[Calculer, Modéliser.]
Dans une usine qui fabrique des pièces mécaniques de précision, les normes de qualité impliquent que chaque pièce est défectueuse avec une probabilité égale à 0{,}05.
Dans la production, on prélève 20 pièces. Le nombre de pièces est suffisamment important pour assimiler ces tirages à des tirages identiques et indépendants. On appelle \text{X} la variable aléatoire qui compte le nombre de pièces défectueuses.
Si nécessaire, on arrondira les résultats au centième. 1. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse, puis celle qu'exactement une pièce le soit.

2. Calculer la probabilité qu'au plus trois pièces soient défectueuses.

3. En moyenne, sur un très grand nombre de lots de 20 pièces, combien compte‑t‑on de pièces défectueuses par lot ?

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100

[Calculer, Modéliser.]
Dans les usines de matériel électronique, il n'est pas rare que 30 % des pièces aillent directement au rebut.
On considère, après une série de contrôles, que la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est égale à 0{,}04, indépendamment de l'état des autres pièces de la production.
Les pièces sont conditionnées en boîtes de 25 pièces chacune. À des fins de contrôle, on prélève 30 boîtes dans la production.
On suppose que la production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler cette expérience à un tirage avec remise.
Si nécessaire, on arrondira les résultats au centième. 1. Une boîte est considérée comme conforme si elle contient au plus trois pièces défectueuses. Quelle est la probabilité qu'une boîte soit non conforme ?

2. Lors du contrôle des 30 boîtes, quelle est la probabilité qu'au moins trois boîtes soient non conformes ?

3. En moyenne, sur un très grand nombre de lots de 30 boîtes, combien de boîtes parmi les 30 sont non conformes ?

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101

[Communiquer, Raisonner.]
1. Est‑il vrai que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est toujours supérieure ou égale à sa variance ?
Si oui, le prouver. Si non, donner un contre‑exemple.

2. Est‑il vrai que l'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale est toujours supérieure ou égale à son écart type ? Si oui, le prouver. Si non, donner un contre‑exemple.

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102

[Chercher, Modéliser.]
Pour un groupe de n cobayes, au lieu d'analyser individuellement les échantillons sanguins, on applique la procédure dite de group testing suivante.

Les échantillons sont prélevés puis une partie de chaque échantillon est mélangée avec les autres.
Ce mélange est analysé.
Si les résultats sont négatifs, aucun patient n'est malade. Sinon, on analyse individuellement chaque échantillon.

On cherche à trouver la valeur de n permettant de limiter au maximum le nombre de tests à faire.

1. Dans cette question, n=5. a. Si le résultat est négatif, combien de tests au total ont été réalisés ? Même question si le résultat est positif.

b. On suppose à partir de maintenant que la probabilité qu'un patient soit malade est p=0{,}001. Soit \text{X} la variable aléatoire égale au nombre de tests réalisés. Déterminer la loi de probabilité \text{X}.

c. En déduire le nombre moyen de tests et l'économie réalisée.

2. Reprendre les questions précédentes où n est un entier naturel quelconque.

3. On cherche à tester \mathrm{N}=110~880 patients. Minimiser le nombre de tests à réaliser en déterminant la taille optimale du groupe n. On pourra supposer que n divise \text{N}.

Aide

On pourra utiliser un tableur ou coder un programme en Python.

Histoire des maths

Pendant la Seconde Guerre Mondiale, le sang des recrues de l'armée américaine était analysé pour détecter ceux qui souffraient de la syphilis. Étant donné les énormes moyens à mettre en œuvre et le faible nombre de malades, l'armée demanda l'aide des mathématiciens. Robert Dorfman proposa en 1943 dans The Detection of Defective Members of Large Populations une nouvelle technique, le group testing, ou poolage. La méthode ne fut pas mise en place à l'époque. En France, sa mise en œuvre pour tester les échantillons lors des dons de sang a été à l'origine de plusieurs polémiques.

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103

[Chercher, Communiquer.]
Pour procéder au contrôle d'un lot important d'articles dont la proportion d'articles défectueux dans le lot est notée p, on adopte la règle suivante.

On prélève un article au hasard : s'il est mauvais, on refuse le lot et s'il est bon, on prélève un deuxième article.
Si le deuxième article est mauvais, on refuse le lot et s'il est bon, on prélève un troisième article.
Si le troisième article est mauvais, on refuse le lot et s'il est bon, on accepte le lot.

Le nombre important d'articles dans le lot permet d'assimiler le contrôle à un tirage avec remise. 1. a. Déterminer, en fonction de p, la probabilité de refuser le lot.

b. Soit \text{Y} la variable aléatoire correspondant au nombre d'articles prélevés. Déterminer l'espérance de \text{Y}.

2. Comparer ces résultats à ceux que l'on aurait obtenus en prélevant directement trois articles et en refusant le lot si au moins l'un de ces articles était mauvais.

