Introduction à l'échantillonnage

Soient $n$ un entier naturel non nul, $\alpha$ et $p$ deux nombres réels appartenant à $[0;1]$ et $\text{X}$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$.
Il existe un intervalle $\text{I}$ non vide tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X}\in \mathrm{I})⩾1-\alpha$.

Cette propriété démontre l'existence d'un intervalle qui convient mais cet intervalle n'est pas unique.

On considère la variable aléatoire $\text{X}$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ avec $n=40$ et $p=0,38$. Dans chaque cas, déterminer les entiers $a$ ou $b$ vérifiant $\mathrm{P}(a⩽\mathrm{X}⩽b)⩾0,95$ et la condition donnée.

1. On pose $a=0$ et on cherche le plus petit entier $b$ qui puisse convenir.
2. On pose $b=40$ et on cherche le plus grand entier $a$ qui puisse convenir.
3. On cherche l'intervalle $[a;b]$ de plus petite amplitude possible tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽a)\approx \mathrm{P}(\mathrm{X}⩾b)$ (arrondir à $10^{-2}$ près).

1. On remarque que $\mathrm{P}(0⩽\mathrm{X}⩽b)=\mathrm{P}(\mathrm{X}⩽b)$ puis on utilise la calculatrice pour obtenir la valeur de $b$ souhaitée.

2. On remarque que $\mathrm{P}(a⩽\mathrm{X}⩽n)=\mathrm{P}(\mathrm{X}⩾a)$ puis on utilise à nouveau la calculatrice.

3. On s'aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.