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Mathématiques Cycle 4

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Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
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Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
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Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Trigonométrie
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Problèmesp. 400
Problèmes résolus
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Exercices

Questions Flash - Je m'entraine

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Questions flash

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Triangle ABC.
1.  Par rapport à lʼangle bleu, [AB] est





2.  Le cosinus dʼun angle aigu est





3.  \boldsymbol{\cos\widehat{\textbf{ACB}} =}








4.  \boldsymbol{\sin\widehat{\textbf{ACB}} =}








5.  \boldsymbol{\tan\widehat{\textbf{ACB}} =}








6.  [AC] mesure





7.  Si \boldsymbol{\sin x = 0,49}, quel est lʼarrondi au dixième de lʼangle \boldsymbol{x} ?





8.  Dans le triangle ABC rectangle en A, BC = 7 cm et \bold{\widehat{\textbf{ABC}}=25^{\boldsymbol\circ}}. Quel est lʼarrondi au dixième de la longueur AB ?





9.  Dans le triangle GHI rectangle en G, GH = 4 cm et HI = 8 cm, alors \bold{\widehat{\textbf{GHI}}= }



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Je m'entraine

Utilisation des définitions
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1
Les triangles suivants sont rectangles.

4 triangles rectangles.
1. Repérez lʼhypoténuse puis les côtés adjacent et opposé à lʼangle marqué.
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2
Les triangles suivants sont rectangles.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

Donnez les écritures littérales des cosinus, sinus et tangentes des angles suivants.
3 triangles rectangles.
1.  Dans le triangle CAM : \widehat{\text{ACM}}, \widehat{\text{AMC}}.
 2.  Dans le triangle ISA : \widehat{\text{IAS}}, \widehat{\text{ISA}}.
 3.  Dans le triangle FLO : \widehat{\text{OFL}}, \widehat{\text{LOF}}.
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3
CED est un triangle rectangle en D.

1. Complétez le tableau suivant avec les angles pour lesquels les fractions permettent de calculer le cosinus, le sinus, et la tangente. (Attention certaines cases doivent rester vides).

Triangle CDE.
cosinus sinus tangente
\dfrac{\text{CD}}{\text{CE}}
\dfrac{\text{CD}}{\text{ED}}
\dfrac{\text{ED}}{\text{CE}}
\dfrac{\text{DC}}{\text{DE}}
\dfrac{\text{DC}}{\text{EC}}
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Calculs de longueurs
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4
Représentez le triangle et calculez les longueurs demandées au mm près.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

1.  ABC est un triangle rectangle en B, tel que AC = 3,1 cm et \widehat{\text{BAC}} = 64^{\circ}. Calculez BC.
 2.  DEF est un triangle rectangle en E, tel que DF = 5,2 cm et \widehat{\text{EDF}} = 21^{\circ}. Calculez DE.
 3.  GHI est un triangle rectangle en H, tel que GH = 7,3 cm et \widehat{\text{HGI}} = 42^{\circ}. Calculez HI.
 4.  JKL est un triangle rectangle en K, tel que JK = 9,5 cm et \widehat{\text{KJL}} = 71^{\circ}. Calculez JL.
 5.  MAT est un triangle rectangle en A, tel que AT = 4,9 cm et \widehat{\text{AMT}} = 38^{\circ}. Calculez MT.
 6.  PQR est un triangle rectangle en Q, tel que QR = 6,8 cm et \widehat{\text{QPR}} = 56^{\circ}. Calculez QP.
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5
Triangle

Graphique lié à l'exercice 6
1. Calculez la longueur KT arrondie au mm.
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6
Dans la figure suivante, EF = 1 cm.

Triangle EFG.
1. Calculez EG, EG' et EG'' et donnez-en une valeur approchée au centième.
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7
Dans la figure ci-dessous, AB = 2 cm, AB' = 4 cm et AB'' = 6 cm.

✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution.

