Un homme mesurant 1,80 m, placé à 100 m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8∘. Calculez la hauteur de la tour Eiffel.
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Exercice 45 : Un escalier au bout d'une allée.
1
Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.
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Exercice 46 : La statue de la Liberté.
1
Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin ci-contre.
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La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport 41. Quelle est sa hauteur ?
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Exercice 47 : Tyrolienne.
Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8∘. On supposera que la corde est rectiligne.
1
De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?
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Exercice 48 : Un ascenseur à bateaux.
Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120 m. Cette rampe fait un angle de 20∘ avec lʼhorizontale.
1
Modélisez le problème par une figure.
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Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.
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Exercice 49 : Installation d'une échelle.
On pose une échelle de 5 m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50 m du sol.
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Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
2
À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?
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Exercice 50 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012).
Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800 m et chacun voit lʼile sous un angle différent.
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Démontrez que le triangle est rectangle.
2
Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.
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Exercice 51 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).
1
Calculez la valeur exacte de BC.
2
Calculez lʼarrondi de BD au mm près.
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Exercice 52 : Pistes noires.
Une pente de 70 % signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70 m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100 m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70 %.
1
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
2
Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100 m par rapport à lʼhorizontale.
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Exercice 53 : L'ombre d'Anna.
Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70 m, règle à lʼappui.
1
À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30∘ par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
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Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70∘ avec le sol ?
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Exercice 54 : La largeur d'une rivière.
M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. AB = 100 m ;
BAC = 25∘ ;
BAD = 70∘ ;
ABD = 90∘.
1
Calculez les longueurs BC et BD en arrondissant au dixième.
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Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].
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Exercice 55 : Formule trigonométrique.
1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que (sinBAC)2+(cosBAC)2=1, quelle que soit la mesure des côtés du triangle ABC.
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Exercice 56 : Formule trigonométrique.
1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que tanBAC=sinBAC÷cosBAC pour toute mesure dʼun angle aigu BAC .
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Exercice 57 : Application.
1
ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant les exercices précédents, et sachant que sinBAC = 0,8, calculez cosBAC et tanBAC.
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Exercice 58 : Hauteur dʼune pyramide.
1
Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50 m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42∘ ?
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Exercice 59 : Pyramide de base carrée.
SABCD est une pyramide régulière de base carrée de 7 cm de côté. Lʼangle SAC mesure 51∘.
1
Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm.
2
Déduisez-en son volume au cm3 près.
3
Calculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].
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Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ?
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Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH.
6
Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.
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Exercice 60 : Les diagonales d'un parallélépipède rectangle.
Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1 cm, AD = 1 cm et AE = 2 cm. l est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE).
1
Calculez la mesure de l'angle EIA.
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Exercice 61 : Vider un bac.
Un bac parallélépipédique de 12 cm de hauteur, 20 cm de longueur et 8 cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.
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Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?
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Exercice 62 : Rampe d'accès.
On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure 10 m et le seuil de la porte est situé à 50 cm du sol.
1
Modélisez le problème par une figure.
2
Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).
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Exercice 63 : Constructions.
1
Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et cosBAC = 0,8.
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Tracez un triangle A'B'C' semblable à ce triangle avec A'B' = 8 cm.
3
Combien vaut cosB′A′C′ ?
4
Comparez sinBAC et sinB′A′C′. Que remarquez-vous ?
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Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?
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Exercice 64 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013).
Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre.
1
Calculez la mesure de lʼangle AOB.
2
La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. Justifiez que (OM) coupe AOB en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB].
3
Prouver que [AM] mesure environ 140 m.
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Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
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Exercice 65 : Tour de Pise.
Le plus petit côté de la tour [SE] mesure 55,86 m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison α de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50 m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1∘.
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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.
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Exercice 66 : Jouer au billard.
Le rectangle ci-contre représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 70 cm ; NC = 15 cm ; BD = 25 cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C et D, et tel que la mesure de lʼangle CEN est égale à celle de DEB. On pose ED = a.
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Donnez un encadrement de a.
2
Exprimez CE en fonction de a.
3
Dans le triangle BED, exprimez tanDEB en fonction de a.
4
Dans le triangle NEC, exprimez tanCEN en fonction de a.
5
Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions précédentes et écrivez lʼéquation qui en découle.
6
Résolvez l'equation.
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Tâche complexe : Pont suspendu.
On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.Attention ! Un pont en corde n’est pas droit, sa longueur doit donc être 15 % plus grande que la distance qu’il doit couvrir.
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Combien de morceaux de bois faut-il ?
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