Auto-évaluation

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}2$. Alors :

a. $\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0{,}8^{4}$
b. $\mathrm{E}(\mathrm{X})=0{,}8$
c. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 1)=\left(\begin{array}{l}5 \\ 1\end{array}\right) 0{,}2^{1} \times(1-0{,}2)^{4}$
d. $\mathrm{P}(\mathrm{X}=1)=0{,}2 \times 0{,}8^{4}$

On lance cinq dés équilibrés à six faces. Laquelle des variables aléatoires suivantes suit une loi binomiale ?

a. $\text{X}$ est égale au maximum des faces apparues.
b. $\text{X}$ est égale au minimum des faces apparues.
c. $\text{X}$ est égale au nombre de faces paires apparues.
d. $\text{X}$ est égale à la somme des faces apparues.

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres $n=200$ et $p=0{,}7$. Le plus petit entier $a$ tel que $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant a) \geqslant 0{,}95$ est :

a. $103$
b. $145$
c. $151$
d. $156$

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ quelconques.

a. $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\mathrm{P}(\mathrm{X}=n-k)$
b. $\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\dfrac{n ! p^{k}(1-p)^{n-k}}{k !(n-k) !}$
c. $\mathrm{V}(\mathrm{X})=p(1-p)$
d. $\mathrm{V}(\mathrm{X})=(\mathrm{E}(\mathrm{X}))^{2}$

On considère une urne opaque qui contient des boules bleues, des boules rouges et des boules vertes, toutes indiscernables au toucher. Quelles sont les expériences aléatoires ci‑dessous qui correspondent à une épreuve de Bernoulli ?

×

a. On tire une boule et on regarde sa couleur.

×

b. On tire une boule et on regarde si elle est bleue.

×

c. On prélève deux boules de l’urne sans remise et on regarde si elles sont de la même couleur.

×

d. On tire une boule de l’urne et on regarde si elle n’est pas rouge.

$\text{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $n=72$ et $p=0{,}52$. On cherche deux nombres $a$ et $b$ tels que $\mathrm{P}(a \leqslant \mathrm{X} \leqslant b) \approx 0{,}95$. Quels sont les couples $(a~; b)$ ci‑dessous qui conviennent ?

×

a. $(25~; 44)$

×

b. $(32~; 68)$

×

c. $(30~; 72)$

×

d. $(30~; 46)$

On tire cinq cartes au hasard et avec remise d’un jeu de 32 cartes. La variable aléatoire $\text{X}$ est égale au nombre de cartes de pique obtenu.

×

a. $\text{X}$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{4}$.

×

b. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \geqslant 3) \approx 0,104$

×

c. $\text{X}$ suit une loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{1}{6}$.

×

d. $\mathrm{V}(\mathrm{X})=\dfrac{5}{6} \times \mathrm{E}(\mathrm{X})$

$\text{X}$ suit une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}23$.

×

a. $\mathrm{P}(\mathrm{X}=3) \approx 0{,}24$

×

b. $\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant 5)=0{,}89$

×

c. $\mathrm{P}(3 \leqslant \mathrm{X} \leqslant 6) \approx 0{,}67$

×

d. $\mathrm{V}(\mathrm{X}) \approx 2{,}66$

18

Dans une classe de $35$ élèves, chaque élève arrive en retard, indépendamment les uns des autres, avec une probabilité égale à $0{,}04$. Soit $\text{X}$ la variable aléatoire qui compte le nombre d’élèves en retard.

1. Justifier que $\text{X}$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.


2. Déterminer la probabilité que deux élèves exactement arrivent en retard.


3. Déterminer la probabilité qu’au plus deux élèves arrivent en retard.


4. Calculer l’espérance de $\text{X}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte.

A

Soit une variable aléatoire $\text{X}$ qui suit une loi binomiale de paramètres $3$ et $0{,}5$. Alors $\text{P}( \text{X}=2)=$...

a. $0{,}5$.
b. $0{,}75$.
c. $0{,}375$.
d. $0{,}25$.

B

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n = 42$ et $p = 0{,}52$ . Quel est le plus petit entier $k$ tels que $\text{P}(22-k\leqslant \text{X} \leqslant 22+k)\geqslant 0{,}95$ ?

a. $k=6$
b. $k=8$
c. $k=12$
d. $k=20$

C

Soit $\text{X}$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=99$ et $p=0{,}14$. On a $\text{P}_{5\leqslant \text{X} \leqslant 7}( \text{X} \leqslant 10) =$...

a. $0{,}024$.
b. $0{,}165$.
c. $0{,}147$.
d. $1$.

D

On prélève dix boules au hasard avec remise de l’urne ci-dessous. La variable aléatoire $\text{X}$ correspond au plus grand numéro prélevé à la fin des $10$ tirages (donc $\text{X} = 0$ ou $\text{X} = 1$).
$\text{X}$ suit-elle une loi binomiale ?

a. Oui.
b. Non.

E

On prélève dix boules au hasard avec remise de l’urne ci-dessus. La variable aléatoire $\text{X}$ donne la somme des numéros inscrits sur les boules prélevées. $\text{X}$ suit-elle une loi binomiale ?

a. Oui.
b. Non.

F

Vrai ou faux ? Cet arbre correspond à un schéma de Bernoulli.

a. Vrai.
b. Faux.

G

On retire $13$ boules au hasard et avec remise de l’urne ci-dessous. La variable aléatoire $\text{X}$ donne le nombre de boules rouges obtenues. La variance de $\text{X}$ est égale à :

a. $3{,}12$.
b. $6{,}8$.
c. $0{,}6$.
d. une autre valeur.

H

Soit une variable aléatoire $\text{X}$ qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}23$. Alors :

a. $\text{P}(\text{X}=0)=0{,}23$.

×

b. $\text{P}(\text{X}=1)=0{,}23$.

×

c. $\text{E}(\text{X})=0{,}23$.

d. $\text{V}(\text{X})=0{,}23$.