Jacques Bernoulli est le premier à aborder le problème du lien qui existe entre les probabilités d’un événement et les fréquences de sa réalisation. Dans
Ars Conjectandi (1713), au chapitre IV de la 4
e partie, il explique que l’on peut également mesurer une probabilité à partir de fréquences de réalisation d’une expérience aléatoire. Au chapitre V, il met en oeuvre ce qu’il vient d’énoncer. Dans une urne qui contient
t boules dont
r boules blanches (fertiles), il effectue
n×t tirages avec remise et compte le nombre de boules blanches. Et il écrit :
Jacques Bernoulli,
Ars Conjectandi, 4
e partie, traduction du Latin par Norbert Meunier.
On appelle
F la fréquence observée et
p la probabilité de l’événement « La boule tirée est blanche ».
Le nombre
c dont parle Bernoulli est le nombre minimum de tirages nécessaires pour avoir, en termes actuels,
P(F−t1<p<F+t1)>1−α où
α est un réel de
[0;1] fixé. Bernoulli en effectue une formidable démonstration se basant sur les résultats qu’il venait de démontrer sur la loi binomiale.
Près de 150 ans plus tard, Bienaymé et Tchebychev publient l’inégalité qui porte leur nom. Ils fournissent ainsi une démonstration plus simple de la loi des grands nombres qui, de plus, permet de lier la probabilité de réalisation d’une variable aléatoire à son espérance et à sa variance.
Soit
n∈N. On note
I l’ensemble des entiers naturels strictement positifs et inférieurs ou égaux à
n ; autrement dit,
I=N∩[1;n].
Soit
X la variable aléatoire qui prend les valeurs positives
xi pour
i∈I de probabilités respectives
pi.
On pose
m=E(X) et on note
V(X) la variance de
X.
Compléter l'égalité suivante :
V(X)=i∈I∑(…).
Soit
J l’ensemble des entiers
i tels que
1⩽i⩽n et
∣xi−m∣⩾α. On a donc
J={i∈I/∣xi−m∣⩾α}.
Justifier que
V(X)⩾i∈J∑(xi−m)2pi.
Montrer que
i∈J∑α2pi=α2P(∣X−m∣⩾α).
En utilisant
∣xi−m∣⩾α, donner une minoration de
V(X) et en déduire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev :
P(∣X−m∣⩾α)⩽α2V(X).