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[D'après bac S, Asie, juin 2012]
Soit
k un entier naturel supérieur ou égal à
2. Une urne contient
k boules noires et trois boules blanches.
Ces
k+3 boules sont indiscernables au toucher.
Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit les règles de jeu suivantes :
- un joueur perd 9 € si les deux boules tirées sont de couleur blanche ;
- un joueur perd 1 € si les deux boules tirées sont de couleur noire ;
- un joueur gagne 5 € si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas‑là qu'il gagne la partie.
Partie A
Dans cette partie, on pose
k=7. Ainsi l'urne contient trois boules blanches et sept boules noires indiscernables au toucher.
1. Un joueur joue une partie. On notep la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est‑à‑dire la probabilité qu'il ait tiré deux boules de couleurs différentes.
Démontrer que p=0,42.
2. Soit
n un entier tel que
n>2. Un joueur joue
n parties identiques et indépendantes. On note
X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de parties gagnées par le joueur et
pn la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des
n parties.
a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.
b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au millième.
c. Déterminer le nombre minimal de parties auxquelles le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.
Partie B
Dans cette partie, le nombre
k est un entier naturel supérieur ou égal à
2. Un joueur joue une partie.
On note
Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.
1. a. Justifier l'égalité P(Yk=5)=(k+3)26k.
b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk.
2. On note E(Yk) l'espérance mathématique de la variable aléatoire Yk. On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E(Yk) est strictement
positive.
Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.