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Ch. 2
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Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
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Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
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Annexes
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Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 12
Cours 1
Épreuve, loi et schéma de Bernoulli
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AÉpreuve de Bernoulli
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Définition
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire n'admettant que deux issues, appelées généralement succès \text{S} et échec \overline{\mathrm{S}} et de probabilités respectives p et q=1-p.
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Les termes « succès » et « échec » ne sont porteurs d'aucune valeur. Ils désignent simplement, de manière générique, les deux issues possibles. Le choix de ces termes est historiquement issu de la théorie des jeux.
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Exemples
- Lancer une pièce de monnaie équilibrée et savoir si pile est obtenu est une épreuve de Bernoulli de succès \text{S} « Pile a été obtenu. » dont la probabilité est p=0{,}5.
L'échec \overline{\mathrm{S}} est « Face a été obtenu. ». - Interroger une personne dans la rue en France et lui demander si elle est gauchère est une épreuve de Bernoulli de succès \text{S} « La personne est gauchère. » dont la probabilité est p \approx 0{,}13.
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Application et méthode - 1
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Énoncé
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s'il s'agit d'une épreuve de Bernoulli et préciser le succès et sa probabilité le cas échéant.
1. On regarde la couleur de la carte (pique, coeur, carreau ou trèfle).
2. On vérifie que la carte est un pique.
3. On regarde si la carte n'est pas un pique.
4. On vérifie que la carte est un as.
5. On regarde la valeur de la carte (as, 2, 3, etc.).
6. On vérifie que la carte est une figure (roi, dame ou valet).
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Le nombre d'issues nous permet de conclure :
Ici, on calcule les différentes probabilités en utilisant la situation d'équiprobabilité.
- s'il y a deux issues, c'est une épreuve de Bernoulli. Son succès dépend du contexte ;
- s'il n'y a pas deux issues, ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
Ici, on calcule les différentes probabilités en utilisant la situation d'équiprobabilité.
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Solution
1. Quatre issues sont possibles. Ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
2. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un pique. » dont la probabilité est p=\frac{13}{52}=0{,}25.
3. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte n'est pas un pique. » dont la probabilité est p=\frac{39}{52}=0{,}75.
4. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un as. » dont la probabilité est p=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.
5. Treize issues sont possibles. Ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
6. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est une figure. » dont la probabilité est p=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.
2. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un pique.
3. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte n'est pas un pique. » dont la probabilité est p=\frac{39}{52}=0{,}75.
4. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un as. » dont la probabilité est p=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}.
5. Treize issues sont possibles. Ce n'est pas une épreuve de Bernoulli.
6. Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est une figure. » dont la probabilité est p=\frac{12}{52}=\frac{3}{13}.
Pour s'entraîner
Exercices et et
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BLoi de Bernoulli
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Définition
On réalise une épreuve de Bernoulli dont le succès \text{S} a pour probabilité p.
Une variable aléatoire \text{X} est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu'elle est à valeurs dans \{0 ; 1\} où la valeur 1 est attribuée au succès.
On dit alors que \text{X} suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Autrement dit, on a \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=p et \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=1-p.
On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant.
Une variable aléatoire \text{X} est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu'elle est à valeurs dans \{0 ; 1\} où la valeur 1 est attribuée au succès.
On dit alors que \text{X} suit la loi de Bernoulli de paramètre p.
Autrement dit, on a \mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=p et \mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=1-p.
On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant.
| \boldsymbol{x_i} | 1 | 0 |
| \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}}) | p | 1-p |
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La loi de Bernoulli permet de démontrer plusieurs résultats concernant les lois binomiales.
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Propriété
Soit \text{X} une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
L'espérance mathématique de \text{X} est \mathrm{E}(\mathrm{X})=p.
La variance de \text{X} est \mathrm{V}(\mathrm{X})=p(1-p).
L'espérance mathématique de \text{X} est \mathrm{E}(\mathrm{X})=p.
La variance de \text{X} est \mathrm{V}(\mathrm{X})=p(1-p).
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On a alors \sigma(\mathrm{X})=\sqrt{p(1-p)}.
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Démonstration
L'espérance \mathrm{E}(\mathrm{X}) de\text{ X} vaut :
\mathrm{E}(\mathrm{X})
{=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \times 1+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \times 0}
=p \times 1+(1-p) \times 0
=p.
La variance \mathrm{V}(\mathrm{X}) de\text{ X} vaut : \mathrm{V}(\mathrm{X}) {=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \times(1-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \times(0-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}}
=p \times(1-p)^{2}+(1-p) \times(0-p)^{2}
=p(1-p)^{2}+p^{2}(1-p)
=p(1-p)(1-p+p)
=p(1-p).
=p \times 1+(1-p) \times 0
=p.
La variance \mathrm{V}(\mathrm{X}) de\text{ X} vaut : \mathrm{V}(\mathrm{X}) {=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \times(1-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \times(0-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}}
=p \times(1-p)^{2}+(1-p) \times(0-p)^{2}
=p(1-p)^{2}+p^{2}(1-p)
=p(1-p)(1-p+p)
=p(1-p).
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\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} p_{k} \times x_{k} et
\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} p_{k}\left(x_{k}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2}
où p_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X}=k).
où p_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X}=k).
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CSchéma de Bernoulli
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Définition
Soit n un nombre entier naturel non nul. Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
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Les conditions identiques et indépendantes sont essentielles et doivent être vérifiées dans chaque situation.
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Exemple
On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l'urne. On répète ainsi dix fois l'expérience et on s'intéresse aux boules bleues obtenues. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès \text{S} « La boule est bleue. » dont la probabilité est \frac{2}{3}.
Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants : on a bien un schéma de Bernoulli.
Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants : on a bien un schéma de Bernoulli.
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Il peut être facile de concevoir mentalement l'arbre de probabilité associé à un schéma de Bernoulli, mais il n'est pas toujours facile de le tracer.
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