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Mattéo veut repeindre le mur de la maison.

Yasmine sʼinquiète pour lui, il est perché sur une échelle de 5 m !
« – Tu es sûr dʼavoir placé correctement ton échelle ? Elle doit faire un angle de 70° avec le sol.
– Je nʼai pas mon rapporteur, impossible de vérifier ! sʼexclame Mattéo.
– Ne tʼinquiète pas, avec un peu de trigonométrie, on peut calculer à quelle distance du mur tu dois poser ton échelle, le rassure sa cousine. »

« Mais attend, intervient Mattéo, il doit bien y avoir une autre manière de faire, non ? »

Dans un triangle rectangle, on appelle « hypoténuse » le côté opposé à lʼangle droit. Le côté qui forme un angle aigu avec lʼhypoténuse est appelé « côté adjacent à cet angle ».
Des triangles qui possèdent les mêmes angles sont appelés « triangles semblables », ce qui signifi e que le plus grand est un agrandissement de lʼautre, ou encore que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

Exercice 1 : Activité 1 : Échelle et sécurité

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Sur la figure ci-contre, indiquez les longueurs ou les angles donnés dans lʼénoncé.



Partie 2 : Découvrir le cosinus

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Tracez deux triangles rectangles différents dont lʼun des angles mesure 70°. Mesurez les angles et les longueurs de ces triangles. Que remarquez-vous ? Pouvez-vous lʼexpliquer ?

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Les deux triangles sont semblables. Les largeurs de leurs côtés sont donc proportionnelles. On peut ainsi compléter le tableau de proportionnalité suivant :

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Revenons au cas de lʼéchelle de Mattéo. Calculez une valeur approchée du cos 70° à lʼaide de votre calculatrice (touche cos).

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Déduisez-en à quelle distance du mur Mattéo doit poser le pied de son échelle pour avoir un angle de 70°.

Yasmine est allée passer ses vacances en Italie avec ses parents. À son retour, elle raconte son voyage à son cousin et tout particulièrement leur séjour à Pise.

« La tour de Pise est inclinée de 3,59° vers le Sud par rapport à la verticale. Son sommet sʼélève actuellement à 56,71 m du sol. »

La Tour de Pise

Exercice 2 : Activité 2 : À vous de jouer !

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Quelle était sa hauteur avant que les fondations sʼenfoncent dans le sol et la fassent pencher ?