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Partie 3 : Probabilités
P.346-347

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Partie 3
Histoire des mathématiques


Probabilités





❚ ❙ ❙ Loi Binomiale

Jacques (Jacob) Bernoulli et son frère Jean (Johann) Bernoulli sont les premiers d’une longue lignée de mathématiciens suisses très brillants, dont les recherches ont émaillé tout le XVIIIe siècle. C’est notamment grâce aux deux frères, que séparait pourtant une violente querelle, que le calcul différentiel de Leibniz a connu un tel succès.
On doit à Jacques de nombreux travaux en analyse et en mécanique (équations différentielles liées à l’étude de courbes remarquables, convergence des séries infinies, première approche du nombre e comme limite d’une suite, etc.) ainsi qu’en géométrie et surtout en théorie des probabilités.
En 1713, on publiera à titre posthume son oeuvre probabiliste dans l’Ars Conjectandi qui reprend et commente les résultats de Huygens et qui ouvre aux calculs sur la loi binomiale. Le résultat le plus important de ce livre (partie IV) légitime l’approche de la notion de probabilité par l’observation des fréquences. Premier exemple de théorème limite en probabilités, il permet aujourd’hui de valider le principe de l’échantillonnage en reliant fréquence et probabilité. Pour Bernoulli lui-même, cependant, ce résultat dépendait d’un projet philosophique beaucoup plus général, qui était de fonder, par le calcul, un art de guider nos jugements dans toutes les circonstances individuelles ou collectives où une décision est nécessaire.

Math spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Jean et Jacques Bernoulli travaillant sur des problèmes
géométriques
Jean et Jacques Bernoulli travaillant sur des problèmes géométriques, d’après la scène fictive du vulgarisateur français Louis Figuier dans la Vie des savants illustres (1876).

Question

Expliquer le lien existant entre la loi binomiale et les mathématiciens Jacques Bernoulli et Blaise Pascal.
Voir les réponses

❚ ❙ ❙ La loi des grands nombres et ses premiers critiques

Lorsqu’on jette un dé cubique parfaitement équilibré un certain nombre de fois, les fréquences d’apparition des faces varient. Cependant, plus le nombre de lancers est important et plus ces fréquences sont proches de 16\dfrac{1}{6}, la probabilité théorique d’obtenir 6.6.
C’est Jacques Bernoulli qui, le premier, donne un sens mathématique à ce résultat et le démontre dans le cas d’épreuves indépendantes (partie 4 de l’Ars Conjectandi). Siméon Denis Poisson (1781-1840), en 1835, donnera une formulation beaucoup plus floue et ambitieuse de ce résultat en en faisant une « loi » universelle, dite « des grands nombres ».
Le statisticien et mathématicien Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878), qui connaissait presque toutes les langues européennes, a traduit du russe les oeuvres de Pafnouti Tchebychev (1821-1894), un des mathématiciens dont il était proche. C’est eux qui donnent leur nom à l’inégalité dont il est question à la page 411. Bienaymé est aussi l’un des premiers à critiquer très sévèrement les prétentions à faire du résultat de Bernoulli, repris et formalisé par Laplace, une « loi universelle », de la même façon qu’il critique les prétentions d’Adolphe Quételet (1796-1874), son contemporain et correspondant.
Dans ses études fondatrices Sur l’homme et le développement de ses facultés, et surtout son Essai de physique sociale (1835), l’astronome, statisticien et probabiliste Adolphe Quételet prétend en effet fonder une nouvelle science appliquée au corps social en entier, selon laquelle les caractères moyens d’une population se rapportent véritablement à un homme moyen et que c’est la loi des grands nombres qui légitime cette « nouvelle physique », un des ancêtres de la sociologie quantitative. Son travail le mènera aussi à construire un indice de masse corporel d’un individu ainsi que la création de l’Organisation météorologique internationale.
Quételet et Bienaymé comptent parmi les fondateurs de la statistique moderne, notamment par le développement de méthodes d’enquêtes standardisées internationales.
Les ambitions du premier ont été suivies et développées par Francis Galton (1822-1911), le fondateur de la méthode d’identification des individus à partir de leurs empreintes digitales, lui-même à la source de théories criminelles. Le point de vue du second, beaucoup plus prudent et critique, anticipe celui des statisticiens modernes, qui ne voient dans les probabilités bien comprises qu’un moyen de critiquer des données statistiques.

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878).

Irénée-Jules Bienaymé (1796-1878).

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Pafnouti Tchebychev (1821-1894).

Pafnouti Tchebychev (1821-1894).

