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1. Épreuve, loi et schéma de Bernoulli
P.354-355

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COURS 1


1
Épreuve, loi et schéma de Bernoulli




A
Épreuve de Bernoulli


Définition

Soit pp un nombre réel appartenant à [0 ;1][0~; 1].
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire n’admettant que deux issues, appelées généralement succès S\text{S} et échec S\overline{\mathrm{S}} et de probabilités respectives pp et q=1pq=1-p.
Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Épreuve de Bernoulli

Remarque

Les termes « succès » et « échec » ne sont porteurs d’aucune valeur. Ils désignent simplement, de manière générique, les deux issues possibles. Le choix de ces termes est historiquement issu de la théorie des jeux.

Exemples

  • Lancer une pièce de monnaie équilibrée et savoir si pile est obtenu est une épreuve de Bernoulli de succès S\text{S} « Pile a été obtenu. » dont la probabilité est p=0,5p=0{,}5.
    L’échec S\overline{\mathrm{S}} est « Face a été obtenu. ».
  • Interroger une personne dans la rue en France et lui demander si elle est gauchère est une épreuve de Bernoulli de succès S\text{S} « La personne est gauchère. » dont la probabilité est p0,13p \approx 0{,}13.

Application et méthode - 1

Énoncé

On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s’il s’agit d’une épreuve de Bernoulli et préciser le succès et sa probabilité le cas échéant.

1. On regarde la couleur de la carte (pique, coeur, carreau ou trèfle).
2. On vérifie que la carte est un pique.
3. On regarde si la carte n’est pas un pique.
4. On vérifie que la carte est un as.
5. On regarde la valeur de la carte (as, 2, 3, etc.).
6. On vérifie que la carte est une figure (roi, dame ou valet).

Solution

1. Quatre issues sont possibles. Ce n’est pas une épreuve de Bernoulli.

2. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un pique. » dont la probabilité est p=1352=0,25p=\dfrac{13}{52}=0{,}25.

3. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de succès « La carte n’est pas un pique. » dont la probabilité est p=3952=0,75p=\dfrac{39}{52}=0{,}75.

4. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est un as. » dont la probabilité est p=452=113p=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}.

5. Treize issues sont possibles. Ce n’est pas une épreuve de Bernoulli.

6. Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de succès « La carte est une figure. » dont la probabilité est p=1252=313p=\dfrac{12}{52}=\dfrac{3}{13}.

Pour s'entraîner : exercices 19 et 20 p. 364 et 54 p. 366

Méthode

Le nombre d’issues nous permet de conclure :
  • s’il y a deux issues, c’est une épreuve de Bernoulli. Son succès dépend du contexte ;
  • s’il n’y a pas deux issues, ce n’est pas une épreuve de Bernoulli.

Ici, on calcule les différentes probabilités en utilisant la situation d’équiprobabilité.

B
Loi de Bernoulli


Définition

On réalise une épreuve de Bernoulli dont le succès S\text{S} a pour probabilité pp.
Une variable aléatoire X\text{X} est une variable aléatoire de Bernoulli lorsqu’elle est à valeurs dans {0;1}\{0 ; 1\} où la valeur 11 est attribuée au succès.
On dit alors que X\text{X} suit la loi de Bernoulli de paramètre pp.
Autrement dit, on a P(X=1)=p\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=p et P(X=0)=1p\mathrm{P}(\mathrm{X}=0)=1-p.
On peut résumer la loi de Bernoulli par le tableau suivant.

xi\boldsymbol{x_i} 11 00
P(X=xi)\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{x_{i}}) pp 1p1-p

Remarque

La loi de Bernoulli permet de démontrer plusieurs résultats concernant les lois binomiales.

Propriété

Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre pp.
L’espérance mathématique de X\text{X} est E(X)=p\mathrm{E}(\mathrm{X})=p.
La variance de X\text{X} est V(X)=p(1p)\mathrm{V}(\mathrm{X})=p(1-p).

Remarque

On a alors σ(X)=p(1p)\sigma(\mathrm{X})=\sqrt{p(1-p)}.

DÉMONSTRATION

L’espérance E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) de X\text{ X} vaut : E(X)\mathrm{E}(\mathrm{X}) =P(X=1)×1+P(X=0)×0=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \times 1+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \times 0
=p×1+(1p)×0=p \times 1+(1-p) \times 0
=p=p.
La variance V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) de X\text{ X} vaut : V(X)\mathrm{V}(\mathrm{X}) =P(X=1)×(1E(X))2+P(X=0)×(0E(X))2=\mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \times(1-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}+\mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \times(0-\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}
=p×(1p)2+(1p)×(0p)2=p \times(1-p)^{2}+(1-p) \times(0-p)^{2}
=p(1p)2+p2(1p)=p(1-p)^{2}+p^{2}(1-p)
=p(1p)(1p+p)=p(1-p)(1-p+p)
=p(1p)=p(1-p).

Rappel

E(X)=k=1npk×xk\mathrm{E}(\mathrm{X})=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} p_{k} \times x_{k} et
V(X)=k=1npk(xkE(X))2\mathrm{V}(\mathrm{X})=\mathop{\sum}\limits_{k=1}\limits^{n} p_{k}\left(x_{k}-\mathrm{E}(\mathrm{X})\right)^{2}
pk=P(X=k)p_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X}=k).

C
Schéma de Bernoulli


Définition

Soit nn un nombre entier naturel non nul. Un schéma de Bernoulli est la répétition de nn épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Remarque

Les conditions identiques et indépendantes sont essentielles et doivent être vérifiées dans chaque situation.

Exemple

On considère une urne opaque dans laquelle ont été placées une boule verte et deux boules bleues, toutes indiscernables au toucher. On prélève une boule dans cette urne, on note sa couleur, puis on remet la boule dans l’urne. On répète ainsi dix fois l’expérience et on s’intéresse aux boules bleues obtenues. Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S\text{S} « La boule est bleue. » dont la probabilité est 23\dfrac{2}{3}.
Comme les dix tirages se font avec remise, les tirages sont identiques et indépendants : on a bien un schéma de Bernoulli.

Remarque

Il peut être facile de concevoir mentalement l’arbre de probabilité associé à un schéma de Bernoulli, mais il n’est pas toujours facile de le tracer.
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