Je résous des problèmes

Exercice 44 : Tour Eiffel.

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Un homme mesurant 1,80 m, placé à 100 m de la tour Eiffel, observe son point culminant avec un angle de 72,8$^{\circ}$. Calculez la hauteur de la tour Eiffel.

Exercice 45 : Un escalier au bout d'une allée.

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Calculez la longueur ES de lʼescalier, ainsi que sa hauteur.

Exercice 46 : La statue de la Liberté.

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Calculez une valeur approchée de la hauteur de la statue de la Liberté, sachant quʼelle correspond à la mesure AE sur le dessin ci-contre.

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La réplique de la statue de lʼile aux Cygnes à Paris en est une reproduction de rapport $\dfrac{1}{4}$. Quelle est sa hauteur ?

Exercice 47 : Tyrolienne.

Une tyrolienne permet de se déplacer entre deux arbres. Au parc Aventure du Bugey, la tyrolienne mesure 58 m et fait avec lʼhorizontale un angle de 8$^{\circ}$. On supposera que la corde est rectiligne.

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De quelle distance, arrondie au cm, sont espacés les deux arbres ?

Exercice 48 : Un ascenseur à bateaux.

Le plan incliné de Saint-Louis-Arzviller est un ascenseur à bateaux. Il permet de faire monter et descendre les bateaux le long dʼune rampe inclinée de 120 m. Cette rampe fait un angle de 20$^{\circ}$ avec lʼhorizontale.

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Modélisez le problème par une figure.

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Calculez le dénivelé (différence entre le point haut et le point bas) de la rampe.

Exercice 49 : Installation d'une échelle.

On pose une échelle de 5 m contre le mur dʼune maison. Lʼéchelle atteint la base du toit à 3,50 m du sol.

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Quel est lʼangle dʼinclinaison de lʼéchelle par rapport au mur ?

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À quelle distance du mur la base de lʼéchelle est-elle posée ?

Exercice 50 : Vers le Brevet (Amérique du Sud, 2012).

Deux bateaux sont au large dʼune ile et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut schématiser leurs positions par les points A et B. Ils constatent quʼils sont séparés de 800 m et chacun voit lʼile sous un angle différent.

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Démontrez que le triangle est rectangle.

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Déterminez, au m près, la distance qui sépare chaque bateau de lʼile.

Exercice 51 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2011).

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Calculez la valeur exacte de BC.

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Calculez lʼarrondi de BD au mm près.

Exercice 52 : Pistes noires.

Une pente de 70 % signifie que lʼon perd ou que lʼon gagne 70 m dʼaltitude lorsque lʼon parcourt 100 m à lʼhorizontale. Laure descend une piste noire ayant une pente de 70 %.

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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la piste.

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Calculez la distance réellement parcourue par Laure lorsquʼelle avance de 100 m par rapport à lʼhorizontale.

Exercice 53 : L'ombre d'Anna.

Anna se tient debout au soleil et demande à Mohammed de mesurer son ombre : 2,70 m, règle à lʼappui.

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À 18 h, on estime que les rayons du soleil forment un angle de 30$^{\circ}$ par rapport au sol. Quelle taille fait Anna ?

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Quelle sera la taille de son ombre à midi le 21 juin lorsque les rayons du soleil formeront un angle de 70$^{\circ}$ avec le sol ?

Exercice 54 : La largeur d'une rivière.

M. Schmitt, géomètre, doit calculer la largeur dʼune rivière. Voici le croquis qui figure sur son carnet. AB = 100 m ; $\widehat{\text{BAC}}$ = 25$^{\circ}$ ;  $\widehat{\text{BAD}}$ = 70$^{\circ}$ ;  $\widehat{\text{ABD}}$ = 90$^{\circ}$.

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Calculez les longueurs BC et BD en arrondissant au dixième.

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Déduisez-en la largeur de la rivière représentée par le segment [CD].

Exercice 55 : Formule trigonométrique.

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ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que $(\sin\widehat{\text{BAC}})^{2} + (\cos\widehat{\text{BAC}})^{2} = 1$, quelle que soit la mesure des côtés du triangle ABC.

Exercice 56 : Formule trigonométrique.

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ABC est un triangle rectangle en B. Démontrez que $\tan\widehat{\text{BAC}} = \sin\widehat{\text{BAC}}\div\cos\widehat{\text{BAC}}$ pour toute mesure dʼun angle aigu $\widehat{\text{BAC}}$ .

Exercice 57 : Application.

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ABC est un triangle rectangle en B. En utilisant les exercices précédents, et sachant que $\sin \widehat{\text{BAC}}$ = 0,8, calculez $\cos\widehat{\text{BAC}}$ et $\tan\widehat{\text{BAC}}$.

Exercice 58 : Hauteur dʼune pyramide.

