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3. Introduction à l’échantillonnage
P.359

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COURS 3


3
Introduction à l’échantillonnage





Propriété

Soient nn un entier naturel non nul, aa et pp deux nombres réels appartenant à [0 ;1][0~; 1] et X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p).
Il existe un intervalle I\text{I} non vide tel que P(XI)1α\mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.

Remarque

Cette propriété démontre l’existence d’un intervalle qui convient mais cet intervalle n’est pas unique.

DÉMONSTRATION

L’intervalle I=[0 ;n]\mathrm{I}=[0~; n] convient. En effet, pour tout α[0 ;1]\alpha \in[0~; 1], 1α11-\alpha \leqslant 1 et P(0Xn)=1\mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=1 donc on a bien P(XI)1α\mathrm{P}(\mathrm{X} \in \mathrm{I}) \geqslant 1-\alpha.

Remarques

  • La suite (uk)\left(u_{k}\right) de terme général uk=P(Xk)u_{k}=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) est croissante et, à partir d’un certain rang, ses termes valent tous 11.
  • Dans la pratique, on cherchera souvent un intervalle dont l’amplitude est la plus petite possible.
  • Selon le contexte, l’intervalle est généralement de la forme [0 ;k][0~; k], [k ;n][k~; n] ou [k ;k][k~; k'].

Application et méthode - 4

Énoncé

On considère la variable aléatoire X\text{X} qui suit la loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p) avec n=40n=40 et p=0,38p=0{,}38.
Dans chaque cas, déterminer les entiers aa ou bb vérifiant P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et la condition donnée.

1. On pose a=0a = 0 et on cherche le plus petit entier bb qui puisse convenir.
2. On pose b=40b = 40 et on cherche le plus grand entier aa qui puisse convenir.
3. On cherche l’intervalle [a ;b][a~; b] de plus petite amplitude possible tel que P(Xa)P(Xb)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) (arrondir à 10310^{-3} près).

Solution

En utilisant une calculatrice ou un tableur, on peut rapidement obtenir les valeurs de certaines probabilités.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - Cours - Introduction à l’échantillonnage - écran de calculatrice
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1. On lit P(X19)0,918\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 19) \approx 0{,}918 et P(X20)0,956\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 20) \approx 0{,}956 donc avec a=0a = 0 et b=20b = 20, on a P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.

2. On lit P(X10)0,971\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 10) \approx 0{,}971 et P(X11)0,940\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 11) \approx 0{,}940 donc avec a=10a = 10 et b=40b = 40, on a P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95.

3. Avec a=10a = 10 et b=21b = 21, on a P(aXb)0,950\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}950, P(Xa)0,06\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx 0{,}06 et P(Xb)0,04\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b) \approx 0{,}04.
On a donc bien P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et P(Xa)P(Xb)\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \approx \mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant b).

Pour s'entraîner : exercices 42, 43 et 44 p. 365

Méthode

1. On remarque que P(0Xb)=P(Xb)\mathrm{P}(0 \leqslant \mathrm{X} \leqslant b)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) puis on utilise la calculatrice pour obtenir la valeur de bb souhaitée.

2. On remarque que P(aXn)=P(Xa)\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant n)=\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant a) puis on utilise à nouveau la calculatrice.

3. On s’aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.

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