Triangle ABC.
1. Calculez AC, AC' et AC. Donnez une valeur approchée au centième.
À quel chapitre vous fait penser cette figure ?
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8
Le triangle TOM est tel que TO = 3,2 cm, TM = 7 cm et lʼangle \bold{\widehat{\textbf{MTO}} = 39^{\boldsymbol{\circ}}}.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

H est le pied de la hauteur issue de O.

1.  Dessinez la figure.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Calculez la longueur OH, arrondie au mm près.
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9
Savoir refaire
Un triangle STU est rectangle en T tel que ST = 6 cm et \bold{\widehat{\textbf{UST}} = 56^{\boldsymbol{\circ}}}.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

1.  Construisez STU.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Calculez les longueurs de tous les côtés du triangle STU.
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10
Savoir refaire
Un triangle GHI est rectangle tel que \bold{\widehat{\textbf{HGI}} = 33^{\boldsymbol{\circ}}}, \bold{\widehat{\textbf{IHG}} = 57^{\boldsymbol{\circ}}} et GH = 7,5 cm.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

1.  Construisez GHI.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Calculez les longueurs de tous les côtés du triangle GHI.
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11
Savoir refaire
Un triangle ABC est rectangle en C tel que AC = 5cm et \bold{\widehat{\textbf{BAC}} = 40^{\boldsymbol{\circ}}}.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

1.  Construisez ABC.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Calculez la longueur BC arrondie au mm.
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12
JOEY est un rectangle tel que \bold{\widehat{\textbf{JOY}} = 40^{\boldsymbol{\circ}}} et \bold{\textbf{JE}~=~9} cm.

1.  Construisez la figure.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Calculez la largeur et la longueur de ce rectangle, arrondies au mm.
 3.  Calculez l'aire de ce rectangle.
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13
Savoir refaire
Un triangle TRI est tel que RI = 8,3 cm, \bold{\widehat{\textbf{TRI}} = 57^{\boldsymbol{\circ}}} et \bold{\widehat{\textbf{RIT}} = 33^{\boldsymbol{\circ}}}.

✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème.

1.  Construisez TRI.

Cliquez pour accéder à une zone de dessin

2.  Quelle est la nature du triangle TRI ?
 3.  Calculez les longueurs TR et IT arrondies au mm.
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14
Les droites (AB) et (ED) sont parallèles. ACB est un triangle rectangle en C.

Figure ABCDE.
  • ED = 7 cm ;
  • AB = 5 cm ;
  • AC = 3 cm.

1. Calculez les arrondis au dixième des longueurs des autres segments.
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15
ABCD est un parallélograme.

Parallélograme ABCD, où AD = 3 cm et l'angle DAB = 37°.
Lʼaire du parallélogramme est de 21 cm^{ 2}.

1. Déterminez la longueur du côté [AB].
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16
Dans un losange KLMN de côté 4 cm, \bold{\widehat{\textbf{LKN}} = 53^{\boldsymbol{\circ}}}.

✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre.

Losange KLMN.
1. Calculez lʼaire du losange. Donnez une valeur approchée au dixième.
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17
Triangle.

✔ J'exerce mon esprit critique pour vérifier la cohérence des résultats.

Triangle ABC.
1. Peut-on construire un triangle ABC qui respecte les contraintes indiquées sur la figure ? Justifiez votre réponse.
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18
Savoir refaire
Triangles.

✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre.

1. \widehat{\text{TAI}} = 61^{\circ}, \widehat{\text{NAI}} = 12^{\circ} et AI = 19 cm. Calculez le périmètre du triangle TAN arrondi au cm.
Triangles TIA et NIA.
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19
JEAN est un rectangle de largeur JE = 6 cm et de longueur JN = 14 cm.

1.  Calculez la mesure de lʼangle \widehat{\text{JEN}} arrondie au dixième.
 2.  Calculez la longueur des diagonales du rectangle arrondie au mm.
 3.  H est le pied de la hauteur issue de E dans le triangle JEA. Calculez la longueur EH arrondie au mm.
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20
Un couvreur regarde depuis le sol son collègue travailler sur un toit.