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104

[Calculer, Modéliser.]
Voulant profiter du fait que tous les passagers ne se présentent pas à l'embarquement, une compagnie aérienne pratique la surréservation : elle vend 125 billets pour un vol pouvant embarquer 120 passagers.
La probabilité qu'un passager ne se présente pas à l'embarquement vaut 0{,}1 et on supposera que tous les passagers se comportent de manière identique et indépendante. 1. Quelle est la probabilité que tous les passagers qui se présentent à l'embarquement puissent monter à bord ?

2. Quelle est la probabilité qu'il reste des places libres à bord ?

3. En moyenne, combien de passagers se présentent à l'embarquement ?

4. La compagnie aérienne cherche à vendre encore plus de billets pour le vol. À combien de billets doit‑elle se limiter si elle souhaite que la probabilité de devoir refuser l'entrée à au moins un passager reste inférieure à 0{,}05 ?

Remarque

TP 2

permet d'étudier un peu plus en détail ce phénomène de surréservation.

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105

[Chercher, Représenter.]
Soient \text{X}, \text{Y} et \text{Z} trois variables aléatoires qui suivent des lois binomiales de paramètres n=11 et respectivement p_{\mathrm{X}}, p_{\mathrm{Y}} et p_{\mathrm{Z}}.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 105

À partir des représentations graphiques des lois de probabilités de \text{X}, \text{Y} et \text{Z} respectivement en rouge, bleu et vert, et à l'aide d'une calculatrice, identifier les trois lois binomiales.

Remarque

Comme on travaille sur une représentation graphique avec des incertitudes, plusieurs réponses sont possibles pour \text{Z}.

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106

[Calculer, Communiquer.]

On considère l'urne ci‑dessous.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - exercice 106

On procède au tirage avec remise de dix boules.
Soient \mathrm{N}, \mathrm{R} et \mathrm{V} les variables aléatoires respectivement égales au nombre de boules noires, rouges et vertes obtenu.

1. \{\mathrm{V}=3\} est‑il un événement impossible ? Justifier.

2. Préciser les lois de probabilité que suivent \text{N}, \text{R} et \text{V}.

3. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{N}=5), \mathrm{P}(\mathrm{R}=6) et \mathrm{P}(\mathrm{V}=1).

4. Calculer \mathrm{P}(\mathrm{N} \leqslant 3), \mathrm{P}(\mathrm{R} \lt 3) et \mathrm{P}(\mathrm{V}>3).

5. Calculer \mathrm{P}(3 \leqslant \mathrm{N} \leqslant 8).

6. Déterminer et interpréter \mathrm{E}(\mathrm{N}), \mathrm{E}(\mathrm{R}) et \mathrm{E}(\mathrm{V}).

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107

[Chercher, Calculer.]
Le dahu est un animal difficile à chasser.
On estime que, lors d'une battue, la probabilité d'attraper un dahu est égale à 5 %.
Quel est le nombre minimal de parties de chasse à organiser pour avoir une probabilité de 95 % d'attraper au moins un animal ?

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108

Devoir maison
[Communiquer, Calculer.]
D'après Bac ES, Antilles-Guyane, juin 2019

Une grande enseigne décide d'organiser un jeu permettant de gagner un bon d'achat. Le jeu se déroule en deux étapes.

Étape 1 : chaque client tire au hasard une carte sur laquelle figure un nombre de 1 à 50, chaque numéro ayant la même probabilité d'être découvert.
Étape 2 :
→ s'il découvre un numéro compris entre 1 et 15, il fait tourner une roue divisée en dix secteurs de même taille dont huit secteurs contiennent une étoile ;
→ sinon, il fait tourner une autre roue divisée elle aussi en dix secteurs de même taille dont un seul secteur contient une étoile.

Un bon d'achat est gagné par le client si la roue s'arrête sur une étoile.

Partie A

Un client joue à ce jeu. On note :

\text{N} l'événement « Le client découvre un numéro entre 1 et 15. » ;
\text{E} l'événement « Le client obtient une étoile. »

1. a. Justifier que \mathrm{P}(\mathrm{N})=0{,}3 et que \mathrm{P}_{\mathrm{N}}(\mathrm{E})=0{,}8.

b. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2.Calculer la probabilité que le client trouve un numéro entre 1 et 15 et une étoile.

3. Justifier que la probabilité que le client gagne un bon d'achat est égale à 0{,}31.

4. Le client a gagné un bon d'achat.
Quelle est la probabilité qu'il ait obtenu un numéro entre 1 et 15 à la première étape ?

Partie B

Le montant d'un bon d'achat est de 10 €.
Pour ce jeu, le directeur de l'hypermarché a prévu un budget de 250 € par tranche de 100 clients y participant.
Pour vérifier que son budget est suffisant, il simule 100 fois le jeu d'un client à l'aide d'un logiciel.
On appelle \text{X} la variable aléatoire qui, à 100 jeux simulés, associe le nombre de bons d'achat gagnés.
On admet que \text{X} suit une loi binomiale.

