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Rappels de première
Algèbre et géométrie
Ch. 1
Combinatoire et dénombrement
Ch. 2
Vecteurs, droites et plans de l’espace
Ch. 3
Orthogonalité et distances dans l’espace
Analyse
Ch. 4
Suites
Ch. 5
Limites de fonctions
Ch. 6
Continuité
Ch. 7
Compléments sur la dérivation
Ch. 8
Logarithme népérien
Ch. 9
Fonctions trigonométriques
Ch. 10
Primitives - Équations différentielles
Ch. 11
Calcul intégral
Probabilités
Ch. 12
Loi binomiale
Ch. 13
Sommes de variables aléatoires
Ch. 14
Loi des grands nombres
Annexes
Exercices transversaux
Grand Oral
Apprendre à démontrer
Cahier d'algorithmique et de programmation
Chapitre 12
TP INFO 1
Planche de Galton
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Énoncé
Un joueur lâche une bille sur une planche inclinée sur laquelle sont plantés des clous comme sur la figure ci‑contre. À chaque clou rencontré, la bille passe indifféremment à droite ou à gauche de façon équiprobable. En fin de parcours, elle tombe dans une case. Le numéro de la case est donc le nombre de fois où la bille est descendue à droite lors de son parcours.
Dans ce TP, on considère une planche de Galton à douze rangées de clous ; il y a donc 13 cases numérotées de 0 (case à gauche) à 12 (case à droite).
On suppose qu'à chaque clou, la probabilité d'aller à droite est égale à 0{,}5.
On suppose qu'à chaque clou, la probabilité d'aller à droite est égale à 0{,}5.
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Questions préliminaires
1. Soit \text{X} la variable aléatoire donnant la case dans laquelle une bille donnée finit sa chute. Déterminer la loi de probabilité suivie par \text{X}.
2. Quelle est la probabilité qu'une bille finisse dans la case de gauche ? Dans la case n°11 ? Dans la case n°6 ?
3. Quelle est l'espérance de \text{X} ? Interpréter le résultat dans le contexte.
2. Quelle est la probabilité qu'une bille finisse dans la case de gauche ? Dans la case n°11 ? Dans la case n°6 ?
3. Quelle est l'espérance de \text{X} ? Interpréter le résultat dans le contexte.
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Objectif
Simuler la chute de 1 000 billes le long de cette planche et vérifier que la simulation est bien cohérente avec la théorie.
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Méthode 1Python
1. Créer une fonction direction qui renvoie la direction prise par une bille lors du passage d'une rangée (0 pour gauche et 1 pour droite).
2. On souhaite simuler la chute de 1 000 billes en créant une fonction qui renvoie une liste, chaque indice de la liste correspondant à une case et la valeur correspondant au nombre de billes présentes dans la case à la fin de la simulation. Par exemple :
from random import randint def direction() : return ...
2. On souhaite simuler la chute de 1 000 billes en créant une fonction qui renvoie une liste, chaque indice de la liste correspondant à une case et la valeur correspondant au nombre de billes présentes dans la case à la fin de la simulation. Par exemple :
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En reprenant votre fonction direction, compléter la fonction simulation.
3. Exécuter le programme et vérifier, pour 1 000 billes, que la simulation est en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires.
from random import randint
def direction() :
return ...
def simulation(n):
#liste correspondant aux 13 cases
cases = 13*[0]
for bille in range (...):
case_finale = 0
for clou in range(...):
case_finale = case_finale + ...
cases[case_finale] = cases[case_finale] + 1
return cases
3. Exécuter le programme et vérifier, pour 1 000 billes, que la simulation est en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires.
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Méthode 2Tableur
1. Reproduire la feuille de calcul suivante.
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2. On s'intéresse à la trajectoire de la première bille.
a. Remplir les cellules C5 à N5 pour obtenir une série aléatoire de douze 0 et 1. 0 indique que la bille va à gauche et 1 qu'elle va à droite.
b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule B5 pour obtenir la valeur de la case d'arrivée de la bille ?
3. a. Simuler la chute de 1 000 billes.
b. Utiliser la ligne 2 pour compter le nombre de billes dans chacune des cases d'arrivée.
c. Les résultats obtenus à l'aide du tableur sont‑ils en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires ?
a. Remplir les cellules C5 à N5 pour obtenir une série aléatoire de douze 0 et 1. 0 indique que la bille va à gauche et 1 qu'elle va à droite.
b. Quelle formule doit‑on entrer dans la cellule B5 pour obtenir la valeur de la case d'arrivée de la bille ?
3. a. Simuler la chute de 1 000 billes.
b. Utiliser la ligne 2 pour compter le nombre de billes dans chacune des cases d'arrivée.
c. Les résultats obtenus à l'aide du tableur sont‑ils en accord avec les résultats calculés dans les questions préliminaires ?
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