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Partie 3 : Probabilités
P.346-347

Partie 3
Histoire des mathématiques


Probabilités





❚ ❙ ❙ Loi Binomiale

Jacques (Jacob) Bernoulli et son frère Jean (Johann) Bernoulli sont les premiers d’une longue lignée de mathématiciens suisses très brillants, dont les recherches ont émaillé tout le XVIIIe siècle. C’est notamment grâce aux deux frères, que séparait pourtant une violente querelle, que le calcul différentiel de Leibniz a connu un tel succès.
On doit à Jacques de nombreux travaux en analyse et en mécanique (équations différentielles liées à l’étude de courbes remarquables, convergence des séries infinies, première approche du nombre e comme limite d’une suite, etc.) ainsi qu’en géométrie et surtout en théorie des probabilités.
En 1713, on publiera à titre posthume son oeuvre probabiliste dans l’Ars Conjectandi qui reprend et commente les résultats de Huygens et qui ouvre aux calculs sur la loi binomiale. Le résultat le plus important de ce livre (partie IV) légitime l’approche de la notion de probabilité par l’observation des fréquences. Premier exemple de théorème limite en probabilités, il permet aujourd’hui de valider le principe de l’échantillonnage en reliant fréquence et probabilité. Pour Bernoulli lui-même, cependant, ce résultat dépendait d’un projet philosophique beaucoup plus général, qui était de fonder, par le calcul, un art de guider nos jugements dans toutes les circonstances individuelles ou collectives où une décision est nécessaire.

Math spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Jean et Jacques Bernoulli travaillant sur des problèmes
géométriques
Jean et Jacques Bernoulli travaillant sur des problèmes géométriques, d’après la scène fictive du vulgarisateur français Louis Figuier dans la Vie des savants illustres (1876).

Question

Expliquer le lien existant entre la loi binomiale et les mathématiciens Jacques Bernoulli et Blaise Pascal.
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❚ ❙ ❙ La loi des grands nombres et ses premiers critiques

Lorsqu’on jette un dé cubique parfaitement équilibré un certain nombre de fois, les fréquences d’apparition des faces varient. Cependant, plus le nombre de lancers est important et plus ces fréquences sont proches de , la probabilité théorique d’obtenir
C’est Jacques Bernoulli qui, le premier, donne un sens mathématique à ce résultat et le démontre dans le cas d’épreuves indépendantes (partie 4 de l’Ars Conjectandi). Siméon Denis Poisson (1781-1840), en 1835, donnera une formulation beaucoup plus floue et ambitieuse de ce résultat en en faisant une « loi » universelle, dite « des grands nombres ».
Le statisticien et mathématicien Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878), qui connaissait presque toutes les langues européennes, a traduit du russe les oeuvres de Pafnouti Tchebychev (1821-1894), un des mathématiciens dont il était proche. C’est eux qui donnent leur nom à l’inégalité dont il est question à la page 411. Bienaymé est aussi l’un des premiers à critiquer très sévèrement les prétentions à faire du résultat de Bernoulli, repris et formalisé par Laplace, une « loi universelle », de la même façon qu’il critique les prétentions d’Adolphe Quételet (1796-1874), son contemporain et correspondant.
Dans ses études fondatrices Sur l’homme et le développement de ses facultés, et surtout son Essai de physique sociale (1835), l’astronome, statisticien et probabiliste Adolphe Quételet prétend en effet fonder une nouvelle science appliquée au corps social en entier, selon laquelle les caractères moyens d’une population se rapportent véritablement à un homme moyen et que c’est la loi des grands nombres qui légitime cette « nouvelle physique », un des ancêtres de la sociologie quantitative. Son travail le mènera aussi à construire un indice de masse corporel d’un individu ainsi que la création de l’Organisation météorologique internationale.
Quételet et Bienaymé comptent parmi les fondateurs de la statistique moderne, notamment par le développement de méthodes d’enquêtes standardisées internationales.
Les ambitions du premier ont été suivies et développées par Francis Galton (1822-1911), le fondateur de la méthode d’identification des individus à partir de leurs empreintes digitales, lui-même à la source de théories criminelles. Le point de vue du second, beaucoup plus prudent et critique, anticipe celui des statisticiens modernes, qui ne voient dans les probabilités bien comprises qu’un moyen de critiquer des données statistiques.

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878).

Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878).

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Pafnouti Tchebychev (1821-1894).

Pafnouti Tchebychev (1821-1894).

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Adolphe Quételet, (1796-1874).

Adolphe Quételet, (1796-1874).

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1623 - 1662
Blaise Pascal
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