64

[Raisonner.]
Pour se rendre de son domicile au lycée, Kyllian doit traverser quatre passages piétons équipés d'une signalisation lumineuse. Il estime que les signalisations ne sont pas synchronisées et que la probabilité d'arriver à un passage avec un feu rouge est égale à $0,6$. 1. En termes d'événements de probabilité, comment traduire le fait que les signalisations ne soient pas synchronisées ?

2. Aujourd'hui, à l'aller, tous les feux étaient verts. Quelle est la probabilité d'un tel événement ?

3. Lors de ce trajet, est‑il plus probable d'avoir un seul ou deux feux verts ?

65

[Communiquer.]
Pendant une partie de jeu de rôle, l'elfe joué par Delphine combat un troll. Deux stratégies sont possibles : une attaque normale ou une attaque spéciale. 1. Avec son attaque normale, elle doit lancer cinq dés à six faces. Pour vaincre le troll, elle doit obtenir au moins trois faces d'une valeur de 5 ou plus.
Quelle est la probabilité de le vaincre durant cette phase à l'aide d'une attaque normale ?

2. Avec une attaque spéciale, elle lance deux dés. Si elle obtient au moins un 6, l'ennemi est tué.
Quelle est la probabilité de vaincre le troll durant cette phase à l'aide d'une attaque spéciale ?

3. Quelle est l'attaque la plus efficace ?

66

[Raisonner.]
Tatiana participe à un jeu pour lequel elle doit payer $5$ €. Dans un jeu de $32$ cartes, elle doit tirer quatre cartes avec remise. Si elle obtient quatre as, elle gagne $m$ €. Si elle tire un, deux ou trois as, elle gagne $10$ €. Sinon, elle perd sa mise. 1. Si $m=50$, ce jeu est‑il équitable ? Justifier.

2. À partir de quelle valeur de $m$ ce jeu devient‑il favorable à Tatiana ?

67

[Calculer.]
La variable aléatoire $\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=56$ et $p=0,13$.
En détaillant la démarche, calculer les valeurs suivantes. 1. ${\mathrm{P}}_{\mathrm{X}⩽10}(\mathrm{X}=9)$

2. ${\mathrm{P}}_{\mathrm{X}>5}(\mathrm{X}<15)$

71

[Modéliser.]
On procède au tirage sans remise de quatre boules.
$\text{X}$ est la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenu.

72

[Modéliser.]
On procède au tirage avec remise de quatre boules.
$\text{Y}$ est la variable aléatoire égale au minimum des numéros obtenu.

77

[Communiquer.]
Yasmine aime jouer à la roulette. Pendant une soirée, elle joue $40$ fois la couleur rouge. Chaque coup, pour une mise de $1$ €, elle gagne le triple de sa mise avec une probabilité égale à $\frac{18}{37}$ et perd sa mise avec une probabilité égale à $\frac{19}{37}$.
Soient $\text{X}$ et $\text{G}$ les variables aléatoires égales respectivement au nombre de fois où Yasmine gagne et au gain algébrique (ce gain peut donc être négatif si Yasmine perd plus d'argent qu'elle n'en gagne).
Déterminer les gains maximaux, minimaux et moyens de Yasmine.

78

[Chercher.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire.
Sachant que son espérance vaut $19,2$ et que sa variance vaut $3,84$, $\text{X}$ peut‑elle suivre une loi binomiale ?

79

[Chercher.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire.
Sachant que son espérance vaut $18,72$ et que sa variance vaut $13,104$, $\text{X}$ peut‑elle suivre une loi binomiale ?

80

[Calculer.]
Sven pratique le tir sportif. Il touche la cible avec une probabilité égale à $\frac{3}{4}$.
Pendant une séance d'entraînement, on admet que ses $60$ tirs sont indépendants et réalisés dans des conditions identiques.
On note $\mathrm{C}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la cible est atteinte au cours de la séance. 1. Justifier que $\mathrm{C}$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.

2. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que Sven touche au moins $50$ fois la cible pendant la séance ?

81

[Calculer.]
Dans un petit service départemental d'incendie et de secours (SDIS) du Grand Est, la variable aléatoire $\text{X}$ donnant le nombre d'interventions quotidiennes suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,2$. 1. Déterminer la probabilité qu'il se passe une journée sans aucune intervention.

2. Déterminer le nombre moyen d'interventions quotidiennes.

3. Sachant qu'une intervention a déjà eu lieu ce matin, quelle est la probabilité qu'il y ait au moins trois interventions aujourd'hui ?

85

[Modéliser.]
Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'expérience aléatoire suivante : on lance $n$ pièces équilibrées. Chaque pièce qui a donné pile est ensuite relancée une fois. La variable aléatoire $\text{X}$ est égale au nombre de pile obtenu lors de la deuxième série de lancers. Déterminer la loi de probabilité suivie par $\text{X}$, puis son espérance et sa variance.

86

[Calculer.]
Maxime est un cuisiner maladroit : à chaque fois qu'il fait un gâteau, il laisse tomber un œuf par terre avec une probabilité de $0,6$. S'il laisse tomber un œuf, il devra en prendre un autre qu'il ne laissera pas tomber.
Maxime fait un gâteau par semaine et chaque gâteau nécessite un seul œuf : de combien d'œufs aura‑t‑il besoin en moyenne chaque année de $52$ semaines ?