[Calculer, Modéliser.]
Dans une usine qui fabrique des pièces mécaniques de précision, les normes de qualité impliquent que chaque pièce est défectueuse avec une probabilité égale à $0,05$.
Dans la production, on prélève $20$ pièces. Le nombre de pièces est suffisamment important pour assimiler ces tirages à des tirages identiques et indépendants. On appelle $\text{X}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de pièces défectueuses.
Si nécessaire, on arrondira les résultats au centième.

1. Calculer la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse, puis celle qu’exactement une pièce le soit.


2. Calculer la probabilité qu’au plus trois pièces soient défectueuses.


3. En moyenne, sur un très grand nombre de lots de $20$ pièces, combien compte‑t‑on de pièces défectueuses par lot ?

[Calculer, Modéliser.]
Dans les usines de matériel électronique, il n’est pas rare que $30$ % des pièces aillent directement au rebut.
On considère, après une série de contrôles, que la probabilité qu’une pièce soit défectueuse est égale à $0,04$, indépendamment de l’état des autres pièces de la production.
Les pièces sont conditionnées en boîtes de $25$ pièces chacune. À des fins de contrôle, on prélève $30$ boîtes dans la production.
On suppose que la production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Si nécessaire, on arrondira les résultats au centième.

1. Une boîte est considérée comme conforme si elle contient au plus trois pièces défectueuses. Quelle est la probabilité qu’une boîte soit non conforme ?


2. Lors du contrôle des $30$ boîtes, quelle est la probabilité qu’au moins trois boîtes soient non conformes ?


3. En moyenne, sur un très grand nombre de lots de $30$ boîtes, combien de boîtes parmi les $30$ sont non conformes ?

[Communiquer, Raisonner.]
1. Est‑il vrai que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale est toujours supérieure ou égale à sa variance ?
Si oui, le prouver. Si non, donner un contre‑exemple.


2. Est‑il vrai que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale est toujours supérieure ou égale à son écart type ? Si oui, le prouver. Si non, donner un contre‑exemple.

[Chercher, Modéliser.]
Pour un groupe de $n$ cobayes, au lieu d’analyser individuellement les échantillons sanguins, on applique la procédure dite de group testing suivante.

• Les échantillons sont prélevés puis une partie de chaque échantillon est mélangée avec les autres.
• Ce mélange est analysé.
• Si les résultats sont négatifs, aucun patient n’est malade. Sinon, on analyse individuellement chaque échantillon.

On cherche à trouver la valeur de $n$ permettant de limiter au maximum le nombre de tests à faire.

1. Dans cette question, $n=5$.
a. Si le résultat est négatif, combien de tests au total ont été réalisés ?
Même question si le résultat est positif.


b. On suppose à partir de maintenant que la probabilité qu’un patient soit malade est $p=0,001$. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire égale au nombre de tests réalisés.
Déterminer la loi de probabilité $\text{X}$.


c. En déduire le nombre moyen de tests et l’économie réalisée.


2. Reprendre les questions précédentes où $n$ est un entier naturel quelconque.


3. On cherche à tester $\mathrm{N}=110880$ patients.
Minimiser le nombre de tests à réaliser en déterminant la taille optimale du groupe $n$. On pourra supposer que $n$ divise $\text{N}$.

[Chercher, Communiquer.]
Pour procéder au contrôle d’un lot important d’articles dont la proportion d’articles défectueux dans le lot est notée $p$, on adopte la règle suivante.

• On prélève un article au hasard : s’il est mauvais, on refuse le lot et s’il est bon, on prélève un deuxième article.
• Si le deuxième article est mauvais, on refuse le lot et s’il est bon, on prélève un troisième article.
• Si le troisième article est mauvais, on refuse le lot et s’il est bon, on accepte le lot.

Le nombre important d’articles dans le lot permet d’assimiler le contrôle à un tirage avec remise.

1. a. Déterminer, en fonction de $p$, la probabilité de refuser le lot.


b. Soit $\text{Y}$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’articles prélevés. Déterminer l’espérance de $\text{Y}$.


2. Comparer ces résultats à ceux que l’on aurait obtenus en prélevant directement trois articles et en refusant le lot si au moins l’un de ces articles était mauvais.

