Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 18
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Trigonométrie
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Activité 1Échelle et sécurité
Je perfectionne
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Compétence
Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation
Mattéo veut repeindre le mur de la maison.
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Partie 1Modéliser la situation
Yasmine sʼinquiète pour lui, il est perché sur une échelle de 5 m !
« – Tu es sûr dʼavoir placé correctement ton échelle ? Elle doit faire un angle de 70° avec le sol.
– Je nʼai pas mon rapporteur, impossible de vérifier ! sʼexclame Mattéo.
– Ne tʼinquiète pas, avec un peu de trigonométrie, on peut calculer à quelle distance du mur tu dois poser ton échelle, le rassure sa cousine. »
« – Tu es sûr dʼavoir placé correctement ton échelle ? Elle doit faire un angle de 70° avec le sol.
– Je nʼai pas mon rapporteur, impossible de vérifier ! sʼexclame Mattéo.
– Ne tʼinquiète pas, avec un peu de trigonométrie, on peut calculer à quelle distance du mur tu dois poser ton échelle, le rassure sa cousine. »
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Partie 2 Découvrir le cosinus
« Mais attend, intervient Mattéo, il doit bien y avoir une autre manière de faire, non ? »
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Tracez deux triangles rectangles différents dont lʼun des angles mesure 70°. Mesurez les angles et les longueurs de ces triangles. Que remarquez-vous ? Pouvez-vous lʼexpliquer ?
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Aide
Dans un triangle rectangle, on appelle « hypoténuse » le côté opposé à lʼangle droit. Le côté qui forme un angle aigu avec lʼhypoténuse est appelé « côté adjacent à cet angle ».
Des triangles qui possèdent les mêmes angles sont appelés « triangles semblables », ce qui signifie que le plus grand est un agrandissement de lʼautre, ou encore que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Des triangles qui possèdent les mêmes angles sont appelés « triangles semblables », ce qui signifie que le plus grand est un agrandissement de lʼautre, ou encore que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
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Les deux triangles sont semblables. Les largeurs de leurs côtés sont donc proportionnelles. On peut ainsi compléter le tableau de proportionnalité suivant :| Plus grand côté (Hypoténuse du triangle) | Deuxième côté (Côté adjacent à lʼangle de 70°) | Plus petit côté | |
| Triangle n° 1 |
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| Triangle n° 2 |
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le coefficient qui permet de passer de l'hypoténuse du triangle au côté adjacent à l'angle de 70° s'appelle « le cosinus de 70° » et s'écrit cos 70°. On peut généraliser à tout angle de mesure a par la formule :
\cos a=\frac{\text { longueur du coté adjacent à l'angle } a}{\text { longueur de l'hypoténuse }}
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Revenons au cas de lʼéchelle de Mattéo. Calculez une valeur approchée du cos 70° à lʼaide de votre calculatrice (touche cos).4
Déduisez-en à quelle distance du mur Mattéo doit poser le pied de son échelle pour avoir un angle de 70°.
Coup de pouce
Travaillez à l'aide de la formule du cosinus : l'échelle correspond à l'hypoténuse et vous venez de calculer cos 70°
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Activité 2À vous de jouer !
Je perfectionne
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Compétence
Je sais passer du language naturel au langage mathématique et inversement
Yasmine est allée passer ses vacances en Italie avec ses parents. À son retour, elle raconte son voyage à son cousin et tout particulièrement leur séjour à Pise.
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La Tour de Pise
« La tour de Pise est inclinée de 3,59° vers le Sud par rapport à la verticale. Son sommet sʼélève actuellement à 56,71 m du sol. »
Quelle était sa hauteur avant que les fondations sʼenfoncent dans le sol et la fassent pencher ?
Quelle était sa hauteur avant que les fondations sʼenfoncent dans le sol et la fassent pencher ?
Coup de pouce
- Modélisez la situation en faisant un shéma et ajoutez-y les données que vous connaissez ;
- Écrivez la relation du cosinus ;
- Remplacez dans la formule les longueurs connues ;
- Calculez le cosinus avec la calculatrice ;
- Effectuez un produit en croix pour obtenir l'hypoténuse ;
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