Ses yeux se trouvent à 1,80 m du sol. Il observe lʼautre couvreur avec un angle de 30^{\circ} et le toit se trouve à 22 m du sol.
Illustration de l'énoncé.
1. À quelle distance de la maison se trouve le couvreur au sol ?
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21
Voici un cône de révolution de sommet M.

✔ Je structure mon raisonnement.

Cône de révolution de sommet M.
1.  Calculez la valeur approchée au mm du rayon de la base de ce cône.
 2.  Déduisez-en la valeur arrondie au mm^{3} du volume de ce cône.
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Calculs d'angles
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22
Calculez la mesure au degré près de lʼangle \boldsymbol{a} tel que :

1. \sin a = 0,8
 2. \cos a = 0,2
 3. \sin a = \dfrac{\sqrt{4}}{2}
4. \tan a = 0,5
 5. \tan a = \dfrac{1}{\sqrt{3}}
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23
Le triangle TEO est rectangle en E tel que OE = 6 cm et TO = 9 cm.

1. Tracez-le et calculez les valeurs des angles \widehat{\text{ETO}} et \widehat{\text{EOT}} arrondies au degré près.

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24
TRO est un triangle tel que TR = 8 km, RO = 6 km et OT = 10 km.

1.  Quelle est la nature de TRO ?
 2.  Calculez la mesure arrondie au dixième de degré de chacun des angles de ce triangle.
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25
AIR est un triangle rectangle en I.

Triangle AIR.
1. Calculez la longueur de AR, arrondie au mm.
 2. Calculez la mesure de l'angle \widehat{\text{IRA}}
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26
BAR et ART sont deux triangles rectangles.

✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution.

Deux triangles BAR et ART, respectivement rectangles en B et en T.
1.  Calculez les mesures des angles \widehat{\text{RAT}} et \widehat{\text{TRA}} arrondies au dixième.
 2.  Calculez les mesures des angles \widehat{\text{TRB}} et \widehat{\text{TAB}} arrondies au dixième.
 3.  Calculez les longueurs manquantes arrondies au mm.
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27
Savoir refaire
PEF est un triangle rectangle en E tel que PE = 6,7 cm et PF = 12,9 cm.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

1. Calculez la mesure arrondie au dixième des trois angles de ce triangle.
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28
Savoir refaire
Un triangle ABC est rectangle en C tel que AB = 7 cm et BC = 2 cm.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

1. Construisez ABC.

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2. Calculez la mesure de tous les angles du triangle ABC.
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29
Le triangle ABC est rectangle en B, BA = 25 mm et BC = 38 mm.

1. Calculez lʼangle \widehat{\text{BAC}} arrondi au degré près.
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31
Savoir refaire
Dans ces triangles rectangles : LE = 5 cm, LA = 9 cm, AR = 4 cm.

✔ Je structure mon raisonnement.

Deux triangles rectangles LEA (rectangle en E) et RAU (rectangle en R).
1.  Calculez la mesure de lʼangle \widehat{\text{LAE}}.
 2.  Déduisez-en la mesure de lʼangle \widehat{\text{RAU}}.
 3.  Calculez les longueurs EA, RU et AU arrondies au mm.
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30
Triangles rectangles.

2 triangles rectangles DCB et CAB, respectivement rectangles en C et A.
1. Déterminez la mesure de lʼangle \widehat{\text{ABD}} arrondie au degré près.
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32
JACK est un trapèze rectangle comme indiqué sur la figure.

✔ Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème.

Trapèze rectangle JACK, rectangle en C et K.
1. AC = 4 cm, CK = 6 cm et JK = 9 cm. Calculez la valeur de lʼangle \widehat{\text{AJK}} arrondie au dixième de degré.
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33
BEN est un triangle isocèle rectangle en E.

Triangle isocèle rectangle BEN.
1. Déterminez la mesure des angles \widehat{\text{EBN}} et \widehat{\text{BNE}} en fonction des mesures de [BE], [EN] et [BN].
 2. On impose maintenant BE = EN = 1 cm. Déterminez la longueur BN.
 3. Calculez alors les valeurs exactes de \cos\widehat{\text{BNE}}, \sin\widehat{\text{BNE}} et \tan\widehat{\text{BNE}}.
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34
Avion.

