Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 18

Exercices

Je résous des problèmes

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44
Tour Eiffel

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Un homme mesurant

1,80 m

, placé à

100 m

de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de

72,8

^{\circ}

.

Calculez la hauteur de la tour Eiffel.

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45
Un escalier au bout d'une allée

Graphique lié d'un triangle et un escalier

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Calculez la longueur

ES

de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.

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46
La statue de la Liberté

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1. Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure

AE

sur le dessin suivant.

2. La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport

\frac{1}{4}

. Quelle est sa hauteur ?

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47
Tyrolienne

Image d'une personne qui se déplace en tyrolienne

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Casadaphoto/Shutterstock

Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure

58 m

et fait avec lʼhorizontale un angle de

8^{\circ}

. On supposera que la corde est rectiligne.

De quelle distance, arrondie au

cm

, sont espacés les deux arbres ?

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48
Un ascenseur à bateaux

Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de

120 m

. Cette rampe fait un angle de

20

^{\circ}

avec lʼhorizontale.

Image d'un ascenseur à bateaux de Saint-Louis-Arzviller

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Tommapson/Wikimedia

1. Modélisez le problème par une figure.

Dessinez ici

2. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.

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49
Installation d'une échelle

On pose une échelle de

5 m

contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à

3,50 m

du sol.

1. Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?

2. À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?

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50
Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012)

Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points

A

B

. Ils constatent quʼils sont séparés de

800 m

et chacun voit lʼile sous un angle différent.

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1. Démontrez que le triangle est rectangle.

2. Déterminez, au

m

près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.

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51
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011)

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1. Calculez la valeur exacte de

BC

2. Calculez lʼarrondi de

BD

au mm près.

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52
Pistes noires

Une pente de

70 %

signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne

70 m

dʼaltitude lorsque lʼon parcourt

100 m

à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de

70 %

.

1. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.

2. Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de

100 m

par rapport à lʼhorizontale.

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53
L'ombre d'Anna

Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre :

2,70 m

, règle à lʼappui.

1. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de

30

^{\circ}

par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?

2. Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70

^{\circ}

avec le sol ?

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54
La largeur d'une rivière

Un croquis qui figure sur le cahier de M. Schmitt

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M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet.

AB = 100 m

;

BAC

= 25

^{\circ}

;

BAD

= 70

^{\circ}

;

ABD

= 90

^{\circ}

.

1. Calculez les longueurs

BC

BD

en arrondissant au dixième.

2. Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment

[CD]

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55

ABC

est un triangle rectangle en

B

. Démontrez que

(sin BAC)^{2} + (cos BAC)^{2} = 1

, quelle que soit la mesure des côtés du triangle

ABC

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56

ABC

est un triangle rectangle en

B

. Démontrez que

tan BAC = sin BAC \div cos BAC

pour toute mesure dʼun angle aigu

BAC

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57
Application

ABC

est un triangle rectangle en

B

. En utilisant les exercices

, et sachant que

sin BAC

=

0,8

, calculez

cos BAC

tan BAC

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58
Savoir refaire

Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté

50 m

et dont lʼangle dʼinclinaison est de

42

^{\circ}

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59
Pyramide de base carrée

SABCD

est une pyramide régulière de base carrée de

7 cm

de côté. Lʼangle

SAC

mesure

51

^{\circ}

.

1. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au

mm

2. Déduisez-en son volume au

cm

^{3}

près.

3. Calculez la longueur des arêtes

[SA]

[SB], [SC], [SD]

4. Tracez le triangle

SAB

. Quelle est sa nature ?

Dessinez ici

5. Sur la face

SAB

, on appelle

H

le pied de la hauteur issue de

A

et relative à

[AB]

. Déterminez la longueur de

SH

6. Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.

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60
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle

Graphique d'un parallélépipède rectangle ABCDHEFG

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Dans le parallélépipède rectangle

ABCDHEFG

AB = 1 cm

AD = 1 cm

AE = 2 cm

.
I est le point dʼintersection des diagonales

(AG)

et (

C

E

Calculez la mesure de l'angle

EIA

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61
Vider un bac

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Un bac parallélépipédique de

12 cm

de hauteur,

20 cm

de longueur et

8 cm

de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.

Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?

