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Activités - Histoire des mathématiques
P.348-349

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Activités

Histoire des mathématiques




A
Jacques Bernoulli : lettre à un amy


« Lettre à un amy, sur les parties du jeu de paume » est une lettre publiée en 1713 dans l’Ars Conjectandi. Jacques Bernoulli y donne, entre autres, les probabilités de gagner lors d’une partie de jeu de paume, ancêtre de notre tennis moderne. Cette lettre donne des résultats mathématiques concrets appliqués à la vie de tous les jours et s’éloigne de documents mathématiques très théoriques.
À noter que la façon de compter les points au jeu de paume est la même qu’au tennis, sauf qu’après avoir gagné un troisième échange, on comptabilise 45 points et non 40 comme au tennis.

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - l’Ars Conjectandi - Bernoulli Jacobi

Partie A

Deux joueurs A et B de même force jouent ensemble.
La table de Bernoulli ci-dessous donne les probabilités de gagner du joueur A en fonction du score.

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - La table de Bernoulli

Par exemple, sur un score de 15-30, le joueur A a une probabilité de 516\dfrac{5}{16} de gagner, ce qui est noté 516J.\dfrac{5}{16}\text{J}.
Même si, pour gagner, il faut avoir 2 points de plus que son adversaire, on admet que les joueurs étant de même force, ils ont chacun une chance sur deux de gagner.

1
Expliquer pourquoi, sur un score de 45-45 (chaque joueur a 45 points), le joueur A a une chance sur deux de gagner.


2
Score de 30-45 : le joueur A a 30 points et le joueur B a 45 points.
a) Quelle est la probabilité pour le joueur A de revenir au score 45-45 ?


b) Montrer que dans ce cas, la probabilité que A a de gagner est bien 14J.\dfrac{1}{4}\text{J}.


3
Score de 15-45 : le joueur A a 15 points et le joueur B a 45 points.
a) Quelle est la probabilité pour le joueur A de revenir au score 30-45 ?


b) Montrer que, dans ce cas, la probabilité que A a de gagner est bien 18J.\dfrac{1}{8}\text{J}.


4
En s’inspirant des réponses aux questions précédentes et en travaillant de proche en proche, montrer que pour un score de 15-30, la probabilité que A a de gagner est 516J.\dfrac{5}{16}\text{J}.
Voir les réponses

Partie B

Jacques Bernoulli répond également au problème suivant : si A est n fois plus fort que B, quelles sont alors ses probabilités de gagner ?
Autrement dit, le joueur A marque le point avec une probabilité égale à nn+1.\dfrac{n}{n+1}.

Maths spécialité - Histoire des mathématiques - Probabilités - La table de Bernoulli

1
Score de 45-45. On rappelle qu’il faut deux points d’écart à un joueur pour gagner.
a) Démontrer que le joueur A gagne avec la probabilité indiquée par Bernoulli de n2n2+1.\dfrac{n^{2}}{n^{2}+1}.


b) Quelle probabilité le joueur B a-t-il de gagner ?


2
Score de 30-45.
a) Quelle est la probabilité pour le joueur A de revenir au score 45-45 ?


b) Montrer que, dans ce cas, la probabilité que A a de gagner est bien n3n3+n2+n+1\dfrac{n^{3}}{n^{3}+n^{2}+n+1} (attention, il y a une erreur dans l’impression du livre de l’époque).


En procédant de proche en proche, on retrouve alors toutes les probabilités établies par Jacques Bernoulli.
Voir les réponses

B
Deux inégalités pour la loi des grands nombres


Jacques Bernoulli est le premier à aborder le problème du lien qui existe entre les probabilités d’un événement et les fréquences de sa réalisation. Dans Ars Conjectandi (1713), au chapitre IV de la 4e partie, il explique que l’on peut également mesurer une probabilité à partir de fréquences de réalisation d’une expérience aléatoire. Au chapitre V, il met en oeuvre ce qu’il vient d’énoncer. Dans une urne qui contient tt boules dont rr boules blanches (fertiles), il effectue n×tn \times t tirages avec remise et compte le nombre de boules blanches. Et il écrit :

math spécialité - activité - histoire des mathématiques - Deux inégalités pour la loi des grands nombres - Jacques Bernoulli, Ars Conjectandi, 4e partie, traduction du Latin par Norbert Meunier.
Jacques Bernoulli, Ars Conjectandi, 4e partie, traduction du Latin par Norbert Meunier.


On appelle F\text{F} la fréquence observée et pp la probabilité de l’événement « La boule tirée est blanche ».
Le nombre cc dont parle Bernoulli est le nombre minimum de tirages nécessaires pour avoir, en termes actuels, P(F1t<p<F+1t)>1α\mathrm{P}\left(\mathrm{F}-\dfrac{1}{t} \lt p \lt \mathrm{F}+\dfrac{1}{t}\right) \gt 1-\alphaα\alpha est un réel de [0;1][0 \:; 1] fixé. Bernoulli en effectue une formidable démonstration se basant sur les résultats qu’il venait de démontrer sur la loi binomiale.
Près de 150 ans plus tard, Bienaymé et Tchebychev publient l’inégalité qui porte leur nom. Ils fournissent ainsi une démonstration plus simple de la loi des grands nombres qui, de plus, permet de lier la probabilité de réalisation d’une variable aléatoire à son espérance et à sa variance.

math spécialité - activité - histoire des mathématiques - Deux inégalités pour la loi des grands nombres - Pafnouti Tchebychev, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1867.


Soit nN.n \in \N. On note I\text{I} l’ensemble des entiers naturels strictement positifs et inférieurs ou égaux à nn ; autrement dit, I=N[1;n].\mathrm{I}=\mathbb{N} \cap[1 \:; n].
Soit X\text{X} la variable aléatoire qui prend les valeurs positives xix_i pour iIi \in \text{I} de probabilités respectives pi.p_i.
On pose m=E(X)m = \text{E(X)} et on note V(X)\text{V(X)} la variance de X\text{X}.

1
Compléter l'égalité suivante : V(X)=iI()\mathrm{V}(\mathrm{X})=\sum\limits_{i \in \mathrm{I}}(\ldots).


2
Soit J\text{J} l’ensemble des entiers ii tels que 1in1 \leqslant i \leqslant n et ximα.\left|x_{i}-m\right| \geqslant \alpha. On a donc J={iI/ximα}.\mathrm{J}=\left\{i \in \mathrm{I} /\left|x_{i}-m\right| \geqslant \alpha\right\}. Justifier que V(X)iJ(xim)2pi.\mathrm{V}(\mathrm{X}) \geqslant \sum\limits_{i \in \mathrm{J}}\left(x_{i}-m\right)^{2} p_{i}.


3
Montrer que iJα2pi=α2P(Xmα).\sum\limits_{i \in \mathrm{J}} \alpha^{2} p_{i}=\alpha^{2} \mathrm{P}(|\mathrm{X}-m| \geqslant \alpha).


4
En utilisant ximα,\left|x_{i}-m\right| \geqslant \alpha, donner une minoration de V(X)\text{V(X)} et en déduire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev : P(Xmα)V(X)α2.\mathrm{P}(|\text{X}-m| \geqslant \alpha) \leqslant \dfrac{\mathrm{V}(\mathrm{X})}{\alpha^{2}}.
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Info

Vous trouverez la démonstration complète — longue mais faisable — de Tchebychev à la page 178 du journal de mathématiques pures et appliquées sur le site de Gallica.
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