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3. Introduction à l’échantillonnage
P.371

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Entraînement


3
Introduction à l’échantillonnage





DIFFÉRENCIATION

◉◉ Parcours 1 : exercices 54 ; 56 ; 64 ; 74 ; 80 et 97
◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 65 ; 68 ; 76 ; 81 ; 86 et 98
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 70 ; 73 et 88

Pour les exercices
89
à 
92

Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=54n=54 et p=0,56p=0{,}56. On utilisera le tableau suivant pour répondre aux questions.

k\boldsymbol{k} P(Xk)\mathbf{P}(\mathbf{X} \boldsymbol{\leqslant k}) k\boldsymbol{k} P(Xk)\mathbf{P}(\mathbf{X} \boldsymbol{\leqslant k})
2121 0,0080{,}008 3131 0,63310{,}6331
2222 0,01720{,}0172 3232 0,73090{,}7309
2323 0,03280{,}0328 3333 0,81390{,}8139
2424 0,05830{,}0583 3434 0,87910{,}8791
2525 0,09720{,}0972 3535 0,92660{,}9266
2626 0,15260{,}1526 3636 0,95840{,}9584
2727 0,22570{,}2257 3737 0,97810{,}9781
2828 0,31540{,}3154 3838 0,98940{,}9894
2929 0,41770{,}4177 3939 0,99530{,}9953
3030 0,52620{,}5262 4040 0,99810{,}9981

89
FLASH

Déterminer le plus petit entier kk tel que P(Xk)0,25\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0{,}25.
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90
FLASH

Déterminer le plus petit entier kk tel que P(Xk)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0,95.
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91
FLASH

1. Déterminer le plus grand entier aa tel que P(Xa)0,025\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \leqslant 0{,}025.


2. Déterminer le plus petit entier bb tel que P(Xb)0,975\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}975.


3. En déduire alors deux entiers aa et bb tels que P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}95.
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92
FLASH

1. Déterminer deux entiers aa et bb tels que P(aXb)0,9\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}9.


2. Déterminer deux entiers aa et bb tels que l’intervalle [a ;b][a~; b] ait l’amplitude la plus petite possible et que P(aXb)0,7\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}7.
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93
[Calculer.]
Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=30n=30 et p=0,7p=0{,}7.
Déterminer le plus petit nombre entier kk tel que P(Xk)0,6\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0{,}6.
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94
[Calculer.]
Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=94n=94 et p=0,32p=0{,}32.
Déterminer le plus grand nombre entier kk tel que P(Xk)0,6\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \leqslant 0{,}6.
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95
[Calculer.]
Soit X\text{X} une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n=45n = 45 et p=0,32p = 0{,}32.

1. Déterminer les plus petits entiers tels que P(Xa)0,025\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}025 et P(Xb)0,975\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}975.


2. Pour les valeurs de aa et bb trouvées dans la question 1., déterminer une valeur approchée de P(a<Xb)\mathrm{P}(a \lt \mathrm{X} \leqslant b).
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96
[Chercher.]
On considère deux variables aléatoires X1\mathrm{X}_1 et X2\mathrm{X}_2 suivant des lois binomiales de paramètres respectifs n1=4n_1=4, p1=0,1p_1=0{,}1, n2=10n_2=10 et p2=0,7p_2=0{,}7. Déterminer tous les entiers naturels kk tels que P(X1>k)P(X2<k)\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}>k\right) \leqslant \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2} \lt k\right).
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97
[Modéliser.] ◉◉
On estime que 12,712{,}7 % des Français sont gauchers. On considère une classe de 3535 élèves.
Soit X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de gauchers dans la classe.
Le choix des élèves est assimilé à un tirage avec remise.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X\text{X} ? Préciser ses paramètres.


2. Déterminer le plus petit nombre entier aa tel que P(Xa)0,95\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}95.


3. Dans la classe, il y a sept gauchers.
Cela est‑il étonnant ?
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98
[Modéliser.] ◉◉
Dans la bande-annonce du film Markov Unchained, il est indiqué que le taux de satisfaction des spectateurs s’élève à 9292 %.
Un critique de films souhaite vérifier la véracité de cette affirmation. Pour cela, il interroge 200200 personnes au hasard parmi celles qui ont visionné le film.
Si le taux de satisfaction est égal à 9292 %, on peut supposer que la variable aléatoire X\text{X} qui donne le nombre de spectateurs satisfaits par le film suit une loi binomiale B(n ;p)\mathcal{B}(n~; p) avec n=200n=200 et p=0,92p=0{,}92.

1. Déterminer deux nombres entiers aa et bb tels que P(aXb)0,95\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95 et que bab - a soit le plus petit possible.


2. Le résultat du sondage indique que 173173 personnes ont apprécié le film. Peut‑on remettre en cause le taux de satisfaction présenté dans la bande‑annonce ? Justifier.
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