J'apprends

1. Côtés dʼun triangle rectangle

  Définitions 
Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.

Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté opposé à lʼangle $\widehat{\text{ABC}}$ est [AC], mais le côté opposé à lʼangle $\widehat{\text{ACB}}$ est [AB].

2. Cosinus, sinus, tangente

  Définition
Pour un angle aigu a :
On note $\cos a$ le cosinus de l’angle $a$ et on définit : $\cos a=\frac{\text{longueur du coˆteˊ adjacent aˋ}a}{\text{longueur de l’hypoteˊnuse}}$
On note $\sin a$ le sinus de l’angle $a$ et on définit : $\sin a=\frac{\text{longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ}a}{\text{longueur de l’hypoteˊnuse}}$
On note $\tan a$ la tangente de l’angle $a$ et on définit : $\tan a=\frac{\text{longueur du coˆteˊ opposeˊ aˋ}a}{\text{longueur du coˆteˊ adjacent aˋ}a}$

Dans le triangle ABC rectangle en A :

$\cos \widehat{\text{ABC}}=\frac{\text{AB}}{\text{BC}}$
$\sin \widehat{\text{ABC}}=\frac{\text{AC}}{\text{BC}}$
$\tan \widehat{\text{ABC}}=\frac{\text{AC}}{\text{AB}}$ 

Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est « SOH CAH TOA » ou « CAH SOH TOA » pour les plus futés d'entre vous.

  J'applique : 
Consigne : 
Dans le triangle EDF rectangle en D, exprimez $\cos \widehat{\text{DEF}}$, $\sin \widehat{\text{DFE}}$, $\tan \widehat{\text{DEF}}$.
Correction :  $\cos \widehat{\text{DEF}}=\frac{\text{DE}}{\text{EF}}$, $\sin \widehat{\text{DFE}}=\frac{\text{DE}}{\text{EF}}$, $\tan \widehat{\text{DEF}}=\frac{\text{DF}}{\text{DE}}$ 

Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.

1. Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit

  Méthode 
Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.

  J'applique :
Consigne :
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et $\widehat{\text{ABC}}=53^{\circ }$.
Calculez AB (arrondissez au mm).
Correciton : 
[AB] est le côté adjacent à lʼangle $\widehat{\text{ABC}}$ et [BC] est lʼhypoténuse. Donc $\cos 53^{\circ }=\frac{\text{AB}}{7}$
donc $\text{AB}=7\times \cos 53^{\circ }\approx 4\text{,}2$ cm.

Consigne : 
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et $\widehat{\text{ABC}}=53^{\circ }$.
Calculez BC (arrondissez au mm).
Correction : 
[AC] est le côté opposé à lʼangle $\widehat{\text{ABC}}$ et [BC] est lʼhypoténuse. Donc $\sin 53^{\circ }=\frac{7}{\text{BC}}$ donc $\text{BC}=\frac{7}{\sin 53^{\circ }}\approx 8\text{,}8$ cm.

2. Calcul de la mesure dʼun angle

  Méthode
Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques.

Remarque : Sur la calculatrice, les touches Arccos, Arcsin et Arctan permettent de calculer la mesure dʼun angle si on connait respectivement son cosinus, son sinus ou sa tangente.

  J'applique :
Consigne : 
Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm.
Calculez $\widehat{\text{ACB}}$ (arrondissez au degré).
Correction : 
[AB] est le côté opposé à lʼangle $\widehat{\text{ACB}}$ et [AC] est le
côté adjacent. Donc $\tan \widehat{\text{ACB}}=\frac{\text{AB}}{\text{AC}}=\frac{7}{5}$.
À lʼaide de la calculatrice, on obtient $\widehat{\text{ACB}}=54^{\circ }$.