[Calculer, Modéliser.]
Voulant profiter du fait que tous les passagers ne se présentent pas à l’embarquement, une compagnie aérienne pratique la surréservation : elle vend $125$ billets pour un vol pouvant embarquer $120$ passagers.
La probabilité qu’un passager ne se présente pas à l’embarquement vaut $0,1$ et on supposera que tous les passagers se comportent de manière identique et indépendante.

1. Quelle est la probabilité que tous les passagers qui se présentent à l’embarquement puissent monter à bord ?


2. Quelle est la probabilité qu’il reste des places libres à bord ?


3. En moyenne, combien de passagers se présentent à l’embarquement ?


4. La compagnie aérienne cherche à vendre encore plus de billets pour le vol. À combien de billets doit‑elle se limiter si elle souhaite que la probabilité de devoir refuser l’entrée à au moins un passager reste inférieure à $0,05$ ?

[Chercher, Représenter.]
Soient $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$ trois variables aléatoires qui suivent des lois binomiales de paramètres $n=11$ et respectivement $p_{\mathrm{X}}$, $p_{\mathrm{Y}}$ et $p_{\mathrm{Z}}$.


À partir des représentations graphiques des lois de probabilités de $\text{X}$, $\text{Y}$ et $\text{Z}$ respectivement en rouge, bleu et vert, et à l’aide d’une calculatrice, identifier les trois lois binomiales.

[Calculer, Communiquer.]
On considère l’urne ci‑dessous.


On procède au tirage avec remise de dix boules.
Soient $\mathrm{N}$, $\mathrm{R}$ et $\mathrm{V}$ les variables aléatoires respectivement égales au nombre de boules noires, rouges et vertes obtenu.

1. $\{\mathrm{V}=3\}$ est‑il un événement impossible ? Justifier.


2. Préciser les lois de probabilité que suivent $\text{N}$, $\text{R}$ et $\text{V}$.


3. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{N}=5)$, $\mathrm{P}(\mathrm{R}=6)$ et $\mathrm{P}(\mathrm{V}=1)$.


4. Calculer $\mathrm{P}(\mathrm{N}⩽3)$, $\mathrm{P}(\mathrm{R}<3)$ et $\mathrm{P}(\mathrm{V}>3)$.


5. Calculer $\mathrm{P}(3⩽\mathrm{N}⩽8)$.


6. Déterminer et interpréter $\mathrm{E}(\mathrm{N})$, $\mathrm{E}(\mathrm{R})$ et $\mathrm{E}(\mathrm{V})$.

[Chercher, Calculer.]
Le dahu est un animal difficile à chasser.
On estime que, lors d’une battue, la probabilité d’attraper un dahu est égale à $5$ %.
Quel est le nombre minimal de parties de chasse à organiser pour avoir une probabilité de $95$ % d’attraper au moins un animal ?

DEVOIR MAISON

[Communiquer, Calculer.]
D’après Bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

Une grande enseigne décide d’organiser un jeu permettant de gagner un bon d’achat. Le jeu se déroule en deux étapes.

• Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de $1$ à $50$, chaque numéro ayant la même probabilité d’être découvert.
• Étape 2 :
  → s’il découvre un numéro compris entre $1$ et $15$, il fait tourner une roue divisée en dix secteurs de même taille dont huit secteurs contiennent une étoile ;
  → sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en dix secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d’achat est gagné par le client si la roue s’arrête sur une étoile.

Partie A
Un client joue à ce jeu. On note :

• $\text{N}$ l’événement « Le client découvre un numéro entre $1$ et $15$. » ;
• $\text{E}$ l’événement « Le client obtient une étoile. »

1. a. Justifier que $\mathrm{P}(\mathrm{N})=0,3$ et que ${\mathrm{P}}_{\mathrm{N}}(\mathrm{E})=0,8$.


b. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.


2.Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre $1$ et $15$ et une étoile.


3. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d’achat est égale à $0,31$.


4. Le client a gagné un bon d’achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu un numéro entre $1$ et $15$ à la première étape ?