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62
Rampe d'accès

On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure

10 m

et le seuil de la porte est situé à

50 cm

du sol.

1. Modélisez le problème par une figure.

Dessinez ici

2. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).

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63
Constructions

1. Tracez le triangle rectangle

ABC

rectangle en

B

tel que

AB = 4 cm

cos BAC

= 0,8

Dessinez ici

2. Tracez un triangle

A’B’C’

semblable à ce triangle avec

A’B’ = 8 cm

Dessinez ici

3. Combien vaut

cos B^{'} A^{'} C^{'}

4. Comparez

sin BAC

sin B^{'} A^{'} C^{'}

. Que remarquez-vous ?

5. Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?

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64
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013)

Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon

OA = 238 m

. Il est représenté par le schéma suivant.

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1. Calculez la mesure de lʼangle

AOB

2. La hauteur issue de

O

dans le triangle

AOB

coupe le côté

[AB]

au point

M

.
a. Justifiez que

(OM)

coupe

AOB

en deux angles égaux et est la médiatrice de

[AB]

b. Prouver que

[AM]

mesure environ

140 m

c. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.

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65
Tour de Pise

Le côté de la tour

[SE]

mesure

55,86 m

. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison

α

de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet

S

de la tour, on recule de

50 m

et on regarde le sommet avec un angle de

48,1

^{\circ}

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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.

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66
Jouer au billard

Le rectangle suivant représente une table de billard. Deux boules de billard

N

B

sont placées telles que :

CD = 70 cm

;

NC = 15 cm

;

BD = 25 cm

. Un joueur veut toucher la boule

N

avec la boule

B

en suivant le trajet

B

, puis

E

, puis

N

E

étant entre

C

D

, et tel que la mesure de lʼangle

CEN

est égale à celle de

DEB

. On pose

ED =

a

Graphique d'un rectangle qui représente une table de billard

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1. a. Donnez un encadrement de

a

b. Exprimez

CE

en fonction de

a

2. Dans le triangle

BED

, exprimez

tan DEB

en fonction de

a

3. Dans le triangle

NEC

, exprimez

tan CEN

en fonction de

a

5. Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions a et b et écrivez lʼéquation qui en découle.

6. Résolvez l'equation.

Lʼéquation à résoudre est

25 (70 - a) = 15 a

Coup de pouce

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A
Exercice numérique

Roméo (point

R

) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de longueur

3, 10

m

, Juliette (point

J

) qui se trouve tout en haut d'une tour.

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Roméo souhaite que l'angle formé par l'échelle et le sol soit de

4 6^{\circ}

. Quelle doit être la longueur

TR

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B
Exercice numérique

Roméo (point

R

) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de

3, 10

m

, Juliette (point

J

) qui se trouve tout en haut d'une tour.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

L'angle formé entre le sol et l'échelle est de

3 5^{\circ}

. Déterminer la hauteur à laquelle se trouve Juliette.

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Tâche complexe
Pont suspendu

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Énoncé

On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.

Combien de morceaux de bois faut-il ?

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Doc. 1
La situation

Armand et Théo se tiennent au bord du ravin, et regardent un rocher situé au bord, de l'autre côté. Ils sont séparés l'un de l'autre de

110,4 m

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Doc. 2
Caractéristiques du pont

Le pont est constitué de deux cordes tenant des morceaux de bois de

15 cm

de large, espacés de

20 cm

chacun, et de deux cordes pour se tenir.

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Attention

Un pont en corde n'est pas droit, sa longueur doit donc être

15 %

plus grande que la distance qu'il doit couvrir.

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Je résous des problèmes

44
Tour Eiffel

45
Un escalier au bout d'une allée

46
La statue de la Liberté

47
Tyrolienne

48
Un ascenseur à bateaux

49
Installation d'une échelle

50
Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012)

51
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011)

52
Pistes noires

53
L'ombre d'Anna

54
La largeur d'une rivière

55

56

57
Application

58
Savoir refaire

59
Pyramide de base carrée

60
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle

61
Vider un bac

62
Rampe d'accès

63
Constructions

64
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013)

65
Tour de Pise

66
Jouer au billard

A
Exercice numérique

B
Exercice numérique

Tâche complexe
Pont suspendu

Énoncé

Doc. 1
La situation

Doc. 2
Caractéristiques du pont

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