Soient n un entier naturel non nul, a et p deux nombres réels appartenant à [0;1] et X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n;p).
Il existe un intervalle I non vide tel que P(X∈I)⩾1−α.
Remarque
Cette propriété démontre l’existence d’un intervalle qui convient mais cet intervalle n’est pas unique.
DÉMONSTRATION
L’intervalle I=[0;n] convient. En effet, pour tout α∈[0;1], 1−α⩽1 et P(0⩽X⩽n)=1 donc on a bien P(X∈I)⩾1−α.
Remarques
La suite (uk) de terme général uk=P(X⩽k) est croissante et, à partir d’un certain rang, ses termes valent tous 1.
Dans la pratique, on cherchera souvent un intervalle dont l’amplitude est la plus petite possible.
Selon le contexte, l’intervalle est généralement de la forme [0;k], [k;n] ou [k;k′].
Application et méthode - 4
Énoncé
On considère la variable aléatoire X qui suit la loi binomiale B(n;p) avec n=40 et p=0,38.
Dans chaque cas, déterminer les entiers a ou b vérifiant P(a⩽X⩽b)⩾0,95 et la condition donnée.
1. On pose a=0 et on cherche le plus petit entier b qui puisse convenir.
2. On pose b=40 et on cherche le plus grand entier a qui puisse convenir.
3. On cherche l’intervalle [a;b] de plus petite amplitude possible tel que P(X⩽a)≈P(X⩾b) (arrondir à 10−3 près).
Solution
En utilisant une calculatrice ou un tableur, on peut rapidement obtenir les valeurs de certaines probabilités.
1. On lit P(X⩽19)≈0,918 et P(X⩽20)≈0,956 donc avec a=0 et b=20, on a P(a⩽X⩽b)⩾0,95.
2. On lit P(X⩾10)≈0,971 et P(X⩾11)≈0,940 donc avec a=10 et b=40, on a P(a⩽X⩽b)⩾0,95.
3. Avec a=10 et b=21, on a P(a⩽X⩽b)≈0,950, P(X⩽a)≈0,06 et P(X⩾b)≈0,04.
On a donc bien P(a⩽X⩽b)⩾0,95 et P(X⩽a)≈P(X⩾b).
1. On remarque que P(0⩽X⩽b)=P(X⩽b) puis on utilise la calculatrice pour obtenir la valeur de b souhaitée.
2. On remarque que P(a⩽X⩽n)=P(X⩾a) puis on utilise à nouveau la calculatrice.
3. On s’aide des questions 1. et 2. pour faire des tests à la calculatrice et trouver un intervalle qui convient.
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service. Pour plus d’informations, cliquez ici.