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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 41 : Triangles opposés par le sommet.

Graphique lié à l'exercice 1
Dans ces triangles rectangles, DA = 5 cm, DE = 7 cm et AC = 4 cm.

1
Calculez les longueurs AB et BC (arrondies au mm).



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Méthode 1

Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut utiliser la trigonométrie. Il faut avant cela justifier lʼégalité des deux angles qui ont le même sommet A et qui sont formés par deux droites.

Corrigé 1

  • Comme les angles DAE^\widehat{\text{DAE}} et BAC^\widehat{\text{BAC}} sont égaux, on peut utiliser la trigonométrie pour calculer les longueurs demandées.
  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = 74\sqrt{74}
  • Suite à l'égalité des angles mentionnés, on obtient les égalités cos(DAE^)=cos(BAC^)\cos(\widehat{\text{DAE}})=\cos(\widehat{\text{BAC}}) et sin(DAE^)=sin(BAC^)\sin(\widehat{\text{DAE}})=\sin(\widehat{\text{BAC}}).
    La première égalité donne DAAE=ABAC\dfrac{\text{DA}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}} soit AB=DA×ACAE\text{AB}=\dfrac{\text{DA}\times\text{AC}}{\text{AE}}.
    La seconde égalité donne DEAE=BCAC\dfrac{\text{DE}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}} soit BC=DE×ACAE\text{BC}=\dfrac{\text{DE}\times\text{AC}}{\text{AE}}.
Calcul de AB : AB=5×474\text{AB} = \dfrac{5\times 4}{\sqrt{74}} soit AB2,3\text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : BC=7×474\text{BC} = \dfrac{7\times 4}{\sqrt{74}} soit BC3,3\text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.

Méthode 2

Pour calculer des longueurs dans deux triangles opposés par le sommet, on peut appliquer le théorème de Thalès après avoir justifié le parallélisme des droites qui forment leurs bases respectives.

Corrigé 2

  • On sait que les droites (DE) et (BC) sont perpendiculaires à une même droite, (BD). Elles sont donc parallèles entre elles.
  • Dans le triangle ADE rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
    AE2 = DA2 + DE2
    AE2 = 52 + 72
    AE2 = 25 + 49
    AE2 = 74
Donc AE = 74\sqrt{74}
  • On sait que les droites (CE) et (BD) sont sécantes en A et que les droites (BC) et (DE) sont parallèles. Dʼaprès le théorème de Thalès :
    ABAD=ACAE=BCDE\dfrac{\text{AB}}{\text{AD}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AE}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{DE}}
    AB5=474=BC7\dfrac{\text{AB}}{5} = \dfrac{4}{\sqrt{74}} = \dfrac{\text{BC}}{7}
Calcul de AB : AB=2074\text{AB} = \dfrac{20}{\sqrt{74}} soit AB2,3\text{AB} \approx 2\text{,}3
AB mesure environ 2,3 cm.
Calcul de BC : BC=2874\text{BC} = \dfrac{28}{\sqrt{74}} soit BC3,3\text{BC} \approx 3\text{,}3
BC mesure environ 3,3 cm.
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