Partie B
Le montant d’un bon d’achat est de $10$ €.
Pour ce jeu, le directeur de l’hypermarché a prévu un budget de $250$ € par tranche de $100$ clients y participant.
Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule $100$ fois le jeu d’un client à l’aide d’un logiciel.
On appelle $\text{X}$ la variable aléatoire qui, à $100$ jeux simulés, associe le nombre de bons d’achat gagnés.
On admet que $\text{X}$ suit une loi binomiale.

1. Préciser les paramètres de $\text{X}$.


2. Calculer la probabilité pour qu’il y ait exactement $30$ clients gagnants.


3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d’achat ?
Le budget prévisionnel est‑il suffisant ?

[Chercher, Calculer.]
Une entreprise achète de grandes quantités d’un article à un fournisseur. Chaque article a une probabilité $p$ d’être défectueux, indépendamment des autres articles.
Deux méthodes de fabrication sont possibles : la soignée et la rapide. Avec la première méthode, les objets sont défectueux avec une probabilité $p=0,05$. Sinon, la méthode rapide entraîne une augmentation de la probabilité de défaut et $p=0,10$.

1. Déterminer la probabilité de trouver trois articles défectueux dans un échantillon de vingt articles pris au hasard sur une palette :
a. lorsque $p=0,05$ ;


b. lorsque $p=0,1$.


2. Les articles sont conditionnés en palettes, mais les palettes issues des deux méthodes sont stockées ensemble et indiscernables avant d’être testées.
Néanmoins, tous les objets d’une palette sont produits avec la même méthode. On suppose que les objets d’une palette sont produits avec la méthode soignée, avec une probabilité égale à $0,7$.
Déterminer la probabilité que la première méthode ait été utilisée sachant que, pour un échantillon de vingt objets pris au hasard sur une palette, trois se sont révélés défectueux.


3. L’entreprise peut accepter ou refuser les palettes lorsqu’elles sont livrées. Refuser une palette coûte $200$ € à l’entreprise. Accepter une palette produite avec la méthode rapide résulte en une perte pour l’entreprise de $500$ €. Accepter une palette produite avec la méthode soignée permet un profit de $700$ €. Si un échantillon de vingt articles d’une palette contient exactement trois articles défectueux, déterminer la conduite à tenir par l’entreprise afin de maximiser l’espérance du profit (en assimilant une perte à un profit négatif).
La palette devrait‑elle être acceptée ou refusée ?

EN LOGISTIQUE

[Chercher, Modéliser.]
Un manager gère la production quotidienne de $100$ ordinateurs personnalisés. La variable aléatoire X qui donne la demande quotidienne d’un certain type de claviers suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,60$.

1. Le manager doit gérer les stocks de claviers.
Il sait que maintenir des stocks coûte cher et que sa hiérarchie exige que la probabilité d’une rupture de stock, pour une journée donnée, soit inférieure à $0,05$.
Déterminer la quantité de claviers que le manager doit avoir en stock en début de journée pour satisfaire cette contrainte.


2. Après une étude, il apparaît qu’une rupture de stock coûte $1000$€ à l’entreprise, alors que stocker un clavier coûte $1$ € par jour par clavier. Afin de minimiser les coûts de l’entreprise, déterminer le nombre optimal de claviers à stocker. On pourra utiliser Python ou un tableur pour répondre à cette question.

APPROFONDISSEMENT

Cet exercice est une application de l’exercice transversal

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p. 444. On admet que la variable aléatoire $\text{X}$ donnant le nombre d’élèves de terminale absents quotidiennement suit une loi de Poisson de paramètre 3.
Déterminer, pour chaque entier $k$ compris entre $0$ et $6$, $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)$. En déduire la probabilité qu’il y ait au moins deux absents un jour donné.

APPROFONDISSEMENT

Loi géométrique

Soient $n$ un entier naturel non nul et $p$ un nombre réel de l’intervalle $]0;1]$. On considère une épreuve de Bernoulli donnée de succès $\text{S}$ et de paramètre $p$.
On réalise $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et on note $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre d’épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès. On dit que $\text{X}$ suit une loi géométrique.

1. Quelles sont les valeurs prises par $\text{X}$ ?


2. Établir la loi de probabilité de $\text{X}$.


3. Montrer que $\underset{\begin{array}{c}n\to +\infty \end{array}}{\lim }\sum _{k=1}^n\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=1$.