une loi binomiale ?
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80
[Calculer.] ◉◉
Sven pratique le tir sportif. Il touche la cible avec une probabilité égale à 34\dfrac{3}{4}.
Pendant une séance d’entraînement, on admet que ses 6060 tirs sont indépendants et réalisés dans des conditions identiques.
On note C\mathrm{C} la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la cible est atteinte au cours de la séance.

1. Justifier que C\mathrm{C} suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.


2. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que Sven touche au moins 5050 fois la cible pendant la séance ?
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81
[Calculer.] ◉◉
Dans un petit service départemental d’incendie et de secours (SDIS) du Grand Est, la variable aléatoire X\text{X} donnant le nombre d’interventions quotidiennes suit la loi binomiale de paramètres n=6n=6 et p=0,2p=0{,}2.

1. Déterminer la probabilité qu’il se passe une journée sans aucune intervention.


2. Déterminer le nombre moyen d’interventions quotidiennes.


3. Sachant qu’une intervention a déjà eu lieu ce matin, quelle est la probabilité qu’il y ait au moins trois interventions aujourd’hui ?
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82
TABLEUR
[Communiquer.]
Dominique a mis en place une feuille de calcul.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 82 - tableur

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 82 - tableur

1. Expliquer ce que permettent de faire les deux formules.


2. Combien de lignes Simulation y a‑t‑il dans le document ?


3. Quel type de variable aléatoire Dominique a‑t‑il simulé ? Préciser ses paramètres.


4. Calculer la moyenne des effectifs, pondérés par les sommes. Le résultat est‑il surprenant ?
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83
PYTHON
[Communiquer.]
Le programme Python donné ci‑dessous simule la même expérience aléatoire que dans l’exercice précédent.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 83

1. Expliquer ce que permettent de faire les lignes 8, 11 et 13.


2. Que renvoie ce programme ?
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84
[Calculer.]
Lors de la kermesse de l’école, un jeu est organisé. Une urne contient 3030 boules rouges et 1010 boules noires.
Pour une mise initiale de 11 €, un joueur peut prélever au hasard et avec remise quatre boules de l’urne. Pour chaque boule noire obtenue, il gagne 11 €.

1. Quels sont les gains algébriques possibles ?


2. Quelle est la probabilité que le joueur perde 11 € ?


3. Quelle est la probabilité d’obtenir le gain maximal ?


4. Ce jeu est‑il équitable ? Justifier.
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85
[Modéliser.]
Soit nn un entier naturel non nul. On considère l’expérience aléatoire suivante : on lance nn pièces équilibrées. Chaque pièce qui a donné pile est ensuite relancée une fois. La variable aléatoire X\text{X} est égale au nombre de pile obtenu lors de la deuxième série de lancers. Déterminer la loi de probabilité suivie par X\text{X}, puis son espérance et sa variance.
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86
[Calculer.]
Maxime est un cuisiner maladroit : à chaque fois qu’il fait un gâteau, il laisse tomber un œuf par terre avec une probabilité de 0,60{,}6. S’il laisse tomber un œuf, il devra en prendre un autre qu’il ne laissera pas tomber.
Maxime fait un gâteau par semaine et chaque gâteau nécessite un seul œuf : de combien d’œufs aura‑t‑il besoin en moyenne chaque année de 5252 semaines ?
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87
[Calculer.]
Un père de famille a deux filles jumelles. Chaque soir, il sort se promener avec l’une d’entre elles. Pour éviter les histoires, il choisit au hasard celle avec qui il ira se promener. Ses filles, très attachées à l’égalité, ne tolèrent chaque année (de 365365 jours) que la différence de balades entre elles deux soient au maximum de six.

1. Quelle est la probabilité que, par hasard, une injustice apparaisse entre les deux sœurs ?


2. Quelle est la probabilité qu’une injustice ait lieu plus de trois fois pendant les vingt premières années de la vie des deux jumelles ?
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88
[Raisonner.] ◉◉◉
[DÉMO]

Soient nn un entier naturel non nul, pp un nombre réel compris entre 00 et 11 et X\text{X} une variable aléatoire qui suit une loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p).
Cet exercice propose de démontrer que E(X)=np\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p.

1. Démontrer que, pour tout entier kk tel que 1kn1 \leqslant k \leqslant n :
k(nk)=n(n1k1)k\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right)=n\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right).


2. On rappelle que E(X)=k=0nk×P(X=k)\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathop{\sum}\limits_{k=0}\limits^{n} k \times \mathrm{P}(\mathrm{X}=k).
Donner l’expression de P(X=k)\mathrm{P}(\mathrm{X}=k) lorsque 0kn0 \leqslant k \leqslant n puis en déduire que l’espérance de X\text{X} est égale à :
E(X)=nk=1n(n1k1)pk(1p)nk\mathrm{E}(\mathrm{X})=n \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n}\left(\begin{array}{l}n-1 \\ k-1\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k}.


Aide
k=0k = 0 n’apparaît pas dans la somme : pourquoi ?


3. En effectuant le changement d’indice i=k1i = k - 1, montrer que E(X)=npi=0n1(n1i)pi(1p)(n1)i\mathrm{E}(\mathrm{X})=n p \mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n-1}\left(\begin{array}{c}n-1 \\ i\end{array}\right) p^{i}(1-p)^{(n-1)-i}.


4. On admet que, pour tous réels aa et bb et tout nNn \in \mathbb{N}^{*} :
(a+b)n=i=0n(ni)ai×bni(a+b)^{n}=\mathop{\sum}\limits_{i=0}\limits^{n}\left(\begin{array}{c}n \\ i\end{array}\right) a^{i} \times b^{n-i}.

En utilisant le calcul de (p+(1p))n1(p+(1-p))^{n-1}, simplifier l’écriture de E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) et conclure.
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