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - Adolphe Quételet, (1796-1874).

Adolphe Quételet, (1796-1874).

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Eras

  1. 1600 - 1730 : Fort développement des sciences
  2. 1730 - 1840 : L'âge d’or de l’analyse
  3. 1840 - 1930 : L’essor des mathématiques

Évènements

  1. 1623 - 1662 :Blaise Pascal | Pascal n’est pas connu seulement pour ses travaux en mathématiques et en physiques, mais aussi pour son œuvre philosophique. Enfant précoce, il assiste dès l&#x27;âge de 14 ans aux enseignements de Mersenne. A 16 ans, il publie un traité de géométrie projective et laisse son nom à un théorème. A 19 ans, il invente une machine à calculer et en construira une vingtaine d’exemplaire. Dans ses échanges épistolaires avec Fermat, ils reprennent le problème des partis sous la forme du “problème du Chevalier de Mérée” et y apportent une solution qui formera une base à des premiers calculs de probabilité. Il propose un triangle arithmétique qui garde encore son nom. Sur la fin de sa vie, il travaille sur le calcul infinitésimal. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Blaise_Pascal" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Blaise Pascal.
  2. 1629 - 1695 :<i data-reactroot="">Christian Huygens</i> | Astronome (première description exhaustive du système solaire) et physicien (pendule, chute d’un corps et théorie ondulatoire de la lumière), il a besoin de développer le calcul infinitésimal qui est en train de naître. Il fait aussi des travaux sur les propriétés des courbes et introduit, entre autre, la notion d’enveloppe. Inspiré par le problème des partis, il publie en 1657 son <i data-reactroot="">Tractatus de Rariociniis in Alea Ludo</i> qui constitue le premier traité mathématique consacré aux probabilités. On lui doit aussi l’invention de l’horloge. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Christian_Huygens" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Christiaan Huygens.
  3. 1654 - 1705 :Jacques Bernoulli | Dans la famille Bernoulli, Il est le frère de Jean. Il étudie et enseigne à l’université de Bâle, sa ville natale. On lui doit de nombreux travaux dont les plus importants sont en analyse (équation différentielle qui porte son nom, travaux sur les séries et leur convergence, invention de l’exponentielle et le terme de “calcul intégral”). Il publie également un livre sur les probabilités et un en géométrie. Son oeuvre la plus originale est l’<i data-reactroot="">Ars Conjectandi</i>, publiée en 1713 à titre posthume par son neveu. Ce livre reprend les travaux de ses prédécesseurs sur le sujet et apporte certains nouveaux résultats. Il influencera les futurs recherches sur les probabilités. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Jacques_Bernoulli" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Jacques Bernoulli.
  4. 1736 - 1813 :<i data-reactroot="">Joseph-Louis Lagrange</i> | Il est avec Euler (avec qui il échange beaucoup) considéré comme le fondateur des calculs des variations. Il aborde aussi de nombreux autres domaines comme la mécanique, la théorie des nombres et les équations algébriques et la théorie des probabilités. Il a inventé les notations <span data-light-editor-katex="f(x)" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span></span>, <span data-light-editor-katex="f \prime(x)" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><mi>f</mi><mo mathvariant="normal">′</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><annotation encoding="application/x-tex">f \prime(x)</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1em;vertical-align:-0.25em;"></span><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.10764em;">f</span><span class="mord">′</span><span class="mopen">(</span><span class="mord mathdefault">x</span><span class="mclose">)</span></span></span></span></span></span>,... reprises par Euler. Il contribue fortement à la mise en place du système métrique lors de la révolution française. Il est nommé enseignant de mathématique à l’Ecole Normale de l’an III et premier professeur d’analyse à la création de l’Ecole Polytechnique. Napoléon 1<sup class="sc-iyvyFf iVwNQC lls-viewer-sup">er </sup>lui a souvent montré toute son estime. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Joseph-Louis_Lagrange" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Joseph Louis Lagrange.
  5. 1749 - 1827 :<i data-reactroot="">Pierre-Simon de Laplace</i> | Il participe à la création de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecole Normale. Il travaille principalement en physique et en astronomie (hypothèse de l’origine de l’univers, des trous noirs, étude du problème des trois corps,...) et ses travaux l’obligent à développer des résultats sur les équations différentielles et celles aux dérivées partielles. Il introduit des notions de calcul matriciel et de déterminants. Il travaille également sur la théorie des probabilités et aborde des notions de densités continues. Il montre que <span data-light-editor-katex="\int_a^b e^{-u^2} \, \mathrm du = \sqrt{\pi}" class="sc-iELTvK gNuMvR lls-viewer-math" contenteditable="false"><span><span class="katex"><span