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Quelle est la hauteur dʼune pyramide régulière dont la base est un carré de côté 50 m et dont lʼangle dʼinclinaison est de 42$^{\circ}$ ?

Exercice 59 : Pyramide de base carrée.

SABCD est une pyramide régulière de base carrée de 7 cm de côté. Lʼangle $\widehat{\text{SAC}}$ mesure 51$^{\circ}$.

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Calculez la hauteur de la pyramide arrondie au mm.

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Déduisez-en son volume au cm$^{3}$ près.

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Calculez la longueur des arêtes [SA], [SB], [SC], [SD].

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Tracez le triangle SAB. Quelle est sa nature ?

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Sur la face SAB, on appelle H le pied de la hauteur issue de A et relative à [AB]. Déterminez la longueur de SH.

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Calculez lʼaire totale de la surface de la pyramide.

Exercice 60 : Les diagonales d'un parallélépipède rectangle.

Dans le parallélépipède rectangle ABCDHEFG, AB = 1 cm, AD = 1 cm et AE = 2 cm. l est le point dʼintersection des diagonales (AG) et (CE).

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Calculez la mesure de l'angle $\widehat{\text{EIA}}$.

Exercice 61 : Vider un bac.

Un bac parallélépipédique de 12 cm de hauteur, 20 cm de longueur et 8 cm de largeur est rempli aux deux tiers dʼeau.

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Alice lʼincline sur la largeur pour le vider. Elle se demande à quel moment lʼeau va se déverser dans lʼévier. Quʼen pensez-vous ?

Exercice 62 : Rampe d'accès.

On souhaite construire une rampe dʼaccès pour les personnes à mobilité réduite qui souhaitent accéder à lʼentrée du collège. Cette rampe mesure 10 m et le seuil de la porte est situé à 50 cm du sol.

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Modélisez le problème par une figure.

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Calculez la mesure de lʼangle fait par la rampe (arrondie au degré).

Exercice 63 : Constructions.

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Tracez le triangle rectangle ABC rectangle en B tel que AB = 4 cm et $\cos\widehat{\text{BAC}}$ = 0,8.

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Tracez un triangle A'B'C' semblable à ce triangle avec A'B' = 8 cm.

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Combien vaut $\cos\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}}$ ?

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Comparez $\sin\widehat{\text{BAC}}$ et $\sin\widehat{\text{B}^{\prime}\text{A}^{\prime}\text{C}^{\prime}}$. Que remarquez-vous ?

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Pouvez-vous relier cela avec un théorème vu dans un précédent chapitre ?

Exercice 64 : Vers le Brevet (Amérique du Nord, 2013).

Le Pentagone est un bâtiment qui héberge le ministère de la Défense des États-Unis. Il a la forme dʼun pentagone régulier inscrit dans un cercle de rayon OA = 238 m. Il est représenté par le schéma ci-contre.

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Calculez la mesure de lʼangle $\widehat{\text{AOB}}$.

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La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le côté [AB] au point M. Justifiez que (OM) coupe $\widehat{\text{AOB}}$ en deux angles égaux et est la médiatrice de [AB].

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Prouver que [AM] mesure environ 140 m.

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Déduisez-en une valeur approchée du périmètre du Pentagone.

Exercice 65 : Tour de Pise.

Le plus petit côté de la tour [SE] mesure 55,86 m. On cherche à connaitre lʼangle dʼinclinaison $α$ de la tour de Pise. Pour cela, on se place sous le sommet S de la tour, on recule de 50 m et on regarde le sommet avec un angle de 48,1$^{\circ}$.

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Calculez lʼangle dʼinclinaison de la tour.

Exercice 66 : Jouer au billard.

Le rectangle ci-contre représente une table de billard. Deux boules de billard N et B sont placées telles que : CD = 70 cm ; NC = 15 cm ; BD = 25 cm. Un joueur veut toucher la boule N avec la boule B en suivant le trajet B, puis E, puis N, E étant entre C et D, et tel que la mesure de lʼangle $\widehat{\text{CEN}}$ est égale à celle de $\widehat{\text{DEB}}$. On pose ED = $a$.

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Donnez un encadrement de $a$.

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Exprimez CE en fonction de $a$.

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Dans le triangle BED, exprimez $\tan\widehat{\text{DEB}}$ en fonction de $a$.

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Dans le triangle NEC, exprimez $\tan\widehat{\text{CEN}}$ en fonction de $a$.

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Écrivez une égalité liant les deux quotients trouvés aux questions précédentes et écrivez lʼéquation qui en découle.

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Résolvez l'equation.

Tâche complexe : Pont suspendu.

On veut construire un pont suspendu en corde et en bois entre les deux cotés dʼun ravin.Attention ! Un pont en corde n’est pas droit, sa longueur doit donc être 15 % plus grande que la distance qu’il doit couvrir.

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Combien de morceaux de bois faut-il ?