✔ Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement.

1. Un avion vole à une altitude de 4 000 pieds au-dessus du petit village de Saint-Soupplets à 10 km de lʼaéroport de Roissy-Charles-de-Gaulle. Sachant que 1 m vaut environ 3,3 pieds, quel est lʼangle de descente de cet avion ?
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35
Savoir refaire
Angle dʼinclinaison dʼune pyramide régulière.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

ABCDS est une pyramide régulière de hauteur 10 cm et dont la base ABCD est un carré de côté 7 cm.

1. Faites un dessin de la pyramide en perspective cavalière.

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2. P est le point dʼintersection des diagonales [AC] et [BD] de la base et M représente le milieu du côté [BC]. Calculez la mesure de lʼangle dʼinclinaison \widehat{\text{SMP}}.
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36
PEF est un triangle équilatéral et H est la hauteur issue de P et relative à [EF].

1.  Calculez la valeur de lʼangle \widehat{\text{HPF}}.
2.  Calculez la longueur du segment [PH] sachant que PE = 1 cm.
3.  Calculez les valeurs exactes de \cos\widehat{\text{HPF}}, \sin\widehat{\text{HPF}} et \tan\widehat{\text{HPF}}.
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37
Savoir refaire
Angle dʼinclinaison dʼun cône.

✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème.

S est le sommet dʼun cône de révolution, O le centre de la base du cône et P un point situé sur le bord de la base. Calculez lʼangle dʼinclinaison \widehat{\text{SPO}} pour les données suivantes. Faites un schéma de la situation.

1. PO = 2 cm, PS = 4 cm
 2. PO = 7 cm, SP = 8,5 cm
3. PO = 1 cm, OS = 3,5 cm
 4. SP = 7 cm, PO = 2,5 cm


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38
SABC est une pyramide de sommet S et de base triangulaire.

✔ Je mène un raisonnement logique et structuré pour démontrer.
Pyramide SABC.
AB = 8 cm, AC = 4\sqrt{3} cm, BC = 4 cm et la hauteur SC = 15 cm.

1.  Quelle est la nature du triangle ABC ? Déterminez la mesure des angles \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{BAC}}.
 2.  Déterminez les périmètres des faces SAB, SAC et SBC.
 3.  Déterminez le volume de la pyramide au cm^{3} près.
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39
Lorsque cʼest possible, construisez un triangle rectangle répondant à la condition.

✔ Je représente des objets et des figures géométriques.

1.  \cos\widehat{\text{ABC}}=\dfrac{3}{5}
2.  \sin\widehat{\text{CDE}}=\dfrac{12}{10}
3.  \tan\widehat{\text{FGH}}=\dfrac{8}{5}
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40
Le triangle rectangle TOM est tel que TO = 3,2 cm et TM = 7 cm.

H est le pied de la hauteur issue de O.

1.  Tracez la figure.

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2.  Calculez la mesure de lʼangle \widehat{\text{MTO}} et \widehat{\text{TMO}}.
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Parcours de compétences

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Énoncé

✔ Je décompose un problème en sous-problèmes pour le simplifier et le résoudre.

Yasmine est venue accompagner Mattéo à l'aéroport. Elle regarde son avion décoller. L'angle de l'avion au décollage est constant et vaut 40^{\circ}. De plus, il vole à 200 km/h.

Yasmine se demande à quelle hauteur se trouvera lʼavion de Mattéo 20 secondes après le décollage.
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Niveau 1

Je remarque que le problème comporte plusieurs étapes avec de l'aide.

Coup de pouce
Est-il possible de répondre à la question avec un seul calcul ?
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Niveau 2

Je distingue certaines de ces étapes.

Coup de pouce
Listez ce qu'il faut déterminer pour répondre à la question.
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Niveau 3

J'établis et j'ordonne clairement les étapes.

Coup de pouce
Il y a trois étapes à ordonner avant de conclure.
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Niveau 4

Je m'appuie sur les différentes étapes pour résoudre le problème.

Coup de pouce
Attention aux conversions !

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