class="katex-mathml"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><semantics><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup><msup><mi>e</mi><mrow><mo>−</mo><msup><mi>u</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msup><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>u</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>π</mi></msqrt></mrow><annotation encoding="application/x-tex">\int_a^b e^{-u^2} \, \mathrm du = \sqrt{\pi}</annotation></semantics></math></span><span class="katex-html" aria-hidden="true"><span class="base"><span class="strut" style="height:1.399828em;vertical-align:-0.35582em;"></span><span class="mop"><span class="mop op-symbol small-op" style="margin-right:0.19445em;position:relative;top:-0.0005599999999999772em;">∫</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:1.044008em;"><span style="top:-2.34418em;margin-left:-0.19445em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">a</span></span></span><span style="top:-3.2579000000000002em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mathdefault mtight">b</span></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.35582em;"><span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mord"><span class="mord mathdefault">e</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.9869199999999999em;"><span style="top:-3.063em;margin-right:0.05em;"><span class="pstrut" style="height:2.7em;"></span><span class="sizing reset-size6 size3 mtight"><span class="mord mtight"><span class="mord mtight">−</span><span class="mord mtight"><span class="mord mathdefault mtight">u</span><span class="msupsub"><span class="vlist-t"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8913142857142857em;"><span style="top:-2.931em;margin-right:0.07142857142857144em;"><span class="pstrut" style="height:2.5em;"></span><span class="sizing reset-size3 size1 mtight"><span class="mord mtight">2</span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span><span class="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;"></span><span class="mord mathrm">d</span><span class="mord mathdefault">u</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span><span class="mrel">=</span><span class="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"></span></span><span class="base"><span class="strut" style="height:1.04em;vertical-align:-0.23972em;"></span><span class="mord sqrt"><span class="vlist-t vlist-t2"><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.8002800000000001em;"><span class="svg-align" style="top:-3em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="mord" style="padding-left:0.833em;"><span class="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π</span></span></span><span style="top:-2.76028em;"><span class="pstrut" style="height:3em;"></span><span class="hide-tail" style="min-width:0.853em;height:1.08em;"><svg width='400em' height='1.08em' viewBox='0 0 400000 1080' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z'/></svg></span></span></span><span class="vlist-s">​</span></span><span class="vlist-r"><span class="vlist" style="height:0.23972em;"><span></span></span></span></span></span></span></span></span></span></span> utilisé dans l’élaboration de la loi normale. Le théorème de Moivre Laplace auquel il laisse son nom est un cas particulier du théorème central limite qu’il est le premier à démontrer. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pierre-Simon_de_Laplace" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Pierre Simon de Laplace.
  6. 1752 - 1833 :<i data-reactroot="">Adrien-Marie Legendre</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Adrien-Marie_Legendre" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Adrien-Marie Legendre</i>.
  7. 1796 - 1874 :<i data-reactroot="">Adolphe Quételet</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Adolphe_Quetelet" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Adolphe Quételet</i>.
  8. 1796 - 1878 :<i data-reactroot="">Irénée-Jules Bienaymé</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Ir%C3%A9n%C3%A9e-Jules_Bienaym%C3%A9" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Irénée-Jules Bienaymé</i>.
  9. 1821 - 1894 :Pafnouti Tchebychev | Après sa thèse sur la théorie des probabilités en 1846, il devient professeur de l’université de St Petersbourg en 1847 puis membre de l’Académie de Sciences de St Petersbourg en 1853. Ses résultats importants en probabilités seront repris par Kolmogorov, fondateur de la théorie contemporaine des probabilités, mais c’est surtout sur la théorie des nombres que ses travaux sont exceptionnels. Il laissera son nom à de nombreux résultats (théorèmes, polynômes, inégalités,...). Deux de ses élèves, Markov et Liapounov, inscriront aussi leur nom dans l’histoire des mathématiques. <br data-reactroot=""/> Pour en apprendre plus, rendez-vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Pafnouti_Tchebychev" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à Pafnouti Tchebychev.
  10. 1822 - 1911 :<i data-reactroot="">Francis Galton</i> | Pour en apprendre plus, rendez‑vous sur la <span class="lls-viewer-a" data-reactroot=""><a href="https://fr.wikipedia.org/wiki/Francis_Galton" target="_blank" class="sc-fEUNkw kVSrCV"> page wikipédia</a></span> dédiée à <i data-reactroot="">Francis Galton</i>.
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