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TP1. Planche de Galton
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1
Planche de Galton





Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - TP1 Planche de Galton

Énoncé

Un joueur lâche une bille sur une planche inclinée sur laquelle sont plantés des clous comme sur la figure ci‑contre. À chaque clou rencontré, la bille passe indifféremment à droite ou à gauche de façon équiprobable. En fin de parcours, elle tombe dans une case. Le numéro de la case est donc le nombre de fois où la bille est descendue à droite lors de son parcours.
Dans ce TP, on considère une planche de Galton à douze rangées de clous ; il y a donc cases numérotées de (case à gauche) à (case à droite).
On suppose qu’à chaque clou, la probabilité d’aller à droite est égale à .

Questions préliminaires :

1. Soit la variable aléatoire donnant la case dans laquelle une bille donnée finit sa chute. Déterminer la loi de probabilité suivie par .


2. Quelle est la probabilité qu’une bille finisse dans la case de gauche ? Dans la case n° ? Dans la case n° ?


3. Quelle est l’espérance de  ? Interpréter le résultat dans le contexte.
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Objectif

Simuler la chute de billes le long de cette planche et vérifier que la simulation est bien cohérente avec la théorie.
MÉTHODE DE RÉSOLUTION 1
PYTHON

1. Créer une fonction direction qui renvoie la direction prise par une bille lors du passage d’une rangée ( pour gauche et pour droite).

from random import randint
def direction() :
	return ...


2. On souhaite simuler la chute de billes en créant une fonction qui renvoie une liste, chaque indice de la liste correspondant à une case et la valeur correspondant au nombre de billes présentes dans la case à la fin de la simulation. Par exemple :

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - TP1 Planche de Galton - Python

En reprenant votre fonction direction, compléter la fonction simulation.

from random import randint
def direction() :
	return ...

def simulation(n):
	#liste correspondant aux 13 cases
  cases = 13*[0]
  for bille in range (...):
  	case_finale = 0
    for clou in range(...):
    	case_finale = case_finale + ...
    cases[case_finale] = cases[case_finale] + 1
  return cases


3. Exécuter le programme et vérifier, pour billes, que la simulation est en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires.
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MÉTHODE DE RÉSOLUTION 2
TABLEUR

1. Reproduire la feuille de calcul suivante.

Maths spé - Chapitre 12 - Loi binomiale - TP1 Planche de Galton - Tableur

2. On s’intéresse à la trajectoire de la première bille.
a. Remplir les cellules C5 à N5 pour obtenir une série aléatoire de douze et . indique que la bille va à gauche et qu’elle va à droite.

b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule B5 pour obtenir la valeur de la case d’arrivée de la bille ?


3. a. Simuler la chute de billes.

b. Utiliser la ligne 2 pour compter le nombre de billes dans chacune des cases d’arrivée.

c.Les résultats obtenus à l’aide du tableur sont‑ils en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires ?
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