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Je résous des problèmes
P.402-405

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Mathématiques - Je résous des problèmes


Je résous des problèmes




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Exercice 44 : Tour Eiffel.

Graphique lié à l'exercice 1
1
Un homme mesurant 1,80 m, placé à 100 m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8^{\circ}. Calculez la hauteur de la tour Eiffel.



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Exercice 45 : Un escalier au bout d'une allée.

Graphique lié à l'exercice 2
1
Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.

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Exercice 46 : La statue de la Liberté.

Graphique lié à l'exercice 4
Graphique lié à l'exercice 3
1
Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin ci-contre.



2
La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport 14\dfrac{1}{4}. Quelle est sa hauteur ?



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Exercice 47 : Tyrolienne.

Graphique lié à l'exercice 5
Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8^{\circ}. On supposera que la corde est rectiligne.

1
De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?



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Exercice 48 : Un ascenseur à bateaux.

Graphique lié à l'exercice 6
Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120 m. Cette rampe fait un angle de 20^{\circ} avec lʼhorizontale.

1
Modélisez le problème par une figure.



2
Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.



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Exercice 49 : Installation d'une échelle.

On pose une échelle de 5 m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50 m du sol.

1
Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?



2
À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?



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Exercice 50 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012).

Graphique lié à l'exercice 7
Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800 m et chacun voit lʼile sous un angle différent.

1
Démontrez que le triangle est rectangle.



2
Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.



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Exercice 51 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).

Graphique lié à l'exercice 8
1
Calculez la valeur exacte de BC.



2
Calculez lʼarrondi de BD au mm près.



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Exercice 52 : Pistes noires.

Une pente de 70 % signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70 m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100 m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70 %.

1
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.



2
Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100 m par rapport à lʼhorizontale.



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Exercice 53 : L'ombre d'Anna.

Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70 m, règle à lʼappui.

1
À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30^{\circ} par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?



2
Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70^{\circ} avec le sol ?

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Exercice 54 : La largeur d'une rivière.

Graphique lié à l'exercice 9
M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. AB = 100 m ; BAC^\widehat{\text{BAC}} = 25^{\circ}BAD^\widehat{\text{BAD}} = 70^{\circ}ABD^\widehat{\text{ABD}} = 90^{\circ}.

1
Calculez les longueurs BC et BD en arrondissant au dixième.



2
Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].



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Exercice 55 : Formule trigonométrique.

1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que (sinBAC^)2+(cosBAC^)2=1(\sin\widehat{\text{BAC}})^{2} + (\cos\widehat{\text{BAC}})^{2} = 1, quelle que soit la mesure des côtés du triangle ABC.



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Exercice 56 : Formule trigonométrique.

1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que tanBAC^=sinBAC^÷cosBAC^\tan\widehat{\text{BAC}} = \sin\widehat{\text{BAC}}\div\cos\widehat{\text{BAC}} pour toute mesure dʼun angle aigu BAC^\widehat{\text{BAC}} .



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Exercice 57 : Application.

1
ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant les exercices précédents, et sachant que sinBAC^\sin \widehat{\text{BAC}} = 0,8, calculez cosBAC^\cos\widehat{\text{BAC}} et tanBAC^\tan\widehat{\text{BAC}}.



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Exercice 58 : Hauteur dʼune pyramide.

1
Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50 m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42^{\circ} ?



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Exercice 59 : Pyramide de base carrée.

SABCD est une pyramide régulière de base carrée de 7 cm de côté. Lʼangle SAC^\widehat{\text{SAC}} mesure 51^{\circ}.

1
Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm.



2
Déduisez-en son volume au cm3^{3} près.



3
Calculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].



4
Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ?



5
Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH.



6
Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.



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Exercice 60 : Les diagonales d'un parallélépipède rectangle.

Graphique lié à l'exercice 10
Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1 cm, AD = 1 cm et AE = 2 cm. l est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE).

1
Calculez la mesure de l'angle EIA^\widehat{\text{EIA}}.



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Exercice 61 : Vider un bac.

Graphique lié à l'exercice 11
Un bac parallélépipédique de 12 cm de hauteur, 20 cm de longueur et 8 cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.

1
Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?



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Exercice 62 : Rampe d'accès.

On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure 10 m et le seuil de la porte est situé à 50 cm du sol.

1
Modélisez le problème par une figure.



2
Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).



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Exercice 63 : Constructions.

1
Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et cosBAC^\cos\widehat{\text{BAC}} = 0,8.



2
Tracez un triangle A'B'C' semblable à ce triangle avec A'B' = 8 cm.



3
Combien vaut cosBAC^\cos\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}} ?



4
Comparez sinBAC^\sin\widehat{\text{BAC}} et sinBAC^\sin\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}}. Que remarquez-vous ?



5
Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?



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Exercice 64 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013).

Graphique lié à l'exercice 12
Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre.

1
Calculez la mesure de lʼangle AOB^\widehat{\text{AOB}}.



2
La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. Justifiez que (OM) coupe AOB^\widehat{\text{AOB}} en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB].



3
Prouver que [AM] mesure environ 140 m.



4
Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.



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Exercice 65 : Tour de Pise.

Graphique lié à l'exercice 13
Le plus petit côté de la tour [SE] mesure 55,86 m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison αα de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50 m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1^{\circ}.

1
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.



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Exercice 66 : Jouer au billard.

Graphique lié à l'exercice 14
Le rectangle ci-contre représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 70 cm ; NC = 15 cm ; BD = 25 cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C et D, et tel que la mesure de lʼangle CEN^\widehat{\text{CEN}} est égale à celle de DEB^\widehat{\text{DEB}}. On pose ED = aa.

1
Donnez un encadrement de aa.



2
Exprimez CE en fonction de aa.



3
Dans le triangle BED, exprimez tanDEB^\tan\widehat{\text{DEB}} en fonction de aa.



4
Dans le triangle NEC, exprimez tanCEN^\tan\widehat{\text{CEN}} en fonction de aa.



5
Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions précédentes et écrivez lʼéquation qui en découle.



6
Résolvez l'equation.



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Tâche complexe : Pont suspendu.

Graphique lié à l'exercice 1


Graphique lié à l'exercice 2
On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.Attention ! Un pont en corde n’est pas droit, sa longueur doit donc être 15 % plus grande que la distance qu’il doit couvrir.

1
Combien de morceaux de bois faut-il ?



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