Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ABC}} est [AC], mais le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ACB}} est [AB].

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2
Cosinus, sinus, tangente

Définition

Pour un angle aigu a :
On note \cos a le cosinus de l'angle a et on définit : \cos a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}{\text{longueur de {\color{#A63E51}hypoténuse}}}

On note \sin a le sinus de l'angle a et on définit : \sin a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur de l'{\color{#A63E51}hypoténuse}}}

On note \tan a la tangente de l'angle a et on définit : \tan a = \dfrac{\text{longueur du {\color{#5BA49B}côté opposé} à}\:a}{\text{longueur du {\color{#5F3E82}côté adjacent} à}\:a}

Exercices n° 2 et 9
p. 394 - 395.

Dans le triangle ABC rectangle en A :

triangle ABC rectangle en A où l'angle ABC est appelé alpha

\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}

\sin \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}

\tan \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AB}}

Aide

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est « SOH CAH TOA » ou « CAH SOH TOA » pour les plus futés d'entre vous.

J'applique

Consigne :
Dans le triangle EDF rectangle en D, exprimez \cos \widehat{\text{DEF}}, \sin \widehat{\text{DFE}}, \tan \widehat{\text{DEF}}.

Correction :
\cos \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}, \sin \widehat{\text{DFE}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{EF}}, \tan \widehat{\text{DEF}} = \dfrac{\text{DF}}{\text{DE}}

Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.

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B
Calculs de longueurs et dʼangles

Je perfectionne

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1
Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit

Méthode

Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.

Je connais \rightarrow Je veux \downarrow	Hypoténuse	Côté opposé	Côté adjacent
Hypoténuse		sin	cos
Côté opposé	sin		tan
Côté adjacent	cos	tan

Exercices n° 4 à 21
p. 395 - 397.

J'applique

Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez AB (arrondissez au mm).

Correction :
[AB] est le côté adjacent à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \cos 53^{\circ} = \dfrac{\text{AB}}{7}
donc \text{AB} = 7 \times \cos 53^{\circ} \approx 4\text{,}2 cm.

Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et \widehat{\text{ABC}} = 53^{\circ}.
Calculez BC (arrondissez au mm).

Correction :
[AC] est le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ABC}} et [BC] est lʼhypoténuse. Donc \sin53^{\circ} = \dfrac{7}{\text{BC}} donc \text{BC} = \dfrac{7}{\sin 53^{\circ}} \approx 8\text{,}8 cm.

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2
Calcul de la mesure dʼun angle

Méthode

Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques.

Exercices n° 22 à 40
p. 397 - 399.

Remarque : Sur la calculatrice, les touches Arccos, Arcsin et Arctan permettent de calculer la mesure dʼun angle si on connait respectivement son cosinus, son sinus ou sa tangente.

J'applique

Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm.
Calculez \widehat{\text{ACB}} (arrondissez au degré).

Correction :
[AB] est le côté opposé à lʼangle \widehat{\text{ACB}} et [AC] est le côté adjacent. Donc \tan \widehat{\text{ACB}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} = \dfrac{7}{5}.

À lʼaide de la calculatrice, on obtient \widehat{\text{ACB}} = 54^{\circ}.

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Mathématiques Cycle 4

Trigonométrie

ARelations trigonométriques dans un triangle rectangle

1Côtés dʼun triangle rectangle

2 Cosinus, sinus, tangente

J'applique

BCalculs de longueurs et dʼangles

1 Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit

J'applique

2 Calcul de la mesure dʼun angle

J'applique

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A
Relations trigonométriques dans un triangle rectangle

1
Côtés dʼun triangle rectangle

2
Cosinus, sinus, tangente

B
Calculs de longueurs et dʼangles

1
Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit

2
Calcul de la mesure dʼun angle