1

Montrer qu'une variable aléatoire \mathbf{X} suit une loi binomiale.

Il faut déterminer un schéma de Bernoulli en faisant clairement apparaître un succès de probabilité p et une répétition de n épreuves identiques et indépendantes. \text{X} compte le nombre de succès.

Voir exercice

113

question 3. a.

2

Calculer une probabilité du type \mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{k}), \mathbf{P}(\mathbf{X} \leqslant \boldsymbol{k}) ou \mathbf{P}(\mathbf{X} \geqslant \boldsymbol{k}).

La plupart des calculs nécessitent l'utilisation de la calculatrice qu'il convient donc de maîtriser.
On se rappellera cependant que \mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times p^{k} \times(1-p)^{n-k} et que \mathrm{P}(\mathrm{X}>k)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k).

Voir exercice

114

question 2. b.

3

Calculer une espérance ou une variance et en donner une interprétation.

Pour les calculs, il suffit d'appliquer les formules du cours. L'espérance s'interprète comme étant proche du nombre moyen de succès obtenus à chaque expérience sur une répétition très importante du nombre d'expériences.

Voir exercice

113

question 3. c.

4

Déterminer un seuil concernant le nombre de répétitions.

Plusieurs méthodes sont envisageables comme un programme écrit en Python, une feuille de calcul, la calculatrice, le logarithme népérien ou tout simplement une résolution à tâtons.

Voir exercice

115

Partie A, question 2. c.

114

[D'après bac S, Métropole, juin 2012]
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70 % d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés. 1. On choisit au hasard le dossier d'un candidat. On considère les événements suivants.

• \text{D} : « Le candidat est retenu sur dossier. »
• \mathrm{E}_1 : « Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien. »
• \mathrm{E}_2 : « Le candidat est recruté. »

a. Compléter l'arbre pondéré ci‑dessous.


b. Calculer la probabilité de l'événement \mathrm{E}_1.

c. On note \mathrm{F} l'événement « Le candidat n'est pas recruté. » Démontrer que la probabilité de l'événement \text{F} est égale à 0{,}93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à 0{,}07.
On désigne par \text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que \text{X} suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité qu'exactement deux des cinq amis soient recrutés. On arrondira le résultat à 10^-3 près.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0{,}999 ?

115

[D'après bac S, Asie, juin 2012]
Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et trois boules blanches.
Ces k + 3 boules sont indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit les règles de jeu suivantes :

• un joueur perd 9 € si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
• un joueur perd 1 € si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
• un joueur gagne 5 € si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas‑là qu'il gagne la partie.

Partie A

Dans cette partie, on pose k = 7. Ainsi l'urne contient trois boules blanches et sept boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est‑à‑dire la probabilité qu'il ait tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que p = 0{,}42.

2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes. On note \text{X} la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et p_n la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des n parties.

a. Expliquer pourquoi la variable \text{X} suit une loi binomiale de paramètres n et p.

b. Exprimer p_n en fonction de n, puis calculer p_{10} en arrondissant au millième.

c. Déterminer le nombre minimal de parties auxquelles le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.

Partie B

Dans cette partie, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie.
On note \mathrm{Y}_k la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a. Justifier l'égalité \mathrm{P}\left(\mathrm{Y}_{k}=5\right)=\frac{6 k}{(k+3)^{2}}.

b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire \mathrm{Y}_k.

2. On note \mathrm{E}(\mathrm{Y}_k) l'espérance mathématique de la variable aléatoire \mathrm{Y}_k. On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance \mathrm{E}(\mathrm{Y}_k) est strictement positive.
Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.