Chargement de l'audio en cours
Plus

Plus

Préparer le bac
P.376-377

Mode édition
Ajouter

Ajouter

Terminer

Terminer




PRÉPARER LE
ANG_picto_bac




Comment répondre aux questions du bac ?

1
Montrer qu’une variable aléatoire X\mathbf{X} suit une loi binomiale.

Il faut déterminer un schéma de Bernoulli en faisant clairement apparaître un succès de probabilité pp et une répétition de nn épreuves identiques et indépendantes. X\text{X} compte le nombre de succès.

Voir exercice
113
question 3. a.

2
Calculer une probabilité du type P(X=k)\mathbf{P}(\mathbf{X}=\boldsymbol{k}), P(Xk)\mathbf{P}(\mathbf{X} \leqslant \boldsymbol{k}) ou P(Xk)\mathbf{P}(\mathbf{X} \geqslant \boldsymbol{k}).

La plupart des calculs nécessitent l’utilisation de la calculatrice qu’il convient donc de maîtriser.
On se rappellera cependant que P(X=k)=(nk)×pk×(1p)nk\mathrm{P}(\mathrm{X}=k)=\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) \times p^{k} \times(1-p)^{n-k} et que P(X>k)=1P(Xk)\mathrm{P}(\mathrm{X}>k)=1-\mathrm{P}(\mathrm{X} \leqslant k).

Voir exercice
114
question 2. b.

3
Calculer une espérance ou une variance et en donner une interprétation.

Pour les calculs, il suffit d’appliquer les formules du cours. L’espérance s’interprète comme étant proche du nombre moyen de succès obtenus à chaque expérience sur une répétition très importante du nombre d’expériences.

Voir exercice
113
question 3. c.

4
Déterminer un seuil concernant le nombre de répétitions.

Plusieurs méthodes sont envisageables comme un programme écrit en Python, une feuille de calcul, la calculatrice, le logarithme népérien ou tout simplement une résolution à tâtons.

Voir exercice
115
Partie A, question 2. c.
Voir les réponses
113
[D’après bac ES, Métropole, juin 2017, 2e épreuve]
L’angine chez l’être humain est provoquée soit par une bactérie (angine bactérienne), soit par un virus (angine virale). On admet qu’un malade ne peut pas être à la fois porteur du virus et de la bactérie.
L’angine est bactérienne dans 20 % des cas.
Pour déterminer si une angine est bactérienne, on dispose d’un test. Le résultat du test peut être positif ou négatif. Le test est conçu pour être positif lorsque l’angine est bactérienne, mais il présente des risques d’erreur :
  • si l’angine est bactérienne, le test est négatif dans 30 % des cas ;
  • si l’angine est virale, le test est positif dans 10 % des cas.

On choisit au hasard un malade atteint d’angine. On note les événements suivants.
  • B\text{B} : « L’angine du malade est bactérienne. »
  • T\text{T} : « Le test effectué sur le malade est positif. »

On rappelle que si E\text{E} et F\text{F} sont deux événements, P(E)\mathrm{P}(\mathrm{E}) désigne la probabilité de E\text{E} et PF(E)\mathrm{P}_{\mathrm{F}}(\mathrm{E}) désigne la probabilité de E\text{E} sachant que F\text{F} est réalisé. On note E\overline{\mathrm{E}} l’événement contraire de E\text{E}.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

Aide
L’ordre des événements est important.


Couleurs
Formes
Dessinez ici

2. a. Quelle est la probabilité que l’angine du malade soit bactérienne et que le test soit positif ?


Aide
Comment calculer la probabilité le long d’un chemin d’un arbre pondéré ?


b. Montrer que la probabilité que le test soit positif est de 0,220{,}22.


Aide
On utilise la formule des probabilités totales.


c. Un malade est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour que son angine soit bactérienne ?


Aide
On retrouve une probabilité conditionnelle.


3. On choisit au hasard cinq malades atteints d’une angine. On peut assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note X\text{X} la variable aléatoire qui compte, parmi les cinq malades choisis, le nombre de malades dont le test est positif.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par X\text{X} ?


Aide
Il faut reconnaître la loi demandée et la justifier.


b. Calculer la probabilité qu’au moins l’un des cinq malades ait un test positif.


Aide
Quel est le contraire de « au moins un » ?


c. Calculer l’espérance mathématique de X\text{X}.


Aide
Il suffit d’appliquer une formule.
Voir les réponses

114
[D’après bac S, Métropole, juin 2012]
Pour embaucher ses cadres, une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers reçus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat. On considère les événements suivants.
  • D\text{D} : « Le candidat est retenu sur dossier. »
  • E1\mathrm{E}_1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien. »
  • E2\mathrm{E}_2 : « Le candidat est recruté. »

a. Compléter l’arbre pondéré ci‑dessous.

Préparer le BAC

Pour écrire sur ce schéma, veuillez cliquer sur l'image et utiliser notre outil de dessin.

b. Calculer la probabilité de l’événement E1\mathrm{E}_1.


c. On note F\mathrm{F} l’événement « Le candidat n’est pas recruté. » Démontrer que la probabilité de l’événement F\text{F} est égale à 0,930{,}93.


2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,070{,}07.
On désigne par X\text{X} la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X\text{X} suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.


b. Calculer la probabilité qu’exactement deux des cinq amis soient recrutés. On arrondira le résultat à 10-3 près.


3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,9990{,}999 ?
Voir les réponses
Voir les réponses

115
[[D’après bac S, Asie, juin 2012]
Soit kk un entier naturel supérieur ou égal à 22. Une urne contient kk boules noires et trois boules blanches.
Ces k+3k + 3 boules sont indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit les règles de jeu suivantes :
  • un joueur perd 9 € si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
  • un joueur perd 1 € si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
  • un joueur gagne 5 € si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas‑là qu’il gagne la partie.

Partie A
Dans cette partie, on pose k=7k = 7. Ainsi l’urne contient trois boules blanches et sept boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On notep p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est‑à‑dire la probabilité qu’il ait tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que p=0,42p = 0{,}42.


2. Soit nn un entier tel que n>2n > 2. Un joueur joue nn parties identiques et indépendantes. On note X\text{X} la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et pnp_n la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des nn parties.

a. Expliquer pourquoi la variable X\text{X} suit une loi binomiale de paramètres nn et pp.


b. Exprimer pnp_n en fonction de nn, puis calculer p10p_{10} en arrondissant au millième.


c. Déterminer le nombre minimal de parties auxquelles le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.


Partie B
Dans cette partie, le nombre kk est un entier naturel supérieur ou égal à 22. Un joueur joue une partie.
On note Yk\mathrm{Y}_k la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a. Justifier l’égalité P(Yk=5)=6k(k+3)2\mathrm{P}\left(\mathrm{Y}_{k}=5\right)=\dfrac{6 k}{(k+3)^{2}}.


b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk\mathrm{Y}_k.


2. On note E(Yk)\mathrm{E}(\mathrm{Y}_k) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk\mathrm{Y}_k. On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk)\mathrm{E}(\mathrm{Y}_k) est strictement positive.
Déterminer les valeurs de kk pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.
Voir les réponses
Utilisation des cookies
En poursuivant votre navigation sans modifier vos paramètres, vous acceptez l'utilisation des cookies permettant le bon fonctionnement du service.
Pour plus d’informations, cliquez ici.