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Thème 1 : Nombres et calculs
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Annexes
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Chapitre 18

Problèmes résolus

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Triangles opposés par le sommet.

Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème
J'extrais et j'exploite les informations utiles d'un document

Dans ces triangles rectangles, DA = 5 cm, DE = 7 cm et AC = 4 cm.

Calculez les longueurs AB et BC (arrondies au mm).
Placeholder pour Diagramme géométrique : deux droites sécantes formant un angle droit (90°), angles nommés A, B, C, D, E.Diagramme géométrique : deux droites sécantes formant un angle droit (90°), angles nommés A, B, C, D, E.
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Méthode 1
Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut utiliser la trigonométrie. Il faut avant cela justifier lʼégalité des deux angles qui ont le même sommet A et qui sont formés par deux droites.

Corrigé 1
  • Comme les angles \widehat{\text{DAE}} et \widehat{\text{BAC}} sont égaux, on peut utiliser la trigonométrie pour calculer les longueurs demandées.

  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = \sqrt{74}

  • Suite à l'égalité des angles mentionnés, on obtient les égalités \cos(\widehat{\text{DAE}})=\cos(\widehat{\text{BAC}}) et \sin(\widehat{\text{DAE}})=\sin(\widehat{\text{BAC}}).

    La première égalité donne \dfrac{\text{DA}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} soit \text{AB}=\dfrac{\text{DA}\times\text{AC}}{\text{AE}}.

    La seconde égalité donne \dfrac{\text{DE}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} soit \text{BC}=\dfrac{\text{DE}\times\text{AC}}{\text{AE}}.

Calcul de AB : \text{AB} = \dfrac{5\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{AB} \approx 2\text{,}3

AB mesure environ 2,3 cm.

Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{7\times 4}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3

BC mesure environ 3,3 cm.
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Méthode 2
Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut appliquer le théorème de Thalès après avoir justifié le parallélisme des droites qui forment leurs bases respectives.

Corrigé 2
  • On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles.

  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = \sqrt{74}

  • On sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès :

    \dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}

    \dfrac{\text{AB}}{5} = \dfrac{4}{\sqrt{74}} = \dfrac{\text{BC}}{7}
Calcul de AB : \text{AB} = \dfrac{20}{\sqrt{74}} soit \text{AB} \approx 2\text{,}3

AB mesure environ 2,3 cm.

Calcul de BC : \text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} soit \text{BC} \approx 3\text{,}3

BC mesure environ 3,3 cm.
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Problème similaire
Voir p. 404 : Jouer au billard.

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