Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 18
Exercices

Je résous des problèmes

44
Tour Eiffel

Graphique de la tour Eiffel
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Un homme mesurant , placé à de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de .

Calculez la hauteur de la tour Eiffel.

45
Un escalier au bout d'une allée

Graphique lié d'un triangle et un escalier
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Calculez la longueur de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.

46
La statue de la Liberté

Illustration du statut de la liberté
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Figure liée à l'exercice 46
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1. Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure sur le dessin suivant.
2. La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport . Quelle est sa hauteur ?

47
Tyrolienne

Image d'une personne qui se déplace en tyrolienne
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Crédits : Casadaphoto/Shutterstock
Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure et fait avec lʼhorizontale un angle de . On supposera que la corde est rectiligne.

De quelle distance, arrondie au , sont espacés les deux arbres ?

48
Un ascenseur à bateaux

Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de . Cette rampe fait un angle de avec lʼhorizontale.
Image d'un ascenseur à bateaux de Saint-Louis-Arzviller
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Crédits : Tommapson/Wikimedia
1. Modélisez le problème par une figure.

Dessinez ici

2. Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.

49
Installation d'une échelle

On pose une échelle de contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à du sol.

1. Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
2. À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?

50
Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012)

Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points et . Ils constatent quʼils sont séparés de et chacun voit lʼile sous un angle différent.
Figure d'un triangle ABI
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1. Démontrez que le triangle est rectangle.
2. Déterminez, au près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.

51
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011)

Figure ABCD
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1. Calculez la valeur exacte de .
2. Calculez lʼarrondi de au mm près.

52
Pistes noires

Une pente de signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne dʼaltitude lorsque lʼon parcourt à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de .

1. Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
2. Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de par rapport à lʼhorizontale.

53
L'ombre d'Anna

Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : , règle à lʼappui.

1. À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
2. Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70 avec le sol ?

54
La largeur d'une rivière

Un croquis qui figure sur le cahier de M. Schmitt
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M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet.  ;  ;   ;  .

1. Calculez les longueurs et en arrondissant au dixième.
2. Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment .

55

est un triangle rectangle en . Démontrez que , quelle que soit la mesure des côtés du triangle .

56

est un triangle rectangle en . Démontrez que pour toute mesure dʼun angle aigu .

57
Application

est un triangle rectangle en . En utilisant les exercices
55
et
56
, et sachant que , calculez et .

58
Savoir refaire

Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté et dont lʼangle dʼinclinaison est de  ?

59
Pyramide de base carrée

est une pyramide régulière de base carrée de de côté. Lʼangle mesure .

1. Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au .
2. Déduisez-en son volume au près.
3. Calculez la longueur des arêtes , .
4. Tracez le triangle . Quelle est sa nature ?

Dessinez ici

5. Sur la face , on appelle le pied de la hauteur issue de et relative à . Déterminez la longueur de .
6. Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.

60
Les diagonales d'un parallélépipède rectangle

Graphique d'un parallélépipède rectangle ABCDHEFG
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Dans le parallélépipède rectangle , , et .
I est le point dʼintersection des diagonales et ().

Calculez la mesure de l'angle .

61
Vider un bac

Graphique d'un bac parallélépipédique
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Un bac parallélépipédique de de hauteur, de longueur et de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.

Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?

62
Rampe d'accès

On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure et le seuil de la porte est situé à du sol.

1. Modélisez le problème par une figure.

Dessinez ici

2. Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).

63
Constructions

1. Tracez le triangle rectangle rectangle en tel que et .

Dessinez ici

2. Tracez un triangle semblable à ce triangle avec .

Dessinez ici

3. Combien vaut  ?
4. Comparez et . Que remarquez-vous ?
5. Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?

64
Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013)

Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon . Il est représenté par le schéma suivant.
Graphique d'un pentagone régulier
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1. Calculez la mesure de lʼangle .
2. La hauteur issue de dans le triangle coupe le côté au point .
a. Justifiez que coupe en deux angles égaux et est la médiatrice de .
b. Prouver que mesure environ .
c. Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.

65
Tour de Pise

Le côté de la tour mesure . On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet de la tour, on recule de et on regarde le sommet avec un angle de .
Graphique de la tour de Pise
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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.

66
Jouer au billard

Le rectangle suivant représente une table de billard. Deux boules de billard et sont placées telles que :  ;  ; . Un joueur veut toucher la boule avec la boule en suivant le trajet , puis , puis , étant entre et , et tel que la mesure de lʼangle est égale à celle de . On pose .
Graphique d'un rectangle qui représente une table de billard
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1. a. Donnez un encadrement de .
b. Exprimez en fonction de .
2. Dans le triangle , exprimez en fonction de .
3. Dans le triangle , exprimez en fonction de .
5. Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions a et b et écrivez lʼéquation qui en découle.
6. Résolvez l'equation.
Lʼéquation à résoudre est
Coup de pouce

A
Exercice numérique

Roméo (point ) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de longueur , Juliette (point ) qui se trouve tout en haut d'une tour.
Figure d'un triangle
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Roméo souhaite que l'angle formé par l'échelle et le sol soit de . Quelle doit être la longueur  ?

B
Exercice numérique

Roméo (point ) souhaite rejoindre, à l'aide d'une échelle de , Juliette (point ) qui se trouve tout en haut d'une tour.
Figure d'un triangle
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L'angle formé entre le sol et l'échelle est de . Déterminer la hauteur à laquelle se trouve Juliette.

Tâche complexe
Pont suspendu

Énoncé

On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.

Combien de morceaux de bois faut-il ?

Doc. 1
La situation

Armand et Théo se tiennent au bord du ravin, et regardent un rocher situé au bord, de l'autre côté. Ils sont séparés l'un de l'autre de .
Graphique lié à l'exercice 1
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Doc. 2
Caractéristiques du pont

Le pont est constitué de deux cordes tenant des morceaux de bois de de large, espacés de chacun, et de deux cordes pour se tenir.
Graphique lié à l'exercice 2
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Attention
Un pont en corde n'est pas droit, sa longueur doit donc être plus grande que la distance qu'il doit couvrir.

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