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Une entreprise achète de grandes quantités d’un article à un fournisseur. Chaque article a une probabilité
p d’être défectueux, indépendamment des autres articles.
Deux méthodes de fabrication sont possibles : la soignée et la rapide. Avec la première méthode, les objets sont défectueux avec une probabilité
p=0,05. Sinon, la méthode rapide entraîne une augmentation de la probabilité de défaut et
p=0,10.
1. Déterminer la probabilité de trouver trois articles défectueux dans un échantillon de vingt articles pris au hasard sur une palette :
a. lorsque
p=0,05 ;
b. lorsque
p=0,1.
2. Les articles sont conditionnés en palettes, mais les palettes issues des deux méthodes sont stockées ensemble et indiscernables avant d’être testées.
Néanmoins, tous les objets d’une palette sont produits avec la même méthode. On suppose que les objets d’une palette sont produits avec la méthode soignée, avec une probabilité égale à
0,7.
Déterminer la probabilité que la première méthode ait été utilisée sachant que, pour un échantillon de vingt objets pris au hasard sur une palette, trois se sont révélés défectueux.
3. L’entreprise peut accepter ou refuser les palettes lorsqu’elles sont livrées. Refuser une palette coûte
200 € à l’entreprise. Accepter une palette produite avec la méthode rapide résulte en une perte pour l’entreprise de
500 €. Accepter une palette produite avec la méthode soignée permet un profit de
700 €. Si un échantillon de vingt articles d’une palette contient exactement trois articles défectueux, déterminer la conduite à tenir par l’entreprise afin de maximiser l’espérance du profit (en assimilant une perte à un profit négatif).
La palette devrait‑elle être acceptée ou refusée ?