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Introduction à l’échantillonnage

Cette propriété démontre l’existence d’un intervalle qui convient mais cet intervalle n’est pas unique.

DÉMONSTRATION

L’intervalle $\mathrm{I}=[0~; n]$ convient. En effet, pour tout $\alpha \in[0~; 1]$, $1-\alpha \leqslant 1$ et $\mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=1$ donc on a bien $\mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha$.

• La suite $\left(u_{k}\right)$ de terme général $u_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k)$ est croissante et, à partir d’un certain rang, ses termes valent tous $1$.
• Dans la pratique, on cherchera souvent un intervalle dont l’amplitude est la plus petite possible.
• Selon le contexte, l’intervalle est généralement de la forme $[0~; k]$, $[k~; n]$ ou $[k~; k']$.

On considère la variable aléatoire $\text{X}$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n~; p)$ avec $n=40$ et $p=0{,}38$.
Dans chaque cas, déterminer les entiers $a$ ou $b$ vérifiant $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95$ et la condition donnée.

1. On pose $a = 0$ et on cherche le plus petit entier $b$ qui puisse convenir.
2. On pose $b = 40$ et on cherche le plus grand entier $a$ qui puisse convenir.
3. On cherche l’intervalle $[a~; b]$ de plus petite amplitude possible tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b)$ (arrondir à $10^{-3}$ près).