1. Préciser les paramètres de \text{X}.

2. Calculer la probabilité pour qu'il y ait exactement 30 clients gagnants.

3. Quel est le montant moyen de la somme totale offerte en bons d'achat ?
Le budget prévisionnel est‑il suffisant ?

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109

[Chercher, Calculer.]
Une entreprise achète de grandes quantités d'un article à un fournisseur. Chaque article a une probabilité p d'être défectueux, indépendamment des autres articles.
Deux méthodes de fabrication sont possibles : la soignée et la rapide. Avec la première méthode, les objets sont défectueux avec une probabilité p=0{,}05. Sinon, la méthode rapide entraîne une augmentation de la probabilité de défaut et p=0{,}10. 1. Déterminer la probabilité de trouver trois articles défectueux dans un échantillon de vingt articles pris au hasard sur une palette :
a. lorsque p=0{,}05 ;

b. lorsque p=0{,}1.

2. Les articles sont conditionnés en palettes, mais les palettes issues des deux méthodes sont stockées ensemble et indiscernables avant d'être testées.
Néanmoins, tous les objets d'une palette sont produits avec la même méthode. On suppose que les objets d'une palette sont produits avec la méthode soignée, avec une probabilité égale à 0{,}7.
Déterminer la probabilité que la première méthode ait été utilisée sachant que, pour un échantillon de vingt objets pris au hasard sur une palette, trois se sont révélés défectueux.

3. L'entreprise peut accepter ou refuser les palettes lorsqu'elles sont livrées. Refuser une palette coûte 200 € à l'entreprise. Accepter une palette produite avec la méthode rapide résulte en une perte pour l'entreprise de 500 €. Accepter une palette produite avec la méthode soignée permet un profit de 700 €. Si un échantillon de vingt articles d'une palette contient exactement trois articles défectueux, déterminer la conduite à tenir par l'entreprise afin de maximiser l'espérance du profit (en assimilant une perte à un profit négatif).
La palette devrait‑elle être acceptée ou refusée ?

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110

En logistique
[Chercher, Modéliser.]

Un manager gère la production quotidienne de 100 ordinateurs personnalisés. La variable aléatoire X qui donne la demande quotidienne d'un certain type de claviers suit la loi binomiale de paramètres n=100 et p=0{,}60. 1. Le manager doit gérer les stocks de claviers.
Il sait que maintenir des stocks coûte cher et que sa hiérarchie exige que la probabilité d'une rupture de stock, pour une journée donnée, soit inférieure à 0{,}05.
Déterminer la quantité de claviers que le manager doit avoir en stock en début de journée pour satisfaire cette contrainte.

2. Après une étude, il apparaît qu'une rupture de stock coûte 1 000 € à l'entreprise, alors que stocker un clavier coûte 1 € par jour par clavier. Afin de minimiser les coûts de l'entreprise, déterminer le nombre optimal de claviers à stocker. On pourra utiliser Python ou un tableur pour répondre à cette question.

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111

Approfondissement

Cet exercice est une application de l'exercice transversal

63
p. 444

. On admet que la variable aléatoire \text{X} donnant le nombre d'élèves de terminale absents quotidiennement suit une loi de Poisson de paramètre 3.
Déterminer, pour chaque entier k compris entre 0 et 6, \mathrm{P}(\mathrm{X}=k). En déduire la probabilité qu'il y ait au moins deux absents un jour donné.

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112

Approfondissement

Loi géométrique

Soient n un entier naturel non nul et p un nombre réel de l'intervalle ]0~; 1]. On considère une épreuve de Bernoulli donnée de succès \text{S} et de paramètre p.
On réalise n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes et on note \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès. On dit que \text{X} suit une loi géométrique. 1. Quelles sont les valeurs prises par \text{X} ?

2. Établir la loi de probabilité de \text{X}.

3. Montrer que \lim\limits_{\substack{n \to +\infty}} \mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=1.

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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Le Grand Oral

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Sujet guidé

Exemple de sujet : La loi géométrique et le problème du collectionneur de vignettes

❯ À aller voir dans le manuel :

Histoire des maths p. 346
en lien avec la loi binomiale.
Exercice
112
p. 375
au sujet de la loi géométrique.
Exercice transversal
25
p. 434
sur la série harmonique (en lien avec les suites, les intégrales et la fonction \ln).

❯ Choisir les points à aborder :

Rappeler le principe de la loi géométrique et le lien avec la loi binomiale.
Calculer l'espérance d'une variable aléatoire adaptée au problème et expliquer comment intervient la série harmonique dans ce problème.

❯ Répondre aux questions du jury :

Donner les étapes importantes qui montrent la convergence de la suite \left(\mathrm{H}_{n}-\ln (n)\right)_{n \geqslant 1}.
Quelles sont les valeurs de l'espérance et de la variance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p où p est un réel de l'intervalle ]0~; 1[ ?
Justifier le fait que la loi géométrique est dite « loi sans mémoire ».

❯ Faire le lien avec son projet d'orientation :

Les probabilités sont très présentes dans les métiers en lien avec les calculs de risques (assurance, finance, etc.) ;
Ingénieur(e) en électronique, en télécommunications (en particulier les communications numériques), en informatique (analyse du temps de traitement d'un paquet d'informations de taille aléatoire), etc.

Méthodologie

Consulter les fiches méthode de ce manuel pour le Grand Oral p. 14

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