Cette propriété démontre l’existence d’un intervalle qui convient mais cet intervalle n’est pas unique.

DÉMONSTRATION

L’intervalle $\mathrm{I}=[0;n]$ convient. En effet, pour tout $\alpha \in [0;1]$, $1-\alpha ⩽1$ et $\mathrm{P}(0⩽\mathrm{X}⩽n)=1$ donc on a bien $\mathrm{P}(\mathrm{X}\in \mathrm{I})⩾1-\alpha$.

• La suite $\left(u_k\right)$ de terme général $u_k=\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽k)$ est croissante et, à partir d’un certain rang, ses termes valent tous $1$.
• Dans la pratique, on cherchera souvent un intervalle dont l’amplitude est la plus petite possible.
• Selon le contexte, l’intervalle est généralement de la forme $[0;k]$, $[k;n]$ ou $[k;k^{\prime }]$.

On considère la variable aléatoire $\text{X}$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ avec $n=40$ et $p=0,38$.
Dans chaque cas, déterminer les entiers $a$ ou $b$ vérifiant $\mathrm{P}(a⩽\mathrm{X}⩽b)⩾0,95$ et la condition donnée.

1. On pose $a=0$ et on cherche le plus petit entier $b$ qui puisse convenir.
2. On pose $b=40$ et on cherche le plus grand entier $a$ qui puisse convenir.
3. On cherche l’intervalle $[a;b]$ de plus petite amplitude possible tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽a)\approx \mathrm{P}(\mathrm{X}⩾b)$ (arrondir à $10^{-3}$ près).