Mathématiques Terminale Spécialité
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Introduction à l'échantillonnage
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Propriété
Soient n un entier naturel non nul, \alpha et p deux nombres réels appartenant à [0~; 1] et \text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p).
Il existe un intervalle \text{I} non vide tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.
Il existe un intervalle \text{I} non vide tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.
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Cette propriété démontre l'existence d'un intervalle qui convient mais cet intervalle n'est pas unique.
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Démonstration
L'intervalle \mathrm{I}=[0~; n] convient. En effet, pour tout \alpha \in[0~; 1], 1-\alpha \leqslant 1 et \mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=1 donc on a bien \mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.
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- La suite \left(u_{k}\right) de terme général u_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) est croissante et, à partir d'un certain rang, ses termes valent tous 1.
- Dans la pratique, on cherchera souvent un intervalle dont l'amplitude est la plus petite possible.
- Selon le contexte, l'intervalle est généralement de la forme [0~; k], [k~; n] ou [k~; k'].
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Application et méthode - 4
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Énoncé
On considère la variable aléatoire \text{X} qui suit la loi binomiale \mathcal{B}(n~; p) avec n=40 et p=0{,}38.
Dans chaque cas, déterminer les entiers a ou b vérifiant \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et la condition donnée.
1. On pose a = 0 et on cherche le plus petit entier b qui puisse convenir.
2. On pose b = 40 et on cherche le plus grand entier a qui puisse convenir.
3. On cherche l'intervalle [a~; b] de plus petite amplitude possible tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) (arrondir à 10^{-2} près).
1. On pose a = 0 et on cherche le plus petit entier b qui puisse convenir.
2. On pose b = 40 et on cherche le plus grand entier a qui puisse convenir.
3. On cherche l'intervalle [a~; b] de plus petite amplitude possible tel que \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) (arrondir à 10^{-2} près).
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1. On remarque que \mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) puis on utilise la calculatrice pour obtenir la valeur de b souhaitée.
2. On remarque que \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) puis on utilise à nouveau la calculatrice.
3. On s'aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.
2. On remarque que \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) puis on utilise à nouveau la calculatrice.
3. On s'aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.
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Solution
En utilisant une calculatrice ou un tableur, on peut rapidement obtenir les valeurs de certaines probabilités.
1. On lit \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 19) \approx 0{,}918 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 20) \approx 0{,}956 donc avec a = 0 et b = 20, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.
2. On lit \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 10) \approx 0{,}971 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 11) \approx 0{,}940 donc avec a = 10 et b = 40, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.
3. Avec a = 8 et b = 23, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}992, \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}01 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}01.
On a donc bien \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b).
1. On lit \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 19) \approx 0{,}918 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 20) \approx 0{,}956 donc avec a = 0 et b = 20, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.
2. On lit \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 10) \approx 0{,}971 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 11) \approx 0{,}940 donc avec a = 10 et b = 40, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.
3. Avec a = 8 et b = 23, on a \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}992, \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}01 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}01.
On a donc bien \mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et \mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b).
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