Un homme mesurant 1,80 m, placé à 100 m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8∘. Calculez la hauteur de la tour Eiffel.
Exercice 45 : Un escalier au bout d'une allée.
1
Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.
Exercice 46 : La statue de la Liberté.
1
Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin ci-contre.
2
La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport 41. Quelle est sa hauteur ?
Exercice 47 : Tyrolienne.
Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8∘. On supposera que la corde est rectiligne.
1
De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?
Exercice 48 : Un ascenseur à bateaux.
Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120 m. Cette rampe fait un angle de 20∘ avec lʼhorizontale.
1
Modélisez le problème par une figure.
2
Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.
Exercice 49 : Installation d'une échelle.
On pose une échelle de 5 m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50 m du sol.
1
Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?
2
À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?
Exercice 50 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012).
Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800 m et chacun voit lʼile sous un angle différent.
1
Démontrez que le triangle est rectangle.
2
Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.
Exercice 51 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).
1
Calculez la valeur exacte de BC.
2
Calculez lʼarrondi de BD au mm près.
Exercice 52 : Pistes noires.
Une pente de 70 % signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70 m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100 m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70 %.
1
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.
2
Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100 m par rapport à lʼhorizontale.
Exercice 53 : L'ombre d'Anna.
Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70 m, règle à lʼappui.
1
À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30∘ par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?
2
Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70∘ avec le sol ?
Exercice 54 : La largeur d'une rivière.
M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. AB = 100 m ;
BAC = 25∘ ;
BAD = 70∘ ;
ABD = 90∘.
1
Calculez les longueurs BC et BD en arrondissant au dixième.
2
Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].
Exercice 55 : Formule trigonométrique.
1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que (sinBAC)2+(cosBAC)2=1, quelle que soit la mesure des côtés du triangle ABC.
Exercice 56 : Formule trigonométrique.
1
ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que tanBAC=sinBAC÷cosBAC pour toute mesure dʼun angle aigu BAC .
Exercice 57 : Application.
1
ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant les exercices précédents, et sachant que sinBAC = 0,8, calculez cosBAC et tanBAC.
Exercice 58 : Hauteur dʼune pyramide.
1
Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50 m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42∘ ?
Exercice 59 : Pyramide de base carrée.
SABCD est une pyramide régulière de base carrée de 7 cm de côté. Lʼangle SAC mesure 51∘.
1
Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm.
2
Déduisez-en son volume au cm3 près.
3
Calculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].
4
Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ?
5
Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH.
6
Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.
Exercice 60 : Les diagonales d'un parallélépipède rectangle.
Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1 cm, AD = 1 cm et AE = 2 cm. l est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE).
1
Calculez la mesure de l'angle EIA.
Exercice 61 : Vider un bac.
Un bac parallélépipédique de 12 cm de hauteur, 20 cm de longueur et 8 cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.
1
Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?
Exercice 62 : Rampe d'accès.
On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure 10 m et le seuil de la porte est situé à 50 cm du sol.
1
Modélisez le problème par une figure.
2
Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).
Exercice 63 : Constructions.
1
Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et cosBAC = 0,8.
2
Tracez un triangle A'B'C' semblable à ce triangle avec A'B' = 8 cm.
3
Combien vaut cosB′A′C′ ?
4
Comparez sinBAC et sinB′A′C′. Que remarquez-vous ?
5
Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?
Exercice 64 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013).
Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre.
1
Calculez la mesure de lʼangle AOB.
2
La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. Justifiez que (OM) coupe AOB en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB].
3
Prouver que [AM] mesure environ 140 m.
4
Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.
Exercice 65 : Tour de Pise.
Le côté de la tour [SE] mesure 55,86 m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison α de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50 m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1∘.
1
Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.
Exercice 66 : Jouer au billard.
Le rectangle ci-contre représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 70 cm ; NC = 15 cm ; BD = 25 cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C et D, et tel que la mesure de lʼangle CEN est égale à celle de DEB. On pose ED = a.
1
Donnez un encadrement de a.
2
Exprimez CE en fonction de a.
3
Dans le triangle BED, exprimez tanDEB en fonction de a.
4
Dans le triangle NEC, exprimez tanCEN en fonction de a.
5
Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions précédentes et écrivez lʼéquation qui en découle.
6
Résolvez l'equation.
Tâche complexe : Pont suspendu.
On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.Attention ! Un pont en corde n’est pas droit, sa longueur doit donc être 15 % plus grande que la distance qu’il doit couvrir.
1
Combien de morceaux de bois faut-il ?
Contenu numérique
Roméo (point R) souhaite rejoindre, à l’aide d’une échelle de longueur 3,10 m, Juliette (point J) qui se trouve tout en haut d’une tour.
Roméo souhaite que l’angle formé par l’échelle et le sol soit de 46 °. Quelle doit être la longueur TR ?
Contenu numérique
Roméo (point R) souhaite rejoindre, à l’aide d’une échelle de 3,10 m, Juliette (point J) qui se trouve tout en haut d’une tour.
L’angle formé entre le sol et l’échelle est de 35°. Déterminer la hauteur à laquelle se trouve Juliette.
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