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Introduction à l’échantillonnage

DIFFÉRENCIATION

◉◉◉ Parcours 1 : exercices 54 ; 56 ; 64 ; 74 ; 80 et 97
◉◉◉ Parcours 2 : exercices 55 ; 65 ; 68 ; 76 ; 81 ; 86 et 98
◉◉◉ Parcours 3 : exercices 67 ; 70 ; 73 et 88

Pour les exercices

89

à 

92

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=54$ et $p=0{,}56$. On utilisera le tableau suivant pour répondre aux questions.

Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0{,}25$.

Déterminer le plus petit entier $k$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0,95$.

1. Déterminer le plus grand entier $a$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \leqslant 0{,}025$.


2. Déterminer le plus petit entier $b$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}975$.


3. En déduire alors deux entiers $a$ et $b$ tels que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}95$.

1. Déterminer deux entiers $a$ et $b$ tels que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}9$.


2. Déterminer deux entiers $a$ et $b$ tels que l’intervalle $[a~; b]$ ait l’amplitude la plus petite possible et que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}7$.

93

[Calculer.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0{,}7$.
Déterminer le plus petit nombre entier $k$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \geqslant 0{,}6$.

94

[Calculer.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n=94$ et $p=0{,}32$.
Déterminer le plus grand nombre entier $k$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k) \leqslant 0{,}6$.

95

[Calculer.]
Soit $\text{X}$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 45$ et $p = 0{,}32$.

1. Déterminer les plus petits entiers tels que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}025$ et $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}975$.


2. Pour les valeurs de $a$ et $b$ trouvées dans la question 1., déterminer une valeur approchée de $\mathrm{P}(a \lt \mathrm{X} \leqslant b)$.

96

[Chercher.]
On considère deux variables aléatoires $\mathrm{X}_1$ et $\mathrm{X}_2$ suivant des lois binomiales de paramètres respectifs $n_1=4$, $p_1=0{,}1$, $n_2=10$ et $p_2=0{,}7$. Déterminer tous les entiers naturels $k$ tels que $\mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{1}>k\right) \leqslant \mathrm{P}\left(\mathrm{X}_{2} \lt k\right)$.

97

[Modéliser.] ◉◉◉
On estime que $12{,}7$ % des Français sont gauchers. On considère une classe de $35$ élèves.
Soit $\text{X}$ la variable aléatoire donnant le nombre de gauchers dans la classe.
Le choix des élèves est assimilé à un tirage avec remise.

1. Quelle est la loi de probabilité suivie par $\text{X}$ ? Préciser ses paramètres.


2. Déterminer le plus petit nombre entier $a$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}95$.


3. Dans la classe, il y a sept gauchers.
Cela est‑il étonnant ?

98

[Modéliser.] ◉◉◉
Dans la bande-annonce du film Markov Unchained, il est indiqué que le taux de satisfaction des spectateurs s’élève à $92$ %.
Un critique de films souhaite vérifier la véracité de cette affirmation. Pour cela, il interroge $200$ personnes au hasard parmi celles qui ont visionné le film.
Si le taux de satisfaction est égal à $92$ %, on peut supposer que la variable aléatoire $\text{X}$ qui donne le nombre de spectateurs satisfaits par le film suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n~; p)$ avec $n=200$ et $p=0{,}92$.

1. Déterminer deux nombres entiers $a$ et $b$ tels que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \geqslant 0{,}95$ et que $b - a$ soit le plus petit possible.


2. Le résultat du sondage indique que $173$ personnes ont apprécié le film. Peut‑on remettre en cause le taux de satisfaction présenté dans la bande‑annonce ? Justifier.