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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 18
Exercices
Je résous des problèmes
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44
Tour Eiffel
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Un homme mesurant 1,80m, placé à 100m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8∘.
Calculez la hauteur de la tour Eiffel.
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45
Un escalier au bout d'une allée
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Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.
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46
La statue de la Liberté
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1. Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin suivant.
2. La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport 41. Quelle est sa hauteur ?
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47
Tyrolienne
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Crédits : Casadaphoto/Shutterstock
Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8∘. On supposera que la corde est rectiligne.
De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?
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48
Un ascenseur à bateaux
Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120m. Cette rampe fait un angle de 20∘ avec lʼhorizontale.
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Crédits : Tommapson/Wikimedia
1. Modélisez le problème par une figure.
Dessinez ici
2. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.
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49
Installation d'une échelle
On pose une échelle de 5m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50m du sol.
1. Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
2. À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?
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50
Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012)
Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800m et chacun voit lʼile sous un angle différent.
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1. Démontrez que le triangle est rectangle.
2. Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.
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51
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011)
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1. Calculez la valeur exacte de BC.
2. Calculez lʼarrondi de BD au mm près.
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52
Pistes noires
Une pente de 70% signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70%.
1. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
2. Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100m par rapport à lʼhorizontale.
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53
L'ombre d'Anna
Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70m, règle à lʼappui.
1. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30∘ par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
2. Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70∘ avec le sol ?
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54
La largeur d'une rivière
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M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. AB = 100m ;
BAC= 25∘ ;
BAD= 70∘ ;
ABD= 90∘.
1. Calculez les longueurs BC et BD en arrondissant au dixième.
2. Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].
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55
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que (sinBAC)2+(cosBAC)2=1, quelle que soit la mesure des côtés du triangle ABC.
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56
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que tanBAC=sinBAC÷cosBAC pour toute mesure dʼun angle aigu BAC.
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57
Application
ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant les exercices
55
et
56
, et sachant que sinBAC=0,8, calculez cosBAC et tanBAC.
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58
Savoir refaire
Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42∘ ?
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59
Pyramide de base carrée
SABCD est une pyramide régulière de base carrée de 7cm de côté. Lʼangle SAC mesure 51∘.
1. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm.
2. Déduisez-en son volume au cm3 près.
3. Calculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].
4. Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ?
Dessinez ici
5. Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH.
6. Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.
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60
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle
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Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1cm, AD = 1cm et AE = 2cm.
I est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE).
Calculez la mesure de l'angle EIA.
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61
Vider un bac
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Un bac parallélépipédique de 12cm de hauteur, 20cm de longueur et 8cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.
Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?
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62
Rampe d'accès
On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure
10m et le seuil de la porte est situé à 50cm du sol.
1. Modélisez le problème par une figure.
Dessinez ici
2. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).
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63
Constructions
1. Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AB = 4cm et cosBAC= 0,8.
Dessinez ici
2. Tracez un triangle A’B’C’ semblable à ce triangle avec A’B’ = 8cm.
Dessinez ici
3. Combien vaut cosB′A′C′ ?
4. Comparez sinBAC et sinB′A′C′. Que remarquez-vous ?
5. Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?
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64
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013)
Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon
OA = 238m. Il est représenté par le schéma suivant.
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1. Calculez la mesure de lʼangle AOB.
2. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. a. Justifiez que (OM) coupe AOB en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB].
b. Prouver que [AM] mesure environ 140m.
c. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
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65
Tour de Pise
Le côté de la tour [SE] mesure 55,86m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison α de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1∘.
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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.
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66
Jouer au billard
Le rectangle suivant représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que :
CD = 70cm ; NC = 15cm ;
BD = 25cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C et D, et tel que la mesure de lʼangle CEN est égale à celle de DEB. On pose ED =a.
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1. a. Donnez un encadrement de a.
b. Exprimez CE en fonction de a.
2. Dans le triangle BED, exprimez tanDEB en fonction de a.
3. Dans le triangle NEC, exprimez tanCEN en fonction de a.
5. Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions a et b et écrivez lʼéquation qui en découle.
6. Résolvez l'equation.
Lʼéquation à résoudre est 25(70−a)=15a
Coup de pouce
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A
Exercice numérique
Roméo (point R) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de longueur 3,10m, Juliette (point J) qui se trouve tout en haut d'une tour.
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Roméo souhaite que l'angle formé par l'échelle et le sol soit de 46∘. Quelle doit être la longueur TR ?
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B
Exercice numérique
Roméo (point R) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de 3,10m, Juliette (point J) qui se trouve tout en haut d'une tour.
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L'angle formé entre le sol et l'échelle est de 35∘. Déterminer la hauteur à laquelle se trouve Juliette.
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Tâche complexe
Pont suspendu
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Énoncé
On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.
Combien de morceaux de bois faut-il ?
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Doc. 1
La situation
Armand et Théo se tiennent au bord du ravin, et regardent un rocher situé au bord, de l'autre côté. Ils sont séparés l'un de l'autre de 110,4 m.
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Doc. 2
Caractéristiques du pont
Le pont est constitué de deux cordes tenant des morceaux de bois de 15cm de large, espacés de 20cm chacun, et de deux cordes pour se tenir.
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Attention
Un pont en corde n'est pas droit, sa longueur doit donc être 15% plus grande que la distance qu'il doit couvrir.
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