A. Relations trigonométriques dans un triangle rectangle
1. Côtés dʼun triangle rectangle
Définitions Dans un triangle rectangle, on définit trois côtés : lʼhypoténuse, le côté adjacent et le côté opposé à lʼangle étudié.
Remarque : Seule lʼhypoténuse est toujours la même quel que soit lʼangle étudié. Le côté opposé à lʼangle ABC est [AC], mais le côté opposé à lʼangle ACB est [AB].
2. Cosinus, sinus, tangente
Définition Pour un angle aigu a : On note cosa le cosinus de l’angle a et on définit : cosa=longueur de l’hypoteˊnuselongueur du coˆteˊ adjacent aˋa On note sina le sinus de l’angle a et on définit : sina=longueur de l’hypoteˊnuselongueur du coˆteˊ opposeˊaˋa On note tana la tangente de l’angle a et on définit : tana=longueur du coˆteˊ adjacent aˋalongueur du coˆteˊ opposeˊaˋa
Dans le triangle ABC rectangle en A :
cosABC=BCAB sinABC=BCAC tanABC=ABAC
Un moyen mnémotechnique pour retenir ces formules est « SOH CAH TOA » ou « CAH SOH TOA » pour les plus futés d'entre vous.
J'applique : Consigne : Dans le triangle EDF rectangle en D, exprimez cosDEF, sinDFE, tanDEF. Correction : cosDEF=EFDE, sinDFE=EFDE, tanDEF=DEDF
Remarque : Sur la calculatrice, les touches COS, SIN et TAN permettent respectivement de calculer le cosinus, le sinus et la tangente dʼun angle.
B. Calculs de longueurs et dʼangles
1. Calcul de la longueur dʼun côté de lʼangle droit
Méthode Si lʼon connait la mesure dʼun des angles (non droit) du triangle rectangle et la longueur dʼun des côtés, on peut obtenir les longueurs des autres côtés en utilisant le rapport trigonométrique approprié.
Je connais
Hypoténuse
Côté opposé
Côté adjacent
Je veux
Hypoténuse
sin
cos
Côté opposé
sin
tan
Côté adjacent
cos
tan
J'applique : Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que BC = 7 cm et ABC=53∘. Calculez AB (arrondissez au mm). Correciton : [AB] est le côté adjacent à lʼangle ABC et [BC] est lʼhypoténuse. Donc cos53∘=7AB donc AB=7×cos53∘≈4,2 cm.
Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AC = 7 cm et ABC=53∘. Calculez BC (arrondissez au mm). Correction : [AC] est le côté opposé à lʼangle ABC et [BC] est lʼhypoténuse. Donc sin53∘=BC7 donc BC=sin53∘7≈8,8 cm.
2. Calcul de la mesure dʼun angle
Méthode Dans un triangle rectangle, si lʼon connait les longueurs de deux des côtés, on peut obtenir les mesures de tous les angles en utilisant les rapports trigonométriques. Remarque : Sur la calculatrice, les touches Arccos, Arcsin et Arctan permettent de calculer la mesure dʼun angle si on connait respectivement son cosinus, son sinus ou sa tangente.
J'applique : Consigne : Dans le triangle ABC rectangle en A, on sait que AB = 7 cm et AC = 5 cm. Calculez ACB (arrondissez au degré). Correction : [AB] est le côté opposé à lʼangle ACB et [AC] est le côté adjacent. Donc tanACB=ACAB=57. À lʼaide de la calculatrice, on obtient ACB=54∘.
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